CC BY
23
УДК 517.977.1
Вестник СибГАУ Том 17, № 2. С. 350-358
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ВКЛЮЧЕНИЙ ТРУБОК ТРАЕКТОРИЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
А. Н. Рогалев
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: rogalyov@icm.krasn.ru
Рассматриваются вопросы применения функций чувствительности для вычисления границ включений множеств достижимости управляемых систем в задачах оценки предельных отклонений летательных аппаратов: самолета, ракеты, космического корабля. Как правило, в рамках теории чувствительности проводится численное исследование параметрической модели управляемой системы во всем диапазоне изменения определяющей совокупности параметров. Практическое применение такого подхода очень часто оказывалось нецелесообразным или невозможным из-за огромного количества требуемых вычислений и необозримости получаемых результатов. Предложенное и реализованное в статье совместное применение функций чувствительности и символьных формул решений позволяет эффективно вычислять включения множеств достижимости - совокупностей концов всех траекторий управляемой системы, начинающихся в начальный момент времени в точках начального множества. Эти множества применяются в задачах гарантированного оценивания совокупностей отклонений летательных аппаратов и задачах контроля предельных отклонений, при этом действующие на систему внешние возмущения и ошибки наблюдения заключены в определенных пределах (стеснены ограничениями). Под функциями чувствительности понимаются производные различных переменных состояния и показателей качества по параметрам соответствующей и определяющей группы. Эти функции являются решениями уравнений чувствительности, которые могут быть непосредственно получены из известной параметрической модели системы.
Описанный в статье метод, использующий символьные формулы решения и функции чувствительности, позволяет получить надежную оценку множеств достижимости управляемых систем в условиях неопределенности, если в правые части этих систем управляющие воздействия входят произвольным образом, не только как аддитивный член. Область применения этого метода включает задачи оценки предельных отклонений при движении самолета на этапе автоматического захода на посадку, задачи определения возможности потери устойчивости движения летательного аппарата на заданном интервале времени, т. е. задачи траекторией безопасности летательного аппарата, задачи посадки вертолета.
Упрощенным критерием потери устойчивости в подобных задачах служит вычисление некоторого порогового или критического значения одного из параметров движения и оценки границ областей всех возможных траекторий.
Представлены результаты применения численных методов, основанных на символьных формулах решений и функциях чувствительности и оценивании всех возможных ее значений.
Ключевые слова: предельные отклонения траекторий, летательные аппараты, критические значения параметров, гарантированный метод оценивания, символьная формула, функция чувствительности.
Sibirskii Gosudarstvennyi Aerokosmicheskii Universitet imeni Akademika M. F. Reshetneva. Vestnik Vol. 17, No. 2, P. 350-358
APPLICATION OF SENSITIVE FUNCTIONS, WHICH USED TO COMPUTE TUBES INCLUDING THE TRAJECTORIES OF CONTROL SYSTEMS
A. N. Rogalyov
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akadmegorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: rogalyov@icm.krasn.ru
This article presented the use of sensitivity functions to compute the boundaries of inclusions of control systems reachability sets and their application to problems of estimation tolerances of aircraft motion, or missiles motion, or spacecraft motion. As a rule, the model of the control system is carried out throughout the range of the defining set ofparameters in the framework of the sensitivity of numerical investigation of the parametric. The practical application
of this approach is very often impractical or impossible because of the huge number of required computations and countless of the results.
The combined use of the sensitivity functions and the analytical formulas of solutions proposed and implemented in the article, can effectively compute the inclusion of reachable sets. These sets include all trajectories of the control system, starting at the initial time point in the initial set. The inclusion of reachable sets are used in problems of guaranteed estimation of variance sets aircraft and in problems of control tolerances, considering that the current external disturbances of system and errors of observation are enclosed within certain limits (constrained by limitations).
Defined sensitivity functions are derivatives of various state variables with respect the parameters of the appropriate group. Obtained these functions are solutions of the sensitivity equations constructed directly from a known parametric model of the system. Using the method, based on symbolical formulas for the solution and based on sensitivity function, allows getting a reliable estimate of reachable sets of control systems in conditions of uncertainty. Control actions are included on the right side of these systems arbitrarily, not only as an additive term.
Application of this method involves the problem of estimating the maximum deviations of the aircraft motion at the stage of the automatic approach, the problem of determining the possibility of loss of stability of the aircraft motion at a given time, that is the problem of safety of the aircraft trajectory, the problem of the helicopter landing. Simplified criteria for buckling in such problems are the computation of a threshold or critical value of one of the motion parameters, and evaluation of the boundaries of all possible trajectories.
The article presents the results of numerical methods based on the use of analytical formulas and sensitivity functions and evaluating all its possible values (reachable sets of control systems).
Keywords: maximum deviations, aircraft, critical values of parameters, guaranteed method of estimating, symbolical formula, sensitivity function.
