CC BY
51
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIV 19 93 №3
УДК 533.6.011.34:532.582.2
ВИХРЬ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА СЖИМАЕМЫХ
ПОТОКОВ
В. И. Бабкин, А. А. Ким
Рассматриваются плоские задачи обтекания вихря и пластины неоднородным потоком идеального сжимаемого газа, состоящим из двух областей с различными полными давлениями. Вихрь и пластина расположены в основном дозвуковом потоке, граничащем со струей, течение в которой может быть как дозвуковым, так и сверхзвуковым. Получено аналитическое решение задач о вихре в линейной постановке. Показана возможность использования для решения задач интерференции профиля со струей сжимаемого газа метода отражений. Решение задачи о вихре вблизи границы со сверхзвуковым потоком существенно отличается от подобной задачи о границе раздела дозвуковых потоков. Отмечается неэквивалентность замены границы сверхзвуковой струи твердой стенкой с точки зрения сил, действующих на вихрь (пластину) вблизи такой границы.
Работы по проблеме интеграции двигателя очень большой степени двухконтурности и крыла транспортного самолета вновь сделали актуальной задачу определения влияния границы потоков с различными энергиями на изменение аэродинамических характеристик профиля. Одной из особенностей течения, возникающего на режиме крейсерского полета в области сочленения крыла, короткого пилона и двигателя большого диаметра, является близость к крылу потока, скорость в котором больше скорости полета и может превышать скорость звука.
В данной статье рассматриваются плоские модельные задачи обтекания вихря и пластины вблизи границы, отделяющей основной поток с числом М1оо < 1 от потока с числом М2оо > М1оо; при этом рассматривается и случай «сверхзвуковой» струи, т. е. М2оо > 1. Показано существование и единственность решения таких двумерных задач в линейной постановке и возможность использования для решения подобного рода задач метода отражений, хорошо известного в гидродинамике течений с твердой и свободной границами [1, 2] и применявшегося при решении задач о струйных течениях несжимаемой жидкости [3]. Показана также неэквивалентность замены границы сверхзвуковой струи твердой границей с точки зрения сил, действующих на вихрь (пластину) вблизи такой границы.
1. Рассмотрим плоское установившееся течение двух параллельных потоков, отделенных друг от друга плоскостью Ох и имеющих различные полные давления, при внесении в один из них (для определенности в нижний) вихря с циркуляцией Г (рис. 1, а). Считаем, что расстояние А между вихрем и плоскостью Ох, а также циркуляция Г таковы, что Г/2лк « У1оо. Обозначим через М1оо <! и М1оо < М2<ю < 1 числа Маха этих потоков в отсутствии возмущений. Течения в обоих потоках подчиняются уравнению Прандтля — Глауэрта:
(1.1)
здесь щ — потенциал возмущенного течения.
Граничными условиями в формулируемой краевой задаче являются линеаризованные условия тангенциальности и отсутствия скачка статических давлений на границе раздела:
1 _ 1 д<?2
*1» дУ Г2оо ЯУ
= У*
(1.2)
дх дх
(1.3)
Подчеркнем, что эти условия должны выполняться на невозмущенной границе, а первое приближение для формы возмущенной границы можно получить, проинтегрировав уравнение (1.2). Границу раздела потоков моделируем двойным вихревым слоем, имеющим интенсивность У\(х) СО стороны первого потока и /2(х) со стороны второго
У
<УГ
хг
Хг
ОЭЭЭЗЭРЭуг*
г1
о
Рис. 1. Схема течениия — вихрь вблизи границы двух
потоков
потока, так, что возмущенное поле течения в потоке 1 создается вихрем и слоем у} (х), а возмущенное поле течения в потоке 2 — слоем Уч(х). Тогда составляющие возмущенных скоростей в первом и во втором потоке вблизи границы будут равны:
