CC BY
23
17. Kanade, S. P. 2DOF H-infinity loop shaping robust control for rocket [Text] / S. P. Kanade, A. T. Mathew // Attitude Stabilization International Journal of Aerospace Sciences. - 2013. - Vol. 2. - P. 133-134.
18. Sushchenko, O. A. Modeluyvannya zovnishnih zburen u sistemach stabilizatsii ruchomih nazemnih obektiv [Tekst] / O. A. Sushchenko // Electronika ta systemi upravlinnya. - 2008. - Vol. 2, Issue 16. - P. 57-63.
19. Doyle, J. C., State-space solutions to standard H2 and H„-control problems [Text] / J. C. Doyle, K. Glover, P. P. Khargonekar, B. A. Francis // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1989. - Vol. 34, Issue 8. - P. 831-847. doi: 10.1109/9.29425
20. Zames, G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms and approximate inverses [Text] / G. Zames // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1981. - Vol. 26, Issue 2. - P. 301-320. doi: 10.1109/ tac.1981.1102603
21. Glover, K. Robust stabilization of normalized coprime factor plant descriptions with H„ bounded uncertainty [Text] / K. Glover, D. McFarlane // IEEE Transactions on Automatic Control AC. - 1989. - Vol. 34, Issue 8. - P. 821-830. doi: 10.1109/9.29424
22. Balas, G. Robust Control Toolbox User's Guide [Text] / G. Balas, R. Chiang, A. Packard, M. Safonov. - The Math Works Inc, 2005-2008. - 182 p.
Шляхом математичного моделювання пидтвер-джено, що у реальних системах идеальне видпра-цювання ехидного сигналу за умови повног компенсации динамiчних властивостей об'екта керування е неможливим. Сформульовано правила, за якими можна обернути структурну схему системи у пер-шш канотчнш формi керованостi. Розроблено моди-фжований принцип симетри структурних схем, що забезпечуе формування досяжних бажаних динамiч-них характеристик замкненог системи при обмеже-ному значент коефщента пидсилення
Ключовi слова: зворотш задачi динамти, моди-фжований принцип симетри, симетрiя структур-них схем
□-□
Путем математического моделирования подтверждено, что в реальных системах невозможна идеальная отработка входного сигнала при условии полной компенсации динамических свойств объекта управления. Сформулированы правила, в соответствии с которыми можно выполнить обращение структурной схемы системы в первой канонической форме управляемости. Разработан модифицированный принцип симметрии структурных схем, который обеспечивает формирование достижимых желаемых динамических характеристик замкнутой системы при ограниченном значении коэффициента усиления
Ключевые слова: обратные задачи динамики, модифицированный принцип симметрии, симметрия структурных схем
УДК 681.51:519.71
|DOI: 10.15587/1729-4061.2016.61146|
ВИКОРИСТАННЯ МОДИФ1КОВАНОГО ПРИНЦИПУ СИМЕТРИ СТРУКТУРНИХ СХЕМ ДЛЯ СИНТЕЗУ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
О. I. Шеремет
Кандидат техычних наук, доцент Кафедра електротехшки та електромехашки* E-mail: [email protected] О. В. Садовой Доктор техшчних наук, професор, проректор з науковоТ роботи* E-mail: [email protected] *Днтродзержинський державний техшчний уыверситет вул. Днiпробудiвська, 2, м. Днтродзержинськ, УкраТна, 51918
1. Вступ
Зворотш задачi динамжи вщ самого початку свого визначення становили один i3 роздШв аналггичшл мехашки. В результат розв'язання зворотних задач динамжи визначаються сили, тд дieю яких система рухаеться за заданою траeкторieю. Якщо вважати
рушшт сили керуючими, то в математичному сена розв'язання зворотних задач динамжи являе собою синтез алгоритму керування, що забезпечуе потрiбнi динамiчнi показники системи [1-3].
Основною щеею, що лежить в основi перетворення структурних схем, е симетрiя, як один iз засадничих принцитв методологи наукового тзнання. Принцип
©
симетри властивии матери у вс1х и проявах та вико-ристовуеться для виконання дослщжень у р1зномашт-них областях знань.
Розв'язання зворотних задач динамжи з викорис-танням принципу симетрп структурних схем може бути основою для виконання синтезу систем автоматичного керування техшчними об'ектами.
