Решение интегро- сумматорных уравнений и систем сложной структуры на основе методов суммирования рядов в ГПВЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391:51.142

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРО-СУММАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ В ГПВЯ

ЧУМАЧЕНКО С.В.

Развивается подход к суммированию рядов в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром (ГПВЯ). Путем доказательства теорем, имеющих теоретическое и практическое значение, определяются решения интегро-сумматорных уравнений и систем сложной структуры.

2. Новые теоремы для развития метода суммирования рядов в ГПВЯ

Теорема 1. Система интегро-сумматорныхуравнений

X Ю

Z JFk(x,y)yady = g(x,Р), 0 <x < 1,

k=0 0

P = av , a> 0, v> 0 , 0 <p<<x>,

Z JFk(x,y)dy = 0, x > 1

k=0 0

имеет решение

Fk(x,y)

s k P sin л(Р - k) P + k я(Р- k)

J v (xy)f(y),

(1)

(2)

(3)

Введение

Методы ГПВЯ представляют как теоретический, так и практический интерес. Математические модели, основанные на ГПВЯ, используются при распознавании образов [1], в цифровой обработке данных [2], при сжатии изображений [3 ], в компьютерной графике [4]. Названные направления описываются относительно новым математическим аппаратом — теорией вейвлетов [ 1]. Методы ГПВЯ являются основой для точного инкрементного (пошагового) обучения [5], статистической теории обучения [6, 7]. На основе отдельных положений теории ГПВЯ [8] предлагается новый подход к определению значений некоторых типов рядов — метод суммирования рядов по выборочным значениям. С его использованием получены новые результаты для рядов [9], доказаны некоторые интегральные тождества [10], решены сумматорные и интегральные уравнения [11], а также показана возможность его применения в задачах расчета антенных решеток при определении амплитудных коэффициентов [12, 13].

В данной работе предлагается решение интегро-сумматорных уравнений и систем на основе теории ГПВЯ , что является востребованным, например, в задачах радиофизики, а также представляет чисто математический интерес.

1. Постановка цели и задач исследования

В [10] были обозначены перспективы исследования, касающиеся методов ГПВЯ. Среди них — решение сумматорных уравнений, в том числе кратных; интегральных и двойных интегральных уравнений; интегро-сумматорных уравнений; систем дуальных сумматорных уравнений; систем парных интегральных уравнений.

Цель данного исследования — определить решения для некоторых интегро -сумматорных уравнений и систем с использованием метода суммирования рядов в ГПВЯ.

Задачи исследования заключаются в доказательстве теорем, определяющих решения двух интегро -сумматорных уравнений и трех систем сложной структуры.

где f(y) =

1

Г(а /2)

(2y)1_a/2jt1+a/2J 0

a (yt)dt x

v+—

2

1

x Jg(wt)w v+1 (1 - w 2)

0

24 a/2-1

dw

(4)

при условии, что g(x, P) разлагается в ряд по выборочным значениям в ГПВЯ H3 [8].

Доказательство. Подставим решение (3) в систему (1)-(2) с учетом разложения правой части (1) в ряд по выборочным значениям в ГПВЯ H3 :

у Т 8 kР sin д(Р~ k) J

k=0 0Р + k *(P-k) V

(xy)f (y)y a dy =

= I g(x,k)

k=0

8 k P sin л(Р- k) P + k л(Р- k)

0 < x < 1,

(5)

P = av , a> 0, v> 0 , 0 <p<<x>,

X X

I J-

8kP sin л(Р- k)

k=0 0 P + k я(Р - k) Перепишем (5), (6) в виде

Jv (xy)f(y)dy = 0 , x > 1 . (6)

” 8 kP sin rc(P - k)

k^0 P + k я(Р-k)

X

J J v (xy)f(y)y “dy =

0

= Z g(x,k)

k=0

8 k P sin д(Р“ k)

P + k л(Р - k) ,

0 < x < 1,

(7)

P = av , a> 0, v> 0 , 0 <p<<x>,

” skp sin л(Р- k) f T ( )f( )d 0 /оч

Z —-------,a . 4 J Tv (xy)f(y)dy = 0 , x > 1 . (8)

k=0 P + k я(Р- k) 0

Потребуем почленного равенства в (7) и (8) при k = 0,1,2,...:

J Jv (xy)f(y)y“dy = g(x,k), 0 < x <1,

0

(9)

122

РИ, 2004, № 2

P = av , a> 0, v> 0 , 0 <Р<да> ,

X

J J v (xy)f(y)dy = 0, x > 1 . (10)

0

Согласно [14, c. 88, ф-ла (77)], система (9), (10) имеет решение (4). Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Интегро-сумматорное уравнение

Z JAk(x,y)sh(xy)dy = f(x), 0 <x <да> (11)

k=1 0

имеет решение

'Л

Ak(x,y) =----kf (k)sin n(x - k)e_yk (12)

%x

при условии, что f (x) — известная функция из ГПВЯ

Нз [8].