■|(»)^А 2 <1-4>
2* 2
».«■ТАТ^ТТТМ2^' <15>
2яг х + Р^п 2яг J х-£ ■
1 —оо
и2(х) = —^; (1.6)
и2(х) = -^2|М^; (1.7)
2 к •< х - £
-оо
здесь /?] = д/1 - М1« ’ А = V1 - М2=о •
Построим итерационный процесс для нахождения заранее неизвестных функций у\(х) и у2(х)- Будем считать, что в нулевом приближении
искомые функции равны нулю: /|0)(.с) = (х) = 0- Тогда из (1.4) следует, что горизонтальная составляющая скорости на границе со сторо-
ны первого потока в нулевом приближении:
"Г-¿А ‘
2л х1 + /?^А2
Из граничного условия (1.3) находим первое приближение для горизонтальной составляющей скорости на границе со стороны второго потока:
и(
2* Р2«>у2оо х2 + 0*1г2
Используя уравнение (1.6), определим интенсивность вихревого слоя }'2(х) в первом приближении:
ж
Рг«Уг«> х2+р2и2’
а по найденной функции у^(х) в соответствии с уравнением (1.7) получим вертикальную составляющую скорости на границе со стороны
второго потока в первом приближении:
иір =~Рг РішКііс -
2* Р2ооу2оо х2+Р*/г2
Затем, используя граничное условие (1.2) и уравнение (1.5), получим интенсивность вихревого СЛОЯ /I (х) в первом приближении:
у( 1) - £ 71 -*
~Р\ +Рг~
42;
■р\ъ2’
где
Первый шаг итерационного процесса завершен. Повторяя описанную процедуру, во втором приближении получим:
у(2) - £ г' ~,
Я Р\Яг
х2 + Р2Ь2 ’
(2) £_ Р ІОО^ІОО
'2 ~ V
я Р 2сок2»
2А - 4г
. Я
х2 +р2к2 ’
- Чг где Я = —■
91
Повторяя процесс последовательных приближений в /-м приближении, будем иметь:
п
(О = £.
1-1+ V 1 +(-і)/-1 -Т
Я я я. 2 я.
і-1
х2 + р}и2 ’
у(І) = Г Р1«У\*
л Р2<*У2*
2Д 1-1 + V 2 + (-1)'-1
Я я. 2 Я;
І-1
/?!2л2 ’
Из этих выражений видно, что коэффициенты при приращениях искомых функций изменяются с изменением номера приближения по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии равен
1 X
В случае т < 1, т. е. о > 1, рассмотренный выше итерационный ч я
процесс является сходящимся и приводит к следующему решению:
, ч Г1-д а h .
п(х) = -—а ; (1.8)
л 1 + д х2 + fi *h2 ' '
/ ч Г ^2 о h
^--.-c^-O'sTTrp- (1-9)
1
В случае ~>х, т. е. q <1, сходящийся итерационный процесс строится
в несколько иной последовательности, но дает аналогичные результаты для уА(х) и у2(х).
Покажем, что полученное решение можно интерпретировать с помощью метода отражений. Выпишем, используя (1.4) и (1.5), выражения для составляющих скорости на границе со стороны первого потока, вызванной влиянием границы раздела потоков:
п(х) Г 1 - д h ш
и 1ГР~ ивих — — . А 2 о2и2 ’
2 2л 1 + д х1 + pfh2
1 * Г Г 1-4 „
«>1гр = L>1 - Увих = -—А I ----------— =
2п J х-Е 2п\ + а
х
X - $ 2л1 + д’ * х2 +р2и2
Точно такие же составляющие скорости дает «отраженный» вихрь, т. е. вихрь, расположенный в точке с координатами (О, А), имеющий интенсивность ХГ, где Я = -—-. Возмущения во втором потоке экви-
1 + 7
валентны вихрю интенсивности 8Г, расположенному в точке с координа-
V в
2-3=-^.
тами (0, -кН), ще 5 = ———к = Этот результат соответствует резуль-
1 + 9 Р2
татам, использовавшимся в работах [4, 5, 6] для дозвуковых сжимаемых потоков.
2. Рассмотрим подобную задачу, которая отличается от предыдущей тем, что число М во втором потоке больше единицы. В этом случае течение в сверхзвуковом потоке описывается уравнением гиперболического типа:
(М? -1)^1-^1 = 0. (2.1)
2“ ¿X2 V
Граничные условия остаются неизменными. В качестве распределенных особенностей на границе во втором потоке возьмем слой сверхзвуковых вихрей. Особенностью сверхзвукового плоского течения, как известно, является неизменность возмущенной скорости вдоль характеристик.
п(*).
1* х2 +/>2*2 2 ’
(2.2)
00
Ц1<*) = ~7~А- 2 %2-Т-^ 1
2* х + />?й 2* •>
П(№(.