Проблема синтезу систем автоматичного керування з необхщними динам1чними властивостями пов'я-зана з концепщею зворотних задач динамжи, у результат! розв'язання котрих за заданим законом руху системи визначаються керуюч1 впливи, тд д1ею яких цеИ рух здшснюеться. У наИб1льш широкому розу-мшш зм1ст зворотних задач динамжи включае визна-чення закошв керування рухом динам1чних систем за умови ввдтворення бажаних траекторш.
2. Аналiз лiтературних даних та постановка проблеми
Визначення закошв керування рухом динам1чних систем складае зм1ст структурно-алгоритм1чного синтезу. З шшо! сторони, визначення параметр1в динам1ч-но! системи е задачею параметричного синтезу, коли структура системи керування припускаеться вщомою апрюрь Обидв1 щ задач1 складають основу теорп автоматичного керування.
За останш десятир1ччя зворотш задач1 динамжи у теорп автоматичного керування набули широкого розумшня та тлумачення. Фундаментальним до-слщженням можливостеИ використання зворотних задач динамжи для синтезу алгоритм1в керування лшшними та нелшшними, одновим1рними та бага-товим1рними системами присвячено роботи [1, 2]. Синтезоваш таким чином алгоритми надають системам адаптивних властивостеИ та високо! динам1чно! точност1 [3].
Концепщя зворотних задач динамжи застосову-еться при вир1шенш проблем керування рухом косм1ч-них апарат1в [4, 5], осюльки синтезоваш таким чином системи мають слабку чутлив1сть до параметричних та координатних збурень та можуть застосовуватись у жорстких льотних умовах [5].
Задач1 керування сучасними роботами, що в1д-творюють складш траекторп руху робочих оргашв у простор^ також виршуються за допомогою зво-ротного керування динамжою [6, 7]. При наявност1 велико! к1лькост1 невизначених параметр1в обернена динам1чна модель робота складаеться за допомогою нечико! логжи [8].
Зворотш задач динамжи дозволяють реал1зову-вати бажаш траекторп руху системи при змшенш параметр1в об'екта керування у широких межах, тому вони застосовуються для синтезу субоптимальних та оптимальних алгоритм1в керування динам1чними системами [9-11].
Таким чином, сутшсть зворотних задач динамжи полягае у побудуванш замкнених систем автоматичного керування, котр1 здшснюють рух за бажани-ми траектор1ями за допомогою закошв керування з1 зворотними зв'язками за змшними стану керованих об'ект1в. Проте, у б1льшост1 зазначених вище роб1т об'ект керування розглядаеться у вдеал1зованому контекст! [3], тобто вважаеться, що окрем1 Иого динам1чш
властивост1 можуть бути повшстю компенсоваш за допомогою регулятор1в [1, 2, 4, 5].
Алгоритми керування, що створюються за допомогою концепцп зворотних задач динамжи, будуються за принципом симетрп структури та обернення операцш по ввдношенню до структури 1 операцш, що ввдповвда-ють математичнш модел1 керовано! системи [3]. При цьому принцип симетрп структурних схем допускае мо-дифжацп, котр1 сприяють Иого застосуванню для синтезу систем керування техшчними об'ектами. Наприклад, модифжованиИ принцип симетрп структурних схем застосовують при виконанш аналогичного конструю-вання регулятор1в [12], а також для релеИних систем оптимального керування електроприводами [13, 14].
У роботах [14, 15] запропоновано один з можливих вар1ант1в модифжацп принципу симетрп структурних схем, проте не наведено ушверсально! та наочно! методики для виконання зворотних перетворень структур-них схем систем автоматичного керування. Питання впливу передатних функцш модифжуючих ланок на динам1чш та статичш характеристики систем автоматичного керування також дослщжеш недостатньо глибоко.
3. Мета i завдання дослщження
Метою роботи е розширення можливостеИ щодо використання модифжованого принципу симетрп структурних схем для синтезу систем автоматичного керування, а також дослщження впливу модифжуючих ланок на динам1чш та статичш характеристики систем автоматичного керування техшчними об'ектами.
Для досягнення поставлено! мети в робот поставлен! таю завдання:
- розробити методику, що дозволяе виконувати зворотш перетворення структурних схем систем автоматичного керування, представлених у каношчнш форм1 керованостг,
- перев1рити в1ршсть запропоновано! методики шляхом виконання математичного моделювання;
- запропонувати реал1защю ланки модифжацп зво-ротного перетворення, яка здатна забезпечити форму-вання досяжних динам1чних характеристик замкнено! системи при обмеженому значенш коефщ1ента тдси-лення, та дослщити !! вплив на динам1чш та статичш характеристики системи автоматичного керування.
