CC BY
40
УДК 621.01
Р. Н. ЕСКЕНИН
Омский государственный технический университет
МИНИМИЗАЦИЯ ОБЪЕМА ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯЦИОННОЙ СИСТЕМЫ, ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ_
В статье представлена модификация алгоритма вычисления вектора обобщенных скоростей манипу ляционной системы. Предложен критерий оптимальности поиска вектора обобщенных скоростей, удовлетворяющего условию непересечения с препятствием. Предложена реализация адаптационного цикла алгоритма поиска вектора обобщенных скоростей, позволяющая осуществить наискорейший поиск.
Ключевые слова: манипуляционная система, алгоритм, объем движения, вектор обобщенных скоростей, оптимальность.
Одна из задач при построении элементарных движений манипуляционнойсистемы (МС) заключается и нахождении оптимальных скоростей звеньев ее механизмов. Существуют различные критерии построения малых движений МС, позволяющие полу-чан. решение двигательных задач с оптимальной скоростью звеньев и минимизировать энергозатраты. В работе 111 поиск вектора обобщенных скоростей в адаптационном цикле осуществляли итерационным способом. Недостаток способа состоит в необходимости последовательного перебора множества возможных конфигураций. В данной работе рассмотрена модификация указанного алгори тма применительно к среде с препятствиями, позволяющая:
— получить конфигурации, соответствующие критерию минимизации изменения объема движения в кинематических парах;
— построить множество конфигураций, удовлетворяющих точности позиционирования выходного звена (ВЗ) на заданной траектории;
— сократить время поиска конфигураций, удовлетворяющих вышеприведенным условиям.
Постановка задачи. Пусть задана некоторая мобильная МС (рис. 1). Транспортная тележка системы условно изображена в виде окружност и Ь. Положение центра подвижной тележки определяют обобщенные координаты л-, и яг Конфигурацию манипулятора, установлено!« на мобильной тележке, определяют обобщенные координаты (р{ _(1. В модели не учитывали упругость звеньев и точность сборки.
Для конфигураций, приведенных в таблице, требуется найти множество век торов обобщенных скоростей, позволяющих получить решение двигательной задачи, связанной с перемещением ВЗ в следующую точку заданной траектории при условии минимизации объема движения в кинематических парах. Минимизация объема движений в кинематических парах механизма манипулятора важная задача. Ее решение и реализация в производстве дают возможность сократить технологическое время на выполнение операций и расход электроэнергии, сократить износ кинематических пар, а также сохранить на длительное время заданную точность выполнения движений. Параметры, характеризующие геометри-
ческую модель механизма робота, заданы в ниже следующей таблице.
Модифицирование алгоритма (1 ]. Известно, что простейшие движения ВЗ определяют вектором скоростей Уг,У,,®,,«» ,а>,), который вычисляют в соответствии с заданной траекторией ВЗ. Здесь г — размерность вектора; — линейные скорости
поступательного движения центра ВЗ; —
мгновенные скорости (повороты) ВЗ. Зависимость
вектора V, от вектора (}(<;,,яа,<р......ф, ) обобщенных
скоростей, задается системой линейных уравнений |11:
Щ = (1)
где7 - матрица частных передаточных отношений [2|; О - вектор обобщенных скоростей (I); степень р двигательной избыточности определена разностью р = п — г; п — количество обобщенных скоростей МС, г — размерность вектора V, В рассматриваемом случае г = 6, п-Вир = 2.
В многомерном пространстве О первые г уравнений линейной системы (1) задают некоторую р-плос-кость. Если р>0, система линейных уравнений (1) имеет множество решений.
Для нахождения век тора О обобщенных скоростей, позволяющего перемещать ВЗ по заданной траектории, вычислим коэффициенты уравнений (2) гиперплоскостей £,(»' = 1,...,р). Данные гиперплоскости перпендикулярны гиперплоскостям системы (I):
Л.. А + -Л., А + Л.оФ. + ••• + -Л., Ж = 0. 12)
где / = 1.....р.
Геометрические параметры МС
Таблица
Код/, кинематического преобразователя |2| 4 5 3 1 I 3 2 3
Длина /, звена, мм 0 0 0 750 600 600 350 300
S мм, <р град, коиф №1 500 500 •145 130 -125 90 100 0
S мм, <р град конф № 500 500 •145 170 •150 90 100 0
' здесь значения I соотвстсвуют кинематическим плрлм 5-го класса; (■ I, .3 характеризуют поворот вокруг осей х. у, г;
1-4. .6 характеризуют поступательное перемещение вдоль осей системы координат, совмещенной с центром кинематической нары |2|,
I - длина звена в миллиметрах; S, <р град. - значения обобщенных координат
Рис. 2
Для гиперплоскости I, из семейства гиперплоскостей £,(/= 1,...,р) услоние перпендикулярности к гиперплоскостям, заданным системой линейных уравнений (I), имеет следующий нид:
(3)
где Л.1.1 л ~ коэффициен ты линейнот уравнения (2), задающего семейство гиперплоскостей £,(/ = 1.....р).