х-4 ’
(2.3)
«2(х) = ^;
и2(х)
_ 02Г2(Х)
(2.4)
(2.5)
где /?2 = -^М2со ~ 1 • Построим итерационный процесс ДЛЯ нахождения 71 (-с)
и гг(л;)- В нулевом приближении у|0)(л:) = у^0> (х) = 0- Из уравнения (2.2), граничного условия (1.3) и уравнения (2.4) находим у2(х) в первом
приближении:
*Р2«У2«> Х2+02к2
Из уравнения (2.5), граничного условия (1.2) и уравнения (2.3) определяем ул(х) в первом приближении:
П
(1) = _£1
л д х +
- -А где $ =$
^2
Во втором приближении получим:
у(2) = £ *
-1 + ■
42
А
Г 2
х2+02Н2 *Ях2+/32к2>
„(2) _ Р 1ю^1со
^ Р 2 »о ^2 «о
2Д
1
+—
х2 + 0 2к2 д х2 + 02И2
в третьем приближении:
(3) _ г /?1«,К1оо 2 *Р2«У2'о
92 х2+/?2й2 д х2 + Р2И2
в приближении с четным номером 2/:
і2') _ II
-1 + -
?2
1-тГ + я1
Кя2)
Я2 )
Р\
х2 + Л2й2
Г2 я- д
1"ІГ +
+...+(-1)
-1У-1
п2
X2 + р2Н2’ (2-6)
¿21) = Рі«Уі» 2 Р2оаУ2«>
' ( \ 2 / \ 1-І
2 Г , 1 і 1
1_тг + -2 -2
К я \я и
Р\
*2 +
+ -
£1
яг?
1_?+
и
і +...+-п2 I 2
<Я2 )
/-1
х2 + ^2Й2 у
(2.7)
в приближении с нечетным номером 2/ + 1:
/ , V-1
гр+1> =£<!-1 + А
і 1 (142 ?2 + 1?2;
и2;
А
■ р 2^2
■ +
г
+—
я
2 1 ( \ 1 2 і . (-1) ґі] і'
Я 1 і1 ‘ И 2 І#2 і *2+/^2
(2.8)
(2/+1) _ Ъ«Уы 12Г 2 Р2«^2» 1 *
Я2 \я2)
-... + -
(-1)'
Ір I VI /
/?г
/г2*2
і--------+
я2
\я2)
/ Л/ - 1
і - 1
\я2)
х +
№
(2.9)
Как видно из (2.6) — (2.9), имеем геометрические прогрессии со
1 I
знаменателем В случае - < 1, т. е. д>1, четный и нечетный
процессы сходятся к одному результату и дают такое решение:
Г 1 - д2 Л Г 2} х
^ ^ я 1 + ?2 ^ х2 + 02И2 я! + ? х2 + ^А2 ’ (2.10)
Г2(х)=Р,ооУь
/
Р2=о^
2®
-Г 2?2 а -Г 2д х
л1 + д2 1 х2 + /^й2 1 + д2 х2 + у^й2 (2-И)
В случае ^ < 1 итерационный процесс строится в иной последовательности, но приводит к тем же выражениям (2.8) — (2.9).
Составляющие скорости на границе в первом потоке, обусловленные ее влиянием, будут:
П(х) г 1-д2 „ А
Щгр ^вих - _ , -2 Р\ 2 О 2ь2
2 2я-1 + д1 х2 + р^Ъ1
Г 2д х
х
2я1 + д2 х2 + 02И2 >
1 „ ? , Г 1 - 92
У1гр _ иВНХ ” £ Т 1 ~2 ^ 1 л2ь?
2я 1 X-4 2я1 + д1 X2 + 0{И2
— 00 1
Г 02 Н .
2п\ + д2 1 х2 + р 2Л2
Такую же скорость на границе дают «отраженные* вихрь и источник, расположенные в точке (О, А). Интенсивность вихря
а-т2#; (2Л2)
1 + £2
интенсивность источника
л-
1 + ?2- (2.13)
Таким образом, и для задачи о вихре в дозвуковом потоке, граничащем со сверхзвуковым потоком, возможно использование метода отражений для определения возмущенного поля течения в области вокруг вихря. В отличие от случая двух дозвуковых потоков отраженный сигнал создается двумя особенностями (типа вихря и типа источника),
интенсивности которых связаны с интенсивностью возмущающего вихря другими коэффициентами пропорциональности, зависящими от соотношения параметров невозмущенных потоков (2.12)— (2.13).