4. Розв'язання зворотних задач динамжи у системах автоматичного керування
Розглянемо синтез системи керування як розв'я-зання зворотно! задач1 динамжи для п-вим1рного об'екта, що описуеться наступними диференщальним р1вняннями:
dnx (t) dtn "
п-1 dix(t) , , , ■Х,^ = Ьи (t),
(1)
де х (^ - функщя часу, що характеризуе змшення ви-хщно! координати; и (^ - залежшсть керуючо! дп в1д часу; а,, Ь - постшш коефщ1енти.
Р1вняння (1) у зображеннях Лапласа будуть мати наступний вигляд:
p"x(p) + Xa1p,x(p) = bu(p),
(2)
де х(р) - зображення Лапласа для вихщно! координа-ти; и(р) - зображення Лапласа для керуючо! дп.
При розв'язанш зворотно! задач! динамжи потр1б-но знайти керуючу д1ю, що забезпечуе рух вихщно! координати х(р) за потр1бною траектор1ею х*(р).Тод1 шукана керуюча д1я и* (р) може бути визначена вихо-дячи з форму ли (2) наступним чином:
if "-1 ■ . ' u*(p) = r Pnx*(p)+ZaiP'x*(p)
D ¡=о
(3)
Формула (3) лежить в основ! перетворення струк-турних схем систем автоматичного керування за до-помогою розв'язання зворотних задач динамжи. Ма-тематичш операцп, що виконуються для одержання керуючо! функцп, е зворотними вщносно вщповщних операцп, призначених для математичного описания об'екта керування.
На рис. 1 наведено структурш схеми п-вим1рного об'екта керування (2) з одержаним шляхом розв'язання зворотно! задач! динамжи алгоритмом керування.
Алгоритм керування уособлюе в соб1 структурну схему, зворотну вщносно структурно! схеми об'екта керування. Щ структурш схеми е симетричними: структура алгоритму керування являе собою дзеркальне вщображення об'екта керування. Можна сформулюва-ти наступи! правила перетворення вщповщних мате-матичних операщй [1]:
- штегруванню у вихщшй структуршй схем! вщ-повщае диференщювання у обернешй;
- коефвденту пщсилення вихщно! структурно! схеми Ь вщповщае 1/Ь обернено!;
- вщ'емш зворотш зв'язки вихщно! структурно! схеми замшюються на додатш канали паралельно! передач! шформацп у обернен!й структурн!й схем!, а вщповщш коеф!ц!енти цих зв'язюв - а0, а4,..., ап ,, ап 4 -залишаються без змш.
Спираючись на роботи [1-3], можна запропонувати б!льш зручний спос1б зворотного перетворення струк-турних схем за допомогою принцишв, що застосову-ються для розв'язання зворотних задач динамжи.
рх
структура алгоритму керування
-2..* „п-2,_* _ п—1
р~х р "X
1п-2
Р х ^ -
Р х
U
U
-=>
Р X —►
1 рп чх к 1
р р
*п-Г
4-2'
об'ект керування
рп"2х р2х
р
р
Рис. 1. Структурна
схема об'екта керування та алгоритму керування, що був одержаний шляхом розв'язання зворотно!
задач1 динамки
Для спрощення розв'язання зворотно! задачi ди-намiки вiдносно об'екта керування слвд представити його у однiй з каношчних форм. Якнайкраще для цього тдходить перша канонiчна форма (каношчна форма керованостi Фробенiуса). Передатну функщю об'екта керування Wо6 (р) слщ привести до наступного ушфь кованого вигляду:
(Р) =
-Рт-1рт-1+...+Р4р+р0
Ртрт
р" + ап-1рп 1 + ... + а1р + а
(4)
де т, п - порядок чисельника та знаменника передатно! функцп об'екта керування ввдповвдно; Рт, Рт-1, ... , Р1, Р0 - коефiцiенти чисельника передатно! функцп об'екта керування; а п-1, ап-2, ... , а1, а0 - коефiцiенти знаменника передатно! функцп об'екта керування; у (р) - зображен-ня Лапласа для вихвдно! координати об'екта керування; и (р) - зображення Лапласа для керуючо! дп.