Введение. Рассмотрим управляемую систему, движение которой описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
dу
dt
= f (t,y,u), u(t) e U, y(t0) = y0,
(1)
в правой части которой задано ограниченное по величине управляющее воздействие u и поставлены начальные данные. Налагаем на задачу (1) ограничения: f - непрерывно дифференцируемая по y функция
(f (t) е С1), множество U компактно в Rm , выбор возможных реализаций управляющих воздействий u() стеснен ограничениями u(t) eU, t e [t0, t], отражающими особенности рассматриваемой задачи. Кроме того: а) выполняется равномерная оценка | y(t) |< b для всех решений (1) на интервале
t е [t0, T], где b = const > 0; б) множество Y(t) = = f (t, y,U) для всех y , t e [s, T] компактно и выпукло.
Множеством достижимости D(t, t0, M) управляемой системы (1) с начальным условием y(t0) = = y0 е M при t > t0 называется совокупность концов y(t) всех траекторий этой системы в момент времени t (рис. 1), начинающихся в момент s в точках начального множества M [1-3].
Непрерывность множества достижимости D(t, t0, y0), зависящего также от времени, означает следующее: для любого е > 0 существует 5 > 0 такое, что хаус-дорфова метрика между множествами значений решений в моменты времени t1, t2 становится меньше е:
d(D(t\t0,y0),D(t2,t0,y0)) <е,
1,1 ^L s ,1 Л ^ г*0 Т1 (2)
t -1 < о, t , t е [t ,T J.
Множества достижимости играют важную роль в теории управляемых систем. Эти множества позво-
ляют формулировать и решать многие основные задачи теории управления [1-7]. К подобным задачам относятся задачи проверки гарантированных условий безопасности и задачи построения «выживающих» траекторий. Условие «выживаемости» означает проверку выполнения условий у (г) е N при t0 < t < Т для любого движения у(-), исходящего из точек области допустимых начальных позиций У0, и заданном множестве N при переборе всех управляющих воздействий, удовлетворяющих ограничению м(-) е Q .
Рис. 1. Совокупность концов у(г) всех траекторий системы (сечение) в момент времени г, начинающихся в момент ^ в точках начального множества М -множество достижимости
Значительно чаще на практике рассматривается управляемая динамическая система общего вида, подверженная к тому же действию неопределенных факторов. Тогда движение такой системы подчиняется следующей системе дифференциальных уравнений:
dy_ dt
= f (А y, ^ v)-.
(3)
где u = u(t) - управляющее воздействие; v = v(t) -
неконтролируемое воздействие. Вообще говоря, величины векторов управлений и возмущений (допустимых управлений и возмущений) могут быть сложным образом связаны с движением динамической системы. Мы будем рассматривать лишь случай геометрических ограничений, имеющих вид
u е U (t, x), v e V (t, x).
Зная границы множеств достижимости, можно найти зависимость разрешимости рассматриваемых задач от начального множества M , времени T , множества N ит. д. Такие задачи часто возникают на практике, например, при оценке возможностей маневра летательных аппаратов (ЛА) [8]. Просчитав (или оценив) траекторию, можно узнать, выполняются ли некоторые интересующие нас свойства. Одним из таких свойств является безопасность объекта. Можно сформулировать так: траектория y(t) безопасна, если она не имеет точек пересечения с «опасным» множеством F, выполняется ограничение Vt > 0,
У (t ) É F .
Точки пространства состояний, попадание в которое для управляемой системы означает аварийное завершение, составляют область F (на рис. 2 эта область закрашена черным цветом). Такие области описываются в зонах так называемого сваливания самолетов, а также при анализе процесса автоматической посадки самолета, в первую очередь сводящейся к оценке возможных значений параметров траекторного и углового движения самолета в момент касания шасси взлетно-посадочной полосы (ВПП). Для подобных задач необходимо оценить максимальное значение одного из параметров не в фиксированный момент времени, а на определенном интервале времени полета. При этом на ЛА воздействуют различные влияющие, в том числе друг на друга, возмущения: отклонения инерционных и аэродинамических параметров ЛА, атмосферные возмущения, инструментальные ошибки, отказы и т. п. Задачи такого типа в [8] называют задачами о выбросах случайного процесса.
Рис 2. Совокупность (пучок) всех траекторий управляемой системы, начинающихся в точках начального множества, и «опасное» множество, закрашенное черным цветом
Выделяется два подхода к решению задач, контролирующих предельные значения или предельные реализации. Первый подход реализует случайный характер возмущений и является широко распространен-
ным [8]. Для второго подхода - гарантированного подхода - возмущения представляют собой набор конечного числа случайных параметров, для значений которых поставлены вполне определенные ограничения, и пусть заранее известно, что зависимости выходных параметров от любого из упомянутых параметров являются монотонными. Это означает, что выходные параметры достигают экстремальных значений при сочетаниях граничных значений случайных параметров определенного знака. На основе экстремальных значений вычисляются соответствующие значения выходных параметров. Если окажется, что выходные параметры не выходят за допустимые пределы, то выполнение всех ограничений можно считать гарантированным. Если возмущениями являются систематические инструментальные ошибки, а используемые бортовые (и наземные) приборы прошли предварительную проверку и тарировку, то гарантированный подход может быть полностью обоснован. Можно полагать, что ошибка в показаниях того или иного прибора не превосходит допустимых пределов. При этом закон распределения некоторой инструментальной ошибки Ае часто сильно отличается от гаус-совского закона за счет того, что в процессе доводки прибора ошибка изменяется внутри разрешенного диапазона. В этом случае распределение ошибки оказывается ограниченным и может иметь пики в окрестностях предельных значений.