3. Рассмотрим задачу о вихре, помещенном в дозвуковой поток вблизи 1раницы с «двумерной» струей. Число М в основном потоке М1ю <1, а в струе М1оо <М2оо <1 (рис. 2, а). Вихрь размещен в точке
У «ч ю 1 ■Мг^1 11 !)52XJ Г 052ХГ < ■та—1— ■■ -—г
в —• - кг- ' *>1
с *4 ю рч Л ¡)62\2 Г ¡><У2Х*Г
й)
Рис. 2. Схема течения — вихрь вблизи границы со струей
(О, К) на расстоянии А от нижней границы струи, толщина которой равна /. Построим систему отображенных особенностей для удовлетворения линеаризованных 1раничных условий на границах потоков, слабо возмущаемых вихревой особенностью, вносимой в первый поток. Будем рассматривать только те отображенные особенности, которые описывают поле течения в потоке, где находится вызывающая их особенность, т. е. в основком потоке. Отображенные особенности, которые отвечают за поле течения под струей, расположены выше нижней поверхности струи, а отображенные особенности, отвечающие за поле течения над струей, находятся ниже этой границы струи. Выполняя последовательно отображения относительно обеих границ в соответствии с методом отражений, будем иметь для возмущенного потенциала в основном потоке:
2jeяct%
j=1
4; +1 Д у +---------------1 + к
I 2
(3.1)
дс
здесь Л = -—<? = Уух ^ ;
Х+д 1+9
А = - М
2 1» '
Теперь обратимся к задаче о вихре вблизи границы с «плоской» сверхзвуковой струей. Система отображенных особенностей здесь строится следующим образом. Введя отображенные особенности, вихрь и источник (см. п. 2), описывающие возмущенное поле течения под струей, и удовлетворяющие вместе со слоем сверхзвуковых вихрей линеаризованным граничным условиям для нижней границы струи, имеем внутри струи возмущения, которые распространяются вдоль характеристик 1-го семейства вплоть до верхней границы струи. Для того чтобы удовлетворить линеаризованным граничным условиям (1.2) — (1.3) на этой границе, необходимо ввести слой сверхзвуковых вихрей для описания поля скоростей в струе и слой вихрей на внешней границе струи для описания возмущений в потоке над струей. По аналогии с п. 2 можно показать, что возмущенное поле скоростей в верхнем потоке эквивалентно полю от вихря и источника, которые расположены вне этого потока и «сдвинуты» вдоль вектора скорости в точку с координатами
(р21,— - к) (рис. 2, б). Слой сверхзвуков^* вихрей на верхней границе
струи, описывающий поле течения в струе, дает возмущения, которые распространяются вдоль характеристик 2-го семейства вплоть до нижней границы струи. Здесь снова требуется ввести дополнительные слои особенностей, удовлетворяющие условиям (1.2) — (1.3). При этом возмущения, передаваемые в нижний поток, вновь эквивалентны возмущениям от вихря и источника, интенсивности которых пропорциональны интенсивности возмущающей особенности Г. И так далее. Таким образом, получаем систему особенностей, описывающую поле течения в основном потоке. Особенности, влияющие на нижнюю часть потока,
расположены в точках с ординатой А - ^ и абсциссами с шагом 2/^,
а особенности, влияющие на верхнюю часть, расположены в точках с
ординатой —Лис шагом по оси Ох 2% (рис. 2, б). Поле течения в первом потоке описывается таким возмущенным потенциалом:
р=-
2 я
ДО- + - + Л) агйв-------------------1-
£(2,7+1) ^(х — 2у/^2 )2 + 1 (У + ~ — - Я(^ +^)агс1в
ДО- + - - А) ____ 2
/■1
£ ^(2У) 1п^(х - (2у - 1))//%)2 + /?2(>, - 1 + Л)2
Д(У-- + Л) —А(2У)агс1в----------------
(3.2)
