ВіДНОВЛЕННЯ РіВНЯНЬ РОЗВИТКУ ПАВОДКОВИХ ЯВИЩ МЕТОДАМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦіАЛЬНИХ РіВНЯНЬ Текст научной статьи по специальности «Прочие технологии»

УДК 514.1ББ.06 DOI: 10.15587/2312-8372.201Б.ББ557

В1ДНОВЛЕННЯ Р1ВНЯНЬ розвитку ПАВОДКОВНХ Явищ МЕТОДАМИ ЗВИЧАйНИХ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ

Уроботг запропоновано методику побудови лтшних та нелтшнихмоделей процесу поширен-ня паводку з використанням методгв вгдтворення виду ргвнянь, методу визначникгв та методу вгдновлення ргвнянь в рамках нелтшних моделей. Проаналгзовано випадки, коли результати вгдновлення ствпадають (лтшш моделг), встановлено моделг нелтшного типу, як1 аналтично пов'язують ргвень паводку, час, та швидкють I прискорення розвитку паводку. Визначено на-прямки подальших дослгджень.

Илпчов1 слова: паводковг явища, звичайш диференцгальнг ргвняння, лтшт та нелтшш моделг.

Олшник А. П., Клапоущак 0. I., Бачук В. В., Тихонюк I. Я.

1. Вступ

Здшснивши оцшювання наслщюв стихшних лих для життeдiяльностi людей, фахiвцями з екологп встановлено, що внаслщок природних катастроф щодня ги-не у середньому 184 особи, а щороку — юлька тисяч людей (внаслвдок катастрофiчного паводку 1998 р. на Закарпатт загинуло 17 чол., а паводок 2008 р. забрав життя 30 чол.). 90 % стихшних лих подшяються на 4 типи: тротчш циклони (20 %), повеш (40 %), зем-летруси (15 %) та засухи (15 %) [1].

За даними мiжнародноi оргашзацп UNESCO най-бшьший ввдсоток природних уражень, яю викликанi водною основою припадае саме на висою води (flood) — 50 % [2, 3], яю, у свою чергу, спричинеш паводками i повенями.

Тому актуальною е задача контролю та прогнозу-вання рiвня паводкових вод, з метою попередження, або зменшення можливих збитюв у аграрному, про-мисловому та соцiальних секторах економжи вiд iх негативних наслвдюв.

2. Анал1з лгсературних даних i постановка проблеми

Теорiя звичайних диференщальних рiвнянь дае ефек-тивний шструмент для моделювання рiзного роду фь зичних процесiв, i, зокрема, опису розвитку паводкових явищ, яю наносять значних збитюв економiчному комплексу краш та шкiдливо впливають на еколопчний стан регiонiв. Данiй проблемi присвячено значну кiлькiсть робiт, в яких використовуються сучасш експериментальнi та теоретичш методи дослiджень [4-6], задачею даноi роботи е побудова систем диференщальних рiвнянь математичного опису розвитку паводкових явищ ^вня паводку, його тривалкть, максимальнi рiвнi вод) на основi двох основних пiдходiв: ввдновлення диференцiального рiвняння за його розвитком з використанням теорп лiнiйних та нелшшних рiвнянь. У роботi [7] наведено споаб побудови диференцiального лшшного рiвняння першого порядку, розвитком якого е крива виду:

У = tn

(1)

де у — р1вень паводкових вод; я та а — характеристики, яю визначаються на основ1 статистичних даних [8, 9]. За-лежшсть (1) встановлюеться на основ1 анал1зу поведшки лшп (1) з точки зору 11 максимальних значень, наявност точок перегину, тощо. Подання (1) може бути замшена шшими, на основ1 анал1зу даних про розвиток паводюв, а також при цьому визначаються ощночш характеристики я та а. Для залежност (1), як 1 для будь-яко'1 функцп виду у = /(t), можна вщтворити диференщальне р1вняння першого порядку лшшного типу [7] на основ1 вщомо'1 залежностк

det

y(t) y'(t) f(t) f(t)

= 0.

