Верхнее и нижнее решения уравнений с монотонными операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Высшей Школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

Burlakov Е.О., Zhukovskiy E.S, Hodaev A.P. On a correctness of an abstract boundary value problem. Conditions for correct solvability of a boundary value problems for nonlinear functional-differential equations.

Key words: functional-differential equations; boundary value problem; continuous dependence of solutions on equation’s parameters.

УДК 517.965, 517.911

ВЕРХНЕЕ И НИЖНЕЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

© Т. В. Жуковская

Ключевые слова: монотонный оператор; конус в банаховом пространстве; нижнее и верхнее решения; оценки решений; операторные неравенства; уравнение с авторегулируемым запаздыванием.

Рассмотрены утверждения об операторных неравенствах, найдены условия существования верхнего и нижнего решений уравнений с монотонными операторами. Полученные результаты применяются для исследования уравнения с авторегулируемым запаздыванием.

Одной из основных задач исследования уравнений является описание свойства множеств решений. Для решения этой проблемы бывают чрезвычайно полезными утверждения о неравенствах, позволяющие построить оценки решений, доказать существование верхнего и нижнего решения. Здесь рассматриваются подобные утверждения для уравнений с монотонными операторами, действующими в полуупорядоченных банаховых пространствах.

Обозначим L([a, b], R) - пространство измеримых суммируемых функций у : [a,b] ^ R с нор-b

мой \\у\\ь = /|y(s)l ds] AC([a,b],R) - пространство абсолютно непрерывных функций

a

x : [a,b] ^ R, производная которых x Е L([a, b], R), с нормой ||ж|Цс = lx(a)l + \x\\ь-

Приведем некоторые понятия теории конусов в банаховых пространствах [1], играющие важную роль в нашем исследовании.

Пусть B - банахово пространство. Замкнутое выпуклое множество B+ С B называют конусом, если из x Е B+, x = 0 вытекает, что Хх Е B+ при Л > 0 и Xx Е B+ при Л < 0. Для х, у Е B будем

писать x > у или у < x, если x — у Е B+.

Элемент Z Е B называют точной верхней границей множества U С B и пишут Z = sup U, если

для всех u Е U выполнено z > u и для любого у Е B из у > u, У u Е U следует у > z. Анало-

гично определяется точная нижняя граница. Если у множества из двух элементов есть точная

верхняя (нижняя) граница, то существует и нижняя (верхняя), причем выполнено равенство sup{x, у} + inf{x,у} = x + у. Конус B+ С B называют миниэдралъным, если у каждого множества из двух элементов есть точная нижняя (и, следовательно, верхняя) граница. Каждый элемент x Е B в случае миниэдральности конуса B+ допускает представление x = x+ + x- , где x+ = sup{x, 0} Е B+, x- = sup{ —x, 0} Е B+. Если существует такое число M, что для всякого x Е B выполнены неравенства

|| x+ || ^ M|| x ||, || x- || ^ M|| x ||, (1)

то говорят, что конус обладает свойством несплющенности. Конус называют сильно миниэдраль-ным, если нижняя (верхняя) граница есть у каждого ограниченного по конусу множества.

Конус B+ называется вполне правильным, если сходится каждая ограниченная по норме, невозрастающая (неубывающая) последовательность xi > x2 > • • • > xn ■ ■ ■ . Если из 0 < x < у следует || x || ^ m|| у ||, где m не зависит от x и у, то конус B+ называют нормальным. В этом случае, если x < у < z, то || у || ^ (m + 1)(|| x || + || z ||), т. е. из ограниченности по конусу следует ограниченность по норме.

Оператор K : B ^ B называют монотонным, если из x > у следует Kx > Ку. Оператор К : B ^ B называется предельно монотонно компактным на ограниченном множестве U С B [1, с.307], если сходится каждая последовательность

x0 > Kx1 > К2x2 > ■ ■ ■ > Knxn ■ ■ ■ , (2)

где xn, Knxn Е U, n = 0,1, 2,.... Назовем оператор предельно монотонно компактным, если он

B.

Мы будем использовать следующие утверждения о неподвижных точках монотонных операторов.

Теорема!. [1, с.308]. Пуст ь монотонный оператор K : B ^ B преобразует, в себя ограниченное замкнутое множество U С B, на котором он является предельно монотонно компактным. Пусть, далее, u > Ku для некоторого u Е U. Тогда оператор K имеет на U по крайней мере одну неподвижную точку x, удовлетворяющую условию x < u.

Т еорема2. Пуст ь выполнены условия теоремы 1. Пусть, кроме того, конус B+ С B является миниэдралъным, и inf{-ш,$} е U для любых двух неподвижных точек w, § Е U опе-K. K,

U

Следствие1. Пуст ь выполнены условия теоремы 1. Пусть, далее, конус B+ С B

x, у U

ные числа n, j, что inf{Knx,Kjу} Е U. Тогда в множестве неподвижных точек оператора K,

U

K

U

Отметим, что во всех приведенных утверждениях не требуется непрерывность отображения K : B ^ B. Этот факт позволяет применить данные результаты к исследованию уравнения вида

x(t) = f (t, x(h(t,x(t)))), t Е [a, b], x(C) = V(0, если £ Е [a,b].

Уравнение (3) называют уравнением с авторегулируемым запаздыванием. К такому уравнению приводит, например, математическое описание взаимодействия быстро движущихся материаль-

x(t)

t.