Для решения системы (3) найдем ортонормированный базис Кел/ = Ji в п-мерном пространст ве нулей матрицы J, „ (31. Линейная комбинация р век торов данного базиса есть частное решением системы и определяет вектор-нормаль к искомой гиперплоскости 2,. Таким образом, находя на каждом шаге последовательно по одному из уравнений для семейст ва гиперплоскостей £,(»' = 1.....р), мы зададим систему линейных уравнений, определяющую векгор 0М п-мерного пространства О обобщенных скоростей. Вектор 0)Ч1 удовлетворяет минимуму квадратичного функци-
опала обьема движения [ 11. Движение в соответствии с вектором обобщенных скоростей QM удовлет-воряеткомпромиссномуусловию(1| «экономность— скорость».
В неоднородной среде возможно построение элементарных движений манипуля тора в обход препятствия. В случае ког да век тор QM не удовлетворяет требованию непересечения МС с препятствием, можно ввести и примени ть специальный вектор QN обобщенных скоростей [4|:
Qn=Qm +ÍX-H-Q.« (4)
i-I
где нормированные векторы Q„ - орты, задающие направление осей репера в подпространстве р-плоскос-ти; т— длина единичного отрезка репера р-плоскости; к( - координаты точки задающей вектор QN н р-плоскости, i = 1,2.....р; здесь р - степень двигательной
избыточности.
Множество векторов QN, задающих конфигура-ции, удовлетворяющие точности позиционирования выходного звена па заданной траектории, образует некоторую область Q„ |5|. Итерационный перебор конфигураций этой области, обеспечивающих выполнение условия непересечения МС с препятствием, позволяет строить элементарные движения МС в неоднородной среде |5|.
Объем движения УУдля данного вектора QN но аналогии с 111 определим формулой:
W = £kJ. (5)
1-1
где q„t — компоненты вектора QN.
При столкновении МС на виртуальном уровне с препятствием и возникновении тупиковой ситуации, в адаптационном цикле необходимо осуществить поиск такого вектора Q4, который позволит построить движение МС в обход препятствия. Для этого ранее использовали полный итерационный перебор точек области Qs, основанный на переборе значений переменных к . Для оптимизации и ускорения поиска введем критерий оптимальности VV,:
W=W. -W. -> min. (в)
Тогда выбор переменных kt, удовлетворяющих данному критерию, позволит найти векторы QN за существенно меньшее число шагов и но объему движения наиболее близкие к вектору QM. Объединяя соотношения (5) и (6), получаем критериальную систему минимизации объема движения МС. В этом состоит суть модификации алгори тма [ 11.
На рисунках 2а, б, показан объем движения МС для различных значений к, Как видно изданных рисунков, объем движения возрастает линейно, что согласуется с уравнением (5).
Для дальнейшего вычисления значений переменных к,, задающих вектор QN, который удовлетворяет критерию оптимальности (6) введем векторы
G,(/ = l.....2р). Эти векторы (рис. 2в,г) показывают
направления векторов градиента функции W(7). Векторы G, нормированы и совмещены с началом координат. При степени избыточности р = 2 для конфигураций, показанных на рисунках 2, де, существует 2р векторов G,(í«=l,...,2p). Градиент W нами определен следующим соотношением:
grad W = ¿[sgrn(gN (AJJ-g^l (7)
/-i
где Qn/W - компоненты вектора QN, вычисленного для заданных значений к,; (7„, - компоненты вектора Q,.
Вначале необходимо вычислить неколлинеарные векторы G,(/ = l,...,p). Остальные р векторов
G,(/' = (p + l).....2р)коллинеарны вычисленным, но
имеют противоположное направление.
Вектор G, вычисляем по соотношению (7) в произвольной точке, исключая начало координат. Направление следующего шага определяем вектором LCJ, Этот вектор лежит в плоскости, перпендикулярной вектору С,. Для его определения зададим и решим систему уравнений:
HLCI= 0, (8)
где Н — матрица, составленная из компонентов векторов G,, вычисленных на í-м этапе алгори тма ; Lc|(y = 2,...,2p) - вектор, перпендикулярный векторам G,.
Векторы, используемые в процессе вычисления вектора G,, показаны на рисунке 3. Там же показана произвольная точка о, выбранная для расчета вектора G,, и некоторая произвольная точка b на направлении вектора L{;,. В точке b рассчитывается вектор G2. Параллелограмом схематично обозначена проекция линии уровня поверхности, заданной уравнением (5). Каждый последующий вектор L,., вычисляется решением системы (8), дополненной всеми найденными векторами G(.