(2)

Якщо функцiй f (t) е деюлька (i = 1,...N), то можна одержати лшшне диференцiальне рiвняння зi змшни-ми коефiцiентами N-ого порядку, розв'язками якого будуть fi (t):

det

У y'...y(N) f f'...f(N)

fN fN fN)

= 0.

(3)

Очевидно, те, що fi — розв'язки лшшних рiвнянь, що безпосередньо випливають з властивостей визначни-кiв, пiдставляючи у (3) залежшсть y(t) одну з функ-цiй fi (t), одержуемо тотожтсть. Недолiки такого пiдходу е наступними. Розглянемо функщю виду:

f (t) =

Cxt

1+C2t2

(4)

48 ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 2/2(28], 2016, © Олшник А. П., Клапоущак О. I.,

Бачук В. В., Тихонюк I. Я.

ISSN 222Б-3780

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

J

яка за особливостями свое! математично'! поведшки (на-явнiсть eKCTpeMyMiB та точок перетину) також може бути використана для опису розвитку паводкових процеав [10]. Використовуючи тдхщ (2), одержуеться рiвняння:

У(t) Cit —y(t)

Ci — CiC2t2

1 + C2t2

=0.

(5)

По-перше, висунене рiвняння е лшшним, що не визначае всi можливi моделi (наприклад, нелiнiйнi). В багатьох випадках (5) достатньо точно описуе явище паводку [10], проте в окремих випадках такий опис не дае задовшьно'! ввдповщност з експериментально визначеними картинами розвитку паводку Крiм того, вимагае значних зусиль розрахунок або оцшка на ос-новi статистичних даних значень коефщенпв С та С2, ефективнi засоби визначення яких стосуеться лише окремих випадюв вивчення паводкових явищ. Очевидно, рiвняння типу (5) дають точний опис, наприклад, асимптотично! поведшки у(Ь):

lim У' (t) = lim

t ^ ^ t ^ ^

y(t) ■ (Ci — CiC2t) 1 + C2t2

= о,

ня методики ввдтворення рiвняння моделi на основi багато параметричних залежностей дозволяе встано-вити нелiнiйнi рiвняння, що описують паводковi яви-ща. Основою такого пiдходу е методика ввдтворення рiвняння на основi його розв'язку. З метою побудови апроксимуючих кривих, як будуть краще апроксиму-вати статистичнi (експериментальнi) данi i описувати процес паводкових вод, запропоновано використовувати функцiю виду:

y(x ) = C1ex + C2 x2.

(6)

Необхiдно вiдновити диференщальне рiвняння, роз-в'язком якого е (6). Для цього виразимо C1 та C2 через вiдповiднi похщш та пiдставимо у (6):

y = C1ex + C2 x2, y' = C1ex + 2C2 x, y' ' = Ciex + 2C2.

(7)

З двох останнiх рiвнянь системи (7) одержуеться:

тобто, з розвитком паводково! ситуацп, iнтенсивнiсть виходить на сталий (нульовий) рiвень, проте задача роз-роблення нових методiв опису паводкових явищ з вико-ристанням нелiнiйних рiвнянь та систем залишаеться актуальною.

3. 06'ект, мета та задач1 дослщження

Об'ектом дано! роботи е процес виникнення паводкових вод, метою — забезпечення еколопчно'! безпеки довюлля шляхом контролю i прогнозування рiвня па-водкових вод методами математичного моделювання.

Для досягнення поставлено! мети необхщно вико-нати такi задачi:

1) визначити набiр параметрiв, якi впливають на формування та розвиток паводку (наприклад, метеоро-логiчнi данi (кiлькiсть атмосферних опадiв, вологiсть та температура повггря, напрям i швидкiсть вiтру, ат-мосферний тиск); морфометричнi характеристики ба-сейну (площа водозбору, похил мшцевосп) i т. д.) на основi статистичних даних про параметри та вщповщний 1м рiвень паводкових вод;

2) на основi статистичних даних про паводковi явища, для кожного з них вибрати значення рiвня паводкових вод у момент часу; визначити характерш параметри п та а;

3) здiйснити побудову кривих на основi статистичних даних про параметри (тдпунк 2) та вщповщний 1м рiвень води у перюд паводкiв чи повеней.