Расчет включений трубок траекторий и множеств достижимости управляемых систем. В статье описаны методы, основанные на совместном использовании символьных формул решений и функций чувствительности, цель этих методов - вычисление гарантированных границ множеств достижимости и применение этих границ для оценки предельных отклонений траекторий ЛА. Вычисление границ множества У (г) = ^ у (г, у0) позволяет гарантированно Аг0
оценить множество достижимости управляемой системы (3) с учетом неконтролируемых возмущений. Определение границ (включений множеств достижимости) основано на символьных формулах, аппроксимирующих оператор сдвига вдоль траектории, а также на формулах производных решений по параметрам системы (в том числе начальным данным) с последующим вычислением множества значений символьных выражений. Используемые при этом свойства функций чувствительности управляемых систем описаны в [9-12]. Многие вопросы, касающиеся обработки символьных преобразований в гарантированных методах, описаны в работах [13-22]. В данной статье включены новые дополнительные варианты конструирования зависимостей между значениями решений управляемых систем и их начальными значениями, а также управляющими параметрами этих систем.
Для качественного анализа решений и определения необходимых динамических характеристик задачи (3) приведем конструктивные функции использования чувствительности.
Пусть а1, ..., ат - фиксированные значения параметров, их множество будем называть основной или
базовой совокупностью. Выбранной совокупности а соответствует совокупность переменных состояния
У, = У, (г, а), (4)
которую будем называть основным или базовым движением. Базовому движению соответствуют базовые значения показателей качества 3, = 3 1 (а), в нашем подходе показателями качества считаем максимальные и минимальные значения всей совокупности движений. При изменении значений параметров а, = = а,- + |о,г получим новое движение
У = У (г, щ + ат +у.т) = У, (г, а + ц),
(5)
которому соответствуют новые значения показателей качества
3 = («1 +Цl,..., «т +Цт ) = (а + Ц). (6) Определение. Вектор Лу, определяемый соотношением
АУ = У, (г, а + ц) - У, (г, а), (7)
как правило называется дополнительным движением, вызванным изменениями параметров а1,..., ат .
Дополнительное движение АУ, и соответствующие приращения показателей качества
А/, = 3, (а + ц) - (а) (8)
характеризуют изменение интересующих исследователя свойств системы при изменении соответствующих параметров. Поэтому изучение свойств дополнительных движений и установление их связей со свойствами исходной системы является, по существу, основной задачей исследования чувствительности. Для вывода зависимости между функциями чувствительности и дополнительным движением используются свойства дифференциалов высших порядков функций многих переменных [9; 10].
Для функции многих переменных У = У(х1, ...,хп), имеющей частные производные к-го порядка по всем совокупностям аргументов х1, ...,хп, дифференциалом к-порядка называются выражения
а(к У =
г
у
дх
ах1
дх„
-ах„
(9)
где — - операторы дифференцирования по соответ-
дх
ствующим переменным. Для развертывания выражения (9) следует формально возвести в степень выражение в скобках, свернув произведение операторов по правилу
Э 2
(10)
дх дх-
дх-дх:
1 3
а затем применить полученный оператор к функции У.
Из (9), (10) следует, что к-й дифференциал является формой к-й степени относительно величин Сх1, ...,с1хг . Предполагая, что в точке а существуют
и непрерывны по параметрам все функции чувствительности до (к +1)- го порядка включительно, можно написать выражение по формуле Тейлора с остаточным членом
АУ (г, а) = У (г, а + ц) - У (г, а) = = сСУ (г, а) +1 а(2) У (г, а) +1 сС(3) У (г, а) +
(11)
1
(п +1)
а (п+1)У (г, а + 9|д).
Заметим, что в формуле (11) переменная г считается неизменным параметром. Пренебрегая остаточным членом, из (11) получим приближенное выражение для дополнительного движения
Л(к У (г, а) = £ - а (,)У (г, а)
¿=1
(12)
которое будем называть к-м приближением для дополнительного движения или, что эквивалентно, приближением с точностью до величин (к + 1)-го порядка малости.
Напомним, что символьной формулой (аналитическое выражение) [13; 15] называется запись имен переменных и совокупности действий, которые нужно проделать в определенном порядке над значениями этих переменных. В дальнейшем при записи символьных формул, аппроксимирующих оператор сдвига вдоль траектории, допускается включение в них числовых констант с отложенным выполнением арифметических действий над ними.
