О свойствах весовых задач Коши для абстрактного уравнения Мальмстена Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

О СВОЙСТВАХ ВЕСОВЫХ ЗАДАЧ КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО

УРАВНЕНИЯ МАЛЬМСТЕНА 4

А.В. Глушак, О.А. Покручин

Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: e-mail:GlushakObsu.edu.ru,

[email protected]

Аннотация. Установлены формулы, связывающие решение весовых задач Коши для абстрактного дифференциального уравнения Мальмстена с операторной функцией Бесселя и проинтегрированной косинус-оператор-функцией.

Ключевые слова: весовые задачи Коши, проинтегрированная косинус-оператор-функция, операторная функция Бесселя.

Ослабление требований на разрешающие операторы задачи Коши для абстрактных дифференциальных уравнений первого и второго порядков привело к понятию проинтегрированной полугруппы и проинтегрированной косинус-оператор-функции (в дальнейшем ПКОФ). В работах [1, 2] приводятся формулы, связывающие ПКОФ С^/2(£) с операторной функцией Бесселя (ОФБ) У^(£) - разрешающим оператором задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)

к

и"(г) + = Аи{1) ) £ > 0 , (1)

п(0) = п0, и1(0) = 0. (2)

В уже процитированных работах [1, 2] приводится и определение ПКОФ, и формула связи ОФБ Уг(£) с ПКОФ Ск/2(£), имеющая вид

У2а^)щ = " ^(са^)щ ~ J Р^_1(г)С'„(£г)и0с£г^ , (3)

где Ра-\(т) — сферическая функция Лежандра [3, с. 202], а > 0.

В работе [4] было показано, что ОФБ и ПКОФ могут быть использованы и для построения решений весовых задач Коши для уравнения Мальмстена [5, с. 113]. По сравнению с [4], в настоящей работе доказаны утверждения о единственности решения рассматриваемых задач и исследованы дальнейшие свойства уравнения Мальмстена.

4Работа выполнена в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (госконтракт № 02.740.11.0613).

1. Первая весовая задача Коши. Пусть Е - банахово пространство, А - оператор, действующий в Е, с областью определения Д(А). Рассмотрим следующую весовую

задачу Коши для уравнения Мальмстена

к 1

и"(Ь) Н—и'(Ь) + ~^и(Ь) = гАи(£) , I > 0 , (4)

£ £2

Ит(^-1-"(т+2))/2п(£))= по , (5)

^о

у/(к - I)2 - 4/ где параметр // = —------------ > 0.

т + 2

Отметим сразу, что при сделанных предположениях, для рассматриваемого дифференциального уравнения второго порядка (4) не ставится ("снимается") второе начальное условие при £ = 0, что характерно для ряда уравнений с особенностью в коэффициентах при £ = 0.

Определение 1. Решением задачи (4), (5) называется функция п(£), которая при £ > 0 дважды непрерывно дифференцируема, принимает значения, принадлежащие

О (А), и удовлетворяет уравнению (4) и условию (5).

Разрешающий оператор задачи (4), (5) будем обозначать Ут (£), а множество операторов А, для которых задача (4), (5) однозначно разрешима, обозначим через С^. Наряду с этим множеством рассмотрим множество Си операторов А, для которых однозначно разрешима задача Коши для уравнения ЭПД (1), (2).

Теорема 1. Пусть V > 0, т > -2, п0 € В(А) и оператор А Е С2^+1. Тогда А Е С™1, т.е., задача (4), (5) однозначно разрешима, ее решение представимо в виде

п(£) = У$(£)по = £(1-^(т+2))/2У2^+1 (т)по , (6)

и при этом справедлива оценка

||У™(£)|| < М£(1-^(т+2))/2ешт , (7)

2

где т =-------£(т+2)/2, ш — показатель роста ОФБ ¥-2и+1 (т), М > 1.

т+2

□ Подстановкой п(£) = £(1-и+Кт+2))/2^(т) задача (4), (5) сводится к следующей задаче:

т"{т) + -—и/(г) = Аю{т), (8)

т

и>(0) = п0 . (9)

Из (8), (9) следует представление (6) и оценка (7), поскольку для ОФБ У2^+1(£) имеет место оценка (см. [6])

||У2*+1(т)|| < Мешт . (10)

Справедливость начального условия (5) вытекает из условий (2), которым удовлетворяет функция У2^+1(т)п0.