4. Математичний апарат методики прогнозування р1вня паводкових вод на основ1 диференщальних р1внянь

Математичний апарат оснований на використанш методiв побудови лшшних диференцiальних рiвнянь (2) та (3), як було зазначено, обмежуе клас опису можливих моделей лише лшшними, в той час, як використан-

У — y" = 2C2(x — 1), y' — y''x = C1(ex — exx ),

(8)

y' = C1ex + 2C2 x, y ' = Cex + 2C2,

r _ y—y''

C = 2^—1), „ y— y' x

C1 =-.

1 ex (1 — x)

На основi (7) та (8) одержуеться рiвняння, розв'яз-ком якого е (6):

y=

У — У'' x (y' — y' )x 2

(1 — x) 2( x — 1) '

(9)

Зауважимо, що рiвняння (9) е лiнiйним, тобто, як-що (6) мiстить лшшну комбiнацiю деяких функцп, то результати, одержат за методикою (7) ствпадають з результатами, одержаними за (3). Використовуючи (6) i (3), одержуеться:

y У у" У y y"

ex ex ex = 0 1 1 1 = 0,

x2 2x 2 x2 2x 2

2 y + 2 y" x + x2 y' — x2 y" — 2xy — 2 y' = 0.

(10)

Очевидно, рiвняння (9) та (10) ствпадають. Розгля-немо випадок, коли у (6) невiдомi коефiцiенти входять нелшшно.

Реалiзуючи описаний пiдхiд, до залежностей (1) та (4), для залежност (1) одержуемо наступш пере-творення шляхом логарифмування:

y = tn ■ e-at,

ln y = n ln t — at.

(11)

TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 2/2(28], 2016

49-J

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ISSN 222Б-3780

Система для визначення n та a набувае вигляду:

У n — = — a, У t

У У - У

■2

У

n

72,

(12)

зв1дки:

У 2 - У У

У

2

-t2,

У'2t - y"yt - У У У2 .

(13)

При цьому одержуеться наступна нелшшна система II порядку для визначення y(t) — р1вня паводку; У' (t ) = x(t ) — швидюсть його розвитку:

У = x,

У21п У - x2t2ln t + x2t2 - xyt yt2 - yt 2ln t

Задаючи для системи (14) початков1 умови:

У(to) = Уо, У' (to) = У1,

або граничш умови виду:

У(t1) = У2, У' (t2 ) = Уз,

(14)

(15)

(16)

де (ti, t2) — штервал найбшьш штенсивного розвитку паводку, можна одержати розв'язком (14)-(16), наприклад, з використання Рунге-Кутта потр1бного порядку точность Для залежност (4):

У=

Ct

1 + C2t2

(17)

Повторюючи м1ркування (11)-(13) одержуеться: C1t

У = TC2" '

C2(y't2 + 2yt ) - C1 = - У',

-С2(У'Ч + 4 у ' t + 2 у) = у". (18)

Диференщальне р1вняння математичноï модел1 розвитку паводку на основ1 емпiричноï модел1 записуеться у виглядк

У=

4t2 y'2 + 2yy't - 2yy"t2 4ty' + 2 y '

(19)

яка також може бути розв'язана з умовами типу (15)-(16).

5. Обговорення результат1в дослщження методики прогнозування р1вня паводкових вод на основ1 диференщальних р1внянь

У результат проведених дослiджень встановлено, що використання шнуючих методiв монiторингу за рiвнем паводкових вод (детермiнований та iмовiрнiс-ний, метод базового процесу) не забезпечують оперативного ïx прогнозування та '¿м характернi наступнi недолiки:

— необхщшсть ручного вибору значення кроку мо-

делювання;

— необхщшсть використання деюлькох зображень.

