Весовые коэффициенты обобщенных скоростей в алгоритме движения манипуляционной системы в неоднородной среде Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.01

Р. Н. ЕСКЕНИН

Омский государственный технический университет

ВЕСОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ОБОБЩЕННЫХ СКОРОСТЕЙ В АЛГОРИТМЕ ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

В статье рассмотрено влияние величины весовых коэффициентов обобщенных скоростей на движение манипуляционной системы в неоднородной среде. При этом весовые коэффициенты впервые задавали в виде некоторых функционалов, учитывающих свойства среды, что потребовало предложить и соответствующие способы вычисления их значений. Было установлено, что варьированием величиной весовых коэффициентов обобщенных скоростей по некоторому наперед заданному закону можно осуществлять управление манипуляционной системой (МС) в автоматическом режиме и этим обеспечить движение МС на безопасном расстоянии от препятствий. Для решения задачи управления манипуляционной системой предложены функционалы для определения и расчета весовых коэффициентов и рассмотрены два (не единственных) варианта расчета коэффициентов с учетом положения МС относительно препятствий. Варьирование значениями весовых коэффициентов позволяет строить движение МС в неоднородной среде (среде с препятствиями) с учетом положения препятствий.

Ключевые слова: манипуляционная система, алгоритм перемещения, весовой коэффициент, потенциальная функция, препятствие, неоднородная среда.

При построении элементарных движений манипуляционной системы (МС) в неоднородной с ре до по вектору скоростей выходного звена (ВЗ) одна из важных задач - нахождение последовательных конфигураций МС, не имеющих общих точек с препятствием. Известны различные способы построения малых движений МСдля получения таких конфигураций. Один из них - вычисление вектора обобщенных скоростей на каждом шаге перемещения с учетом компенсации движений МС, ведущих к столкновению. Так, вычисление вектора обобщенных скоростей » работе 11) осуществляли на основе введения в алгоритм дополнительного условия - «тропизма». При проникновении МС н запретную зону данное условие позволяет вычислить компенсирующий проникновение вектор обобщенных скоростей. Недостаток предложенного подхода состоит п том, что учет взаимного положения МС и препятствии ведется только при невыполнении условия «безопасности» движения. В то же время в свободном рабочем пространстве вычисление подобного вектора не имеет смысла. В случае же если МС находится в «безопасной» области пространства, алгоритм вычисляет вектор обобщенных скоростей, соответствующий критерию минимизации обьема движении. Подобное пренебрежение положением МС и препятствия в процессе движения ведут к необходимости начала вычислений. связанных с обходом препятствия в сложных условиях, когда несколько звеньев МС находится Слизко от препятствий. В данной работе рассматривается дальнейшая модификация алгоритма, позволяющая увеличит», время движения МС в с вободном пространство, а значит, уменьшить общее время прохождения трассы и более полно реализовать упомянутый выше принцип «тропизма».

В работе 111 применение функционального способа вычисления весовых коэффициентов осуществлялось для регулирования собственных свойств МС. Суть модификации сост оит в задании функционалов дли вычисления значений весовых коэффициентов обобщенных скоростей в приводах с учетом геометрических параметров взаимного положения МС и препятствия

Постановка задачи. Пусть задан плоский, стационарный манипулятор (рис. 1). Шесть вращательных кинематических пар манипулятора сообщают его выходному звену три степени подвижности. Ось вращения кинематических пар совпадает с осыо ’/. мировой системы координат. Конфигурацию манипулятора, определяю! обобщенные координаты В модели не учитывали упругость звеньев и точность сборки Манипулятор осуществляет перемещение ВЗ но прямолинейной траектории, заданной начальной конфигурацией МС и конечной точкой положения ВЗ.

Требуется найти вектор обобщенных скоростей, позволяющий получить решение двигательной задачи, связанной с перемещением ВЗ в следующую точку заданной траектории при условии не пересечения МС с препятствием. Решение этой задачи позволяет реализовать технологические операции в неоднородных средах. При этом в решении необходимо учитывать относительное положение МС и препятствий в свободном пространстве. При с толкновении МС и препятствия на виртуальном уровне используется известный алгори тм {11 обхода препятствий.

