CC BY
28
УДК 517.983
ВЕСОВЫЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ МАЛЬМСТЕНА2) А.В. Глушак, О.А. Покручин
Белгородский государственный университет,
ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: GlushakObsu.edu.ru
Аннотация. Установлены формулы, связывающие решение весовых задач Коши для абстрактного дифференциального уравнения Мальмстена с операторной функцией Бесселя и проинтегрированной косинус-оператор-функцией.
Ключевые слова: весовые задачи Коши, проинтегрированная косинус-оператор-функция, операторная функция Бесселя.
Ослабление требований на разрешающие операторы задачи Коши для абстрактных дифференциальных уравнений первого и второго порядков привело к понятию проинтегрированной полугруппы и проинтегрированной косинус-оператор-функции (в дальнейшем ПКОФ). В работах [1, 2] приводятся формулы, связывающие ПКОФ Ск/2(Ь) с операторной функции Бесселя Ук(Ь) - разрешающим оператором задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)
к
и" (1) + — и'(1) = Аи(1), ¿>0, (1)
п(0) = и0, и'(0) = 0. (2)
В уже цитируемых работах [1, 2] приводится и определение ПКОФ, и формула связи операторной функции Бесселя Ук(Ь) с ПКОФ Ск/2(Ь), имеющая вид
У2а^)щ = " (са(£)и0 - ! Р^_1(г)С'„(^г)г/-о^г^ , (3)
где Ра-\(т) - сферическая функция Лежандра [3].
В настоящей работе будет показано, что ОФБ и ПКОФ могут быть использованы и для построения решений весовых задач Коши для уравнения Мальмстена [4, с. 113].
Первая весовая задача Коши. Пусть Е - банахово пространство, А - оператор, действующий в Е, с областью определения Д(А). Рассмотрим следующую весовую задачу Коши для уравнения Мальмстена
к 1
и"Ш Н— и'и) + -т и(1) = 1тАи(1) , I > 0 , (4)
2Работа первого автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-
ваний, грант № 10-01-00276.
Ит(^-1-"(т+2))/2п(і))= ио , (5)
£^0
л/{к - I)2 - 4/ л ^ ,
где параметр и = --------------- > 0. Отметим сразу, что для рассматриваемого диср-
т + 2
ференциального уравнения второго порядка не ставится ("снимается") второе начальное условие при і = 0, что характерно для ряда уравнений с особенностью в коэффициентах.
Разрешающий оператор задачи (4), (5) будем обозначать Ук"1(і), а множество операторов А, для которых задача (4), (5) разрешима, обозначим через Наряду с этим множеством рассмотрим множество С к операторов А, для которых разрешима задача Коши для уравнения ЭПД (1), (2).
Теорема 1. Пусть V > 0, т > -2, оператор А Є 02и+1 и и0 Є О (А). Тогда задача
(4), (5) имеет решение, которое представимо в виде
и(і) = Ут(і)ио = і(1-к+Кт+2))/2 У2^+і(т)ио , (6)
□ Найдем первую и вторую производные от функции п(Ь) = У™1(Ъ)п0. Имеем и'Ц) = ^~А: + ^т + 2^ ^-1-к+^т+2))/'2У2у+1{т)щ + г{т+1~к+^т+2)У2У'и+1{т)ио ,
«"(*) = (1~А: + ^(т + 2)) ^~1~А:+2/У(т + 2)^ ^(-3-^+2))/2У2,+1(Т)«о+
+ ~ к + и{т + 2)^ 1{т-1-к+^т+2))/2У'и+1(т}и0 + ¿(2т+1-А'+гУ(т+2))/2У2"+1(г)'и0 .
Подставляя найденные производные в левую часть уравнения (4), получим
к1
и" Ц) + -и'Ц) + -иЦ) = ¿(2-+1-^(-+2))/2 у// (г)Ио + ъ ъ2
+ + и(т + 2)^ ¿("*-1-^(т+2))/2 у^+1(т)щ . (7)
Чтобы вычислить АУ£](Ь) и0, воспользуемся уравнением
К£+іМ«о + = А¥^(т)щ, (8)
которому удовлетворяет функция У2и+1(т)и0. Из (7), (8) следует, что функция и(і) = Укі(і)и0 удовлетворяет уравнению (4).
Справедливость начального условия в (5) вытекает из условий (2), которым удовлетворяет функция У2^+1(т)и0. и
Замечание. При m > —1 решение (6) удовлетворяет соотношению
lim (t(k-i-Km+2)V2= о . t——0
Для проверки этого факта воспользуемся формулой [5]
Yl(t)uo = Yk+2{t)A.Uo , (9)
на основе которой получаем
2
(т + 2) (2и + 2)
2
^(к-1-и(т+2))/2и^у = {у2и+1(т)щ)[ = ^2У^+1(т)Щ = ^ ^ Г+1У2„+3(т) АЩ .
Поскольку по условию замечания т > — 1, то требуемое соотношение выполнено.