Пусть К, - последовательность нормированных пространств, зависящих от параметра и, принадлежащего множеству и; У',, = 1, ...,п-1, - последовательность символьных формул непрерывных отображений Р, определенных на прямом произведении К1 х К2 х х...хКп, которые отображают это произведение в пространство Кп+1 и задают зависимость между значениями решения в каждой точке области определения и начальными значениями решения. Результат последовательного исполнения преобразований формул
У1 = Р 1(г0, г1, У0, У1) = 51(У0), У2 = Р2 (г0, г1, г2, У0, У1, У2) = 5 2(У0) ° 51(У0), У '= Р\г,г\У0,У ,У) = 5(У0) о 5 2(УМ) о 51(У),
(13)
Ут = Рт (г °,..„ гт, У0, У \...Ут) = 5т (У0)
о 5 2(УМ) о 51(У)
будет называться символьной формулой (опорной траекторией) метода, заданной сдвигом вдоль траектории ОДУ.
Включение в правую часть управляемой системы управления и , принадлежащего произвольному множеству и , позволяет учитывать все управляющие воздействия при построении множеств достижимости управляемых систем.
Итак, метод записи и преобразования символьных формул основан на следующих шагах:
1. Запись компонент символьных формул решений как векторных функций, состоящих из символьных компонент s(tk), зависящих от символьных
форм начальных данных у0, ...,у0. Каждая компонента символьного вектора определяется заново в каждой точке гк как функция, зависящая от символьных начальных данных у0, ...,у0. Эта формула описывает сдвиг вдоль кривой, аппроксимирующей траекторию решения системы, на каждом шаге.
2. Последовательное исполнение метода хранения и переработки символьной информации при продвижении вдоль траектории решений, производящееся на основе статичного хранения этой информации, работы с адресацией памяти с помощью функций поточной обработки.
3. Преобразование символьной формулы приближенного решения к виду, который позволяет эффективно и быстро вычислять оценки областей значений приближенных решений (-решения), соответствующие изменениям параметров задачи. Для этого используется кусочно-полиномиальное представление символьных формул и опорные функции для многозначных функций, описывающих области значений. Символьные формулы не преобразуются на каждом шаге алгоритма, организуется их хранение в памяти, для этого полезным является кусочная полиномиаль-ность.
За описанным выше алгоритмом получения символьных формул следует шаг вычисления областей их числовых значений
Yn = Fn 0 °,„., гл, Y0, Y \...Г) =
= Sn ^0) о...о s-1) о S1(Yi),
(14)
для чего используется следующая методика обработки последовательности символьных формул.
Для системы (3) с начальными данными
у(г0>) = у0 е Yi0, г = 1, 2, ...., л строится сетка узлов
на интервале интегрирования с точки ^ = t0 + г • h, г = 1, 2, ..., п, и вводятся обозначения
У1 =Фг (г, У0, У0, ..., У0) 5Фг ,, 0 0 0ч дУк
д 2фг-5( У0)2
^ 0 0 0ч
(t, У1, У2, ..., УпЛ
-Ч я /Д 0 0 0 ч
0Уг 5фг-(г , Уl, У2, ..., Уп)
ду0 ду0
д Ч (гк 0 0 , У1, У2, 0 ..., Ул)
ду, а 0д 0 ду, дук
53Ф,- (гк, 0 0 У1, У2, . 0ч .., У л )
с» _
г _ Я 0 Я 0 Я 0 Я 0 '
дут дут ду, дук
г = 1, 2, ..., п; I, к, т = 1, 2, ..., п.
На каждом шаге по времени решаются п различных систем уравнений в вариациях первого порядка
, Фп )
л 5У^ = ^ %(t, Ф1, Ф2,
¿г
•5у,-, г = 1, 2, ..., п. (15)
7=1 дУ]
Для получения этих систем следует отметить, что вначале все компоненты вектора неизвестных
дифференцируются по у0, затем по у0, в последней системе все компоненты дифференцируются по у0. Это означает, что на первом шаге этого этапа система (15) решается относительно вектора неизвестных
{ \Т ду^ду^ду^ дуп_
э 0 , а 0 , Я 0 0
0Ух Зу дух дух
У1 (гк) = 1, У2(гк) = 0, Уп(гк) = 0, на втором шаге система (15) решается
начальными данными
неизвестных
ду^ ду^ дуз_ дул
а 0 , я 0 , а 0 0
су 2 ду2 ду2 ду2 у
относительно вектора
V
с начальными
данными ух(гк) = 0, у2(гк) = 1, ..., Уп(гк) = 0, .., нау-м шаге система (15) решается относительно вектора
неизвестных
ду^ду^ду^ ду_ Кду0 ,5у0 ,5у0,...,5у0,
данными у1 (гк) = 0, у2 (гк) = 1,
с начальными
у Агк) = 0, ...,
Уп (гк) = 0.
Система (15) - это линейная система ОДУ с постоянными коэффициентами
Ф^Ф2, ...,Фп)
ду<
г = 1, 2,
Постоянные коэффициенты получаются при подстановке в формулы производных вычисленных значений ф1,ф2, ...,фп.
Аналогично на к-интервале по времени вычисляются векторы решения (всего п различных векторов при к = 1, 2, ..., п )
§г1 =
я ^2 /Л 0 0 0 ч
_ о Ф1(г , У1, У2, ..., Уп)
ду0
=
=
ду?