Ранее было установлено, что работа алгоритма вычисления весов не зависит от формы препятствий Поэтому для простоты препятствия заданы параллелепипедами. Геометрические параметры препятствий показаны втабл. 1. Препятствия ориентированы

А-

Риг. 1. Кинематическая схема манипуляционной системы.

Цифрами I. 2 обозначены прспятстпия, цифрой 3 обошачт целевая точка, цифрой 4 обозначено пмходнос звено; О - мировая система координат; символами пи да «•» показаны пращательные кинематические пары;

Ф(- обобщенные координаты кинематических пар

Таблица I

Геометрический параметри препятствий

N* препятствия Координаты центра Габаритные размеры

X--ISO: L-IG0.

1 Y- 200, VV-200;

Ъш -50 Н-100

X - 400. L-I00.

2 Y~-IS0; W-200;

Z = -50 Н = 100

Геометрические параметры МС

Таблица 2

Обобщенные координати (рад.) 0 30 160 30 10 45

Длины звеньям |мм) 0 750 000 600 ау> зоо

Координаты целевой точки Х—0: Y 980,2-395

параллельно осям мировой системы координат. Параметры конфигурации манипуля тора и коночной гички траектории приведены птабл. 2.

Построение движения МС 111. В случае плоской» манипулятора, заданною своими параметрами в табл. 2. элементарные движения ВЗ представим век-юром ско-ростей VI Г , V, <ог). который вычислим и соответствии с заданной траекторией движения ВЗ. Здесь г — размерность вектора; У,,Уу - проекции линейной скорости поступательного движения центра ВЗ на координатные оси мировой системы координат; <о, — мгновенная скорость (поворот) ВЗ вокруг оси г мировой системы координат. Зависимость вектора V от вектора <7:. </,. Яу 7*) обобщенных скоростей. задается системой линейных уравнений |2]:

JO - V,.

(I)

где./ - матрица частных передаточных отношений (МЧПО) (31

Степень р двигательной избыточности определена разносгыор=п-л II - количество обобщенных скоростей МС и. соответственно, число кинематических нар 5-го класса В рассматриваемом случае г=3. я =6и р = 3. Степень двигательной избыточности определяет размерность р-плоскости Г в пространстве обоб-

щенных скоростей, содержащей все возможные решении системы (1). Погрешности линеаризации накладывают ограничения па множество векторов обобщенных скоростей, удовлетворяющих точности позиционирования ВЗ на траектории (2|.

В качестве критерия оптимальности используем квадратичный функционал объема движения 11):

1-І

12)

где / — весовой коэффициент соответствующей обобщенной скорости кинематической пары.

В работе [1| весовые коэффициенты / задаются константами либо функционалом, учитывающим собственные свойства МС. Коэффициенты ^соответствуют моментам сопротивления в приводах и позволяют перераспределит, объем движения между ки нематическими нарами. В качестве иллюстрации данного факта на рис. 2 показан график, построенный при увеличении весового коэффициента У, что ведет к уменьшению обобщенной скорости q, в данной кинематической паре. Подобная зависимость сохраняется для всех обобщенных скоростей и их весовых коэффициентов. При этом обобщенные скорости остаются знакопостоянными. Отсюда следует, что

Рис. 2. Запмсимость значения обобщенной скорости <д,) от весового коэффициента и,)

значение весового коэффициента но изменяет направление движении данной кинематической мары, и то же нремя ре1улируи его.

В случае, когда псе весовые коэффициенты равны, точка М р-плоскости Г, минимизирующая объем движении МС, наиболее близка к началу координат |2|. Даннам точка задается радиус вектором (^обобщенных скоростей и может быть найдена вычислением точки пересечения р-плоскости Г и перпендикуляра к ней, проходящего через начало координат В противном случае минимизация критерия (2) с учетом дополнительных условий (11 осуществляется методом неопределенных множи телей Лагранжа 111, либо итерационными методами.

