CC BY
41
УДК 621.391:51.142
ТЕОРЕМЫ О НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ТОЖДЕСТВАХ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ В ГПВЯ
г л/wsin rc(w - k), с+/“ . чт^ . Ч1
1) /“(----k)( ^ k) dw tTv(xt)Kv(wt)dt,
} 0 n(w - k)(w + k) C-i«
7 sin n(w - k) dw i? T , . (2), 41
2) J----1 tJt (x)H(2) (w)dt
' 0 (w2 -k2) w _i„
ЧУМАЧЕНКО C.B._____________________________
Развивается подход к суммированию рядов в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром (ГПВЯ). Путем доказательства теорем, имеющих теоретическое и практическое значение, выводятся новые результаты для интегральных тождеств.
Введение
Данная статья является продолжением работ [1-3], связанных с аналитическими исследованиями по суммированию рядов в ГПВЯ. Известно, что методы ГПВЯ применяются при решении задач теории связи, теории информации, радиоэлектроники и оптики, где используются модели сигналов с финитным спектром. С их помощью уже получены новые математические результаты, имеющие прикладной характер [3]. Основные положения теории ГПВЯ рассмотрены в [4]. Новые результаты применительно к суммированию рядов приведены в [1]. Практическая и теоретическая необходимость продолжения исследований в данном направлении обусловлена использованием результатов при решении, в частности, задач электродинамики, дифракции волн, антенной техники, а также развитием новых технологий в микроэлектронике и системотехнике, которые привели к возникновению понятия IP-core, как интеллектуального продукта, подготовленного к реализации на кристалле микросхемы. В нашем случае речь идет об аппаратурной (программной) реализации ad hoc (новой специализированной) технологии для вычисления значений рядов, используемых в математических расчетах при проектировании радиоэлектронной аппаратуры. По сравнению с существующими методами и реализациями предлагаемая методика вычисления рядов определенного типа может быть ускорена в сотни и тысячи раз [5], что является актуальным и, безусловно, востребованным для проектирования IP -core, средств МаЛешаИса, математических сопроцессоров и радиоэлектронной аппаратуры.
1. Постановка цели и задач исследования
Цель исследования — определить результаты для некоторых интегральных выражений от функций Бесселя путем доказательства тождеств с использованием метода суммирования рядов в ГПВЯ.
Задачи исследования заключаются в доказательстве теорем, определяющих значения следующих интегральных выражений:
7 sin rc(w - k) wdw “ w , 4i
3) \—(------k)-----7Г / J v(tx)J v(wt)tdt,
' о rc(w _ k) w + ko
7 sin rc(w - k) wdw ^
4) J , ,,!Gv (xt)Fv (wt)tdt
0 rc(w - k) w + k
0
5) J sin rc(w 2k) dw J Kit (x)Kit (w)tsh(rct)dt
0 w2 - k2 о
7sin n(w - k) dw CT7!K ( )T ( )d 6) J---3—-------— J tKt(x)Tt(w)dt
22 0 w - k
w
2. Основные теоретические положения
Теоретическое обоснование базируется на теореме, которая устанавливает связь между разложениями по полной ортонормированной системе и по выборочным значениям в ГПВЯ [4, с.144-145] и следствии из нее: в ГПВЯ H3 любая функция f є H3 разлагается в ряд по выборочным значениям
f(s) f(k)2L™htii)
kti s + k rc(s - k)
', 0 < s <<x>. (1)
3. Доказательство интегральных тождеств
Для реализации задач исследования и достижения поставленной цели найдем значения перечисленных интегральных выражений путем доказательства следующих теорем.
Теорема 1. Имеет место тождество
r vwsin rc(w - k) , C+/“ . чт^ . . ,
---7Г}---ТДdw \tTv(xt)Kv(wt)dt =
0 ^(w - k)(w + k) c-i«
_ isin n(x - k)
= ^(x2 -k2) ,
(2)
где Iv (z), Kv (z) — модифицированные функции Бесселя 1-го и 3-го рода соответственно; k = 1,2,3,...,
0 < x <<х>, 0 < w <<х> .
Доказательство. Перепишем (2) в виде: sin n(x - k)
(x2 -k2) “
л/x Ty/wsin rc(w - k) C+/“
= —J-------3——-----“dw JtIv(xt)Kv(wt)dt (3)
ід
0
22 w - k
С-ію
РИ, 2004, № 1
113
2k
Умножим левую и правую части (3) на — і (к), где
%
f (к) — выборочные значения некоторой функции непрерывного аргумента из ГПВЯ, к = 1,2,3,...:
2kf (к) sin к(х - к)
%(х2 - к2) (4)
л/х 2кДк) “л/wsinrc(w - к) C7^ , чт, , ч, =------— F------2 2 dw J tIv (xt)Kv (wt)dt.
m n о w2 - к2 c-i<»
Просуммируем левую и правую части (4) по к = 1,2,3,...:
” 2к sin гс(х - к) і(к) = к=1 х + к л(х - к) (5)
л/Х “ 2кДк)^wsinn(w-к)4 ^ (хЛК ( wt)dt =— Е--------J----2---2---dw JtIv(х)Ку(wt)dt.
in к=1 n 0 w2 - к2 c-i»
Доказательство. Умножим левую и правую 2к
части (9) на — і (к), где f (к) — выборочные %
значения некоторой функции непрерывного аргумента f(z) из ГПВЯ, а затем просуммируем по к = 1,2,3,..., после чего получим:
_ 2 £ 2к sin *(х - к) f(k) =
к=1(х + к) я(х - к)
(10)
= £ ^ f tIt(x)H<2|(w)dt.
к=1 n о (w2 - к2) w -ію
Изменяя порядок суммирования и интегрирования в правой части (10), получаем:
2 ” 2к sin п(х - к) f ч - 2 2 ——Т7 (------к— f(k) = (11)
к=1(х + к) я(х - к)
Нетрудно видеть, что левая часть (5) является разложением функции ё(х) в ряд по выборочным значениям в ГПВЯ (1):
л/х “ 2к^к) Тд/w sin rc(w - к)
— Z---------і------2---2----dw х
ІП к=1 п о w2 - к2
С+ію
X J tIv (xt)Kv (wt)dt. (6)
C-i»
Изменим в правой части (6) порядок суммирования и интегрирования:
1 С+ію <х> ___
f (х) = — JIv (xt)л/Хtdt J К v (wtWtw х
Іл С-і<х> 0
1 пл
= J tJt(x)dt J Ht2)(w)[ Z
2к sin rc(w - к! 41dw
-------------------f(k)]—.
к=1 (w + к) rc(w - к) w
В обеих частях равенства (11) стоят разложения функции f в ряды по выборочным значениям в ГПВЯ, поэтому можно записать:
1 ІГО ГО л
ё(х) = -- JtJt(x)dt JH(2)(w)f(w)— . (12)
2 -і» 0 w
Выражение (12) известно как интегральное представление Конторовича-Лебедева [6], которое верно для произвольной функции f , а значит, и для функций из ГПВЯ. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Имеет место равенство
, “ 2к sin rc(w - к) к=1 (w + к) rc(w - к)
f (k))dw .
(7)
sin л(х - к) _у sin rc(w - к) wdw п(х — к)(х + к) о ^(w - к) w + к
В правой части (7) стоит разложение функции f (w) в ряд (1) в ГПВЯ:
1 С+ію <х>
ё(х) = - JI v ^^x^dt J К v (wth/twf(w)dw (g)
Іл C-i<x> 0
Последнее выражение является интегральным представлением Мейера [6, с.87], следовательно, (2) справедливо, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Имеет место тождество
- 2 sin п(х - к)
(х2 - к2)
J sin rc(w - к) dw
0 (w2 - к2) w
J tJt(x)нt2)(w)dt
-iro
(9)
где h(2) (z) — функция Бесселя 3-го рода, 0 < х < да, 0 < w <да>, к = 1,2,3,....
ГО
х| Jv ДхДv (wt)tdt, (13)
0
где 0 <х <да>, 0 < w <да>, к = 1,2,3,....
Доказательство. Умножим левую и правую части (13) на 2kf(k), где f (к) — выборочные значения некоторой функции непрерывного аргумента f (z) из ГПВЯ, затем просуммируем по к = 1,2,3,..., после чего в правой части полученного равенства изменим порядок суммирования и интегрирования. В результате имеем:
” 2к sin гс(х - к) _
2^ , , ч , ,4і (к)
к=1 (х + к) я(х - к)
ГО ГО
= J Jv ^)tdt J Jv (wt)w x
00
114
РИ, 2004, № 1
г V 2к
х г Z
sin rc(w - к)
k=i (w + к) rc(w - к)
f (k)]dw .
Теорема 6. Для 0 < x <<х>, 0 < w <<х>, к = 1,2,3,... (14) имеет место тождество
Учитывая разложение функции f в ряд в ГПВЯ, получаем равенство, которое известно как интегральная формула Ганкеля [6]:
ГО ГО
f(x) = IJ v (tx)tdt I f (w)Jv (wt)wdw
0 0
Оно верно для произвольной функции f (x), а значит, и для функций из ГПВЯ. Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Справедливо интегральное тождество
J sin rc(w - к) wdw 0 rc(w - к) w + к
ГО
J G
0
v (xt)Fv (wt)tdt =
sin n(x - k)
n(x -k)(x + k) ’ 0 <x <да’ k = 1’2’3’ ..’ (15)
где Gv (z) = cos(arc)Jv (z) + sin(are)Yv (z);
Fv(z)=
o2-v-2a„
2 s v+2a -1,v (z)
r(a)r(v + a) ция Ломмеля [6, с. 76]; T(z) Yv (z) — функция Неймана.
; sv+2a-1,v (z) - функ-гамма -функция;
Доказательство проводится аналогично — сведением к обобщенному интегральному представлению Ганкеля [6] для произвольной функции f :
ГО ГО
f (x) = J G v (xt)tdt J Fv (wt)wf (w)dw
00
Теорема 5. Имеет место тождество
sin n(x - k)
x2 - k2
2
xn
ro
J
0
sin rc(w - k)
2 , 2 w - k
dw x
ГО
x J Kit (x)Kjt (w)tsh(rct)dt. (16)
0
Доказательство выполняется аналогично — сведением к интегральному представлению Лебедева (1946) для произвольной функции f (х) [6]:
xf(x)
2 х го
— J Kit (x)tsh(ut)dt J Kit (w)f (w)dw
л 0 0
sin n(x - k)
x2 - k2
1 ГО
- J
ra0
sin rc(w - k) dw
w2-k2 w
a+iro
J tKt(x)Jt(w)dt
(17)
Доказательство приводит к интегральному представлению Лебедева (1947) для произвольной функции f (х) [6]:
1 ст+и» dw
f(x) =— J tKt(x)dt J f(w)Jt(w)-----
CT-i« 0 w '
Выводы
Таким образом, проведенные исследования позволили получить новые теоретические результаты для интегральных выражений путем доказательства теорем 1-6, которые отсутствуют в известной литературе. Практическая значимость результатов работы определяется возможностью их использования в математическом аппарате при решении задач. Учитывая преимущества предложенного метода и полученные результаты, можно указать перспективы дальнейших исследований в данном направлении: доказательство тождеств и теорем; решение сумматорных уравнений, в том числе кратных; решение интегральных и двойных интегральных уравнений; решение интегро-сумматорных уравнений; решение систем дуальных сумматорных уравнений; решение систем парных интегральных уравнений.
Литература: 1. Chumachenko S.V. Summation method of selected series for IP-core design // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №3. С. 197-203. 2. Хаханов В.И., Чумаченко С.В. Модели пространств в научных исследованиях // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №1. С. 124-132. 3. Чумаченко С.В. Гильбертовы пространства с воспроизводящими ядрами и некоторые их применения // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №4. С. 141-144. 4. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике: Пер. М.К. Раз-махнина и В.П. Яковлева. М.: Сов. радио, 1971. 256с. 5. Veliev E.I., Oksasoglu A. Bessel functions series in two dimensional diffraction problems / J. of Electromagnetic and Applications. 1996. Vol. 10. N4. P. 493-507. 6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Пер. с англ. М.: Наука, 1966. Т.2. 296с.
Поступила в редколлегию 21.02.2004
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Хаханов В.И.
Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-326.
РИ, 2004, № 1
115