дуп ду0
ду, ду0 ?
5 ^ к 0 0 , У1 , У2, ..., у0)
ду0ду0
ЗФл (гк 0 0 > У1, У2, . 0 .., Ул)
дук
различных систем уравнении в вариациях второго порядка с нулевыми начальными данными:
Л
¿г
У=1
ду
}
у=1 * =1
г = 1, 2, ..
З2¡г Фl, Ф2,
^ . §у
Я 0 У*
дУ0
дУу ду* к = 1, 2, ..., л; I = 1, 2
Количество систем вида (16) равно биномиальному коэффициенту С2 сочетаний из числа п по 2.
Система (16) - это линейная система ОДУ с постоянными коэффициентами
Щ (А Ч>1, Ф2> ...' Фп ) д Ъ (1, Ф1> Ф2' ...' Фп )
(17)
1 = 1, 2, ..., п; к = 1, 2, ...,п; I = 1, 2, ..., п.
Числовые значения этих коэффициентов определяются при подстановке в формулы производных вычисленных значений ф1,ф2, ...,фп .
Продолжая подобным образом, на основе полученных значений производных записывается символьная формула решений как функция от начальных данных
/00 0ч
{У^ У 2 , Уп):
/ 0 0Ч / 0 ^ (У1, ...,Уп) = Ф; (У1,п
,/-0 0 0 , /" 0 0 « 0 + (У1 - У1,пиш)8У1 + (У2 - У2,пиш)§У2 ■
, г 0 0 0 ,
+ ••• + (Уп - Уп,пшш)8Уп +
, Уп
,) +
(У10 - У10пшш)2 &1 + (У2 - У20пшш)2 &2 +
+ + (У° - Уп0пшш)2&п +
(18)
2) для участка автоматического управления построить область W возможных состояний системы на ВПР, куда гарантируется попадание при любых допустимых, в том числе экстремальных, возмущениях.
Если вложение Б с W справедливо, система обеспечивает управление самолетом с необходимой точностью. Поскольку наибольшие трудности вызывает устранение накопившихся к концу участка боковых отклонений [24; 25], то имеет смысл рассмотреть отдельно случай бокового движения самолета.
^2 / 0 0Ч 0 0 ч, 0 0 ^ У,- (У1, ...,Уп) ^
+ 2(У1 - У1,пшш )(У0 - У0,пшш )-Г-^-1-+
ОУ1 ОУ2
+... + 2( У-1 - У«1 )(У0 _ У° ) 5 2 ^ (У10, ..., Уп0)
\уп-1 у п-1,пшш /V-Уп у п,пшш / ^0^0
Для формул вида (18) решается задача на экстремум, т. е. разыскивается максимальное и минимальное значения функции si (у°, ...,у°), зависящей от начальных данных (у°,у°, ...,у°) как от независимых переменных. В формулу, описывающую функцию, входят выбранные числовые значения
(У^У2,пшш, Уп0пшш) и вычисленные ранее числа
£ 0 £ 0 2 0 с 0 с 0 ? 0 £ 0 £ 0 5-0 г,
ОУ1, ОУ2, ..., °Уп ; &1, &2, ..., &п ; 5к!, 5^2, ..., ™п . В СИЛУ сказанного функция si (у°, ...,у°) является полиномиальной функцией от многих переменных.
Примеры включений трубок траекторий и множеств достижимости управляемых систем
1. Для самолетов участок траектории захода на посадку, остающийся после перехода на ручное управление, очень мал, и полет происходит на малой высоте. Это означает, что возможности корректировки накопившихся отклонений весьма ограниченны. Поэтому к моменту принятия решения необходимо вывести систему в некоторую область пространства состояний.
Можно выделить две связанные друг с другом задачи [23-25]:
1) построить область Б допустимых отклонений на ВПР, из любой точки которой за оставшееся время самолет может быть выведен при ручном управлении на участок ВПП, отведенный для посадки;
Рис. 3. Положение самолета при заходе на посадочную прямую
Чтобы сократить выкладки, исследуем только последний участок траектории захода на посадку - предпосадочную прямую. Положение самолета (рис. 3) определяется координатами его центра масс в системе координат хОг, связанной с землей, углом рыскания у и углом крена у . К фазовым координатам относятся также скорости изменения этих величин г, , у. Предполагается, что ось Ох совпадает с продольной осью ВПП. Тогда величина г характеризует боковое уклонение центра масс самолета от оси ВПП (рис. 3). Управляющими воздействиями являются отклонения элеронов (угол 5Э) и руля направления (угол 5Н). К возмущениям, непосредственно действующим на самолет, также относятся изменения боковой составляющей скорости ветра Wz (действием вертикальной Wy и продольной Wx составляющих скорости пренебрегаем).