Функциональный способ пычисления весовых коэффициентом. При движении МС в неоднородной среде необходимо на протяжении всей траектории учитывать относительное положение МС и препятствий. Таким образом, возможно значительно увеличить время движения в свободном пространстве и тем самым снизить вероятность столкновении при выполнении двигательного задания, либо исключить ее.

Вектор столбец .1^ матрицы частных передаточных отношений (МЧПО), рассчитанной для некоторой 1-ой точки МС, позволяет определить влияние /•ой кинематической пары на положение и ориентацию данной точки. При этом предполагается, что точка, для которой вычислена МЧПО. находи тся от первого неподвижного «вена «дальше» в рамках кинематической схемы, чем у-н кинематическая пара. Для указанных расчетов в соответствии С рассматриваемой кинема тической схемой воспользуемся норными двумя компонентами вектора ./,, характеризующими влияниеу-ой обобщенной скорости на по? ступательноедвижспие 1-ой точки МС. Так как обобщенная скорость (^знакопостоянна, томя определении направлении вектора ./^воспользуемся знаками компонентов вектора Ол|:

13)

Введем вектор Р(., направления от препятствия для данной точки произвольного звена, в виде разности векторов:

Гл-Р,-Рс И)

где Р - радиус вектор точки звена ближайшей к ближнему из препятствий к; Рд - радиус вектор точки препятствия к, ближайшего к звену /. В результате проделанных вычислений для каждого звена получим

одну точку Рг, находящуюся на минимальном расстоянии от ближайшего к звену препятствия и каждой такой точке будет сопоставлен вектор Рл, направления от ближайшего препятствия. Матрица частных передаточных отношений рассчитывается для каждой вычисленной точки Р. Вычислим влияние /-ой кинематической пары на точку Р, в направлении вектора Гл:

.Д.]

\*АУ

(5)

где выражение п скобках - скалярное произведение векторов.

В качестве виртуального потенциала для оценки влияния данного препятствия на точку Р( применим степе иную функцию |4|

Р-И.І

(01

где - степень влияния препятствия на движение МС. В данном случае степень (*, варьируется в диапазоне от 0 до 1.

В качестве интегрального показателя влияния данной кинематической пары на относительное положение МС и препятствий впервые предлагается использовать средневзвешенное влияний JlUl:

..^ф'Р\‘Рг...Рн4,)ш*,Л 'п-----(7>

IА

гдо(11 - момент сопротивления движению кинематической пары. Множитель с/, варьируется в диапазоне от 0 до I. Фактически множитель сГвыполняет функцию весовых коэффициентов 11 в работе? 111, регулируй моменты сопротивлении движению в кинематических парах.

Исходя из того, что для реализации условия «тропизма» необходимо снизи ть объем движения в кинематических парах, приближающих МС к препятствию, но и не увеличивать ею в отдаляющих, для вычисления весовых коэффициентов воспользуемся эвристическим правилом

Ю 4 4

I м<і_яв

(8)

В качестве альтернативного вариаігта, основанного на эвристических правилах, для вычисления весовых коэффициентов воспользуемся функцией:

<4

(«)

гАеК1-«и^;/;»1Цл.

Применительно к функциям (8) и (9) коэффициенты г/, — задают степень участия в перемещении ВЗ МС отдельной кинематической нары, коэффициенты Р(—задают влияние данного препятствия на положение МС.

