CC BY
41
На рис. 6 символом v обозначена ячейка парадигмы, в которой перечислено 21 вариант словоизменений имен прилагательных.
Выводы
1. Предложены общие алгебраические принципы построения логической сети, предназначенной для схемной реализации формул, описывающих алгебрологические модели естественного языка.
2. Рассмотрен пример построения логической сети, моделирующей морфологическое отношение склонения полных непритяжательных имен прилагательных русского языка.
Публикуемые материалы являются новыми. Ближайшим аналогом рассматриваемой в работе логической сети является нейронная сеть, однако принципиальные отличия последней не позволяют решать задачи параллельной обработки логической информации, например, рассмотренную в данной статье морфологическую задачу. Поэтому дальнейшая разработка логических сетей имеет практичес -кое значение для широкого класса задач.___
УДК 621.391:51.142
ВЕРИФИКАЦИЯ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ КРАТНЫХ РЯДОВ В ГПВЯ
ЧУМАЧЕНКО С.В.____________________________
С помощью средств численного моделирования приводится верификация формул суммирования кратных рядов, которые получены методом суммирования рядов по выборочным значениям в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром (ГПВЯ).
1. Постановка цели и задач исследования
Математическое моделирование в настоящее время — неотъемлемый этап решения любой практически важной задачи, поскольку дает существенную информацию об исследуемом объекте. Оно предполагает: исследование проблемы; разработку алгоритма ее решения; написание кода на одном из языков программирования; тестирование и верификацию моделей, методов, алгоритмов и программ. Классификация математических моделей по уровням сложности организации вычислений включает составляющие:
1) модель-формула как простейший тип, состоящий из одного уравнения;
2) модель-уравнение, параметры которого, в свою очередь, могут быть рассчитаны по моделям-формулам;
3) модель — система уравнений, например, система линейных алгебраических уравнений;
4) модель-алгоритм как совокупность уравнений матмод ели и алгоритма расчета искомых характери -стик исследуемого объекта;
5) модель-методика как наиболее сложный вид организации вычислений, объединяющий несколько моделей-алгоритмов.
РИ, 2005, № 2
Литература: 1. Бондаренко М.Ф., Дударь З.В., Ефимова И.А., Лещинский В.А., Шабанов-Кушнаренко С.Ю. О мозгоподобных ЭВМ // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 2. С. 89-105.2. Хомский Н., Миллер Дж. Введение в формальный анализ естественного языка / / Кибернетический сборник. Новая серия. М.: Физ-матгиз. 1965. Вып.1. С. 229-290.
Поступила в редколлегию 30.12.2004
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руткас А.Г.
Калиниченко Ольга Викторовна, канд.техн.наук, ст.пр. каф. ПО ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: математика, программирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 7-021-446.
Козяев Леонид Леонидович, консультант по внедрению, компания “Открытые технологии-98”. Научные интересы: программирование БД, математическое моделирование. Адрес: Россия, 117997, Москва, ул. Обручева, 30, корп. 1, тел.: 8-095-7877027.
Мельникова Роксана Валериевна, ст.преп. каф. ПО ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: программирование, математическое моделирование ЕЯ. Адрес : Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 7-021-446.
Очевидно, при оценке адекватности результатов моделирования первоначальным является повышение точности расчета модели-формулы. Преимуществом на данном этапе следует считать возможность расчетов без применения ЭВМ.
Эта работа продолжает исследования, связанные с суммированием рядов в ГПВЯ [1-7] и ориентированные на решение задач, которые критичны к погрешности вычислительных методов по отношению к предлагаемому точному решению.
Цель исследования—уменьшение вычислительной сложности расчетов при моделировании радиоэлектронных устройств благодаря использованию нового метода суммирования рядов в ГПВЯ.
Задачи данного исследования:
1. Получить аналитический результат для опреде -
ления суммы двойного ряда: \к оо
£ ек(-1)-
8m(-l)mF(k,m)
к=0 а
к2 щ=0
т
2. Проверить справедливость формулы для нахождения суммы тройного ряда
\к да „ / і\Ш да
"Ш
(-1)m » 8 n(-1)n
F(k,m,n).
S вк(-1Г ______________ ___________
r\ r\ iL-i r\ r\ iL-i
k=0 a2 - k2 m=0 b2 - m2 n=0 b2 - n2
3. Доказать и подтвердить численно формулу суммирования для билатеральных знакопеременных рядов:
* Н)^ ^ (~1)mF(k,m) ^ 2F(a,b) .
к=_да a - km=_ж b - m sin да sin лЬ
4. Обосновать численно формулу суммирования
“ (~1)kk “ (~1)mmF(m,k) л2F(x,y)
k=1y2 - k2 m=1 x2 - m2 ^(лхЫ^лу)
при 0 <x <<x>, 0 < у <<x>, x,y Ф 1,2,3,....
5. Оценить погрешность проведенных вычислений.