состояние. Поэтому функция h при всех t Е [a, b], x Е R удовлетворяет неравенству h(t,x) ^ t,

что позволяет применять к таким уравнениям теорию вольтерровых операторов. Однако разрывность оператора F : AC ([a, b], R) ^ L([a, b], R), порождаемого правой частью уравнения (3), становится преградой в использовании методов функционального анализа. Этой же причиной можно объяснить ряд необычных свойств уравнения (3): задача Коши может не иметь локальных решений, или иметь непродолжаемые решения, в ряде случаев, задача Коши оказывается некорректной относительно импульсных воздействий и т. д. (соответствующие примеры можно

F,

Коши обладает классическими традиционными свойствами.

Обозначим

(mm = {xlht:xесли ht е a ч. {N vm = fit, уШ

\ ф(h(t, x(t))), если h(t, x(t)) Е [a, b], f

Представим уравнение (3) в виде

x'(t) = (Nf Hx)(t), tE [a, b]. (4)

Для этого уравнения рассмотрим задачу Коши с условием

x(a) = а. (5)

Решением называем абсолютно непрерывную функцию, удовлетворяющую уравнению (4) при почти всех t Е [a, b] и начальному условию (5). Вольтерровость оператора F = Nf H позволяет говорить о локальном определенном на [a, a+^^ глобальном, предельно продолженном решениях. Упорядочив пространство суммируемых функций конусом неотрицательных функций, сможем определить понятия нижнего и верхнего решений.

Теорема 3. Будем предполагать, что а ^ ^(a), функция ф : (—то, a] ^ R непрерывная и неубывающая, функции f,h : [a, b] х R ^ R измеримы по первому аргументу, не убывают и непрерывны справа по второму аргументу, при каждом x Е R выполнено включение f (^,x) Е L([a, b],R), 1 ^ p < то, при любом x Е R и почти всех t Е [a, b] имеют, место неравенства h(t, x) ^ t, f (t, x) ^ 0. Пусть некоторая функция u E AC ([a, b],R) удовлетворяет условиям u'(t) ^ (NfHu)(t), t E [a, b], u(a) ^ а. Тогда

• существует такое т > 0 и существует определенное на [a, a + т] локальное решение xT Е AC ([a, a + т], R) задачи (4), (5), для которого имеет место оценка x'T (t) ^ u'(t), t Е [a, a + т];

• любое локальное ре шение xY задач и (4), (5), для, которого имеет, мест,о оценка x'y(t) ^ u'(t), t E [a, a + y], продолжаемо либо до глобального xb-a, удовлетворяющего неравенству xb_a(t) ^ u'(t), t Е [a, b], либо до предельно продолженного решения x^, определенного на [a, a + £) и удовлетворяющего на, этом интервале неравенству x^(t) ^ u'(t);

• существует нижнее глобальное или предельно продолженное решение x ^ задач и (4), (5), удовлетворяющее на, своей области определения неравенству x^ (t) ^ u'(t).

ЛИТЕРАТУРА

1. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.

2. Писаренко В.Г. Уравнения с отклоняющимся аргументом, возникающие в проблеме многих тяготеющих электрически заряженных тел при учете запаздывания сил взаимодействия // Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 255-269.

3. Driver R.D. A functional-differential system of neutral type arising in a two body-problem of classical electrodynamics // Internat. Sympos. Nonlinear Differential Equations and Nonlinear Mechanics. 1961. New York: Acad. Press, 1963. P. 474-484.

4. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

5. Жуковский Е.С. Операторные неравенства и функционально-дифференциальные уравнения: дис. канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1983. 133 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№ 07-01-00305, 09-01-97503), Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

Zhukovskaya T.V. Upper and lower solutions of equations with monotonous operators. Statements on operator inequalities are under discussion. Conditions for existence of upper and lower solutions with operators are established. Obtained results are applied to investigation of equation with autoadjustable delay.

Key words: monotone operator; Banach space cone; upper and lower solutions; solutions estimations; operator inequalities; equation with autoadjustable delay.

УДК 517.958

О РАЗЛОЖЕНИИ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

© А. Ю. Сазонов, Ю. Г. Фомичева

Ключевые слова: весовые функциональные пространства; разложение функции в ряд.

В данной работе получены условия, обеспечивающие сходимость числовых рядов, составленных из коэффициентов Фурье разложения функции ф € Н1+_+(0,+ ) в ряд Фурье по системе собственных функций, а также найдено условие сходимости функционального ряда фрУр в весовом функциональном пространстве Н^++1(0+).

Пусть М++1 = {х€ Еп+1 : х = (хъ ...,Хп,у) = (х',у), X € Мп,у > 0,у € М}, 0+ - произвольная область пространства М++1, ограниченная гиперплоскостью Г0 : у = 0 и произвольной по-

верхностью Г+ типа Ляпунова. В области 0+ рассматривается оператор

Р(Ох/ ,Ву) = Хл,з=1 а] дХ).дх. + ЬВу + с, (1)

Ву = ду2 + уду'к>0'с« 0, И

где Р(Ох/, Ву) - оператор В-эллиптического типа ([1]):

существует 6 > 0, такое, что для любого д = (д1,дп+1), \д\ = 0, имеет место неравенство

п

^ а3ЯгЯ] + ЬдП,+1 ^ 6\я\2 , аа = ац. (2)

1,3 = 1