Варианты вычисления элементарных движений МС при перемещении ВЗ по траектории пронумерованы: № I — вычисление без учета положения МС и препятствий на протяжении всей траектории;

ЗИН1\ПвОМИП1»Г« И |ИНЗОЛЭОКИШ»И 6094 <С,) * * *ИИ1ЭМ «Н«4ЬАУН

р

6)

Рис. 3. Графики изменения суммарного минимального расстояния от МС до препятствий:

<1- минимальное расстояние от МС до соответствующего прснятстпня; Р - весовой коэффициент препятствия I

Рис. 5. Варианты движения ВЗ МС по траектории

П

Рис. 4. Минимальное расстояние до препятствия на каждом шаге МС: с1 - расстояние до ближайшею препятствия; п - номер шага

N9 2 - вычисление с учетом положения МС и препятствий на протяжении всей траектории с применением функции (8); Мо 3 — вычисление с учетом положения МС и пропято вий на протяжении всейтраектории с применением (функции (9).

На рис. 3 показаны (рафики суммарного {по всем шагам МС) минимального расстояния ггг МСдо задан-нои I препятствия в зависимости от соответствующего этому препятствию коэффициента (5,. В расчете коэфз-фициентР, —0...1, коэффициент Р2= I — Рг Цифрами I и 2обозначены «рафики для первого и второгопре-пятс.тний соответственпо. Рис. За соответствует варианту расчета № 2. рис. 36 соответствует варианту расчета N9 3.

Как видно из графиков на рис. 3, в растете № 2 рг = 0.25 наиболее удовлетворяет условию «тропизма» относительно перпого препятствия, в расчете №3 этому условию наиболее удовлетворяетР, = 0.95. При ЭТОМ изменение соотношения величин коэффициентов ведет к соответствующему изменению расстояний до препятствий.

Сравнительный анализ функций вычисления пссовых коэффициентов. Основным параметром оценки относительного положения МС и препятствий можно принять минимальное расстояние от МС до препятствий. Также необходимо оценить 061.ем движения. затраченный на перемещение ВЗ по траектории.

На рис. Л показан график изменения минимального расстояния до препя тствий при движении ВЗМС по траектории. Положение и габаритные размеры препятствий заданы в табл. 1 Конфигурация МС и положение целевой точки заданы втабл. 2. Дли варианта расчета №2 коэффициенты с/I, р. = 0.3; для варианта расчета N0 3 с/, = 1, Р, — 1.

На рис. 4 штрих пунктирной линией и цифрой I обозначен график изменения минимального расстояния для случая построения элементарных движений МС без учета положения препятствий на протяжении всей траектории (расчет № I), штриховой линией п цифрой 2 обозначен |рафик с использованием первой предложенной функции вычисления весовых коэффициентов (расчет № 2). сплошной линией и цифрой 3 обозначен графике использованием второй функции вычисления весовых коэффициентов (расчет N0 3) Рис. 5 имеет аналогичные обозначения тнпамилиний.

Минимальное расстояниедо препятствия, ранное десяти, считается столкновением. Как видно из рис. >\ столкновение при расчете №1 на шестом шаге, при расчете № 2 на двенадцатом шаге, при расчете № 3 столкновения не происходит. Таким образом, третий вариант функции вычисления значений весовых коэффициентов наиболее соответствует условию «тропизма».

Суммарный объем движения за траекторию будем рассчитывать как сумму объемов движения МС на

кяждом шаге. Для рассматриваемых вариантов расчета суммарный объем движении соответственно ревем N5 I 2.83, N9 2 2.71. N0 3 2.80. Наименьший объем движения соответствует варианту расчета М? 2 в связи С тем, что данный вариант расчета более близок по локально оптимальному объему движения (на данном шаге) к варианту № I и при этом позволяет снизить вероятность столкновения с препятствием, а также улучшить положение МС относительно препятствий. Тем самым достигается глобальная оптимизация объема движении на протяжении лпижения МС по траектории. Вариант расчета N9 2 является компромиссным вариантом между условиями «тропизма» и минимизации объема движения МС.

На рис. 5 проиллюстрированы движения МС в среде г препятствиями для всех вариантов расчета. Для наглядности показаны только начальные и конечные конфигурации МС и траектории движения центров кинематических пар. Обозначения совпадаютс рис. 1. Параметры препятствий и МС заданы в табл. 1 и 2.