83
2. Основное содержание исследования
Рассмотрим применение методов ГПВЯ для реализации задач исследования.
Теорема 1. Сумма двойного ряда в ГПВЯ S Ек(~1)к 2 sm(-l)mF(k,m)
^99^ 9 9
к=0а -к m=0 о —та
определяется формулой:
” вk(-1)k » вm(~1)mF(k,m) ^2F(a,b)
k=0a2 -k2 m=0 b2 -m2 absinrasm%b
(1)
при 0 <a <<x>, 0 <b <<x>, a Ф 1,2,... , b Ф 1,2,....
Доказательство. Вычислим ряд по ицдексу m , используя суммирование в ГПВЯ:
да
Z
m=0
8m(-1)mF(k,m) *F(k,b)
22 b - m
(2)
b sin %b
Подставим (2) в левую часть (1) и снова просуммируем, используя рекурсивную процедуру:
“ 8k(-1)k rcF(k,b) я « Bk(-1)k F(k b) =
k=0 a2 -k2 bsinrtb bsin^bk=0 a2 -k2 ’
_ ji2F(a,b) absin та sin nb
Таким образом, истинность (1) установлена.
Следствие. Результаты теоремы 1 можно распространить для тройного ряда, а именно:
I rfFOc.m.n) =
2 2 2 2 2 2 k=0 a - kz m=0 bz - mz n=0 bz - n
n3F(a,b,c)
abc sin ла sin nbsin лс
при 0 <a <<x> , 0 <b <<x>, 0 <c <<x> , a ф 1,2,... b ф 1,2,..., c ф 1,2,....
(3)
Теорема 2. Для функций из ГПВЯ справедлива следующая формула, определяющая сумму двойного ряда:
2 (-1)^ « (~1)mF(k,m) _ я2F(a,b) (4)
k=_да a - km=_ж b - m sin та sin %b
при -<x>< a <<x> , -<x>< b <<x> , a ф 0,±1,±2,...,
b Ф 0,±1,±2,....
Доказательство. Из [9] можно получить:
“ (-1)kF(k) тОД . П|1|2
A -------:---------, -<x><a<<x>, aФ0,+1,+2,....
k=_да a - k sin та
Используя последнее, вычислим ряд по m , а затем — по k :
2 (-1)mF(k,m)
m=—да b _ m
^F(k.b)
sinrcb
<x>< b <<x>, b Ф 0,±1,±2,...
2 (z!)k ^ (~1)mF(k,m)
k=—да a _ k m=—да b _ m
я 2 (-1)kF(k,b) ^2F(a,b)
sin nbk=_да a - k sin та sin лЬ ,
— да<a<<x>, —<xi<b<<x>, aФ0,+1,+2,..., bФ0,+1,+2,..., что и требовалось доказать.
Рассмотрим примеры применения теорем 1, 2 и следствия к вычислению некоторых рядов, а также численные результаты.
Пример 1. Формула (1) при заданной функции F дает:
2 sk(~1)k 2 sm(~1)me kmsin(k + m) = k=0 a - k m=0 bz - mz
_ л 2e _absm(a + b) absin та sin лЬ ’
0 <a <<x>, 0 <b <<x>, a Ф 1,2,... , b Ф 1,2,....
Пример 2. Используя теорему 2 при заданной функции F(k, m) = sin km , получаем:
да (-1)k “ (-1)m sin(km) _ л2 sin(ab) k=_да a - km=_ж b - m sin та sin %b’
— <x><a<<x>, —<xi<b<<x>, aФ0,+1,+2,..., bФ0,+1,+2,.... На рис. 1 показаны графики вычисления двойного ряда по формуле (4) при 1<x<2, 1<y<2: а — точное значение; б — приближенное.
f x,y
200
.8
1.8
а
f x,y2
200
1.8 . 6
1.4y 1.2
1.8
б
Рис. 1
Абсолютная и относительная погрешности вычислений в указанных интервалах изменения параметров представлены матрицами, соответственно:
Abs_
0.809669 1.33663 1.33663 1.86498
11^4681 2.07581
1.68686 2.21631 11.81059 2.34038
1.54681 1.68686 2.07581 2.21631 2.28645 2.42645 2.42645 2.56557 2.54979 2.68778
1.81059
2.34038
2.54979
2.68778 ,
2.80855
84
РИ, 2005, № 2
Rel=
0.00830335 0.0247644 0.0380663 0.0478496 0.0538079
1-0.0247644 0.0617791 0.0909262 0.112125 0.125205
= 1 0.^80663 0.0909262 0.13248 0.163314 0.183668
0.0478496 0.112125 0.163314 0.202634 0.230795
0.0538079 0.125205 0.183668 0.230795 0.267792
Пример 3. В [7] была доказана формула
“ (~1)kk “ (~1)mmF(m,k) я2F(x,y)
k=1y2 - k2 m=1 x2 - m2 4sin(^x)sin(^y) ’
применение которой при F(k,m) = e mk sin(mk) дает:
» (-1)kk » (~1)mm e-mk
2,2 \ 2 2 Є k=1 y - k m=1 x - m
sin(mk)
д2е xy sin(xy) 4(sin rcx)(sm ny) ’
(5)
0.3385 0.2416 0.1554 0.0795 0.0129 0.0451 0.0959
0.2416 0.1572 0.0830 0.0175 0.0401 0.0911 0.1363
0.1554 0.0830 0.0199 0.0352 0.0841 0.1277 0.1670
0.0795 0.0175 0.0352 0.0810 0.1213 0.1574 0.1902
0.0129 0.0401 0.0841 0.1213 0.1535 0.1820 0.2080 .