Розробленi рiвняння розвитку паводкових явищ методами звичайних диференщальних рiвнянь дозволять проконтролювати динамiку змши води рiчок у перiод паводюв, повеней чи тдтоплень, а також прослвдку-вати вплив метеорологiчниx даних, водно-фiзичниx властивостей rрунтiв, морфометричних характеристик басейну i т. д. Даний контроль за паводковими явища-ми виступатиме вихвдними даними для прогнозування паводюв з метою попередження '¿х негативного впливу на довюлля.

Шсля проведення експериментальних дослiджень отримаш результати можна передати пдрометеоролопч-ним центрам Украши та використовувати у навчальних курсах дисциплш.

Вiдновлення рiвнянь розвитку паводкових явищ методами звичайних диференщальних рiвнянь е вдоско-наленням рашше розробленого методу прогнозування рiвня паводкових вод на основi побудови кривих прогнозу змши рiвня паводкових вод у час з використання асощативного аналiзу.

6. Висновки

У результат проведених дослiджень:

1. Показано, що обробку статистичних даних про змшу рiвня паводкових вод у чаи та ввдповвдш '¿м параметри краще здiйснювати методом асоцiативного аналiзу для виявлення вагомих природних факторiв впливу на тдняття води рiчок у перюд природних катаклiзмiв, таких як паводки чи повеш.

2. У формулi (13) представлено визначення харак-терних параметрiв n та a, що опираються на статис-тичш данi про змiну рiвня паводкових вод у час!

3. Створено теоретичт передумови для побудови кривих розвитку паводкових явищ методами звичайних диференщальних рiвнянь (14) та (19), що дозволять визначати тривалкть паводкових вод, штенсившсть, перiод спаду та тдйому, прослiдкувати за змiною ме-теоролопчних факторiв, таких як атмосфернi опади, волопсть повiтря i т. д.

4. Особливштю моделей (14) та (19) е те, що в них ввдсутш будь-яю додатковi характеристики про-цесiв (n, a, C1, C2), а вид кривих визначаеться лише граничними або початковими умовами. Деяка мате-матична складшсть (громiздкiсть) залежностей (14) та (19) компенсуеться чисельним характером ввдпо-ввдних розв'язкiв. Фактично, рiвняння розвитку паводку мктить лише математичнi зв'язки мiж рiвнем паводка y(t), швидкiстю та прискоренням його розвитку (ввдповвдно y '(t ) та y"(t ) ).

n=

I 50

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 2/2(28], 2016

ISSN 2226-3780 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Лггература

1. Димань, Т. М. Еколопя людини [Текст] / Т. М. Димань. — К.: Академiя, 2009. — 376 с.

2. Manual on flood forecasting and warning [Text]. — Switzerland, Geneva: World Meteorological Organization, 2011. — № 1072. — 142 p.

3. Ward, R. Floods, a geographical perspective [Text] / R. Ward. — London: Macmillan, 1978. — 244 р.

4. System and method for predicting and preventing flooding [Electronic resource]: Patent WO 2013063699 A1 / Moss I., Tremblay R.; Insurance Bureau of Canada. — PCT/CA2012/050772; filed 31.10.2012; published 10.05.2013. — Available at: \www/ URL: http://www.google.com/patents/W02013063699A17cl-en

5. Автоматичш пдролопчш станцп [Електронний ресурс] // Украшський пдрометеоролопчний центр. — Режим доступу: \www/URL: http://hydro.meteo.gov.ua/

6. Гребшь, В. В. Оцшка можливост оперативного прогнозування дощових паводгав на рiчках басейшв Прута та Орету [Текст] / В. В. Гребшь, О. I. Лук'янець, I. I. Ткачук // Украшський пдролопчний журнал. — 2012. — № 10. — С. 164-175.

7. Маслова, Т. В. Оцшювання зволоженост прських водозборiв при математичному моделюванш дощових паводгав [Текст] / Т. В. Маслова, М. М. Сусщко // Науковi пращ УкрНДГМ1. — 2007. — Вип. 256. — С. 233-238.

8. Zamikhovskii, L. M. The flood process mathematical modelling an their prediction methods based on static data [Text] / L. M. Zamikhovskii, A. P. Oliinyk, O. I. Klapoushchak, L. O. Shtaiyer // Life Science Journal. — 2014. — № 11(8s). — P. 473-477.

