CC BY
938
УДК 519.7
О ФОРМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ ЛОГИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
КАЛИНИЧЕНКО О.В., КОЗЯЕВ Л.Л., МЕЛЬНИКОВА Р.В.
Описывается разработка математических моделей и методов для формализации различных семантических структур естественного языка на базе принципов логических сетей.
Введение
Существует класс задач, решение которых на последовательных компьютерах в реальном темпе времени не представляется возможным. Примером такой задачи является семантическая обработка текстов на естественном языке. Вместе с тем, человеческий мозг справляется с этой задачей благодаря другому, параллельному способу обработки информации.
В данном исследовании разрабатывается формальная база построения логической сети — структуры, позволяющей производить обработку информации параллельно, по принципу человеческого мозга.
Цель — разработка такой математической структуры, которая позволила бы алгоритмически и аппаратно производить параллельную обработку логической информации.
Основные идеи, заложенные в строении логических сетей [1], основаны на том, что интеллект человека рассматривается как логика в действии, как некоторое материальное воплощение механизма логики. Существует ряд работ по алгебраизации логики, в которых разработан специальный математический аппарат для формульного представления отношений и действий над ними — алгебрологические структуры. В них отношения интерпретируются как мысли интеллекта, а действия над ними — как мышление. Схемная реализация формул, описывающих алгебрологические структуры, приводит к характерным инженерным сетям (не использовавшимся ранее), которые называются логическими. Каждый тип алгебрологических структур (а таких типов сравнительно немного) приводит к своему типу логических сетей с легко узнаваемой на глаз схемой. При сопоставлении этих типов сетей с основными типами нейроструктур обнаруживается глубокое сходство строения технических и биологических конструкций. Опираясь на это сходство, можно определить функции различных типов нейронных структур и описать в точных математических и технических терминах принципы функционирования мозга. Главное в данном методе — это движение сверху вниз: от общих системных соображений к алгебрологическим структурам, а от них—к логическим сетям, которые затем отождествляются с биологическими нейронными структурами. Специалисты же по нейрокомпьютерам сегодня пытаются идти иным путем: от биоло-
гических нейронных сетей к принципам их действия, а от них — к инженерным решениям. Этот путь приводит к значительным трудностям из-за недостатка знаний о функциях биологических нейронных структур. Двигаясь сверху вниз, мы приходим к единственно приемлемым принципам построения нейронных структур мозга человека. Свернуть в сторону здесь нет никакой возможности. В результате вырисовываются простые и ясные принципы построения мозгоподобных ЭВМ. Они существенно отличаются от всего того, что до сих пор использовалось при распараллеливании обработки информации, в частности — при создании ЭВМ параллельного действия. Основу мозгоподобных ЭВМ составляют упоминавшиеся ранее логические сети.
Основное содержание
Ставится задача формального описания простейшей конкретной алгебры предикатов в виде логи-ческиой сети. Пусть в ней участвуют всего две предметные переменные Х1 и Х2 . Для них берем следующие области задания: Aj = {i,2},
A2 = {2,3}, т.е. объектом описания будет предметное пространство с координатными осями xj є {l, 2} и Х2 є {2,3}. Изображенная ниже логическая сеть представляет строение предметного S пространства моделируемой алгебрологической структуры (рис. 1).
t, T
Рис. 1 Строение логической сети
Пространство S, подлежащее формальному описанию, имеет универсум переменных V = {xj,x^ . Его координатные оси представлены множествами Aj и A2 . В роли универсума предметов пространства S берем множество U = Aj u A2 . Вводим множество I с заданной на нем переменной i. Элементы множества I понимаем как имена (номера) мест компонентов xj и Х2 в векторе (xj,X2) пространства S. Если принято i = j, то этим указывается левое место xj пары (xj,x2), если i = 2 , то — правое x2 . Множество I формально описывает понятие места для пространства S . На множестве U задаем переменную x . Множество U формально описывает понятие состояния места для пространства S.