2
Следствие 1. Пусть V > 0, т > —2, т = —-—¿(т+2)/2 п д _ генерат0р ПКОФ
т + 2
С„+1/2(Ь)- Тогда
,гт(Л Т{и + 1){т + 2у+1/Н-^к+т)/А ( Г1 , , Л
} kj.it) — ~^= \Си+і/2(т) — J Р1,_1і2(8)С1,+і/2(8т)ио(І8 \ .
Для доказательства следствия 1 достаточно воспользоваться предыдущей теоремой
1 и формулой (3).
Следствие 2. Пусть к > 1 и А Є Ок ■ Тогда С°к0 = Ок и У£ 0(ї) = Ук (ї).
Для доказательства следствия 2 заметим, что при к > 1, I = 0, т = 0 задача (4),
(5) превращается в задачу Коши (1), (2) для уравнения ЭПД.
Приводимые далее следствия 3-5 вытекают из теоремы 1 и следующей формулы сдвига по параметру (см. [5])
К"(<) = Вт + 1/2. т/2 - ЛУ-2) £ « ~ т > А" (1°>
где В(•, •) - бета-функция.
Следствие 3. Пусть V > 0, 2у +1 > к > 0, т > —2 и А Є Ок■ Тогда имеет место вложение О к С О^і и при этом
2+(1-к+и(т+2))/2 [■ 1 2
Ут(+) = _________—_____________________ И — Ч2^2гУ+1_А')2_1ЧА'У7 (гчЫч Т =______-___+(т+2)/2
к'іХ) В(к/2 + 1/2,и-Л:/2 + 1/2) То ( } к{ } ’ т + 2
Следствие 4. Пусть V > 0, к > 0, 2v +1 < к, т > —2 и А Є О'ті. Тогда имеет место вложение Оті С О к и при этом
2І+”-(к-1)/(т+2) ((т + 2)і)(к-1)/(т+2)-и
В(и+ 1,к/2- и - 1/2) Х
X jT (! - s2)(2,+ l-fc)2-lsfc+(fc-l)/(m+2)-,ym М !^±Ats^ j ds
Следствие 5. Пусть v > 0, 2v + 1 = k, m> -2. Тогда G^i = Gk и
2
I) = tVm/2Yk(r), T = 2)/2
I 2
Вторая весовая задача Коши. В этом пункте для уравнения Мальмстена рассмотрим еще одну весовую задачу Коши. При 0 < v < —, m > — 1 будем развіскиватв решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям
lim (t(k-l+v(m+2))/2u(t)) = щ, lim (t(k— l+v(m+2)V2u(t)y = 0 . (U)
t——0 t——0
Покажем, что операторная функция Бесселя может быть также использована для построения решения задачи (4), (11). Разрешающий оператор этой задачи обозначим через Zmmi(t), а множество операторов A, для которых задача (4), (11) разрешима, обозначим через Н£У
Теорема 2. Пусть 0 < v < —, m > — 1, оператор А Є G\/2-v п щ Є D(A). Тогда
задача (4), (11) имеет решение, которое представимо в виде
2
Z™j(t)Uo = i(i-fc-(™+2))/2 Yi.2v(t)uo, т = . (12)
m I 2
□ Найдем первую и вторую производные от функции u(t) = Z]mi(t)u0. Имеем її (t.) = ^~А:~^т + 2^ i(-1-fc-"(m+2))/2yi_2,(r)'U0 + i(m+1-fc-iy(m+2))/2yi,_2,(r)'Uo , u"(t) = + ^-l-k-u(m + 2)^ ¿(-з-А-,(т+2))/2у1_2гу(т)г/0+
+ - k. - u{m + 2)^ i(m-1-fe-I/(m+2))/2y1/_2l/(r)M0 + i(2m+1“fc“"(m+2))/2iyU,(^)«o •
Подставляя найденные производные в левую часть уравнения (4), получим
k 1
и" (i) + -II (t) + -u(t) = t{2m+1-k-u{m+2))/2Y;i2v(r)uo+ t t2
+ - v{m + 2)) ¿т-х~к-*т+™У[_ъ{т)иь . (13)
Как и в теореме 1, нам понадобится уравнение, которому удовлетворяет функция ™{т) = У\-2у (т)п0,
ю"(т) Л-----—к/(т) = Аю(т). (14)
т
Подставив (13), (14) в уравнение (1), убеждаемся, что п(г) = 2™^)^ удовлетворяет уравнению (1). Справедливость первого начального условия в (11) очевидна, а для проверки второго воспользуемся формулой (9). Будем иметь
^к-1+,{т+2))/2ищ, = {¥і_.2и(Т)щ)[ = Г/2У{_,2Лт)и0 = , , -----гіт+1У3-.2и(т)Ащ .
1
(т + 2)(1 — и)
Поскольку по условию теоремы т > — 1, то второе начальное условие в (10) также выполнено. В
2
Следствие 6. Пусть V > 0, т > —1, т = ----------¿(т+2)/2 п а _ генерат0р ПКОФ
т + 2
Ох/2-у(г). Тогда
Т(-у + 1)(т + 2)^-4-^»*
к, 1\^)^0 >— X
/п
х (сх/2-у(т)ио — ^ Р—и-1/2(в)С1/2-и(вт)ч^в^ . (15)
□ Для доказательства следствия 6 достаточно воспользоваться теоремой 2 и формулой (3). I
Следствие 7. Пусть 0 < к < 1 и А Е Ок. Тогда , 0(1)щ = Ук(Ь)п0 и Щ, 0 = Ок.