Структурна схема, що вiдповiдае представленню об'екта керування в каношчнш формi керованостi Фро-6енiуса, наведена на рис. 2. Координати Х1 Х2 X" 1 X" це змiннi стану об'екта керування.
Сформулюемо правила, за якими можна обернути структурну схему у першш канонiчнiй формi керова-ностi. У структурнiй схем^ зо6раженiй на рис. 2, вико-нуються наступнi модифiкацii:
- штегратори замiнюються на диференцiюючi ланки;
- у прямому каналi передачi шформацп напрям передачi сигналу змiнюеться на протилежний;
- напрям передачi шформацп у зворотних зв'язках залишаеться без змши, а знак зворотного зв'язку змь нюеться на протилежний;
- напрям передачi шформацп у паралельних плках залишаеться без змши, при цьому сигнали Р1х2, Р2х1, ... , Рт-2хп-1, Рт-1хп, Рт (и-V) вщ'еднуються вiд прямо! гiл-ки та складаються за допомогою окремого суматора, утворюючи вщ'емний зворотний зв'язок у о6ерненiй структурнш схемi;
- коефiцiент, що вщноситься до прямого каналу передачi шформацп (Р0) замiнюеться оберненим зна-ченням, а коефщенти зворотних зв'язкiв (ап-1, ап-2, ... , а1, а0) залишаються незмiнними;
- коефiцiенти, що ввдносяться до паралельних ка-налiв передачi iнформацii (Рт, Рт-1, ... , Р1), залишаються без змшень.
Пiсля виконання зазначених перетворень структурна схема обернено! моделi об'екта керування буде мати такий загальний вигляд, як на рис. 3.
Перетворення вщ вихщного вигляду структурно! схеми, показаного на рис. 2 до зворотного, наведеного на рис. 3, може виконуватись безпосередньо за структурою об'екта керування, приведеною до першо! кано-шчно! форми керованостi.
Наприклад, тсля перетворень об'ект керування був приведений до наступно! передатно! функцп:
^б (р)-
15р + 500
и (р) р3 + 5р2 + 35р +100
Наведений об'ект мае третiй порядок (п - 3, т -1), йому ввдповвдае наступний набiр коефiцiентiв: а2 - 5, а1 -35, а0 -100, Р1 -15, Р0 -500. Об'ект та його обер-нену модель у структурних блоках МА^АВ Simulink представлено на рис. 4 ^ - оператор Лапласа в про-грамному середовишд MATLAB).
I
1 Хп1 1 Х2 1
р Р Р
I
Рис. 2. Структурна схема об'екта керування в каношчнш формi керованосп Фробешуса
ап-1
ап-2 а1
I
а0
"+|_рт ->
Рт-1
№
»вт-2 +
» в1
I
Рис. 3. Структурна схема обернено! моделi об'екта керування
рт
Р
Р
У
Х1
Хп
V
Х
Для nepeBip^ BipHOCTi зазначеного вище способу обернення структурних схем на вхвд модел^ наведено! на рис. 4, подаеться синусо!дальний сигнал з частотою 50 Гц та амплиудою 1 В (з блоку Signal Generator). Результат ствставлення вхщного сигналу об'екта та обробленого за допомогою обернено! моделi вихiдного сигналу, знятий з блоку Scope 2, показано на рис. 5.
Виходячи з рис. 5, можна зазначити, що похибка, з якою обернена модель вщтворюе сигнал, суттево зале-
жить в1д обраного чисельного методу та максимального адаптивного кроку, з яким виконуеться розв'язання задач! (у наведеному приклад! використовуеться чи-сельний метод Дормана-Принса з максимальним адап-тивним кроком А тах = 10-4). Таким чином, отримаш результата моделювання тдтверджують неможливкть вдеального вщпрацювання вхщного сигналу за умови повно! компенсацп динам1чних властивостей об'екта керування.
S АЯаО ^
Рис. 4. Об'ект керування та його обернена модель у структурних блоках MATLAB Simulink
ига. в
0.8
0.6 0.4 0.2 О -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
k^ I
сигнал з виходу обернено! еталонноГ ыодел!