Связь переменных i и x формально определяем j j 2 2 2 3
предикатом R(i,x) = i (x v x ) v i (x v x ), заданным на I x U . Предикат R указывает, что левое место в паре (xj,x2) может находиться в состоянии
РИ, 2005, № 2
79
из множества Aj, а правое — в состоянии из множества A2. Связи переменной x с переменными xj и Х2 формально описываем с помощью
11 2 2
предикатов Ej(x,xj) = x xj v x xj ,
2 2 3 3
E2(x,x2) = x x2 v x x2 , заданных на U x Aj и
U x A2 . Множество H с заданной на нем переменной s формально характеризует понятие вектора пространства S • Связь вектора s = (xj,x2) с его проекциями xj и x2 на координатные оси Aj и A2 для пространства S формально характеризуется предикатами Fj(s, xj), F2 (s, x 2), заданными на Hх A j и H x A2 . МножествоT с заданной на нем переменной t формально определяет понятие отношения для пространства S.
На схеме сети (см .рис. 1 (показаны все переменны i, x, xj, x2, s , t алгебры второго уровня, которая описывает заданную алгебрологическую структуру (вместе с областями их задания I, U, Aj, A2, H, T ) и связывающие их отношения R , Ej, E 2 , Fj, F2, G • Наборы (i, I), (x, U), (xj,Aj), (x2,A2), (s, H), составленные из переменной и области ее задания, характеризуют полюсы сети, а отношения — ее ветви, которые соединяют полюсы. В «описывающей» алгебре предикатов, которую мы фактически использовали в роли инструмента описания пространства S, используется универсум переменных, состоящий из шести элементов. Универсум же переменных «описываемой» алгебры предикатов состоит всего из двух элементов.
Ниже приведены двудольные графы отношений, используемых для построения логической сети (рис.2).
Рис. 2. Двудольные графы отношений в логических сетях
Логическая сеть имеет общее строение для любого предметного пространства, за исключением лишь того, что теперь в конечномерном случае вместо двух полюсов (xj,Aj) и (x2,A2) в ней появятся m полюсов (xj,Aj), (x2,A2) , ... , (xm,Am) , а в бесконечномерном случае — бесконечный набор {(xb Ai) }i є I полюсов (xi,Ai) , где i є I. Теперь индекс i пробегает бесконечное множество значе-
80
ний I. Соответственно этому вместо двух пар ветвей Ej, E2 и Fj, F2 в сети появятся два набора Ej,E2,...,Em и FbF2,...,Fm , изm ветвей каждый — в конечномерном предметном пространстве и два
бесконечных набора {E^ є i и {Fib є I ветвей Ei
и Fi — в бесконечномерном. Полюсы i , x , s , t и ветви R и G останутся в сети на прежних местах,
хотя обозначающие эти ветви отношения R и G могут измениться. Другими станут мощности областей задания I, U , Aj, A2, S, T переменных i,
x , xj , x 2 , s , t .
Переход к общему понятию предметного пространства S приводит к общему понятию заданной на нем алгебры предикатов. Обобщению в нем подвергаются лишь наборы предметных переменных xj,x2,...,xm и областей их задания Aj,A2,...,Am, а также все то, что от них зависит (например, число и ассортимент всех предикатов узнавания предмета).
Логическая сеть является естественным способом графического представления системы предикатов, или, более точно, — графического представления формального описания некоторого объекта на языке алгебры предикатов. Поскольку язык алгебры предикатов универсален, то она может формально описать структуру произвольного объекта. Кроме того, любое алгебрологическое описание объекта, как показано выше, естественным образом графически выражается в виде логической сети. Отсюда приходим к важному выводу: логические сети представляют собой универсальное средство наглядного представления структуры любых объектов.
Формальным описанием любого объекта на языке алгебры предикатов является некоторый предикат P(xpx2,...,xm) .Он выражает отношение р, представляющее собой множество всех наборов предметов xj,x2,...,xm, удовлетворяющих уравнению P(xj,x2,...,xm) = і. Именно это отношение выражает структуру описываемого объекта. Результат же формального описания объекта в виде логической сети представлен иначе — системой из шести предикатов R(i,x) , Ej(x,xj) , E2(x,x2) , Fj (s, xj), F2 (s, x2), G (s, t). Переход к единому предикату P(xj,x2,...,xm) возможен путем образования конъюнкции из предикатов R , Ej, ••• , Fj, F2, G : R(i,x), Ej(x,xj), E2(x,x2), Fj(s,xj), F2 (s,x2),G(s,t) = P(i,x,xj,x2,s,t).
Представление предиката P в виде конъюнкции предикатов Pj,P2,...,Pn называется его конъюнктивной композицией. Разложение предиката p в конъюнкцию тех же предикатов Pj,P2,...,Pn называется его конъюнктивной декомпозицией. Важным частным случаем декомпозиции является бинарная декомпозиция предиката р, характеризующаяся тем, что каждый предикат в системе
РИ, 2005, № 2
{Pi, P2Pn } имеет в точности два существенных аргумента. В приведенном в начале подраздела примере формального описания предметного пространства S была выполнена бинарная конъюнктивная декомпозиция предиката P. На основании сказанного выше можно уточнить определение логической сети: логической сетью называется графическое представление результата бинарной конъюнктивной декомпозиции многоместного предиката.
Рассмотрим пример построения логической сети, моделирующей морфологическое отношение. Морфологическим отношением называется грамматическая связь между всеми формами слов какого-либо класса одного из естественных языков [2]. Формальное описание морфологических отношений для различных частей речи и их компьютерная реализация необходимы для автоматизации обработки текстов естественных языков. Рассмотрим схему построения логической сети на примере полных непритяжательных имен прилагательных русского языка.
На основе морфологического отношения могут решаться многие задачи обработки словесного материала. Например, для слова «большой» по грамматическим признакам «винительный падеж, женский род, единственное число» может быть найдена форма «большую»; по форме «зелеными» можно установить, что это — имя прилагательное творительного падежа множественного числа. Математическая модель морфологического отношения будет иметь вид формулы алгебры конечных предикатов,
описывающей предикат L(X, Y, Z), который связывает между собой слово X , его форму Y и набор грамматических признаков Z . Выделим различные независимые друг от друга связи, фактически существующие в русском языке. Существует 3 группы таких связей —влияние текста, влияние окончания, влияние основы (табл. 1).
1-я группа связей — влияние текста (рис.3). В процессе склонения имена прилагательные изменяются по падежам, родам и числам. В соответствии
ный. Вводим переменную одушевленности у4 со значениями: о—одушевленный, н — неодушевленный и переменную архаичности t со значениями: с — современный (например, синей), а — архаичный (синею).
13
11
12
14
15
16
Рис. 3. Блок текста
2-я группа связей — влияние окончания (рис.4). Вводим переменную у, характеризующую класс окончаний и заданную на множестве:
у = {ых ое, ая, ые, ой, ую ого ых, ом, ому, ьщ ымц ою. Переменные xj, Х2, Х3 , называемые соответственно первой, второй и третьей буквой окончания, заданы намножествах: xj = {о,е, ы, и, у, ю, а, я}, Х2 = {г, м, е, й, ю, я, х}, Х3 = {_, о, у, и}. Если третья буква в окончании отсутствует, то считаем, что переменная Х3 принимает значение _, называемое знаком пробела. На множестве окончаний определяем переменную:
х = {ого, ому, ом, ое, ой, ою, его, ему, ем, ее, ей, ею, ая, ым, ый, ые, ых, ыми, им, ий, ие, их, ими, юю, яя } .
Рис. 4. Блок окончания
3-я группа связей — влияние основы (рис.5). Вводим
с этим вводим переменные: yj — число, со значениями е — единственный, м — множественный; у2 — род, со значениями: м — мужской, ж—женский, с — средний; уз — падеж, со значениями: и — именительный, р — родительный, д — дательный, в — винительный, т—творительный, п — предлож-
переменную uj, называемую признаком ударности основы. Полагаем uj = у , если основа ударная, и uj = б , если безударная. Вводим переменную U2 , называемую признаком мягкости основы. Полагаем U2 = м , если последняя буква основы звучит мягко, и U2 = т, если твердо. Переменная U4 характеризует последнюю букву основы и задана на множестве: . Тип основы описывается переменной u, заданной на множестве представителей типа:
u4 = {е, у, н, р, б, в, д, з, л, м, п, т, ф, ж, ш, ч, щ, г, к, х, ц},
Таблица 1
Группы связей морфологического отношения
Г Влияние текста 2. Влияние окончания 3. Влияние основы
У2 - ГОД yj - число У3 - падеж t - архаичность У4 - одушевленность у - класс окончаний xj - Ея буква окончания Х2 - 2-я буква окончания Х3 - 3-я буква окончания x - окончание uj - ударность u2- смягчение u4- последняя буква u - тип основы
РИ, 2005, № 2
81
u = {слабый, куцый, седой, сухой, ветхий, рыжий, синий}.
Рис. 5. Блок основы
Некоторые связи имеют взаимное влияние, что наглядно представлено в графическом виде на рис.
6. Например, при одном и том же падеже, роде и числе формы имен прилагательных могут отличаться по признаку одушевленности и по признаку архаичности. Основы, принадлежащие разным типам, могут соединяться с разными множествами окончаний. 1-му типу основы соответствуют окончания
{ый, ого, ому, ым, ом, ая, ое, ую, ою, ой, ые, ых, ыми }
2- му типу:
{ий, его, ему, им, ем, яя, ей, юю, ею, ее, т, их, ими};
3- му типу:
{ий, ого, ому, им, ом, ая, ой, ую, ою, ое, ие, их, ими}
4- му типу:
{ий, его, ему, им, ем, ая, ей, ую, ею, ее, ие, их, ими};
5- му типу:
{ый, его, ему, ым, ем, ая, ей, ую, ею, ее, ые, ых, ыми}
6- му типу:
{ого, ому, ым, ом, ая, ую, ою, ой, ое, ые, ых, ыми};
7- му типу:
{ого, ому, им, ом, ая, ую, ой, ою, ое, ие, их, ими} .
Рис. 6. Общая схема морфологического отношения словоизменения имен прилагательных
Таблица 2
Парадигма словоизменения имен прилагательных
ед мн
м с ж м с ж
И безударный ый/ий 1 ое/ее 3 ая/яя 4 ые/ие 5
ударный ой/(ей) 2
Р ого/его 6 ой/ей 7 ых/их 8
Д ому/ему 9 ой/ей 10 ым/им 11
В неодуше- вленный безударный ый/ий 12 ое/ее 15 ую/юю 16 ые/ие 17
ударный ой/(ей) 13
одушевленный ого/его 14 ых/их 18
Т новые ым/им 19 ой/ей 20 ыми/ими 22
старые ою/ею 21
П ом/ем 23 ой/ей 24 ых/их 25
Таблица 3 Упрощенная парадигма
ед Мн
м с ж м с Ж
И безударный ый/ий 1 ое/ее 2 ая/яя 3 ые/ие 4
ударный ой/(ей) 5
В неодуше- вленный безударный ый/ий 6 ую/юю 7 ые/ие 8
ударный ой/(ей) 9
одушевленный ого/его 10 ых/их 11
П ом/ем 12 ой/ей 13 ых/их 11
Р ого/его 15 ым/им 14
Д ому/ему 16
Т новые ым/им 18 ой/ей 19 ыми/ими 20
старые ою/ею 21
82
РИ, 2005, № 2
На рис. 6 символом v обозначена ячейка парадигмы, в которой перечислено 21 вариант словоизменений имен прилагательных.
Выводы
1. Предложены общие алгебраические принципы построения логической сети, предназначенной для схемной реализации формул, описывающих алгебрологические модели естественного языка.
2. Рассмотрен пример построения логической сети, моделирующей морфологическое отношение склонения полных непритяжательных имен прилагательных русского языка.