9. Олшник, А. П. До математичного прогнозування рiвня паводкових вод [Текст] / А. П. Олшник, О. I. Клапоущак // Прикарпатський вюник Наукового товариства iм. Шевченка. Серiя «Число». — 2014. — № 1(28). — С. 246-253.

10. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен [Текст]: пер. с англ. / Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер. — М.: Мир, 1990. — Т. 1. — 384 с.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАЗВИТИЯ ПАВОДКОВЫХ ЯВЛЕНИЙ МЕТОДАМИ ОБЫ1ЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В работе предложена методика построения линейных и нелинейных моделей процесса распространения паводка с использованием методов воспроизведения вида уравнений, метода определителей и метода восстановления уравнений в рамках

нелинейных моделей. Проанализированы случаи, когда результаты восстановления совпадают (линейные модели), установлено модели нелинейного типа, аналитически связывают уровень паводка, время, и скорость, и ускорение развития паводка. Определены направления дальнейших исследований.

Ключевые слова: паводковые явления, обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные модели.

Олшник Андрт Петрович, доктор техтчних наук, професор, кафедра математичнихметодiв у тженерп, 1вано-Франтвський нащональний техтчний утверситет нафти i газу, Украта. Клапоущак Оксана kopieHa, кандидат техтчних наук, асис-тент, кафедра комп'ютерних технологш в системахуправлтня i автоматики, 1вано-Франтвський нащональний техшчний утверситет нафти i газу, Украта, e-mail: oksana_kl@meta.ua. Бачук Василь Васильович, кандидат фiзико-математичних наук, доцент, кафедра математичнихметодiв у тженерп, 1вано-Франтвський нащональний техшчний ушверситет нафти i газу, Украта.

Тихонюк 1рина Ярославiвна, вчитель бюлогп, 1вано-Фран-твська загальноосвтня школа I-III ступетв №10, Украта.

Олийнык Андрей Петрович, доктор технических наук, профессор, кафедра математических методов в инженерии, Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа, Украина.

Клапоущак Оксана Игоревна, кандидат технических наук, ассистент, кафедра компьютерных технологий в системах управления и автоматики, Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа, Украина. Бачук Василий Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математических методов в инженерии, Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа, Украина.

Тыхонюк Ирина Ярославовна, учитель биологии, Ивано-Фран-ковская общеобразовательная школа I-III ступеней № 10, Украина.

Olijnyk Andrij, Ivano-Frankivsk National Technical University of Oil and Gas, Ukraine.

Klapoushchak Oksana, Ivano-Frankivsk National Technical University of Oil and Gas, Ukraine, е-mail: oksana_kl@meta.ua. Bachuk Vasil, Ivano-Frankivsk National Technical University of Oil and Gas, Ukraine.

Tykhoniuk Iryna, Ivano-Frankivsk School I-III levels № 10, Ukraine

УДК 519.853

001: 10.15587/2312-8372.2016.66650

Зеленцов д. г., АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Денис»к р. ОПТИМИЗАЦИИ КОРРОДИРУЮЩИХ

КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕГО ДОПУСКА

В работе предлагается новый эффективный алгоритм решения задач оптимизации корродирующих шарнирно-стержневых конструкций, предполагающий получение решения с заданной точностью. Оптимизационный алгоритм использует метод скользящего допуска совместно с генетическим алгоритмом и нейросетевым модулем для управления погрешностью вычисления функций ограничений. Поиск решения осуществлялся на дискретном неметрическом пространстве варьируемых параметров.

Ключевые слова: коррозия, дискретная оптимизация, метод скользящего допуска, нейронные сети, генетический алгоритм.

1. Введение

В процессе эксплуатации металлоконструкций, используемых, в частности, в химической промышлен-

ности, наблюдается заметное ухудшение их рабочих характеристик в результате коррозионного износа, вызываемого воздействием сильноагрессивных рабочих сред. Это проявляется в виде уменьшения геометрических

TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 2/2(28], 2016, © Зеленцов Д. Г, Денисюк О. Р.