Доказательство. Подставим решение (12) в уравнение (11) с учетом разложения правой части (11) в ряд по выборочным значениям в ГПВЯ:

<Х <х> 2 .

X J (---)kf (k) sin n(x - k)e _yksh(xy)dy =

k=10 nx

= Z f(k)

k=1

2k

x + k

sin n(x - k) n(x - k)

0 < x < да

Перепишем (13) в виде:

(13)

ю 2 ю ,

X (----)kf (k) sin n(x - k) J e _yksh(xy)dy =

k=1 nx 0

= Z f(k)

k=1

2k

x + k

sin n(x - k) rc(x - k) ,

0 <x <да

(14)

Требуя в (4) почленного равенства при k = 1,2,3,..., получаем соотношение:

Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости решения (17), подставим его в уравнение (16):

х ^ C+ix

X f dw J dt[-i2>/x kf (2k) Ww sin rc(w - k)] x

k=10 C-i<x>

x

I v (xt)K v (wt)

2 , 2 w - k

f(x)

(18)

Поскольку f(x) из ГПВЯ, она представима в виде ряда по выборочным значениям. С учетом этого имеем:

V” , г /— kf(k)

J dt[-i2Vx—Ї-А

k=10 C-i<x> л

Z J dw

Ww sin rc(w - k)] x

I v (xt)K v (wt)

2 , 2 w - k

= Z f(k)

k=1 x

Перепишем (19) в виде:

2k sin n(x - k)

+ k n(x - k) . (19)

“ r—kf(k) ^ dw/w sin n(w - k) X ( i2Vx) 2 J to

n 0

22 w - k

k=1

C4“ / и/ / Ч “ . 2k sinn(x-k)

X JdtIv (xt)Kv (wt)t =X f(k) , U4 .(20)

- k n(x - k)

C—i<x> k=1

Требуя почленного равенства в (20) при k = 1,2,3,..., получаем интегральное тождество

, vwsinrc(w - k) , C+2“ . ,т^ .

J-----2----2--“dw J tIv (xt)Kv (wt)dt =

22 0 w - k

C-i»

i% sin n(x - k)

%/x<x2 - k2) • (21)

которое доказано в работе [10]. Таким образом, теорема 3 справедлива.

Теорема 4. Система интегро-сумматорных уравнений

X

J e

0

yksh(xy)dy

x

k2 2, 0 < x <да

k x

(15)

которое известно как преобразование Лапласа функции sh(xy). Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Интегро-сумматорное уравнение

го <» C+i<»

^ J dw J dtAk(x,w,t)

k=10 C-i<»

I v (xt)K v (wt)

2 , 2 w - k

f(x) ,(16)

где Iv (z), Kv (z) — модифицированные функции Бесселя 1-го и 3-го рода соответственно; 0 < x < да, 0 < w < да, имеет решение

Ak(x,w,t) = -i^/x b/w sin rc(w - k) (17)

к

при условии, что функция f (x) известна и принадлежит ГПВЯ H3 .

х х X

Z J dz J dyO n(s,y,z)sin(nz)Jn(yx) = F(s), (22)

n=1 0 0

0 < x < 1,

X ^ ro

Z J dz J ydy°n(s,y,z)sin(nz)Jn(yx) = 0 , (23)

n=1 0 0

1 <x <да ,

где F(s) — заданная функция из ГПВЯ, s > 0, имеет решение

Ф n(s,y,z)

2nF(n)R(n, s) sin rc(s - n) rc(s2 - n2)xnz

gn(y)e "sz

,(24)

где

gn(y)

T(n +1) ( 2 Л T(n +1/2) [y,

1/2

J 1 (y),

n+—

2

R(n,s) = (arctg—) 1

s

(25)

РИ, 2004, № 2

123

Доказательство. Поскольку F(s) — функция из ГПВЯ, представим ее в виде ряда по выборочным значениям:

т-у \ 2n sin n(s - n)

F(s) = Z F(n)-

n=1

n(s2 - n2)

(26)

С учетом выражений (24) и (26) система (22), (23) принимает вид:

” 2nF(n)R(n,s)sin rc(s - n)

Z J dz J dy--------;----;---------x

n=1 0 0

n(s2 - n2)xnz

x gn(y)e sz sin(nz)Jn(yx) = 2n sin rc(s - n)

X

= Z F(n)

n=1

*(s2 -n2) , 0<x<1, (27)

z

n=1

” “ 2nF(n)R(n, s)sin n(s - n)

Jdzjydy ( 2 2) n

0 0 rc(s - n )x z

x gn(y)e sz sin(nz)Jn (yx) = 0,1 < x < да • (28)

Потребуем почленного равенства в (27), (28) при n = 1,2,3,...:

” “ 2nF(n)R(n, s) sin n(s - n)

J dz J dy---;----;-------X

00

rc(s2 - n2)xnz

x gn(y)e sz sin(nz)Jn(yx) =

. 2nsin rc(s - n)

= F(n) „,2 - „2) ■ 0 <x < 1

” “ 2nF(n)R(n,s)sin n(s - n)

J dz J ydy------;----;---------X

00

n(s2 - n2)xnz

(29)

x gn(y)e sz sin(nz)J„(yx) = 0, 1 < x <да • (30)

Выполнив сокращение одинаковых не равных нулю выражений в обеих частях (29), а также в левой части (30), получим:

R(„ s)ю ю

---Je szz 1 sin(nz)dz f gn(y)Jn(yx)dy = 1 ,(31)

xn 0 0

0 < x < 1,

решением которой согласно [15, с. 111] является функция (4), и интеграла

X

Je_8zz_1 sin(nz)dz , n > 0, s > 0 , (35)

0

для которого известно представление [9, с. 65]:

ю n

J e _sz z _1 sin(nz)dz = (arctg —)_1 n > 0 s > 0

0s

Таким образом, теорема 4 доказана.

Теорема 5. Система интегральных уравнений

X X

J dz J y aO(y, z, t)J v (xy)dy = G(x, t), (36)

-ю 0

0 < x < 1, -да>< t <да ,

X X

J dz JO(y,z,t)J v (xy)dy = 0 , x > 1

-ю 0

имеет при a> 0 решение

0(y,z,t) = f(y)F(z) при условии, что

sin rc(t - z) rc(t - z)

G(x, t) = g(x)F(t),

(37)

(38)

(39)

где g(x) и F(t) — известные функции, причем F(t)

есть функция из ГПВЯ, а f(y) — решение пары уравнений

X

J y “f(y)JV (xy)dy = g(x), 0 < x < 1, (40)

0

X

J f(y)JV (xy)dy = 0 , x > 1. (41)

0

Доказательство. Убедимся, что (38) действительно является решением системы (36), (37). Для этого подставим (38) в (36), (37):

J dz J y“f(y)F(z)sin^(t ^ Jv (xy)dy = G(xlt) ,(42) 0 *(t - z)

0 < x < 1, -да< t <да>,

X X

R(n, s) J e _sz z _1 sin(nz)dz J gn (y)J n (yx)ydy = 0 ,(32)

00

1 <x <да .

Нетрудно видеть, что система (31), (32) представляет собой произведение системы интегральных уравнений

X

Jgn(y)Jn(yx)dy = x„ , 0 < x < 1 , (33)

0

X

J ygn^My^y = 0 , 1 < x <да>, n = 1,2,3,..., (34)

0

^ ^ srn ^(t — z)

J dz J f(y)F(z)--------^J v (xy)dy = 0, x > 1. (43)

-« 0 n(t - z)

Выполним эквивалентные преобразования в (42), (43):

J F(z)sin(7t(t )z) dz J y“f(y)Jv (xy)dy = G(x,t) ,(44)

-« n(t -z) 0

0 < x < 1, —да< t <да>,

^ si„ ^(t — z) ^

J F(z)---(Г---dz J f(y)JV (xy)dy = 0, x > 1 .(45)

-« n(t -z) 0

124

РИ, 2004, № 2

По условию теоремы F(t) есть функция из ГПВЯ, поэтому согласно [8, с. 9] уравнения (44), (45) переписываются в виде:

F(t) J y “ f(y)J v (xy)dy = G(x,t), (46)

0

0 < x < 1, —да< t <<X),

F(t) J f(y)Jv (xy)dy = 0 , x > 1. (47)

0

С учетом (39) система (46), (47) принимает вид:

X

F(t) J y“f(y)Jv (xy)dy = F(t)g(t), (48)

0

0 < x < 1, -<x>< t <<x> ,

F(t) J f(y)Jv (xy)dy = 0 , x > 1. (49)

0

Поскольку F(t) Ф 0 , из (48), (49) следует система уравнений (40), (41), решение которой известно [14]:

1— . 1 1+^

f(y) = (2y) 2 (Г(а/2))-1 2J а(y^x

0 v+У

1 —-1

xjg(w^)wv+1(1 - w2)2 dw .

0

Теорема 5 доказана.

Выводы

Таким образом, проведенные исследования позволили получить новые теоретические результаты для интегро-сумматорных уравнений и систем путем доказательства теорем 1-5, которые отсутствуют в известной литературе [17, 18].

1. Полученные результаты могут быть включены в справочную математическую библиотеку и имплементированы в среду Mathematics, MathCad, MathLab. Они могут оказаться полезны математикам, инженерам и научным работникам при решении различных задач математической физики, чем определяется их научная ценность и практическая значимость.

2. Развитие новых технологий в микроэлектронике и схемотехнике связано с математическими расчетами и повышением быстродействия работы вычислительных устройств. CPU, являясь универсальным вычислителем, способен решать широкий спектр задач, связанных с различными областями человеческой деятельности. Тем не менее, существуют узкие места, где процессор не удовлетворяет пользователя по быстродействию. Такими являются математические задачи, где требуется большое количество итераций, а значит и времени для достижения требуемой точности результата.

3. Чтобы повысить эффективность решения расчетных задач, используются математические сопроцессоры, в которые закладываются наиболее эффективные методы решения уравнений, интегралов, взятия производных. Естественно, что при открытии новых методов, повышающих точность

РИ, 2004, № 2

решения математической и расчетной задачи, а также быстродействие ее реализации, их необходимо имплементировать в существующие сопроцессоры или, в крайнем случае, создавать IP-cores для широкого распространения среди фирм-изготови-телей кристаллов PLD, ASIC, CPU.

4. Фактически в работе развивается легко реализуемый в IP-core метод приведения задачи вычисления некоторых типов рядов к точной функции, что повсеместно используется при расчетах характеристик цифровых радио- и высокочастотных средств. При этом точность решения не имеет погрешности, а время реализации такой задачи уменьшается в десятки и сотни раз.

Литература: 1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам: Пер. с англ. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с. 2. Короновский А Храмов А. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. М.: Физматлит, 2003. 176 с. 3. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии: Пер. с англ. М.: Триумф, 2003. 320 с. 4. Столиц Э, Дероуз Т, Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике. Теория и приложения: Пер. с англ. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 272 с.

5. Sethu Vijayakumar, Hidemitsu Ogawa. RKHS based Functional Analysis for Exact Incremental Learning / Neurocomputing : Special Issue on Theoretical analysis of real valued function classes, Vol.29, No.1-3. Р.85-113, Elsevier Science (1999) / http://www-clmc.edu/sethu/ research_detail.1html. 6. Saitoh S. Integral Transforms, Reproducing Kernels and Their Applications // Pitman Research Notes in Mathematics. 369. 1997. Addison Wesley Longman, UK. 7. Saitoh S. New Norm Type Inequalities for linear mappings // Jornal of Inequalities in Pure and Applied Mathemathics. Victoria Univ., 2003. Volume 4. Issue 3. Article 57. http: // jipam.vu.edu.au. 8. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике: Пер. М.К. Размахнина и В.П. Яковлева. М.: Сов. радио, 1971.256с. 9. Chumachenko S.V. Summation method of selected series for IP-core design / / Радиоэлектроника и информатика. 2003. №3. С. 197-203. 10. Чумаченко С.В. Теоремы о некоторых интегральных тождествах на основе метода суммирования рядов в ГПВЯ // Радиоэлектроника и информатика. 2004. №1. С. 113-115. 11. Чумаченко С.В. Гильбертовы пространства с воспроизводящими ядрами и некоторые их применения // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №4. С. 141-144.

12. Чумаченко В.С., Чумаченко С.В. Синфазне збудження решітки, утвореної плоскими напівобмеженими хвилеводами // Радіоелектроніка та інформатика. 2002. № 2. С. 15-18. 13. Чумаченко С.В. Возбуждение решетки с диэлектрической пластиной // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №3. С. 14-17. 14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Пер. с англ. М.: Наука, 1966. Т.2. 296с. 15. Дж. Джексон. Классическая электродинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1965. 702 с. 16. К. Дж. Трантер. Интегральные преобразования в математической физике. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1956. 204 с. 17. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. К.: Наук. думка, 1983. 252 с. 18. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики

Поступила в редколлегию 12.06.04

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-326.

125