вхщнии сигнал
i i ^
0
0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018
Рис. 5. Порiвняння вхщного сигналу та сигналу з виходу обернено! моделi об'екта керування
t,c
5. Модифжований принцип симетрп структурних схем
Розглянемо можливост практичного застосування принципу симетрп структурних схем для розв'язання задач синтезу автоматизованих електромехашчних систем. У найпростшому випадку система, у якш застосо-вуеться принцип симетрп структурних схем, складаеть-ся iз об'екта керування з передатною функцiею Wо6 (р) та його обернено! (дзеркально!) моделi Wдэ (р) (рис. 6).
Wдз (Р )
и
Wоб (р )
Рис. 6. Розiмкнена система з оберненою моделлю об'екта керування
6 очевидним той факт, що передатна функщя обернено'! моделi Wдэ (р) буде зворотною вiдносно передат-но! функцп об'екта керування Wо6 (р)
^ (р) =
Wо6 (р)
(5)
тобто при такому пiдходi динамжа об'екта керування повнiстю компенсуеться оберненою моделлю i передатна функщя в«е! системи W (р) буде дорiвнювати одиницi
W (р)=Wоб (р) WдЭ (р)=1.
(6)
При виконанш умови (6) теоретично щеально вiдтворюеться задана траекторiя руху, тобто х = х*. Це означае, що нулi та полюси передатних функцш Wо6 (р) та Wдэ (р) повиннi скорочуватись. Практично, при скороченш нулiв та полюсiв передатних функцш завжди буде присутньою похибка, пов'язана з неточш-стю обчислення або вимiрювання параметрiв об'екта керування чи взагалi цi параметри можуть змшюва-тись пiд час технолопчного процесу. Крiм того, на ре-альний об'ект можуть дiяти збурення, вплив котрих у структурнш схем^ показанiй на рис. 6, жодним чином не враховуються.
Таким чином, умова (6) мае лише теоретичний сенс, бо вона дозволяе точно вщтворити потрiбну траекто-рж руху лише для стащонарних о6'ектiв з незмiнними параметрами при вщсутност зовнiшнiх збурень.
Замкнемо вщ'емним одиничним зворотним зв'язком структурну схему системи, що включае до свого складу об'ект керування та його обернену модель (рис. 7). На виходi суматора тако! системи буде утворюватись сигнал Дх, що е рiзницею мiж еталонним значенням вихвд-но! координати х* та наявним значенням х
Дх = х - х.
W (р) =
Wо6 (р) ^з (р) 1 + Wоб (р) WдЭ (р)
Рис. 7. Замкнена система з оберненою моделлю об'екта керування
Отже, коефвдент передачi системи тсля замикан-ня одиничним зворотним зв'язком зменшуеться вдвiчi. Якщо ж система матиме коефiцiент передачi ввд'емно-го зворотного зв'язку кзвз, то
W (р) =
1
1+к,
(9)
Практично, ш передатна функщя (8), ш (9) не забезпечить компенсацп динамiчних властивостей об'екта керування та точного вщтворення завдання х*. Система, побудована за структурною схемою, показа-ною на рис. 7, буде мати неусувну статичну похибку.
Можна модифжувати принцип симетрп [13], ввiв-ши до прямого каналу передачi iнформацii окрiм Wдэ (р), блок модифiкацii зворотного перетворення з передатною функщею Wмод (р) (рис. 8).
Wдз (р) —► Wмод(p) * Wоб(Р)
Рис. 8. Замкнена система з оберненою моделлю об'екта керування та блоком модифкацп зворотного перетворення
У найпростшому випадку блок модифжацп зворотного перетворення буде тдсилювальною ланкою з коефвдентом передачi к. Тодi, при виконанш умови Wо6 (р)Wдэ (р) = 1, передатна функцiя системи матиме наступний вигляд:
W (р) =
^6 (р) ^ (р) ^од (р)
1 + ^6 (р) ^з (р) WMод (р)
^од (р)
1 + ^од (р)
к 1+к.
(10)
(7)
Визначимо передатну функщю замкнено! системи з оберненою моделлю об'екта керування, вважаючи, що виконуеться умова Wо6 (р) Wдэ (р) = 1
(8)
Виходячи з рiвняння (10), можна зробити висновок, що використання WMод (р) = к дозволяе створити безь нерцiйну систему, а збшьшення коефiцiента передачi блоку модифжацп зворотного перетворення буде на-ближувати значення передатно! функцп вае! системи до одиницi. Теоретично, коли к , то W (р) = 1 i дина-мжа об'екта керування буде повнiстю скомпенсованою. Якщо ввд'емний зворотний зв'язок не буде одиничним (кзвз Ф1), то при к передатна функщя системи ста-новитиме W (р) = 1/кзв з, тобто на виходi об'екта керування буде сигнал х, послаблений у 1/кэвэ разiв порiвняно з еталонним значенням вихвдно! координати х*.
