Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания в очереди Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОТКРЫТОЙ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЧЕРЕДЬЮ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ И ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ В ОЧЕРЕДИ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с очередью конечной длины и ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Проведена подробная математическая формализация модели и вычислены вероятностные характеристик систем массового обслуживания этого типа.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

The mathematical model of multi-channel queuing system of open type with a queue offinite length and bounded mean residence time in the queue is presented. A detailed mathematical formalization of the model is held; the probabilistic characteristics of queuing system of this type are calculated.

1. В настоящее время значительный интерес представляет исследование таких систем массового обслуживания (СМО), для которых общее время пребывания одной заявки в очереди на обслуживание ограничено некоторым случайным временем ^ со средним значением ^ . С такого рода системами массового обслуживания приходится иметь дело достаточно часто. В монографиях [1, 2] и примыкающим к ним работам [3, 4] была подробно изучена система массового обслуживания с ограниченным средним временем ожидания заявок в очереди. Математической основой при этом является введение в рассмотрение функции Миттаг-Леффлера первого порядка Е^;/) [4, 5], определяемой формулой

k = 0

z

Г( + k)

где Г - гамма-функция, позволяющей значительно упростить большинство промежуточных расчётов. Полученная на этой основе единая, внутренне связанная, система сравнительно компактных формул позволила адекватно описать все основные характеристики стационарных режимов такого рода одно-канальной СМО - вероятность простоя системы ро ,

коэффициента загрузки т и среднюю длину очереди /, а также вычислить соответствующие этим характеристикам временные величины.

Предположим, что мы имеем многоканальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и очередью неограниченной длины. Пусть интенсивность потока заявок равна X, а интенсивность обслуживания, то есть среднее число заявок, которые обслуживает прибор в единицу времени, есть /. Поток обслуживания тоже будем считать простейшим (с интенсивностью /).

Предположим далее, что общее время пребывания одной заявки в очереди на обслуживание ограничено теперь некоторым случайным временем ^ со средним значением 1. Тем самым, на каждую заявку, находящуюся в системе, действует поток уходов с интенсивностью

Г / .

Ясно, что если этот поток носит простейший характер, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Рассмотрим теперь несколько другой вариант поставленной выше задачи.

Именно, рассмотрим теперь многоканальную систему массового обслуживания, для которой фиксировано максимальное число требований, ожидающих обслуживания; в частности, предположим, что в очереди одновременно могут находиться не более N заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Поступление новых требований происходит по закону Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со средней интенсивностью обслуживания / заявок в единицу времени. При этом, однако, в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше заявок, чем т + N . Ясно, что при N такая система массового обслуживания сводится к изученной в цикле работ [1-4]. Заметим, что задачи такого рода весьма часто встречаются на практике в задачах логистики и поэтому данная постановка задачи представляется весьма актуальной. Граф системы массового обслуживания такого рода изображён на рис. 1. Проведём математическую формализацию поставленной задачи.

Как видно из графа, представленного на рис. 1, перед нами классическая вероятностная схема процесса гибели и размножения, точно так же, как и в работах [1, 2]. Применяя полученные там общие выражения для вероятностей предельных (стационарных) состояний в этой схеме, получим

2 Л

pi =—po ; p2 = м

Л3

V po; p3=v po;

i

от+1

Рт ="

т! л'

рт+2 —

"р0 ; рт+1 —

т!/ит (т/и+у)

Ро;

пт + 2

Ро;

рт+3 —

т!л" (тл+у)(тл + 2 у)

^т + 3

т!лт (тл+У)(""л + 2у)(тл+ Зу)

Ро;

о" + N

рт+3 -

т!л" (т л + у)(т л + 2у)••• (т л + ^у)

ро/

и так далее, или в обозначениях р — ^л и р — у л (своего рода приведенная интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из очереди, параметр р показывает, сколько в среднем заявок покидает очередь необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки)

р

Л — рр0; р2 ——ро;

рт — . ро ; рт+1 —

т!

р

рз —ро;

ро;

т!(т+р)

рт+2 —

Р

т!(т+р)(т+2 р)

т+3

ро;

рт+3 —

Р

т!(т +р) (т + 2 р)(т + 3р)

Р

ро;

ро/

р"+3 т!(т+р)(т + 2р)---(т+Ж р) В итоге имеем следующие формулы для :

„к

Р 7

рк ро пРи к < т; к!

—_рк_

Рк т!(т + р)(т + 2р)---[т + (к -т)р]

при т < к < т + N .

Запись последних формул для р^ можно упростить

следующим образом. В самом деле, разделим числитель и знаменатель второго из этих соотношений на рк - ". Тогда получим

Р Р

Рк Ро пРи к < т; Рк =-к!

„к-"

а

-Ро

"! Чр+1)к-т

при т < к < т + N ,

где (а)к — а (а +1) (а + 2) ... (а + к -1) ; (а)о — 1 - символ Похгаммера [5]. Величина а—Рр—^у, очевидно, показывает, какое среднее число заявок по

+

+

+ Ч.