В отличие от задачи о вихре под дозвуковой «плоской* струей цепочка особенностей, описывающих вместе с оригиналом поле скоростей под струей, располагается горизонтально (рис. 2, б). Кроме того, для определения интенсивностей этих особенностей в этом случае необходимо пользоваться рекуррентными соотношениями:
*20 =_1_4$(£(1) -^(2) +*(3)_...+*(2#-1)) + 1 + д2 1
+1 - Л<1> - Л(2) - Л(3)
¿(2/) = -Л—Ы!) _ 3(2) + 5(3)-...+5(2/ - 1) _
1 + д2 1-
-д(1 - ЯШ - *2) _ ЖЗ)_...Я(2/-1))],
Л(2/+1) = _1_Г^(^(1) - ¿(2) + +
1 + д2 1
+1_Я(1) -Я(2) -Я(3)-...Я(20],
£(2/+!) а _2_Г_£(1) + £(2) _ £(3)+...+^(20 + 1 + «21
+?(1 - Ж1) - Ж2) - АО) .. -я(20 )],
где ли) =
I-?2
1 + д1
5(1) =
2д 1 + дг '
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
зз
Рис. 3. Форма границы струи (а) и распределение давления (б)
4. Рассмотрим некоторые результаты решения задачи о вихре, расположенном вблизи границы раздела двух сжимаемых потоков с различными полными давлениями. На рис. 3, а представлены форма границы и распределение давления вдоль нее (3, б) как для случая дозвукового, так и для сверхзвукового второго потока при фиксированном отношении скоростных напоров. Форма границы, как уже отмечалось,
определяется интегрированием уравнения у = • При фиксирован-
х V
К1оО
ном расстоянии Л между вихрем интенсивности Г= 2яУ1ооаЛ, где а — малый параметр, и возмущенной границей малое возмущение границы существенно отличается для случаев, когда соседний поток дозвуковой и сверхзвуковой. Для сверхзвукового верхнего потока исчезает симметрия (рис. 3, а, кривая 3). Как следует из (2.10) — (2.11), в случае сверхзвукового второго потока минимум статического давления на границе будет достигаться не непосредственно над вихрем, а несколько дальше вниз по потоку. Легко показать, что
- -тттНа« - *‘»+ **>*».];
Ч«о Р\+Хтт
= Х0
т
(4.1)
где х0 = ~Р]Ц — координата точки, в которой коэффициент давления достигает нулевого значения. Отметим, что с ростом отношения скоростных напоров д смещение хт1п вначале увеличивается, а затем стремится к нулю.
Зависимость коэффициента давления в точке х = 0 и в точке минимума давления от числа М в первом потоке при фиксированном отношении скоростных напоров показана на рис. 4, а, а на рис. 4, б дана зависимость коэффициента давления от отношения скоростных напоров при фиксированном числе М в первом потоке. Видно, что при переходе числа М во втором потоке через единицу происходит «перестройка» решения. Минимум смещается в точку хтш (рис. За, б), а дальнейшее поведение коэффициента давления существенно отличается от его поведения в случае замены второго потока твердой стенкой.
,,, 1,,,,,,
-2
-в
В
мгт-м,„
о
0,8 Му.
М^-0,7 Г-2ъЦ„а.Н ,а.<1
-6 ь
Ср П1П
Тйепдая стенка
^"1 С-р\х-0
Однородный поток.
8
12
‘ ‘ ■ * ■ Тб 20 _ р1тту£.
4я - 1 гг
Рис. 4.Зависимости с/)(М1оо) при ? =4(о) и ср(д) при М1оо = 0,7«?)
На рис. 5, а представлены форма двух границ струи и распределение давления вдоль этих границ струи (5, б) как в случае дозвукового, так и сверхзвукового потока в струе. Наличие двух горизонтальных цепочек отраженных особенностей (вихрей и источников), отвечающих за поле течения вне струи (см. п. 3), приводит к волнообразному характеру данных зависимостей. Расчеты свидетельствуют о том, что с удалением от исходного вихря эта «волна» не затухает^ а период ее равен 2^. При увеличении толщины струи * -> °о приходим к решению задачи о вихре вблизи единственной границы. Напротив, при уменьшении толщины струи (->0 и фиксированном отношении скоростных напоров границы струи совпадают с линией тока в безграничном однородном дозвуковом потоке, проходящей на расстоянии к над возмущающей вихревой особенностью Г (рис. 5, а).