Публикуемые материалы являются новыми. Ближайшим аналогом рассматриваемой в работе логической сети является нейронная сеть, однако принципиальные отличия последней не позволяют решать задачи параллельной обработки логической информации, например, рассмотренную в данной статье морфологическую задачу. Поэтому дальнейшая разработка логических сетей имеет практичес -кое значение для широкого класса задач.___
УДК 621.391:51.142
ВЕРИФИКАЦИЯ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ КРАТНЫХ РЯДОВ В ГПВЯ
ЧУМАЧЕНКО С.В.____________________________
С помощью средств численного моделирования приводится верификация формул суммирования кратных рядов, которые получены методом суммирования рядов по выборочным значениям в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром (ГПВЯ).
1. Постановка цели и задач исследования
Математическое моделирование в настоящее время — неотъемлемый этап решения любой практически важной задачи, поскольку дает существенную информацию об исследуемом объекте. Оно предполагает: исследование проблемы; разработку алгоритма ее решения; написание кода на одном из языков программирования; тестирование и верификацию моделей, методов, алгоритмов и программ. Классификация математических моделей по уровням сложности организации вычислений включает составляющие:
1) модель-формула как простейший тип, состоящий из одного уравнения;
2) модель-уравнение, параметры которого, в свою очередь, могут быть рассчитаны по моделям-формулам;
3) модель — система уравнений, например, система линейных алгебраических уравнений;
4) модель-алгоритм как совокупность уравнений матмод ели и алгоритма расчета искомых характери -стик исследуемого объекта;
5) модель-методика как наиболее сложный вид организации вычислений, объединяющий несколько моделей-алгоритмов.
РИ, 2005, № 2
Литература: 1. Бондаренко М.Ф., Дударь З.В., Ефимова И.А., Лещинский В.А., Шабанов-Кушнаренко С.Ю. О мозгоподобных ЭВМ // Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 2. С. 89-105.2. Хомский Н., Миллер Дж. Введение в формальный анализ естественного языка / / Кибернетический сборник. Новая серия. М.: Физ-матгиз. 1965. Вып.1. С. 229-290.
Поступила в редколлегию 30.12.2004
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руткас А.Г.
Калиниченко Ольга Викторовна, канд.техн.наук, ст.пр. каф. ПО ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: математика, программирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 7-021-446.
Козяев Леонид Леонидович, консультант по внедрению, компания “Открытые технологии-98”. Научные интересы: программирование БД, математическое моделирование. Адрес: Россия, 117997, Москва, ул. Обручева, 30, корп. 1, тел.: 8-095-7877027.
Мельникова Роксана Валериевна, ст.преп. каф. ПО ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: программирование, математическое моделирование ЕЯ. Адрес : Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 7-021-446.
Очевидно, при оценке адекватности результатов моделирования первоначальным является повышение точности расчета модели-формулы. Преимуществом на данном этапе следует считать возможность расчетов без применения ЭВМ.
Эта работа продолжает исследования, связанные с суммированием рядов в ГПВЯ [1-7] и ориентированные на решение задач, которые критичны к погрешности вычислительных методов по отношению к предлагаемому точному решению.
Цель исследования—уменьшение вычислительной сложности расчетов при моделировании радиоэлектронных устройств благодаря использованию нового метода суммирования рядов в ГПВЯ.
Задачи данного исследования:
1. Получить аналитический результат для опреде -
ления суммы двойного ряда: \к оо
£ ек(-1)-
8m(-l)mF(k,m)
к=0 а
к2 щ=0
т
2. Проверить справедливость формулы для нахождения суммы тройного ряда
\к да „ / і\Ш да
"Ш
(-1)m » 8 n(-1)n
F(k,m,n).
S вк(-1Г ______________ ___________
r\ r\ iL-i r\ r\ iL-i
k=0 a2 - k2 m=0 b2 - m2 n=0 b2 - n2
3. Доказать и подтвердить численно формулу суммирования для билатеральных знакопеременных рядов:
* Н)^ ^ (~1)mF(k,m) ^ 2F(a,b) .
к=_да a - km=_ж b - m sin да sin лЬ
4. Обосновать численно формулу суммирования
“ (~1)kk “ (~1)mmF(m,k) л2F(x,y)
k=1y2 - k2 m=1 x2 - m2 ^(лхЫ^лу)
при 0 <x <<x>, 0 < у <<x>, x,y Ф 1,2,3,....
5. Оценить погрешность проведенных вычислений.
83