Чтобы осуществить модифицированную игтера-цию в полной мере введем дополнительно вектор К, задающий направление изменения объема движения W по критерию оптимальности (6). Тогда значения переменных к,, также удовлетворяющих критерию (6), можно выбирать в соответствии с направлениями векторов К,(/ = 1,...,2р), Векторы К,()= 1.....2р), показанные на рисунке 26,в, определим как сумму последовательно каждых р неколлинеарных векторов G,(í = 1,...,2р). Теперь, воспользовавшись нормированными векторами К, уже можно за минимальное число итераций (по сравнению с полным перебором), найти вектор QN, удовлетворяющий выше заданным условиям минимизации поиска. Предлагаемое уравнение (9) определяет значения к, по направлению соответствующего вектора К,:
к,шКы-и, (9)
где KtJ — компоненты нормированного вектора К,; j = 1,...,2р; i = 1,...,р; и — расстояние поиска. В случае если поиск по направлению соответствующих векторов К, не привел к удовлетворительному результату, неоходимо перезадать вектор G, поворотом на некоторый угол к первоначальному его положению и повторить весь процесс либо вернуться к полному и терационному перебору.
Для проверки эффективности модифицированного алгори тма был проведен вычислительный эксперимент. В качестве модели взяли первую конфигурация из таблицы. Целевая точка движения ВЗ по прямолинейной траектории задана координатами (700,-748,349). На каждом шаге движения выбирались значения к,, наиболее близкие к началу координат. На рисунке 4 представлены графики распределения объема движения по шагам МС. Как видно из рисунка объем движения (соответствует вектору 0Í,), вычисленный в тестовой задаче по предлагаемому алгоритму, меньше объема ^движения (соответствует вектору QJ,), вычисленного итерационным
Рис. 3. Расположенно векторов, используемых н процессе вычисления вектора G,
Рис. 4. Распределение объема движении по траектории
перебором при ныборе норного удовлетворительного значения. - обьем движения МС в однородном (без препятствий) пространстве (соответствует вектору (}„). Таким образом, можно утверждать, что ниже приведенное неравенство (10) справедливо в случае применения модифицированного адаптационного цикла в алгоритме 111 для оптимизации поиска конфигураций МС в неоднородном пространстве.
Q„«QÍ,<Q^. НО)
Выводы. Предложен критерий Wft оптимальности изменения объема движения для поиска значений векторов Qn за возможно минимальное число шагов. Введены векторы К |, соответствующие направлению минимального роста объема движения для нахождения переменных к,, задающих значения вектора Qs, соответствующего предложенному критерию оптимальности. В результате этого итерационный перебор всех значений к, заменен на выбор в соответствии с направлением единичных векторов К,. Поиск векторов Qn, удовлетворяющих условию непересечения МС с препятствием, в представленном алгоритме осуществляется за меньшее число шагов, чем при полном итерационном переборе. Найденный с помощью данной) алгоритма век тор Оч, по объему движения также меньше либо равен вектору Qv найденному итерационным методом.
Библиографический список
1. Кобринский A.A.. Кобринский А.Е. Манипуляционные системы роботов: основы устройства, элементы теории. - М Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 344C.
2. Корендисев А.И., Саламандра Б.А., Тывес Л.И. Определение числа степеней свободы исполнительного органа промышленного робота//Машиноведение. — 1985. - No6. — С.44-53.
3. Г. Корн, Т. Корн Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973. - 832 с.
4 Притыкин Ф И Геометрически обоснованные принципы построения адаптивной системы управления мобильного робота, функционирующего в сложноорганизованных средах. Часть I // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2004. - N« 3 . -С. 31 - 35, Часть 2// Мехатроника. автоматизация, управление. — 2004. - №4. - С. 2-8.
5. Притыкин Ф.П., Ескснин Р.Н. Исследование формы и положения областей, задающихдопустимые значения вектора обобщенных скоростей мобильного робота в многомерном пространстве//Омский научный вестник. - 200С. - N«4. - С.95 - 100.
ЕСКЕНИН Ренат Нургалиевич, аспирант, ассистент кафедры начертательной геометрии и инженерной графики.
Статья поступила в редакцию 23.12.08 г, © Р. П. Ескснин
Книжная полка
Материаловедение и технология конструкционных материалов (Текст]: учеб. для вузов по направлениям подгот.: «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств», «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» / В. С. Кушнер (и др.]; под ред. В. С. Кушнера; ОмГТУ. - Омск: Изд-во ОмГГУ, 2008.
Ч. 1: Материаловедение. Металлургия и литейное производство. - 2008. - 231 с.: рис., табл. - Библиогр.: с. 230-231. - 15ВМ 978-5-8149-0633-5.
Ч. 2: Обработка металлов резанием, давлением, сваркой. - 2008. - 287 с.: рис., табл. - Библиогр.: с. 286-287. - 15ВЫ 978-5-8149-0643-4.
Рассмотрены основные металлургические и машиностроительные технологические способы формообразования заготовок и деталей машин резанием, обработкой давлением, сваркой, электро-физико-химическими и нетрадиционными технологиями. Рассмотрены особенности получения и обработки композиционных ма териалов и полимеров. Описание технологических процессов основано на рассмотрении их физической сущности и предваряется теоретическими сведениями о тепловых, механических и термомеханических закономерностях.