+

т

о Рч

ступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. В этом случае из условия нормировки имеем

Ро — \ет-1 (Р)+Р I т!

п/р +1

т

а

а

а

(т/ 5 +1) (т/ 5 + 2) (т/ 5 + 1) (т/ 5 + 2) (т/ 5 + 3)

^ ((#+1 =1

N+1 к-1 , N+1 _к

= _=1 V "

г(Р-и]Л -г ¿-I

к=0

г(+1+ к) к=1 Г( + к) ^ Г( + к)

+— +

(т/5 + 1) (т/ 5 + 2) •••(—/ 5 + N

=1 — р

14

Р

т!

а а2 ^ 1+^--

(т/ 5+1) (т/ 5+1)2 (т/5+1)л

,т N

-1 р+Р х

т! к=0 (т/5+0к

(1)

В этом соотношении

ет (р)=1 + Р + Р- +... + £1! 2! т!

- неполная экспоненциальная функция (неполная экспонента). При этом е0 (р) = 1, а при т <0 полагаем ет (р) = 0 . Ясно, что ет (р)^ ер при т ^ ж . Рассмотрим более внимательно конечную сумму

*=х

а

к = 0

(т/ 5+1)к

в формуле (1). Ясно, что в отличие от соответствующего соотношения модели [1-4], в котором суммы бесконечного числа слагаемых в знаменателе подобных формул сводились к функции Миттаг-Леффлера первого порядкаЕ1 (г;/) или к вырожденной гипергеометрической функции Куммера, в данном случае мы имеем сумму конечного числа аналогичных слагаемых, не сводящуюся к сумме бесконечного ряда. Поэтому будем действовать следующим образом.

Введём в рассмотрение неполную функцию

Миттаг-Леффлера первого порядка E1N (г;#), определив её следующей зависимостью:

N

к = 0

г

Г(+к)

(2)

В этом случае, замечая, что по определению (а) =г(а + к)

Г(а)

где Г - гамма-функция, очевидно, имеем

* = Г(т/ 5 +1) £

к=0

Г(т/ 5 + 1 + к)

или

* = Г(т/5 +1)ЕN (а; т/5 + 1) .

(3)

Попробуем несколько упростить последнее выражение. Из формулы (2), очевидно, имеем следующую цепочку формул:

N 2к 7

+

V

к=0

Г( + к) Г( + N + 1) Г(#)

откуда с учётом известного рекуррентного соотношения (например, [5]) г(# +1)= #г() следует

^ (#+1)=1

N Гк

V

к=0

N + 1

1

г(+к) (+Nг(+N г(#)

так что

Е^ ((#+1) = | Е1 (Г;#) ^

1-

Г(#)

(+N г(+N

или

N + 1

1-

Г(#)

(#+N г(+и)

+ гЕ^ (;# + 1)

- рекуррентная формула для (г;#) . В нашем случае, очевидно, имеем

1-

Е1"(а; - 5+1Е1 (а; - 5 -г(—5) [-(Щ ГЩ5+Щ

и тогда из соотношения (3) следует

* = Г— 5 +1) Е1 (а; —5 + 1)=

г(- 5

=г( 5+1Р ^ ( - 5) -г-5

=рф/5) | <(а;-5-Г-7)

1-

(- 5+!) г(( 5+!)

1-

а>л+1 Г(т/ 5) (т/5+!) Г(т/5+!)

N + 1

Г(т/ 5)

=—1 г—5) еN (а; т/)) -1 -\-г~,-ч

р[ W ' 1 V ' ' (т/5 + Ы) Г(т/5 +!) ]

В итоге соотношение (1) даёт нам следующую формулу для 0 :

Р0 = 1 е—-2

(Р)+

-1

Р

(т -1)!

Г—5) ^ (а; — 5) -1 +

а

г—5)

(т/5 + Ы) Г—5 + т)

(4)

(напомним, что е0(р)=1 и е^ (р) = 0 для всех 1 < 0). В предельном случае, когда N ^-ж , последнее слагаемое в этом соотношении стремится к нулю и тогда формула (4) переходит в соотношение

-1

1

к

а

е

т

к

X

а

3. М.И. Бусарев, А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Функция Миттаг-Леффлера в прикладных задачах теории массового обслуживания // Вестник Казанского государственного технологического университета. Т. 5. № 4. 2о11. С. 78-86.

4. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания в системе// Вестник Казанского технологического университета. 2о14. Т. 17. № 24. С. 242-245.

5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. Наука, Москва, 1983. 664 с.

университета, 2о11. 2оо с.

© А. П. Кирпичников - д. ф.-м. н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Нгуен Тхань Банг - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Чан Куанг Куи - аспирант кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected].

© A. P Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Nguyen Thanh Bang - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected]; Tran Quang Quy - postgraduate of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: [email protected].

Po =

m-1

em-2 P)+/-Ä7 Ф/ ß) Е (a; m/ ß)

(m -1)!

модели [1, 2], как и следовало ожидать.

Литература

1. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. ун-та, 2оо8. 112 с.

2. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского