Численное обоснование метода суммирования рядов в ГПВЯ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

нения и ударением, признаком смягчения и последней буквой основы. Все бинарные связи надо проиллюстрировать соответствующими двудольными графами. Теперь можно приступать к построению логической сети и испытывать ее действие с помощью уже имеющейся программы. Если выявятся погрешности в построении сети и в математическом описании объекта, то подправить их. В результате мы получаем готовый продукт — один из фрагментов логической лингвистической сети, который можно рекомендовать для реализации в виде микропроцессорного устройства.

Точно так же выполняются работы по описанию других лингвистических объектов. В перспективе есть необходимость в разработке методики соединения разрозненных логических сетей в единую сеть на базе импликативного разложения предикатов. Таким способом можно неограниченно наращивать логическую лингвистическую сеть по мере продвижения вперед ее математического описания — переходя от полных непритяжательных имен прилагательных к кратким притяжательным, от прилагательных к существительным, причастиям, местоимениям, числительным, исчерпывая этим склонение всех видов имен. Затем переходим к описанию спряжения глаголов. Этим охватывается все словоизменение. Затем переходим к словообразованию, последовательно рассматриваем корневое, префиксальное и суффиксальное словообразование. Остается еще словосложение. Этим исчерпывается морфология. Более далекая перспектива работ в этом направлении — выход на фонетику и затем на синтаксис предложения.

УДК 621.391:51.142

ЧИСЛЕННОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ В ГПВЯ

ЧУМАЧЕНКО С.В.________________________

Приводятся численные результаты, иллюстрирующие справедливость некоторых тождеств, которые получены методом суммирования рядов по выборочным значениям в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром (ГПВЯ).

1. Постановка цели и задач исследования

Данная работа продолжает цикл публикаций, связанных с исследованиями по суммированию рядов в ГПВЯ. Так, в [1, 5] приведены общие положения, на основе которых предлагается метод суммирования в ГПВЯ. Примеры применения метода в целях получения новых результатов для рядов, в том числе двойных, рассмотрены в [1, 2, 6]. В [3] показано, как можно доказывать интегральные тождества с использованием данного подхода. Также с помощью предлагаемого метода можно решать сумматорные, интегральные уравнения и их системы, имеющие прикладной характер [4].

Выводы

Научная новизна заключается в том, что впервые разработан метод бинаризации алгебраической формульной записи семантических структур естественного языка на примере морфологического отношения склонений полных непритяжательных имен прилагательных русского языка.

Практическая значимость определяется тем, что полученные таблицы бинарных связей позволяют реализовать модель объекта в виде логической сети программно и аппаратно.

Сравнение с аналогами показало, что ближайшим аналогом логической сети, хотя и достаточно далеким, является нейронная сеть. В отличие от последней, логическая сеть имеет ряд принципиальных преимуществ.

Литература: 1. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Проблема искусственного интеллекта // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №3. С. 100-106. 2. Бондаренко М.Ф., Дударь З.В., Ефимова И.А., Лещинский В.А., Шабанов-Кушнаренко С.Ю. О мозгоподобных ЭВМ // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 2. С. 89-105.

Поступила в редколлегию 11.01.2005

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Машталир В.П.

Хозяев Леонид Леонидович, консультант по внедрению, компания “Открытые технологии-98”. Научные интересы: программирование БД, математическое моделирование. Адрес: Россия, 117997, Москва, ул. Обручева, 30, корп. 1, тел.: 8-095-7877027.

Шабанов-Кушнаренко Сергей Юрьевич, д-р техн. наук, профессор, ведущий научный сотрудник кафедры ПО ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: идентификация механизмов интеллекта человека. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 7-021-446.

В перечисленных работах до сих пор приводились теоретические обоснования полученных результатов. Однако не все новые формулы доказываются приведением к уже известным фактам. Кроме того, для оценки погрешности вычислений, обусловленной усечением ряда, необходимо проводить некоторые численные расчеты с использованием компьютерных средств и программных приложений. С учетом того, что в настоящее время существуют достаточно авторитетные математические пакеты такие, как MathLab, MathCAD, Mathematica, они могут и должны быть использованы для практичес -кого подтверждения состоятельности полученных теоретических доказательств. Такая практика позволяет не только определить валидность результатов, но и показать погрешность теоретического метода или уже признанных программных средств, что может быть более важным для исследователя. В данном случае можно показать эффективность предложенного метода суммирования рядов и практическую целесообразность его имплементации для решения задач, критичных к погрешности вычислительных методов по отношению к предлагаемому точному решению. Например, такими являются задачи, связанные с моделированием неоднород-

РИ, 2005, № 1

111

ных волноводных структур, объемных электромагнитных резонаторов, фазированных антенных ре -шеток.

Цель исследования—уменьшение вычислительной сложности технологических расчетов при моделировании /проектировании радиоэлектронных устройств благодаря использованию нового метода суммирования рядов в ГПВЯ.

Задачи данного исследования:

1. Подтвердить численно полученный аналитический результат для определения суммы ряда

Е (-1)

k=1

k kF(k)

an - kn

2. Проверить справедливость формулы для нахождения суммы билатерального знакопеременного

ряда

“ (~1)k

к=-ю (а - krc)p

3. Оценить погрешность проведенных вычислений.

2. Результаты численного моделирования

В [7] для знакопеременного ряда, общий член которого содержит разность степеней в знаменателе:

Е (-1)

k=1

k kF(k)

an - kn ,

(1)

была определена его сумма для отдельных значений n. Используя метод суммирования в ГПВЯ, можно показать, что сумма ряда (1) для натуральных значений показателя степени n определяется как:

£ ( 1)k kF(k) k=1 a - k

raF(a) a - k ’

n = 1 •

(2)

E (-1)k

k=1

kF(k)

a2p - k2p

rcF(a)

2pa2p_2 sin та

n = 2p,p = 1,2,3,..;

(3)

E (-1)k

k=1

kF;k)

a2p_1 - k2p4

rcF(a)

(2p -1)apsinra

n=2p-1,p=2,3,...

(4)

Приведем численное обоснование формул (2)-(4). Для этого рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Пусть n=4, тогда согласно (1) и (3) имеем:

g (_1)k kF(k) k=1

a4 - k4

rcF(a) 4a2 sin ш

, -n< x <n . (5)

На рис. 1 приведены графики зависимостей, построенные для левой и правой частей (5) при

F(k)=sinkx, a=2,5. График абсолютной погрешности вычислений показан на рис. 2.

f x

2

1

Рис. 1. Графическая идентичность результатов по формуле (1) при F(k)=sinkx: кривая 1 — ряд; кривая 2 — прямая формула

Пример 2. Рассмотрим графики зависимостей, построенные по формуле (1) при n=5. На рис. 2 представлены результаты вычислений при F(k)=sinkx для значений параметра a=1,5. Кривая 1 демонстрирует зависимоть, полученную усечением ряда, кривая 2 получена путем вычислений по прямой формуле.

fx

Abs

б

Рис. 2. Результаты вычислений при F(k)=sinkx, a=1,5: а — идентичность графиков; б — абсолютная погрешность вычислений

Пример 3. Рассмотрим графики зависимостей, которые получены согласно (1) при n=5 для F(k)=coskx при значении параметра a=1,5 (рис. 3,а). Здесь также график 1 соответствует усечению ряда, 2 — прямой формуле. Видно, что абсолютная погрешность вычислений (рис. 3, б) определяется сотыми долями.

112

РИ, 2005, № 1

а

Abs

б

Рис. 3. Результаты вычислений при F(k)=coskx (a=1,5): а — идентичность графиков; б — абсолютная погрешность

В работе [2] также была получена сумма билатераль-

“ (_1)k

ного знакопеременного ряда £ -------------- в

k=-<х (а - кл)р

ГПВЯ Нкегі, определяемая следующей формулой:

£ ИГ

к=-<» (а - кл)р

—— ,p = 2n - 1,n = 1,2,3,...; sinp а

cos а (6)

—— ,p = 2n,n = 1,2,3,...

sinp а

частей полученного равенства, можно проиллюстрировать только при помощи графика абсолютной погрешности (рис. 4, б), которая измеряется тысячными долями.

a

Abs

б

Рис. 4. Графическое совпадение зависимостей (а) и абслоютная погрешность вычислений (б), проведенных по формуле (6) при р=1

Пример 5. При p = 2 формула (6) принимает вид:

“ (-1)k _ cos а

к=-ю (а - кл) sin а

Графически едва ли можно различить кривые (рис. 5), иллюстрирующие зависимости из левой и правой частей последнего равенства в интервале - 3к< а< 3к (ось абсцисс), поскольку абсолютная погрешность вычислений в указанном интервале (рис. 6) определяется также тысячными долями.

Доказательство проводилось методом математичес-

” (_1)к

кой индукции. Сумма ряда £ ----------опре-

к=-<х (а - кф^

делилась при натуральных значениях параметра р.

Приведем примеры численного обоснования формулы (6).

Пример 4. При p = 1 по формуле (6) имеем:

* (~1)к = 1 к=_жа- кл sin а"

Отличие диаграмм (рис. 4, а), которые показывают функциональные зависимости для левой и правой

f a

Рис. 5. Совпадение графиков, построенных для левой и правой частей формулы (6) при р=2

РИ, 2005, № 1

113

Abs

Рис. 6. График абсолютной погрешности для формулы (6) при р=2

Выводы

1. Современные стандартный математические программы такие, как Mathematica 4.1, в среде которой выполнялись расчеты, во многих случаях (когда общий член ряда быстро убывает и достаточно мал) дают одинаковые результаты при удерживании 20, 50 и 100 слагаемых.

2. Приведенные численные результаты показывают, что “потери” при усечении ряда могут составлять до 15%. Они возрастают у границ интервала изменения переменной.

3. Научная новизна заключается в методе получения формул, по которым выполнен численный расчет, подтверждающий его состоятельность.

Пример 6. При р=4 для формулы (6) получаем следующие иллюстрации. На рис. 7, а представлены внешне также едва различимые зависимости, построенные в интервале -3%<а< 3% . Ввиду быстрого роста/убывания функции вблизи асимптот а = таг при n є Z график абсолютной погрешности не является наглядной иллюстрацией в этом случае. Тут более приемлема относительная оценка (рис. 7, б).

f a

a

Relative Error, %

Рис. 7. Иллюстрации для формулы (6) при р=4: а — графики функций; б — относительная погрешность вычислений

4. Практическая значимость и перспективы. Взаимопроникновение телекоммуникационных и компьютерных технологий подтверждает практическую целесообразность использования методов радиотехники в компьютерных вычислениях и наоборот, что приводит к появлению нового качества. Что касается применения предложенного метода точного суммирования рядов, то полученные новые научные результаты практически ориентированы на существенное уменьшение погрешности при расчетах как радиотехнических устройств (в части анализа и моделирования антенно-фидерных систем, волноводно-резонаторных устройств), так и в вычислительных сопроцессорах (для повышения точности и быстродействия обработки специальных математических функций).

Литература: 1. Chumachenko S. V. Summation method of selected series for IP-core design // Proc. East-West Design & Test Conference. 2003. P. 197-203. 2. Чумаченко C.B. Гильбертовы пространства с воспроизводящими ядрами и некоторые их применения / / Радиоэлектроника и информатика. 2003. №4. С. 141-144. 3. Чумаченко C.B. Теоремы о некоторых интегральных тождествах на основе метода суммирования рядов в ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 1. С. 113115. 4. Чумаченко C.B. Решение интегро-сумматорных уравнений и систем сложной структуры на основе методов суммирования рядов в ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 2. С. 122-125. 5. Chumachenko S.V., Gowher Malik, Khavar Parvez. Reproducing Kernel Hilbert Space Methods for CAD Tools // Proc. East-West Design & Test Workshop. 2004. P. 247-250. 6. Чумаченко C.B. Суммирование двойных рядов на основе методов ГПВЯ / / Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 4. С. 140-143. 7. Chumachenko

5. V., Govhar Malik, Imran Saif Chattha. Series Summation Method in HSRK / / Proc. of the international Conference TCSET’2004 “Modern Problems of Radio Engineering Telecommunications and Computer Science”. February 24-28. 2004. Lviv-Slavsko, Ukraine. P. 248-250.

Поступила в редколлегию 07.03.2005

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Чурюмов Г.И.

Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: теория рядов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-326.

114

РИ, 2005, № 1