У реальних системах щеальне вiдпрацювання вхщ-ного сигналу без урахування динамжи об'екта керування е неможливим, осюльки, з одного боку, це потребуе джерел енергп нескшченно! потужностi (осо-
*
1
бливо якщо мова йде про вщпрацювання стутнчастих впливiв), а з шшого - збiльшення сигналу керування у реальних системах завжди обмежуеться деяким максимально допустимим значенням, що унеможливлюе технiчну реалiзацiю ланки Wмод (р) = к при к . Крiм того, навиь при збiльшеннi коефiцiента к до деякого максимально допустимого значення ктах, одержана система буде мати неусувну статичну похибку.
Структурно модифжащя зворотного перетворення об'екта керування повинна вносити у систему таку ланку Wмод (р), яка здатна забезпечити формування до-сяжних динамiчних характеристик у замкненому сташ при обмеженому значенш коефвдента пiдсилення, а також надае можлившть усунення статично! похибки. Введемо до структурно! схеми, представлено! на рис. 8, штегруючу ланку з передатною функщею Wмод (р) = к/р. Тодi, при виконаннi умови Wоб (р)Wдэ (р) = 1, одержимо наступну передатну функщю системи:
W (р) =
Wоб (р) ^з (р) ^од (р) 1 + ^б (р) ^ (р) ^од (р) к
р _ 1 к'
1 + ^од (р)
1+-
1
(11)
р+1
Таким чином, виходячи з формули (11), система з ланкою модифiкацi'! зворотного перетворення
Wмод (р) = к/р еквiвалентна до аперiодично! ланки пер-
мод 1
шого порядку зi сталою часу к. Це забезпечуе реально
досяжну динамжу у замкненiй системi, що складаеть-ся iз об'екта, дзеркально! моделi та блока модифiкацi! зворотного перетворення. Крiм того, введення штегру-ючо! ланки до прямо! плки робить систему астатич-ною з першим порядком астатизму, тобто стутнчастий сигнал завдання буде вщпрацьовуватись нею без статично! похибки.
Якщо замкнена система мае неодиничний зворот-ний зв'язок з коефвдентом кзвз, то тсля введення Wмод (р)= к/р, передатна функцiя (11) буде наступною:
W (р)= Wоб (р) ^з (р) ^од (р) =
у ' 1+ кзЛ (р)WдЭ (р)WMод (р) = Wмод (р) = 1/кзв,
1 + к,,^ (р) 1
(12)
кк
р+1
тобто система також буде описуватись аперюдичною ланкою першого порядку, але !! стала часу становитиме 1
кк , а коефвдент тдсилення - 1/кэвэ.
зв.з
Виходячи з викладеного вище, можна зробити ви-сновок, що застосування принципу симетрп струк-турних схем, що витжае з розв'язання зворотних задач динамжи, у реальних автоматизованих електромеха-шчних системах можливе при модифiкацi! зворотного перетворення за рахунок введення штегруючо! ланки до прямого каналу передачi шформацп.
Окремо слiд розглянути ситуащю, коли порядок аперiодично! нейтральностi об'екта керування вщ-рiзняеться вщ нуля. З практично! точки зору при цьо-
му немае сенсу компенсувати в^ьш оператори Лапласа у знаменнику передатно! функцi! об'екта керування, котру можна представити наступним чином:
^о, (р)=^
(13)
де Wо'б (р) - частина передатно! функщя об'екта керування, що не мае у своему складi в^ьних операторiв Лапласа у знаменнику; - порядок аперюдично! нейтральностi об'екта керування (кiлькiсть в^ьних операторiв Лапласа у знаменнику передатно! функцп).
Структурна схема системи з об'ектом, котрий мае > 0, наведена на рис. 9.
wдз (р) ^мод(р) * и к 1 w0б (р) х
ра р
Г-
Рис. 9. Замкнена система з оберненою моделлю об'екта керування, що мае va>0, та блоком модифкаци зворотного перетворення
Передатна функщя обернено! моделi для тако! системи буде визначатись частиною передатно! функщя об'екта керування, що не мае у своему складi в^ьних операторiв Лапласа у знаменнику
^з (р) =
1
Wо'б (р)
(14)
Визначимо передатну функщю системи, показано!