Методом от противного докажем единственность решения задачи (8), (9). Пусть и^(т) и и>2(т) — два решения задачи (8), (9). Рассмотрим функцию двух переменных

•и(т, в) = f (У2^+1(в)(^1(т) — и>2(т))), где f Е Е* (Е* — сопряженное пространство),

т, в > 0. Она очевидно удовлетворяет уравнению

д2п 2и + 1 дп д2п 2 и + 1 дп

дт2 т дт дз2 з дз ^

и условиям

(12)

Истолкуем ^(т,в) как обобщенную функцию умеренного роста и применим к (11), (12) преобразование Фурье-Бесселя (см. [7]) по переменной в. Для образа V(т, А), А > 0 получим следующую задачу

М + ^^ = _АМг,Л), (13)

дт2 т дт

V(0, А) = 0 . (14)

Общее решение уравнения (13) имеет вид

V(т, А) = т-*(6(А)3-„(Ат) + 6(А)Ж_(Ат)),

где ■]„(•) - функция Бесселя, N(•) - функция Неймана. Так как функция Бесселя (Ат) при т ^ 0 имеет порядок т- и V > 0, то необходимо ^1(А) = 0. Функция Неймана Ы-и (Ат) при т ^ 0 имеет порядок ти, поэтому из (14) следует £2(А) = 0. Следовательно, г>(т, в) = 0 для любого в > 0. В силу произвольности функционала f Е Е* при в = 0 получаем равенство и^(т) = и>2(т) и единственность решения установлена. ■

Замечание 1. При т > —1 решение (6) удовлетворяет соотношению

11т (£(и-1-Кт+2))/2п(*))/ = 0 .

*^0

Для проверки этого факта воспользуемся формулой (см. [6])

>’/(/)».. = у^[¥к+‘2^Аио ■

Будем иметь

2

((,ь-,-„|т+2»/2!1(()у = (к2,/+1(т)ио); = г*ги,(т)«, = {т + ^ + 2)Г*'У^.(г)Лщ.

Поскольку по условию замечания т > —1, то требуемое соотношение выполнено. Замечание 2. При I = т = 0, к > 1 задача (4), (5) превращается в задачу (1), (2). Условие п;(0) = 0 в этом случае может быть снято.

Теорема 2. Пусть V > 0, т > -2, и0 Є ^(А), оператор А Є Стг и для Ук”| (і) справедлива оценка (7). Тогда А Є С2^+1, т.е., задача (1), (2) при к = 2v + 1 однозначно разрешима и ее решение представимо в виде

т + 2 \ (к-1-Кт+2))/(т+2) и(і) = У2„+і(і)и0 = ( —

уга У Ы

' 171 + 2

~Т

-і

2/(т+2)4

И

(15)

□ Подстановкой

/ т + 2 N 2/(т+2)

и(і) = 5(А'“1_гУ(т+2))/2№(5), 3 = ( —у—Ч

задача (1), (2) сводится к следующей задаче:

к 1

«/'(з) Н—«/(з) Н—= зтАгу(з),

5 з2

Ііт (з(к-1-Кт+2))/2Ц5)) = ио .

«^о 4 у

(16)

(17)

Из (16), (7) следует однозначная разрешимость задачи (1), (2) и представление (15) для и (і), а из оценки (7) - оценка (10). □

Теорема 3. Пусть V > 0, т > -2, и0 Є ^(А). Тогда С2^+1 = Стг.

□ Справедливость теоремы 3 вытекает из теорем 1 и 2. В

2. Вторая весовая задача Коши. В этом пункте для уравнения Мальмстена оценки (4) рассмотрим еще одну весовую задачу Коши, но уже с двумя начальными

условиями, в отличие от первой весовой задачи. При 0 <//<-, т > —2 будем разыс-

кивать решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям

Ііт (і(к-1+К™+2))/2и(і)) = и0, Ііті-т/2(г(к-1+К™+2))/2Цг))' = 0 .

І-Ї 0

і-ї 0

(18)

Определение 2. Решением задачи (4), (18) называется функция и (г), которая при г > 0 дважды непрерывно дифференцируема, принимает значения, принадлежащие Д(А), и удовлетворяет уравнению (4) и условиям (18).

Покажем, что операторная функция Бесселя может быть также использована для построения решения задачи (4), (18). Разрешающий оператор этой задачи обозначим через ^тг(г), а множество операторов А, для которых задача (4), (18) однозначно разрешима, обозначим через Н^.