Учитывая малость отклонений самолета от заданной траектории, запишем уравнения бокового движения самолета [24; 25]:
сС2 г С 2
С2 ф О • • г г
— = а^Р + о, \|/ + а^у + ач&в 5Н + ач&з 5Э,
С2 у о • • г г
— = аур Р + а^ \|/ + о, у + ау8н 5Н + ау&э 5Э,
где Р = у + :
V
- угол скольжения, т. е. угол между
вектором воздушной скорости V и продольной плоскостью самолета. Коэффициенты а^ определяются
аэродинамическими параметрами самолета, такими, например, как площадь крыла, размах крыла, масса самолета, моменты инерции относительно соответствующих осей, скоростной напор, плотность воздуха,
безразмерные аэродинамические коэффициенты, производные коэффициентов по соответствующим переменным.
Характерные значения предельных отклонений вероятностей превышения для стандартных размеров ВВП [25] с целью проведения тестовых расчетов выглядят следующим образом.
Минимальная дальность касания от среза ВВП
Г. = 60 м,
PLm
= 10"
Максимальная дальность
Апах = 900 м, = 10 . Боковое смещение от оси
ВВП Ы = 21 м, рЫ = 10~6. Минимальный угол тан-
I 1пах -1 2 ^
гажа Эш1п определяется условием касания ВПП передней стойкой шасси раньше, чем основными стойками рп = 10~8. Максимальный угол тангажа 9пах
аш1п пах
определяется условием касания хвостовой частью фюзеляжа самолета ВПП раньше, чем основными
стойками шасси рч = 10~8. Максимальный угол крена ушах определяется условием касания поверхностей земли крылом или двигателем самолета под кры-На рис. 4 представлены границы
включений областей допустимых отклонений под влиянием быстрых изменений скорости бокового ветра. При выборе области допустимых начальных состояний объекта предполагаем, что управляющее воздействие выбирается так, чтобы по возможности увеличить размеры области, а возмущение стремится уменьшить их.
лом р„ = 10
(шах
часто рассчитываются заранее, задаются в виде массивов для конкретного вертолета (вместе с постоянными параметрами).
При этом заданы начальные значения фазовых переменных, ограничения на управление и значения фазовых переменных в конце маневра:
< и1 < и1 , I = 1,2,
) ^ Л
У2(1Г ) ^ У 2 , Уз(1г) ^ Уз .
Требуется минимизировать конечную высоту Ь(1Р), что равносильно максимизации нижней границы опасной зоны аварийной посадки.
Вводя весьма жесткие ограничения на переменные состояния, получают достаточно узкие грубые рабочие диапазоны изменения этих переменных. Это дает основание принять в качестве сравнительно грубой аппроксимации модели движения на этапе качественного анализа линейную конструкцию = Ау + Ви +
+ С, где А, В, С - матрицы.
С учетом этих допущений линейная аппроксимация модели принимает вид
¿у, Жуъ
— = ~9, 8и^ — = «21У1 + «22 У2 + а23Уз +
Ж ¿1
Ъ22и2
2
¿Уз
Ж
= «31 У! + «32 У 2 + «33 Уз + Ь32и2 + С
ЖУ 4
3, = У2.
известны их конкретные
Рис. 4. Граница включений угла скольжения самолета
2. Задача оценки области достижимости динамической системы часто возникает при решении проблемы траекторной безопасности летального аппарата и при решении близкой задачи о посадке вертолета на подвижный носитель [26]. В таких задачах рассматриваются модели движения вертолета в вертикальной плоскости, описываемые уравнениями относительно переменных у1, у2 - горизонтальная и вертикальная составляющие вектора скорости, у3 - угловая скорость вращения винта, у4 - высота, и1 - угол отклонения вектора тяги от вертикали, и2 - общий шаг несущего винта, N - располагаемая мощность двигателей (являющаяся внешним воздействием в аварийной ситуации), и некоторых других величин, например, т и О - соответственно массы и веса вертолета.
Зависимости ЕТ (у, У2, У3, их, и 2) /3 (У1, У2, У3, Ы)
Для величин «¡у, Ъу, числовые значения [26].
Применяемый для оценки областей достижимости управляемой системы метод, основанный на построении символьных формул и функциях включения, позволяет просчитать включения областей достижимости летательного аппарата и предложить для проверки границы опасной зоны полета или аварийной посадки. Границы опасной зоны полета или посадки вертолета определяются по-разному в зависимости от многих случаев, например, как максимально допустимая высота маневрирования над ровной поверхностью и над препятствием и т. п. Далее приведен график расчета границ в модельном примере (рис. 5).
Рис. 5. Оценка сверху опасной зоны аварийной посадки вертолета (высоты и угла маневрирования над препятствием)
6
Заключение. В статье описаны методы, основанные на совместном использовании символьных формул решений и функций чувствительности. Целью методов является вычисление гарантированных границ множеств достижимости и применение этих границ для оценки предельных отклонений траекторий ЛА, при этом учитываются как параметры управления, так и неконтролируемые возмущения. Определение границ (включений множеств достижимости) основано на символьных формулах, аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, а также на формулах производных решений по параметрам системы (в том числе начальным данным) с последующим вычислением множества значений символьных выражений. В статье рассматриваются новые дополнительные варианты конструирования зависимостей между значениями решений управляемых систем и их начальными значениями, а также управляющими параметрами этих систем.