на рис. 9, використовуючи умову (14) при WMод (р) = к/р
1
W0б (р) ^ (р) Wмод (р)
W (р) =-р—-
1 + ^ (р) Wдз (р) ^од (р) р^
1
(15)
к
= р ру' =_
, к 1 1 у+1 ..
1+---^ гр+1 +1
р р ■ к
Характеристичний полшом
1
+1 +1 = 0
мае +1 корешв +У-к, що говорить про нестш-кiсть системи, показано! на рис. 9. Таким чином, коли об'ект керування мае > 0, то обернення його частини W0б (р), що не включае до свого складу 1/рУ", призво-дить до втрати стшкост! Для забезпечення стiйкостi у автоматизованих електромехашчних системах з пере-датними функщями (15) необхiдно використовувати вщповщш регулятори.
6. Обговорення результатiв дослщження модифiкованого принципу симетри структурних схем
Перевагою запропонованих правил обернення структурних схем систем автоматичного керування у
першш каношчнш формi керованостi е !х наочнiсть та можливiсть безпосереднього застосування до структурно! схеми або математично! моделi об'екта керуван-ня, представленого у структурних блоках МА^АВ Simulink.
Дослiдження щодо пошуку динамiчноi ланки для модифiкацii зворотного перетворення показали, що iнтегруюча ланка дозволяе забезпечити реальну дина-мiку замкнено! системи та пiдвищуе порядок астатиз-му. Проте, у випадках, коли об'ект мае порядок аперю-дично! нейтральностi > 0, недощльно компенсувати його складову 1/рУ", а модифжащя зворотного перетворення призводить до нестшко! динамiки системи. Таким чином, подальшi дослiдження щодо потрiбних динамiчних властивостей модифiкуючоi ланки, можна вважати перспективними.
Можна запропонувати наступш рекомендацп щодо застосування наведених дослщжень:
1. Об'ект керування слщ привести до одше! пе-редатно! функцп або, якщо це можливо, структурно представити у виглядi однiеi зi стандартних форм (як-найкраще для цього тдходить перша канонiчна форма керованостi).
2. Потрiбно виконати зворотне перетворення об'ек-ту керування. Результатом перетворення може бути передатна функщя або структурна схема обернено! (дзеркально!) моделi. Якщо об'ект мае у своему складi штегратори, то виконувати !х компенсацiю недощльно, оскшьки !х наявнiсть тдвищуе порядок астатизму системи.
3. Для практично! реалiзацii принципу симетрii структурних схем до прямо! плки замкнено! системи слщ ввести блок модифiкацii зворотного перетворення, який являе собою штегруючу ланку. При цьому замкнена система, що складаеться iз об'екта керування, дзеркально! моделi та блока модифжацп буде мати певну реальну та передбачувану динамжу.
4. Модифжований принцип симетрп структурних схем не може розглядатись як самодостатнш метод синтезу автоматизованих електромехашчних систем та для забезпечення потрiбних показниюв якостi керування потребуе використання вщповщних регуляторiв.
Модифiкований принцип симетрп структурних схем найкраще тдходить для приведення динамжи об'екта керування до деякого зручного з позицш синтезу вигляду, готуючи Грунт для визначення передат-но! функцп регулятора.
У подальших дослiдженнях модифiкований принцип симетрп структурних схем буде використовува-тись для виконання синтезу систем автоматичного ке-рування на базi дискретного часового еквалайзера [16].
7. Висновки
1. Розроблено та перевiрено шляхом виконання математичного моделювання методику для виконання зворотних перетворень структурних схем систем автоматичного керування, представлених у каношчнш формi керованость
2. Встановлено, що похибка, з якою обернена модель вщтворюе сигнал, суттево залежить вщ обрано-го чисельного методу та максимального адаптивного кроку, з яким виконуеться розв'язання задачь Це тдтверджуе неможливкть щеального вiдпрацювання вхiдного сигналу за умови повно! компенсацп дина-мiчних властивостей об'екта керування.
3. У замкнених системах мае практичне значення використання лише модифжованого принципу симетрп. В якоси блока для модифiкацii зворотного перетворення виступае штегруюча ланка, котра забезпе-чуе формування досяжних динамiчних характеристик замкнено! системи при обмеженому значенш коефщь ента тдсилення, а також пiдвищуе порядок астатизму.