Выводы. Доказано влияние функциональных весовых коэффициентов обобщенных скоростей па поведение МС и его ВЗ при движении в неоднородной среде

Показано, что подбором значений для вновь пред-пленных коэффициентов^ обобщенных скоростей МС можно оптимизировать движение МС него звеньев в неоднородном пространстве. Показано, что применение варианта расчета N9 2 позволяет получить движение ВЗ МС но траектории с учетом компромиссного условия «тропизм - минимум объема движения», а применение варианта № 3 максимально соответствует условию «тропизма».

Основными достоинствами предложенной модификации алгоритма 111 и способов вычисления весовых коэффициентов кроме указанных выше являются:

1. Уменьшение вероятности столкновения МС с препятствиями.

2. Минимизация объема движения (в частности, см. вариант № 2| за счет улучшения положения МС относи тельно препятствий при обеспечении условии непересечения с препятствием.

3 Возможность осуществления движения с учетом не только двоичных препятствий, но и разнородных |4|, отличающихся разной преодолимостыо или другими физическими свойствами за счет осуществления регулирования коэффициентов Рг

Библиографический список

1. Кобринскнй ДА,. Кобрииский Л Ь Млиипулмцишшые системы роботи: основы устройства, элементы теории. - М.. Наука. Главная редакция фииико-математической литературы. 1985. - 344 с.

2 Г1р»гтыкинФ.Н„Ескеннн І* I I Исслгдпплнисформыиполо женим областей, льющих допустимые лишении никторл обоб-тонных скоростей мобильного робота в многомерном ПрОСТрДИ стве//Омский научный вестник - 2006. — 1Мв 4. - С. 95— 100.

3 Шлхинпур М. Курс робототехники / пер. с англ. - М. : Мир, 1990 - 527 с,

4 Платонов А.К., Кнрнльченко Л Д. Колганов М.А. Метод потенциалов н задаче выбора цуги: историк и перспективы. -М : Российская академии наук. - 2001 - 32 с

ЕСКЕНИН Ренат Нургалиевич, преподаватель кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

Лдресдля переписки: с-таіі: 3DRaven@gHunI.com

Статьи поступила в редакцию 22.09.2009 г.

Р. I I. Есксннн

Книжная полка

Металлорежущие станки (Текст]: учеб. для вузов по специальности «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» / В. Д. Ефремов (и др.]; под ред. П. И. Яще-рицына. — 5-е изд., перераб. и дои. — Старый Оскол: ТНТ, 2009. — 695 с.: рис. — (Тонкие наукоемкие технологии). —Библиогр.: с. 672-677. — Предм. указ.: с. 678-607.

В учебнике рассматриваются назначение, устройство, работа механизмов и настройка кинематических цепей основных типов металлорежущих станков, включая станки-автоматы и станки с программным управлением Дается понятие об агрегатных и многоцелевых станках, автоматических линиях, гибких переналаживаемых комплексах, оснащенных роботами и манипуляторами.

Освещаются вопросы эксплуатации станков. Приведены конструкции технологической оснастки и вспомогательного инструмента.

Рассматриваются вопросы, связанные с ремонтом и модернизацией металлорежущих станков,

Резание материалов (Текст]: учеб. для вузов по специальности «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» / Е. Н. Трембач |и др.]. — 3-е изд., перераб. и дон. — Старый Оскол: ТНТ, 2009. — 511 с.: рис., табл. — (Тонкие наукоемкие технологии). — Библиогр.: с. 509-511. — 1ЯВМ 978-5-94178-135-5.

Изложены основные вопросы процесса резания материалов: закономерности превращения срезаемого слоя в ст ружку, формирования поверхностного слоя детали, изнашивании режущих инструментов; рассмотрены і'еометрические параме тры инструментов в статике и движении, форма и размеры срезаемого слоя, силопые и стойкоп ные зависимости, определение рациональных режимов резания и условий эксплуатации инструментов для различных методов обработки материалов резанием.