Библиографические ссылки
1. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. M. : Наука, 1977. 392 с.
2. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М. : Наука, 1988. 319 с.
3. Chernousko F. L. State Estimation for Dynamic Systems. Boca Raton : CRC Press, 1994. 304 p.
4. Овсеевич А. И., Шматков A. M. К вопросу о сопоставлении вероятностного и гарантированного подходов к прогнозу фазового состояния динамических систем // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2007. № 4. С. 11-16.
5. Черноусько Ф. Л. Эллипсоидальные аппроксимации множеств достижимости управляемых линейных систем с неопределенной матрицей // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60, № 6. С. 940-950.
6. Куржанский А. Б., Фурасов Б. Д. Задачи гарантированной идентификации билинейных систем с дискретным временем // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2000. № 4. С. 5-12.
7. Пацко Б. В., Пятко С. Г., Федотов А. А. Трехмерные множества достижимости нелинейных управляемых систем // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2003. № 3. С. 8-16.
8. Кузьмин В. П., Ярошевский В. А. Оценка предельных отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях. М. : Наука. Физматлит, 1995. 298 с.
9. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем автоматического управления. Л. : Энергия, 1969. 208 с.
10. Saltelli A., Andres Т. Н., Homma T. Sensitivity analysis of model output: An investigation of new techniques // Computational Statistics and Data Analysis. 1993. Vol. 15. P. 211-238.
11. Li Shengtai, Petzold Linda. Software and algorithms for sensitivity analysis of large-scale differential algebraic systems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. № 125. P. 131-145.
12. Leis J., Kramer M. The simultaneous solution and sensitivity analysis of systems described by ordinary
differential equations // ACM Transactions on Mathematical Software. 1988. Vol. 14, iss. 1. P. 45-60.
13. Новиков В. А., Рогалев A. H. Построение сходящихся верхних и нижних оценок решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33, № 2. С. 219-231.
14. Рогалев А. Н. Использование границ глобальной ошибки в гарантированных оценках решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Вычислительные технологии. 2002. T. 7, ч. 4. С. 88-95.
15. Рогалев А. Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии. 2003. T. 8, № 5. С. 102-116.
16. Рогалев А. Н. Включение множеств решений дифференциальных уравнений и гарантированные оценки глобальной ошибки // Вычислительные технологии. 2003. T. 8, № 6. С. 80-94.
17. Rogalyov A. N. Computation of reachable sets guaranteed bounds // Proceedings of the IASTED International Conferences on Automation, Control, and Information Technology - Control, Diagnostics, and Automation (ACIT - CDA 2010). Calgary : ACTA Press, B6, 2010. P. 132-139.
18. Рогалев A. H. Гарантированные оценки и построение множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Вестник СибГАУ. 2010. 5(31). С. 148-154.
19. Рогалев А. Н. Вычисление гарантированных границ множеств достижимости управляемых систем // Автометрия. 2011. T. 47, № 3. С. 100-112.
20. Rogalev A. N. Calculation of Guaranteed Boundaries of Reachable Sets of Controlled Systems // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2011. Vol. 47. № 3. P. 287-296.
21. Рогалев A. H., Рогалев А. А. Численный расчет включений фазовых состояний в задачах наблюдения за движением самолета // Вестник СибГАУ. 2012. 1(41). С. 53-57.
22. Рогалев А. Н. Безопасность сложных систем и оценки областей допустимых отклонений // Современные технологии, системный анализ, моделирование. 2014. № 4 (44). С. 84-91.
23. Белогородский С. Л. Автоматизация управления посадкой самолета. М. : Транспорт, 1972. 352 c.
24. Буков В. Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М. : Наука, 1987. 232 c.
25. Автоматизированное управление самолетами и вертолетами / С. М. Федоров [и др.]. М. : Транспорт, 1977. 248 c.
26. Гурман В. И., Квоков В. Н., Ухин М. Ю. Приближенные методы оптимизации управления летательным аппаратом // Автоматика и телемеханика. 2008. № 4. С. 191-200.
References
1. Kurzhanskiy A. B. Upravlenie i nablyudenie v usloviyakh neopredelennosti [Control and Observation under Uncertainty]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 390 p.
2. Chernousko F. L. Otsenivanie fazovogo sostoya-niya dinamicheskikh sistem [Estimation of Phase State of Dynamic Systems]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 320 p.
3. Chernousko F. L. State Estimation for Dynamic Systems. Boca Raton: CRC Press, 1994, 304 p.
4. Ovseevich A. I., Shmatko A. M. [Concerning the comparison of probabilitic and guaranteed approaches to the prediction of the phase state of dynamical systems]. Izvestiya Akademii Nauk. Teoriya i sistemy upravleniya. 2007, No. 4, P. 11-16 (In Russ).
5. Chernousko F. L. [Ellipsoidal approximation of reachable sets of controlled linear systems with uncertain matrix]. Prikladnaya Matematika i Mekhanika. 1996, Vol. 60, No. 6, P. 940-950 (In Russ).