Теорема 4. Пусть 0 <//<-, т > —2, оператор А Є Сі_2г, и щ Є О {А). Тогда А Є ЯГ„ т.е., задача (4), (18) имеет единственное решение, которое представимо в виде

2

= і(1-й-І/(т+2))/2У1_2і/(г)и0, т = ^^-і(т+2)/2 , (19)

т+2

и при этом справедлива оценка

гТі(г)|| < мг(1-к-^(т+2))/2ешт

(20)

□ Подстановкой и (і) = і(1 к Кт+2))/2 ^(т) задача (4), (18) сводится к следующей задаче:

т"{т) Л------—и/(г) = Аю(т), (21)

т

и>(0) = и0, и>'(0) = 0 . (22)

Из (21), (22) следует представление (19) и оценка (20). Справедливость условий (18)

вытекает из условий (2), которым удовлетворяет функция У1-2^ (т)и0. Единственность

решения данной задачи доказана в работе [8]. В

Теорема 5. Пусть 0 <//<-, т > —2, щ Є О (А), оператор А Є п для Z^{t)

справедлива оценка (20). Тогда А Є С1-2^, т.е., задача (1), (2) имеет единственное решение, которое представимо в виде

/ т + 2 \ (к-1+Кт+2))/(т+2) ( /т + 2 \ 2/(т+2Г

I- (23)

□ Доказательство аналогично теореме 2. В

Теорема 6. Пусть 0 < V < 1/2, т > —2 и0 Є ^(А). Тогда С1-2^ = Н^.

□ Справедливость теоремы 6 вытекает из теорем 4 и 5. В

Замечание 3. При I = т =0, 0 <к< 1 задача (4), (18) превращается в задачу (1), (2) для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Приводимое далее следствие вытекает из теорем 1, 4 и формулы сдвига по параметру (см. [6])

Ут(і) = В{к/2 + 1/2, т/2 — к/2) / (1 " ^ т > (24)

где В(-, •) - бета-функция.

Следствие 1. Пусть 0 <v< 1/2, т> —1 и А Є Н^1. Тогда имеет место вложение

т у— /^т к,1 с Ск,1

нт с ст и при этом

2+^(т+2) г1

ЇТК*) = ””гГ77----------------------ГГ / (І — 52)2^+15(А-1)/(т+2)-^+1^тг(^2/(т+2}) (25)

’ В(1 — V, 2v^0 ’

□ Функция У2^+1(г) выражается через У1-2^ (і) при помощи формулы (24)

У2„+і(і) = У ^ _ «2)2гУ+1«1 2і/Уі-чЛ^з) (їв. (26)

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 107

Учитывая в (26) равенства (6) и (19), получим требуемое соотношение (25). I

3. Третья весовая задача Коши. В этом пункте рассмотрим случай, когда — <

V < 1, не охваченный второй весовой задачей. Будем искать решение уравнения Мальм-стена (4), удовлетворяющее условиям:

Иш (£(к-1+Кт+2))/2Ц*)) = и0 , Цт 11-^(ш+2)(1(к-1+и(ш+2))/2 ,£)у = д . (27)

t^■0 *^0

Покажем, что и в этом случае решение может быть построено с помощью ОФБ.

Теорема 7. Пусть — < V < 1, т > —2, оператор А Е Ср при некотором р > 0 п

и0 € Д (Ам), где N = [^1/2] + 2 ([•] - целая часть числа), N - наименьшее целое, удовлетворяющее неравенству 2^ > р — 1 + 2v. Тогда задача (4), (27) имеет единственное решение, которое представимо в виде

2

= *(1"й"1/(т+2))/2У1_21,(г)ио, г = " л{т+2)/2. (28)

I 2

□ Как доказано в теореме 4, функция ^к™,(£)и0 удовлетворяет уравнению (4) и первому условию в (27). Справедливость второго начального условия следует из равенства

£1—^(т,+2) (^(к-1+^(т+2))/2= £1-Кт+2) (у^2^(Т= Т1-2^У/-2^(т)«0 •

Для доказательства единственности заметим, что подстановкой и(£) = £(1-к-Кт+2))/2эд(т) уравнение Мальмстена (4) сводится к уравнению ЭПД

т"{т) Л------—ю'(т) = Аю(т) ,

Т

а условия (27) превращаются в условия

и>(0) = и0, Иш (т1-2^^/(т)) = 0 •

т ^0

Единственность решения последней задачи доказана в [8]. I

4. Дальнейшие свойства уравнения Мальмстена.