□ Для доказательства следствия 2 заметим, что при 0 < к < 1, I = 0, т = 0 задача (4), (11) превращается в задачу Коши (1), (2) для уравнения ЭПД. I
И в рассматриваемом случае справедливы аналоги следствий 3-5.
Следствие 8. Пусть V > 0, 1 — 2и > к > 0, т > —1 и А Е Ок. Тогда имеет место вложение О к С И^г и при этом
2+(1—к—v(m,+2))/2 г 1
= В{к/2 + 1/2,1/2 — V — к/2) /0 (1 - Ь.
Т = 2 ¿(т+2)/2 _
т + 2 ’
Следствие 9. Пусть 0 < V < 1/2, 1 — 2v < к, т > —1 и А Е ЩТогда имеет место
вложение Ит С Ок и при этом
21-V—(к-1)/(т+2) ((т + 2)^<'к-1)/<'т+2)+и
В(1 — и, к/2 -\- и — 1/2) Х
X ^ (1 - 82){1-21'-к)2-18к+{к-1)/[т+2)+1'+ ^ <1з. Следствие 10. Пусть 0 < V < 1/2, 1 — 2у = к, т > —1 и А Е Ок. Тогда Ит = Ок и
2
Ш*) = Г"-^П(г), т = ”“+2,/2 .
\ 2
Приводимое далее следствие вытекает из теорем 1, 2 и формулы сдвига по параметру (10).
Следствие 11. Пусть 0 < V < 1/2, т > —1 и А Е И™^ Тогда имеет место вложение Ит — О'1т1 и при этом
2tv(m+2) , „
та« = b{1_vM І (і - s2)2-+is>*-i'/("*+2)-+iz- ((^/(".+2,, ds (16)
□ У2и+1(^) выражается через У1—2и (^ при помощи формулы (10)
У2и+г(1) = в^-у- р 9/у) У ^ _ «2)2гУ+1«1 2гУ^1-2Л^з) (1в . (17)
Учитывая в (17) равенства (6) и (12), получим требуемое соотношение (16). I
Третья весовая задача Коши. В этом пункте мы рассмотрим случай 0 < V < 1/2, —2 < т < —1, не охваченный второй весовой задачей Коши. При постановке третьей весовой задачи Коши мы будем использовать дробную производную Капуто сдап(Ь) порядка а при 0 < а < 1, которая имеет вид
1 г1
сдаи(Ь) = —--------г (Ь — з)~аи'(з) с1в ,
Г(1 — а) ./0
где Г(-) - гамма-функция.
Теорема 3. Пусть 0 <//<-, —2 < m < —1, оператор А Е G\/2_v п щ Е D(A). Тогда
m k, I(
-V
определяемая равенством (12) функция п(Ь) = Zml(t)u0 удовлетворяет уравнению (4) и начальным условиям
lim (t(k-l+v(m+2))/2u(t)) = u0, limCßa(t(k-l+v(m+2))/2u(t)) = 0 . (18)
t—0 t——0
□ Для доказательства теоремы 3 достаточно проверить справедливость второго условия в (18). Учитывая равенство (9) и начальные условия (2), которым удовлетворяет ОФБ, получим
lim C da(t(k-l+v(m+2))/2 u(t)) = lim C daY1-2v (t )u0 = t^0 t^0
1 Г* sm+1Y3_2u (¿^g(m+2)/2) Лщ _
*->о Г(1 — v{m + 2)) J0 (1 — г/)(те + 2)(t — s)^(m+2) ((1-)(".+2) fl е’+'П-г. (42<fi),m+2,/2) -4“0 ,л _
i™ Г(1 - //(m. + 2)) /„ (1 - 7/)(m. + 2)(1 - 0""“+2)
Литература
1. Глушак А.В. О связи проинтегрированной косинус-оператор-функции с операторной функцией Бесселя // Дифференц. уравнения. - 2006. - 42;5. - С.583-589.
2. Глушак А.В. Задача Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с генератором проинтегрированной косинус-оператор-функции // Науч. Вед. БелГУ. - 2007. -6(37);13. - С.3-8.
3. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. / Н.Н. Лебедев. - М.:Физматгиз, 1963.
4. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон. - М.: Иностранная литерату-ра,1949.
5. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя // Доклады РАН. - 1997. - 352;5. - С.587-589.
WEIGHTED CAUCHY PROBLEM FOR ABSTRACT MALMSTEN EQUATIONS Glushak A.V., Pokruchin O.A.
Belgorod State University,
Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. Some formulas related to the Cauchy problem solution for the abstract Malmsten equation with the operator Bessel function are found. The equation contains the integrated cosine operator function.
Key words: weighted Cauchy problem, integrated cosine operator function, Bessel operator function.