6. Kurzhanskii A. B., Furasov B. D. [Problems of Guaranteed Identification of Bilinear Systems with Discrete Time]. Izvestiya Akademii Nauk. Teoriya i sistemy upravleniya. 2000, No. 4, P. 5-12 (In Russ.).
7. Patsko B. V., Pyatko S. G., Fedotov A. A. [Three-dimension Reachable Sets of Nonlinear Controlled Systems]. Izvestiya Akademii Nauk. Teoriya i sistemy upravleniya. 2003, No. 3, P. 8-16 (In Russ.).
8. Kuz'min V. P., Yaroshevskiy V. A. Otsenka predel'nykh otkloneniy fazovykh koordinat dinamicheskoy sistemy pri sluchaynykh vozmushcheniyakh. [Estimation of Maximum Deviations of Dynamical System Phase Coordinates Subjected to Stochastic Perturbations]. Moscow, Nauka Publ. 1995, 298 p.
9. Rosenwasser E. N., Yusupov R. M. Chuvstvitel'nost' sistem avtomaticheskogo upravleniya. [The sensitivity of the automatic control systems]. Leningrad, Energiya Publ., 1969, 208 p.
10. Saltelli A., Andres T. H., Homma T. Sensitivity analysis of model output: An investigation of new techniques. Computational Statistics and Data Analysis, 1993, Vol. 15, P. 211-238.
11. Shengtai Li., Linda Petzold. Software and algorithms for sensitivity analysis of large-scale differential algebraic systems. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000, No. 125, P. 131-145.
12. Leis J., Kramer M. The simultaneous solution and sensitivity analysis of systems described by ordinary differential equations. ACM Transactions on Mathematical Software. 1988, Vol. 14, Iss. 1, March 1988, P. 45-60.
13. Novikov V. A., Rogalyov A. N. [Construction of convergent upper and lower estimations of Solutions of Ordinary Differential Equations Systems]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1993, Vol. 33, No. 2, P. 219-231 (In Russ.).
14. Rogalyov A. N. [Using Boundaries of Global Error for Guaranteed Estimates of Ordinary Differential
Equations Solutions]. Vychislitel'nye tekhnologi, 2002, Vol. 7, No. 4, P. 88-95 (In Russ.).
15. Rogalyov A. N. [Guaranteed Methods for Ordinary Differential Equations Solving Based on Symbolic Formulae Development]. Vychislitel'nye tekhnologii, 2003, Vol. 8, No. 5, P. 102-116 (In Russ.).
16. Rogalyov A. N. [Inclusion of Sets of Differential Equations Solutions and Guaranteed Bbounds of Global Error]. Vychislitel'nye tekhnologii, 2003, Vol. 8, No. 6, P. 80-94 (In Russ.).
17. Rogalyov A. N. Computation of reachable sets guaranteed bounds. Proceedings of the IASTED International Conferences on Automation, Control, and Information Technology - Control, Diagnostics, and Automation (ACIT - CD A 2010). ACTA Press, B6, Calgary, Canada. 2010, P. 132-139.
18. Rogalyov A. N. [Guaranteed Bounds and Reachable Sets Constructing for Nonlinear Controlled Systems]. Vestnik SibGAU, 2010, No. 5(31), P. 148-154 (In Russ.).
19. Rogalyov A. N. [Computing of Guaranteed Bounds of Controlled Systems Reachable Sets]. Avtometriya. 2011, Vol. 47, No. 3, P. 100-112 (In Russ.).
20. Rogalyov A. N. [Calculation of Guaranteed Boundaries of Reachable Sets of Controlled Systems]. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. Allerton Press. 2011, Vol. 47, No. 3, P. 287-296.
21. Rogalyov A. N., Rogalyov A. A. [Numerical Computations of Phase States Inclusions for Problems of Aircraft Displacement Inspection]. Vestnik SibGAU. 2012, No. 1(41), P. 53-57 (In Russ.).
22. Rogalyov A. N. [Safety of complex systems and evaluation of areas tolerance]. Sovremennye tekhnologii, sistemnyy analiz, modelirovanie. 2014, No. 4 (44), P. 84-91 (In Russ.).
23. Belogorodskiy S. L. Avtomatizatziya upravlenya posadkoy samoleta. [Automation management of landing]. Moscow, Transport Publ., 1972, 352 p.
24. Bukov V. N. Adaptivnye prognoziruyshie systemy upravleniya poletom. [Adaptive predictive flight control system]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 232 p.
25. Fedorov S. M., Drabkin V. V., Kane V. M., Mikhailov O. I. Avtomatizirovannoe upravlenye samoletami i vertoletami. [Automatic control of aircraft and helicopters.] Moscow, Transport Publ., 1977, 248 p.
26. Gurman V. I., Kwokov V. N., Ukhin M. Yu. [Approximate methods for optimizing aircraft control]. Avtomatika i telemekhanika. 2008, No. 4, P. 191-200 (In Russ.).
© PoraneB A. H., 2016
