Гильбертовы пространства с воспроизводящими ядрами и некоторые их применения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391:51.142

ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА С ВОСПРОИЗВОДЯЩИМИ ЯДРАМИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

ЧУМАЧЕНКО С.В.

Развивается подход к суммированию рядов в ГПВЯ. Путем доказательства трех теорем, имеющих теоретическое и практическое значение, определяются новые результаты для суммирования одного знакопеременного ряда, решения сумматорного и интегрального уравнений.

1. Введение

Гильбертовы пространства с воспроизводящими ядрами (ГПВЯ) являются подпространствами гильбертовых пространств: H с L2 . Методы ГПВЯ применяются при решении важных практических задач теории связи, теории информации, радиоэлектроники и оптики, где используются модели сигналов с финитным спектром. С их помощью могут быть получены полезные математические результаты, отражающие свойства реальных систем. Основные положения теории ГПВЯ рассмотрены в [1]. Подход к определению неизвестных амплитудных коэффициентов поля при расчете антенных решеток на основе методов ГПВЯ развивается в [2-4]. Новые результаты применительно к суммированию рядов приведены в [5]. В [6] предлагается анализ моделей пространств, наиболее часто используемых в научных исследованиях. Он позволяет классифицировать их по направлениям: историко-временному развитию, многообразию моделей, определяемых их характеристическими свойствами. Классификация не претендует на полноту, но позволяет в совокупности определить палитру используемых типов при выполнении научных исследований. Известно, что для каждого ГПВЯ H существует оператор О, который оставляет без изменения функцию из ГПВЯ, а любую функцию из гильбертова пространства L2 переводит в функцию из ГПВЯ (рисунок).

Например, функции с финитными спектрами косинус- и синус- преобразований, а также Ганкеля образуют ГПВЯ.

Метод, использующий одну из моделей существующих в математике пространств, который уменьшает временные и материальные затраты на разработку конкретной научно-технической проблемы, всегда актуален. Таким является метод суммирования рядов в ГПВЯ.

Цель настоящей статьи—доказательство основных теоретических положений, связанных с методом суммирования рядов в ГПВЯ, и их практическая ориентация.

Задачи исследования:

1. Доказать теорему, определяющую сумму ряда

” (-1)k

Z р ,p = 1,2,3,..., в ГПВЯ.

к=-ю (а - кл)р

2. Найти решение сумматорного уравнения

X

Z BmeiPmy = 0 относительно неизвестных коэф-

m=-ж

фициентов Bm .

3. Найти решение интегрального уравнения J P(p) exP(ikxM,)dM' = 0 , | x |> a.

-X

2. Теоретическое обоснование

Теория ГПВЯ базируется на следующей теореме и следствии из нее [1, с.144-145].

Теорема 1. Пусть имеется абстрактное гильбертово пространство H с воспроизводящим ядром K(s,t), определенным на множестве T . Пусть (фі (s, ti)}, Ц є T — полная ортонормированная система в H . Если существуют ненулевые вещественные постоянные ci такие, что

Ф1 (s,ti) = ciK(s,ti), |K(t,t)|<ci <<х>

t є T,

то разложение по полной ортонормированнои системе для любой f є A , имеющее вид

f(s) = ХaiФі(s,ti), s є T, ai = (f,фі) ,

является рядом по выборочным значениям.

Теорема 1 устанавливает связь между разложениями по полной ортонормированной системе и по выборочным значениям в ГПВЯ.

Следствие. В ГПВЯ H любая функция f є H разлагается в ряд по выборочным значениям

^ ,sin n(s - k)

f(s) bLf(k) n(s -k) , -да<s <да. (1)

Рассмотрим примеры на применение следствия.

Пример 1. Вычислить ряд

“ (~1)k 2-t 2

k=-<» (а - krc)

“ (~1)k

2-а 2

k=-ю (а - krc)

1 X

л k=-ю

(-1)k (b - k)2

Ъ=а / л

1

2

“ , cos rck cos rck sin лЪ sin лЪ

Z cos rck---------------------------

k=-<» (b - k)2 sin2 лЪ

Ъ=а / л

“ coskn sin л(Ъ - k) sin л(Ъ - k) k=-« sin2 лЪ я(Ъ - k) л(Ъ - k)

Ъ=а / л

РИ, 2003, № 4

141

cos лЪ

sin2 лЪ

cos a ~2

2

1 sin л(Ъ - k)

Ъ=а / ж sin a Полученный результат совпадает с [7, с. 187].

X 1

Пример 2. Вычислить ряд 2 :

X 1

Z —

_ “ л cos rcm(sin лzcos лш)

т=-ю rc(z - m) sin nz

“ cos лш sin n(z - m) cos im

= л ^------------------= л------

ш=_ю sin %z rn(z - m)

(-1)

k

-,p = 1,2,3,. .. e ГПВЯ H имеет

ряда Z

к=-ю (a - кл)р место следующая формула суммирования

£ (~1)К

к=-ю (а - кл)р

—1— ,р = 2n -1, n = 1,2,3,...; sinp а

cos а (2)

—— ,р = 2n,n = 1,2,3,...

sinp а

Доказательство проведем методом математичес-

” (_1)к

кой индукции. Рассмотрим ряд ^

” (-1)к 1 ” (-1)

Z -(—к- = [Ъ = « / я] = - z =

к=-ю ^ к^ ^ к=-ю Ъ к

1 “ cos лк sin лЪ _ “ sin л(Ъ - к) л к=-с» Ъ - к sin лЪ к=-ю Л(Ъ - к) sin лЪ

к

1

sin лЪ

1

Ъ=а / ж

sin а

При р = 2 результат получен в примере 1:

го / 1\к

Z

(-1)1

cos a

22 к=-го (a - кл) sin a

При р = 3 имеем:

ГО / 1\к

Z

(-1Г

“ (-1)1

3 3 4-і 3

к=-го (а - кл) л к=-го (Ъ - к)

= [Ъ = а / л] =

1 X

= "Т S

33 cos лк sin лЪ

л3 к=-го (Ъ - к)3

3

sin лЪ

“ sin3 л(Ъ - к)

Z_j

3 3 3

sin лЪк=-<ю л (Ъ - к)

“ sin2 л(Ъ - к) sin л(Ъ - к)

Z_j

3 4-і 2 2

sin лЪк=-<ю л (Ъ - к)

л(Ъ - к)

sin3 лЪ л2(Ъ - к)2

к=Ъ=а/ж

3

sin а

При р = 4:

” (_1)к

Z ( ) 4 = [Ъ = « / л] =

к=-го (а - кл)

1 “ cos лк cos4 лк sin4 лЪ

—г I

= nctgnz

sin nz

Полученный результат совпадает с [8, с. 23]. Используя следствие, докажем следующую теорему. Теорема 2. Для билатерального знакопеременного

л4 к=-<ю (Ъ - к)4 sin4 лЪ

_ “ cos лк

_ ^ • 4 Г

к=-го sin лЬ

sin л(Ъ - к) л(Ъ - к)

4

_ “ cos лк

_ ^ • 4 Г

к=-го sin лЪ

_ “ cos лк

4

к=-<ю sin лЪ

cos лк

sin4 лЪ

sin л(Ъ - к) л(Ъ - к)

sin л(Ъ - к)

л(Ъ - к)

3

3

3

sin л(Ъ - к) л(Ъ - к)

sin л(Ъ - к) л(Ъ - к)

sin л(Ъ - к) л(Ъ - к)

к=Ъ=а/ж

cos а • 4

sin а

к=-го (а - кл)р Будем определять его сумму при натуральных значениях параметра р.

При р = 1 имеем:

Нетрудно убедиться, что при р = 2n -1 имеем формулу:

“ (-1)к _ 1

к^ („ к^)2п“1 2n-1 п , n = 1,2,3,..., (3)

к=-<ю (а - кл) sin а

а при р = 2n :

£ (-1)

к

,2n

cos a

^, n = 1,2,3,.... (4)

к=-го (a - кл)^

Теорема 2 доказана.

Докажем следующие две теоремы, которые могут быть использованы при решении целого ряда важных для практики задач.

Теорема 3. Решением сумматорного уравнения вида

X

ZВшЄФшУ = 0 , l/2 <|y|< d/2 , (5)

m=-x

где рш , у m , d, X — заданные параметры, является

Bm = — J2kd +1(ma). m

(6)

здесь kd (0<kd <<x>), a — известные величины.

Доказательство. Будем искать неизвестные коэффициенты Bm в виде ряда [10]:

1 X

Bm =— Z xsJ2s +1(ma).

ms=0

(7)

где xs — новые неизвестные коэффициенты, J2s+1(ma) — функции Бесселя. Покажем, что (7)

1

1

1

1

1

142

РИ, 2003, № 4

превращает уравнение (5) в истинное равенство. Для этого подставим (7) в (5):

Eeip-y- £xsJ2s+i(ma) = 0, l/2 <|y|< d/2 . (8) —=-<» m s=0

В (8) изменим порядок суммирования:

Ж Ж . 1

ЕXs Еeip-y-J2s+i(ma) = 0 , l/2 <|y|< d/2 . (9)

s=0 m=-ж m

Введем обозначение:

ю і .

Ms(^) = E J2s+i(ma)eim, (xq)

m=—ж m

где a = %l /d , ^ = 2y/1.

Подставим (10) в (9):

ж

Z xsMs(^ = 0 , | % |> 1. (11)

s=0

Покажем, что (11) верно. Для этого докажем, что сумма ряда (10) равна нулю, т.е. Ms (^) = 0 . С этой целью воспользуемся известным представлением бесселевых функций [11]:

1 т , ч 1 7 1 т t \sin a(z “ m) .

— J2s +1(m«) =3 ] -J2s+1(az)------------dz (12)

m

z - m

и равенством, определяющим сумму следующего билатерального ряда [12]:

Е e

m=-х

IP-у sina(z - m) =neiPzy z - m

(13)

Подставим (12) в (10):

Согласно (16), Ms(^) = 0 .

Принимая во внимание (16), видим, что уравнение (11) удовлетворяется при любом конечном и не равном нулю xs. Представим коэффициенты xs в виде:

xs

в skd sin rc(kd - s) (s + kd) rc(kd - s) ,

(17)

где kd — известный параметр, s s — число Неймана. Подставим (17) в (7):

в- =-Е

в skd sin rc(kd - s)

1 ж

— E ■

m s—0 (s + kd) rc(kd - s)

J2s+1(ma) . (18)

Согласно [1], из (18) следует выражение (6) для коэффициентов Вш . Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Решением интегрального уравнения

X

J P(B)exP(ikxB)dB = 0 , | x |> а (19)

-X

является функция

A

Р(В) = — J2ka +1(kaB) , (20)

где k,a — известные величины, A — произвольная постоянная.

Доказательство. Будем искать функцию P(p) в виде ряда:

X C

P(B) = Е —J2ш+1 (kaB), (21)

ш=0 В

,, л-ч Д jmrcf 1 7 1Т / ч sina(z-m) , Ms(^) = Eei-a^ J2s+1(«z)---і----dz =

z - m

1 ? 1T , ч “ i—a? sin a(z - m),

= - J2s+1(«z) E e1-^--------*-----^dz

^-ж z ш=-ж z m

Из (14) с учетом (13) имеем:

1 “ 1

(14)

или

Ms(S) =- J -J2s+1 (az)rceiza^dz К-Ж z

Ms(^) = J -J2s+1 (az)eiza^dz , (15)

r 2%

где at, = — y . d

Далее воспользуемся представлением [13, с. 185, ф-ла (11)]:

X і

J —eipxJn(cx)dx = -■ x

[11 2in-1

|0j nc c < p < c|

|p|>c J

где Un _1 (—) — полином Чебышева 2-го рода [14, c

с.209]: Un (t) = sin(n arccos t).

РИ, 2003, № 4

здесь C— — неизвестные коэффициенты. Подставим (21) в (19):

X х C

J exp(ikxp)[ E — J2—+1 (kaB)]dB = 0, | x |> a .(22)

-ж ш=0 В

Изменим порядок интегрирования и суммирования в (22):

X х 1

Е C— і - J2—+1(kaB)exP(ikxB)dB = 0 . (23)

m=0 -ж Ц

Согласно [13, с. 185, ф-ла (11)] интеграл в (23) равен нулю при любом значении m , следовательно, (23) выполняется для любого Сш . Будем искать коэффициенты Сш в виде:

С _ a 8—ka sin rc(ka - m) C— — A_

(24)

(ka + m) rc(ka - m)

sin rc(ka - m) T 4

n(ka - —) J2—+1(ka^) -(25)

Согласно [1, с. 145] из (25) имеем выражение (20). Теорема 4 доказана.

Уравнение вида (19) встречается в задаче дифракции электромагнитных волн на плоском проводя-

143

1(p, Подставим

c ю

P(B) = Е -

(16) ш=0 I

щем экране со щелью [ 15]. Аналогичное уравнение решается в задаче о нормальном падении Н-поля-ризованной волны на полосу шириной 2а [16, с 644]. Интегральное уравнение (19) встречается также при решении задачи дифракции электромагнитной волны на структуре из конечного числа неэквидистантно расположенных лент различной ширины [17].