0.0451 0.0911 0.1277 0.1574 0.1820 0.2030 0.2218
0.0959 0.1363 0.1670 0.1902 0.2080 0.2218 0.2332
Видно, что при усечении ряда потери составляют от 8 до 34 %.
3. Выводы
Научная новизна исследования определяется применением нового метода к суммированию кратных рядов при решении задач в целях уменьшения вычислительной сложности при последующем численном моделировании радиоэлектронных устройств и/или физических процессов в них.
Практическая значимость работы связана с повышением точности аналитических методов при мо-делировании/проектировании радиоэлектронных устройств, а также с повышением быстродействия вычислений в десятки и сотни раз.
0 < x <<х>, о < y <<» , x,y Ф 1,2,3,.... На рис. 2 при-
ведены результаты вычисления двойного ряда по формуле (5) при 1<x<1,6, 1<y<1,6: а — точное значение (правая часть); б — приближенное.
а
Рис. 2
Абсолютная погрешность вычислений в указанных интервалах изменения параметров представлена матрицей:
0.593846 0.448302 0.391009 0.361109 0.347905 0.351143 0.448302 0.325944 0.281656 0.260932 0.254264 0.261434 0.391009 0.281656 0.242555 0.224525 0.21896 0.22558
1109 0.260932 0.224525 0.207284 0.201344 0.206354 0.347905 0.254264 0.21896 0.201344 0.194177 0.197026
0.351143 0.261434 0.22558 0.206354 0.197026 0.197068
Пример 4. Используем формулу (3) для определения суммы тройного ряда при F=sin(a+b+c). От-
Сравнение результатов. Для определения сумм рассмотренных в работе рядов до сих пор отсутствовали прямые формулы. Подобного типа ряды вычислялись путем усечения — удерживанием некоторого количества слагаемых. Пакет Matematica 4.1, в среде которого проводились расчеты, позволяет удерживать только по 20 слагаемых в каждом из трех рядов (см. пример 4). Относительная погрешность вычислений при этом возрастает у границ интервалов и может составлять до 34 %. Время построения графиков (в примере 4): по прямой формуле — 0,016 с; при усечении рядов — 127,344 с. Таким образом, преимущество в быстродействии при построении графиков составляет 4 порядка.
Перспективы исследований определяются возможностью упрощения методов решения граничных задач математической физики на основе использования метода суммирования рядов в ГПВЯ.
Литература: 1. Чумаченко С.В. Численное обоснование метода суммирования рядов в ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. 2005. №1. С. 111-115. 2. Chumachenko
S. V. Summation method of selected series for IP-core design // Proc. East-West Design & Test Conference. 2003. P. 197203. 3. Чумаченко С.В. Гильбертовы пространства с воспроизводящими ядрами и некоторые их применения // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №4. С. 141144. 4. Чумаченко С.В. Теоремы о некоторых интегральных тождествах на основе метода суммирования рядов в ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 1. С. 113-115. 5. Чумаченко С.В. Решение интегро-сумматор-ных уравнений и систем сложной структуры на основе методов суммирования рядов в ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 2. С. 122-125. 6. Chumachenko
S.V., Gowher Malik, Khavar Parvez. Reproducing Kernel Hilbert Space Methods for CAD Tools // Proc. East-West Design & Test Workshop. 2004. P. 247-250. 7. Чумаченко С.В. Суммирование двойных рядов на основе методов ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 4. С. 140143. 8. Chumachenko S. V., GovharMalik, Imran Saif Chattha. Series Summation Method in HSRK // Proc. of the international Conference TCSET’2004 “Modern Problems of Radio Engineering Telecommunications and Computer Science”. February 24-28. 2004. Lviv-Slavsko, Ukraine. P. 248-250. 9. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике: Пер. М.К. Размахнина и В.П. Яковлева. М.: Сов. радио, 1971. 256с.
Поступила в редколлегию 17.06.2005 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Чурюмов Г.И.
носительная погрешность по результатам вычислений при фиксированном значении a=1,5 и 1,2<b< 1,8, 1,2 <c< 1,8 представлена матрицей
Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: теория рядов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-326.
РИ, 2005, № 2
85