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда задача

г/(£) = Ах>(£), ^(0) = и0

равномерно корректна и соответствующая С0-полугруппа Т(£) представима в виде

(т + 2)-г-‘

1 ' Г(7/ + 1)^+'

х / Т ((т+2)(^+1)+т+к-1)/2 е-тт+2/(т+2)2 *ут (т )^т. (29)

□ В работе [б] приведена формула

1 Г Ж

2кГ(к/2 + 1/2)Ик+1У2

T(t) = 0,TV, /0—1 ske-s2/4tYk(s) ds , (ЗО)

связывающая ОФБ УЦі), k > 0 и порождаемую ею полугруппу T(і). Из (30) и соотношения (1Б) следует вышеуказанное представление (29). В

Наряду с весовыми задачами Коши рассмотрим весовую задачу Дирихле, т.е., задачу отыскания решения уравнения Мальмстена

w"{i) + -w'(t) + -^rw(t) = —tr Aw (t), (31)

і і2

lim (і(р-1+^(г+2))/2w(^) = зд, sup ||і(р-1+Мг+2))/2w^H < M (32)

t-s- о

t> о

- - п V (Р - Х)2 “ ^ ^ п

с некоторой постоянной М > 0, где параметр и =-------------------------- > 0

г + 2

Теорема 9. Пусть ^ > 0, г > —2 и выполнены условия теоремы 5, при этом в неравенстве (20) постоянная ш = 0. Тогда функция

22(1+^-V) ^(1-р+^(т+2))/2

11 ^ (т + 2)1_2гУ(г + 2\ — ту) Х

х г/№-1+т+(т+2111-,.)/2 г/”'+2) г;;(у)щЛу (зз)

является единственным решением задачи (31), (32).

□ Подстановкой w(t) = tS1 р ^r+2')')/2W (т), т = -^т>^Г+2^2 задача (31), (32) сводится

2

г+2‘

к задаче

W"(T) + 1—^W'(t) = -AW(t) , (34)

W(0) = зд, sup ||W(т)|| < M. (3Б)

т >о

Если ^ > 0, то 1 — 2^ < 1 и из (34), (3Б) следует (см. [9]) представление (33) и единственность решения задачи (31), (32). В

Замечание 4. При р< 1, k< 1 и m = l = q = r = 0 задача (31), (32) превращается в задачу (4), (Б) работы [9].

Замечание 5. Уравнение Мальмстена (4) в случае m < —2 с помощью замены переменной і = 1/x сводится к уже рассмотренному уравнению Мальмстена вида

2 - к .,, s . I г.2 '

й"(х) Н---------uf(x) Н-----~й(х) = X m 4Ай(іг)

где u(x) = u(1/x). Осталось только заметить, что —m — 4 > —2 при m < —2.

Замечание 6. В случае, когда m = —2 уравнение Мальмстена (4) превращается в уравнение

k 1

и”Ц) + -и’Ц) = 4(А - U)u(t), (36)

t t2

которое заменой t = ex сводится к уравнению

U/;(x) + (k — 1)м/(ж) = (A — //)U(x) , где u(x) = u(ex). Для этого уравнения корректна, например, задача Коши с условиями

u(0) = u0 , u/(0) = Mi

в предположении что A G G0, а, следовательно, и A — // G G0.

Литература

1. Глушак А.В. О связи проинтегрированной косинус-оператор-функции с операторной функцией Бесселя // Дифференц. уравнения. - 2006. - 42;5. - С.583-589.

2. Глушак А.В. Задача Коши для абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с генератором проинтегрированной косинус-оператор-функции // Научные Ведомости БелГУ. Сер. Физико-математические науки. - 2007. - 6(37);13. - С.3-8.

3. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения / Н.Н. Лебедев. - М.: Физ-матгиз, 1963.

4. Глушак А.В., Покручин О.А. Весовые задачи Коши для абстрактного уравнения Мальмстена // Научные Ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. - 2010. -23(94);21. - С.68-74.

5. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон. - М.: Иностранная литература, 1949.

6. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя -// ДАН. - 1997. - 352;5. - С.587-589.

7. Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя // Мат. сб. - 1955. -36;2. - С.299-310.

8. Глушак А.В., Кононенко В.И., Шмулевич С.Д. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши // Известия ВУЗов, сер. математика. - 6. - С.55-56.

9. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя и связанные с нею полугруппы и модифицированное преобразование Гильберта // Дифференц. уравнения. - 1999. -35;1. - С.128-130.

ABOUT PROPERTIES OF WEIGHTED CAUCHY PROBLEM FOR ABSTRACT MALMSTEN EQUATION

A.V. Glushak, О.А. Pokruchin

Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:[email protected], [email protected]

Abstract. Formulas connecting the solution of weight Cauchy problems of abstract differential Malmsten equation with operator Bessel function and integrated cosine operator function are found.

Key words: weight Cauchy problem, the integrated cosine operator function, the Bessel operator function.