Лиература
1. Крутько, П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели [Текст] / П. Д. Крутько. - М.: Наука,
1987. - 304 с.
2. Крутько, П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели [Текст] / П. Д. Крутько. - М.: Наука,
1988. - 326 с.
3. Крутько, П. Д. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления. Цикл лекций [Текст]: учебное пособие для вузов / П. Д. Крутько. - М.: Машиностроение, 2004. - 576 с.
4. Велищанский, М. А. Синтез алгоритмов переориентации космического аппарата на основе концепции обратной задачи динамики [Текст] / М. А. Велищанский, А. П. Крищенко, С. Б. Ткачев // Известия РАН. Теория и системы управления. -2003. - № 5. - С. 156-163.
5. Лавров, Н. Г. Применение концепции обратных задач динамики к проблеме управления угловым движением спускаемого аппарата [Текст] / Н. Г. Лавров, Е. Э. Страшинин, Л. Н. Шалимов // Вестник ЮУрГУ. - 2009. - № 26. - С. 4-9.
6. Yuan, Ch. Robust Adaptive Inverse Dynamics Control for Uncertain Robot Manipulator [Text] / Ch. Yuan, M. Guifu, M. Guangying, L. Shuxia, G. Jun // International Journal of Innovative Computing, Information and Control. - 2014. - Vol. 10, Issue 2. - P. 575-587.
7. Ghavifekr, A. A. Designing inverse dynamic controller with integral action for motion planning of surgical robot in the presence of bounded disturbances [Text] / A. A. Ghavifekr, M. A. Badamchizadeh, G. Alizadeh, A. Arjmandi // 2013 21st Iranian Conference on Electrical Engineering (ICEE). - Institute of Electrical & Electronics Engineers (IEEE), 2013. - P. 1-6. doi: 10.1109/ iraniancee.2013.6599773
8. Meysar, Z. Fuzzy logic-based inverse dynamic modelling of robot manipulators [Text] / Z. Meysar, N. Leila // Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering. - 2010. - Vol. 34, Issue 1. - P. 137-150.
................................................................................................................................................................................................................................ts
9. Freeman, R. A. Inverse Optimality in Robust Stabilization [Text] / R. A. Freeman, P. V. Kokotovic // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1996. - Vol. 34, Issue 4. - P. 1365-1391. doi: 10.1137/s0363012993258732
10. Pukdeboon, C. Inverse optimal sliding mode control of spacecraft with coupled translation and attitude dynamics [Text] / C. Pukdeboon // International Journal of Systems Science. - 2015. - Vol. 46, Issue 13. - P. 2421-2438. doi: 10.1080/00207721. 2015.1011251
11. Lasserre, J. B. Inverse Polynomial Optimization [Text] / J. B. Lasserre // Mathematics of Operations Research. - 2013. - Vol. 38, Issue 3. - P. 418-436. doi: 10.1287/moor.1120.0578
12. Колесников, А. А. Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов и обратные задачи динамики управляемых систем [Текст] / А. А. Колесников, А. Г. Чирченков, М. В. Бессарабов // Синтез алгоритмов сложных систем. -1986. - Вып. 6. - С. 3-6.
13. Садовой, А. В. Системы оптимального управления прецизионными электроприводами [Текст] / А. В. Садовой, Б. В. Сухи-нин, Ю. В. Сохина; под ред. А. В. Садового. - К.: ИСИМО, 1996. - 298 с.
14. Садовой, А. В. Релейные системы оптимального управления электроприводами [Текст] / А. В. Садовой, Б. В. Сухинин, Ю. В. Сохина, А. Л. Дерец; под ред. А. В. Садового. - Днепродзержинск: ДГТУ, 2011. - 337 с.
15. Садовой, А. В. Синтез оптимальной системы управления с полиномиальной линией переключения [Текст] / А. В. Садовой, Р. С. Волянский // Электротехнические и компьютерные системы. - 2011. - № 3. - С. 23-24.
16. Шеремет, О. I. Поняття дискретного часового еквалайзера [Текст] / О. I. Шеремет, О. В. Садовой, Ю. В. Сохша // Збiрник наукових праць Донбаського державного техшчного ушверситету. - 2014. - Вип. 1. - С. 147-151.