5. Рассмотрим влияние близости границы со сверхзвуковым потоком на коэффициент подъемной силы пластины, установленной под малым углом атаки а в потоке с числом М1оо < 1. Если пластина расположена достаточно далеко от границы раздела потоков, то ее можно
а)
$
Рис. 5. Форма границ струи (а) и распределение давления вдоль границ струи (б)
моделировать одним вихрем, расположенным на - хорды от носка
4
пластины, выполняя условие непротекания в точке, находящейся на рас-
3
стоянии - от носка. Тогда, учитывая отраженные особенности, имеем уравнение для циркуляции:
Ъ/2
1 +
ЦЬ / 2)
„ о 2й
Ь*ъ!г
<i/2)2+/if(2A)2 (й / 2)2 + (2Л)2/^
= 2лУ1ща
fix
(5.1)
где Ь — длина пластины.
Более точный результат, справедливый для сколь угодно малых расстояний до границы раздела, можно получить, заменив пластину вихревым слоем:
1
J
1 +
Х(х - 0і
filS-
2 h
(х-£2+/?2(2A)2 (x - 4)2 +/?2(2A)2
d^~ 2лУ1ха
A (5.2)
В уравнениях (5.1) и (5.2) коэффициенты А и 8 определяются соответственно по формулам (2.12) и (2.13).
Зависимости коэффициента подъемной силы пластины от расстояния до границы раздела потоков h = h/b, где b — длина пластины, в случае сверхзвукового второго потока, а также в случае замены второго потока твердой стенкой представлены на рис. 6, а. Видно, что влияние границы дозвукового потока со сверхзвуковым не эквивалентно влиянию твердой стенки. При фиксированном расстоянии до поверхности раздела
А = const. Увеличение скоростного напора во внешнем потоке ведет вначале (когда M2e0 < 1) к увеличению подъемной силы, которая достигает максимума в случае М2оо -> 1. Затем влияние границы с сжимаемым сверхзвуковым потоком приводит к уменьшению подъемной силы (рис. 6, б). При выбранном числе М1оо =0,7 существует расстояние до границы, когда подъемная сила может стать даже меньше подъемной силы пластины в однородном потоке. Это соответствует <7 я 4(М2 и 1,4) и согласуется с рис. 4, б, из которого явствует, что влияние границы со сверхзвуковым потоком в наибольшей степени отличается от влияния границы с жестким экраном именно при этом отношении скоростных напоров. При дальнейшем увеличении q влияние границы вновь приближается к тому, которое оказывает жесткий экран.
Аналогичным образом можно получить зависимости изменения подъемной силы пластины от расстояния до двумерной струи конечной толщины. .
Рис. 6. Зависимости су(И) при М1о0 = 0,7(e) и су(д) при М1(С =0,7; л = 0,3(0)
Подводя итог, можно сделать заключение о том, что жидкая граница раздела оказывает существенное влияние на изменение аэродинамических характеристик профиля не только для случая двух дозвуковых потоков с различными энергиями, но и для случая, когда несущая поверхность находится в дозвуковом потоке, который граничит со сверхзвуковым потоком. В последнем случае, так же как и в первом, для двумерной плоской задачи в линейной постановке оказывается возможным применить модифицированный метод отражений газодинамических особенностей для иллюстрации изменения картины течения. Результаты данной работы в дальнейшем могут использоваться для тестирования более сложных методов решения задач аэродинамической интерференции элементов планера со струями двигателей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Седов JI. И. Плоские задачи гидромеханики и аэродинамики//
М. — Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. — 1950.
2. Гуревич М. И. Теория струи идеальной жидкости//М.: Наука. — 1979.
3. Бабкин В. И. Расчет взаимодействия профиля со струей методом отражений/Друды ЦАГИ. — 1982. Вып. 2124.
4.Lan С. Е. An analytical investigation of wing-jet interaction//NASA — CR/
38141. — 1974.
5.Павловец Г. А. Линейная теория профиля в сжимаемом газе при дополнительном обдуве струей//Ученые записки ЦАГИ. — 1984. Т. 15, № 1.
6.Бабкин В. И., Теперина Л. Н. Оценка влияния обдува крыла винтами ТВДЦ на волновое сопротизление//Труды ЦАГИ. — 1989. Вып. 2450.
Рукопись поступила 14/VIII 1991г.