Сумматорное уравнение вида (5) появляется, в частности, при решении задач: о нормальном падении плоской Е-поляризованной электромагнитной волны на решетку, состоящую из тонких идеально проводящих бесконечно длинных металлических лент [9, 18], о возбуждении кольцевого волновода диполем [19], об излучении электромагнитной волны электронным потоком, движущимся внутри кольцевого волновода [20].

3. Результаты и выводы

Таким образом, проведенные исследования позволили получить следующие новые результаты, имеющие научное и практическое значение:

— путем доказательства теоремы 2 определена сумма знакопеременного билатерального ряда, которая выражается формулой (2); в известной литературе для него даны только частные случаи [7];

— найдено решение сумматорного уравнения (5) относительно неизвестных коэффициентов, определяющих искомое поле в задачах теории дифракции;

— найдено решение интегрального уравнения (19), которое представляет интерес для ряда важных задач электродинамики.

Практическая значимость результатов работы определяется возможностью их использования в математическом аппарате при решении указанных выше задач. Практическая ценность исследований заключается в:

— применении предлагаемого метода суммирования рядов по выборочным значениям при синтезе и анализе устройств вычислительной техники и радиоэлектроники;

— многократной экономии стоимости расчетов вследствие ускорения вычисления рядов определенного типа;

— возможности аппаратурной реализации методов, что позволяет повысить быстродействие вычислительных процессов.

На основе приведенных результатов можно сделать следующие выводы.

1) Метод суммирования рядов в ГПВЯ можно использовать для определения сумм избранных рядов.

2) Преимущества названного метода заключаются в: применении эквивалентных преобразований к общему члену ряда, что позволяет аналитически получить решение за меньшее количество шагов; отсутствии необходимости использовать таблицы

интегральных преобразований и обращаться к интегрированию в комплексной области.

3) Применение известных результатов теории ГПВЯ для решения граничных электродинамических задач дает возможность упрощать известные методы и получать на их основе аналитическое решение, удобное для дальнейшего численного анализа.

4) Путем доказательства теорем могут быть получены новые математические результаты для суммирования рядов.

Литература: 1. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике: Пер. М.К. Размахнина и В.П. Яковлева. М.: Сов. радио, 1971. 256с. 2. Чумаченко

B. С., Чумаченко С.В. Синфазне збудження решітки, утвореної плоскими напівобмеженими хвилеводами / / Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 2. С. 1518. 3. Чумаченко С.В. Возбуждение решетки с диэлектрической пластиной // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №3. С. 14-17. 4. Чумаченко С.В. Возбуждение фазированной антенной решетки сложной структуры // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №1.

C. 10-14. 5. Chumachenko S.V. Summation method of selected series for IP-core design / / Радиоэлектроника и информатика. 2003. №3. С. 197-203. 6. Хаханов В.И., Чумаченко С.В. Модели пространств в научных исследованиях // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №1. С. 124-132. 7. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 408 с. 8. Миллер У. Симметрия и разделение переменных: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. 344 с. 9. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Изд-во Харьк. ун-та, 1971. 400с. 10. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье: Пер. с англ. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 480с. 11. HonlH. Maue A. W, WestpfahlK. Theorie der Beugung. Springer-Verlag. Berlin, 1961. 12. Veliev E.I., Oksasoglu A. Bessel functions series in two dimensional diffraction problems / J. of Electromagnetic and Applications. 1996. Vol. 10, N4. P. 493-507. 13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800с. 14. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высш. шк., 1965. 424 с. 15. ЛебедевН.Н., СкальскаяИ.П. Применение парных интегральных уравнений к задаче дифракции электромагнитных волн на плоском проводящем экране со щелью // ЖТФ. Ленинград: Наука, 1972. T.XLI. Вып. 7. С.1329-1339. 16. Борн М, Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. М.: Наука, 1970. 856 с. 17. Воробьев С.Н., Литвиненко Л.Н., Просвирник С.Л. Дифракция электромагнитной волны на структуре из конечного числа неэквидистантно расположенных лент различной ширины. Сравнение спектрального и операторного методов / / Радиофизика и радиоастрономия, 1996. Т.1, №1. С. 110-118. 18. Шестопалов В.П, Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Изд-во Харьк. ун-та, 1973. 288 с. 19. Марченко В.А., Сологуб В.Г. Возбуждение кольцевого волновода диполем // Радиотехника, 1965. Вып. I. С. 3-13. 20. Третьякова С.С., Третьяков О.А., Шестопалов В.П. Известия вузов. Радиофизика. 1965. T.VIII, №3. С.552-560.

Поступила в редколлегию 12.10.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Хаханов В.И.

Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-326.

144

РИ, 2003, № 4