О корректности абстрактной краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988, 517.965

О КОРРЕКТНОСТИ АБСТРАКТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

© Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский, А.П. Ходаев

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения; краевые задачи; непре-рввная зависимость решения от параметров уравнения.

Сформулированы условия корректной разрешимости краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений.

Для исследования различных функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), то есть уравнений, содержащих неизвестную векторную функцию одного переменного и ее обыкновенную производную, Н.В. Азбелевым была предложена идея унификации методов исследования, основанная на представлении ФДУ в виде операторного уравнения в соответствующем функциональном пространстве. Это операторное уравнение получило название абстрактного функциональнодифференциального уравнения (АФДУ). В виде АФДУ записываются, например, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, интегро-дифференциальные уравнения, уравнения нейтрального типэ. и др-7 подверженные и не испытывающие импульсных воздействий, имеющие и не имеющие сингулярные особенности. Благодаря работам Н.В. Азбелева и его учеников были подробно изучены линейные АФДУ. Оказалось, что при наличии «обычных» свойств у рассматриваемых пространств и выполнении достаточно естественных требований к операторам, входящим в уравнение, для линейного АФДУ имеют место основные результаты теории линейного обыкновенного дифференциального уравнения [1]. Теория нелинейных АФДУ пока менее изучена. Полученные к настоящему времени результаты в основном относятся к так называемым «приводимым уравнениям» [1], которые эквивалентны уравнениям с вполне непрерывным отображением в правой части.

Здесь мы рассмотрим проблему корректности нелинейной краевой задачи для АФДУ. Отметим, что В.П. Максимовым эта проблема для «классических» ФДУ в пространствах абсолютно непрерывных функций подробно исследована иными методами [2].

Для произвольных банахова пространства Е, элемента ео € Е, множества А С Еж числа г > 0 обозначим Ве(ео, г) = {е € Е | \\е — ео||е < г} - открытый шар в Е с центром в ео радиуса г, А - замыкание множества А в пространстве Е.

Пусть Кп - пространство векторов, имеющих п действительных компонент; О, М, - банаховы пространства, причем О изоморфно и изометрично прямому произведению М х Кп и изоморфизм

задан операторами : О — М х Еп, (Е,У) = : М х Кп — Б. Далее, предполагаем,

что пространство О компактно вложено в некоторое банахово пространство С, то есть О С С, существует такое ЧИСЛО С\, ЧТО ДЛЯ произвольного X € О выполнеНО \\х\\с ^ С1||ж||д, и любой шар В в (0, г) является относительно компактным м ножеством в С.

Пусть Л - некоторое банахово пространство. Рассмотрим краевую задачу с параметром А € Л для АФДУ

Ф(х, А) = 0, (1)

р(х, А) = 0;

где Ф : О х Л — М, р : О х Л — Кт - заданные отображения. Предположим, что при А = Ао € Л задача (1) имеет решение х = хо € О. Применительно к краевой задаче (1) теорема о неявной функции [3, с.415] имеет вид:

Теорема 1. Пусть

1) существуют такие 50 > 0 о0 > 0 что операторы Ф,р непрерывны и имеют, непрерывные производные Фреше Ф'х,p'x при всех (х,Л) Е Bd(хо, 0"о) х Вд(Ло, ¿о);

2) определяемый равенством Lz = Ф'х(х0, Ло)^ линейный оператор L : D ^ M сюръективен и dim ker L = m;

ствует единственное решение х = х(А) задачи (1), причем отображение х() : Вл(Ао,5) ^ Б непрерывно.

Далее предполагаем, что исходное АФДУ приводимо к нормальному виду, то есть имеет место представление Ф(х, А) = йх — 1(х, А), где отображение 1 : Б х Л ^ М дифференцируемо по первому аргументу. Тогда производная Ф'х(х, А)г = йг — 1 х(х,А)г.

Замечание. В случае т = и, выполнение условия 2) теоремы 1 следует, например, из фредгольмовости «главной части» Q : М ^ М, Q£ = £ — 1Х(хо, Ао) 2£, оператора С (см. [1]). В связи с приложениями доказанного утверждения к конкретным краевым задачам, отметим, что фредгольмовость оператора Q : М ^ М имеет место в случае, когда оператор 1Х(хо, Ао) : Б ^ М допускает продолжение до оператора, действующего из пространства С в пространство М.

Теорема 1 сформулирована без предположения единственности решения краевой задачи (1) А = Ао А = Ао

П С С существует решение хо = х(Ао) задачи (1) и это решение единственно в О. Таким образом, считаем решение хо изолированным. Обозначим Х\ - множество решений задачи (1), отвечающих значению параметра А и принадлежащих множеству П. Рассмотрим свойства множеств Х\ при А Ао

Теорема 2. Пусть

1)

2) существует такое 5о > 0 что при всех А Є Вд(Ао, 5о) оператор 1(■, А) допускает расширение до оператора 17(-, А) : С ^ М, причем оператор 1 : С х Вд(Ао, 5о) ^ М ограничен и непрерывен на, П х {Ао};

3) для некоторой последовательности {Аі} С Л, IX — Ао||л ^ 0 множества Х\і содержат, по крайней мере два, элемента.

Тогда, множество П неограничено, и при каждом і можно так выбрать хі Є Х\., что їх — хо||_о ^ 0, а если выбирать хі Є Х\і так, что начиная с некоторого номера, хі = хі, то |Х||с ^ те.

Приведенные утверждения аналогичны результатам Е.Л. Тонкова [4, 5] о непрерывной зависимости от управления периодических решений обыкновенного дифференциального уравнения (эти результаты можно трактовать как условия корректности периодической краевой задачи).

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

2. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. Избранные труды. Пермь: Изд-во ИГУ, ПСИ, ПССГК, 2003. 306 с/

3.Интегральные уравнения. СМБ / Забрейко П.П. [и др.]. М., 1968. 448 с.

4. Тонкое Е.Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы // Мат. физика. 1977. № 21.

5. Тонкое Е.Л. Оптимальное управление периодическими движениями // Мат. физика. 1977. № 22. С. 54-64.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№ 07-01-00305, 09-01-97503), Научной Программой "Развитие Научного Потенциала

где l = ф'х (x0, Ао) l : D ^ Rm, имеет, только тривиальное решение z = 0.

Тогда, найдутся такие 5 > 0 а > 0, что для любого А Є B\(A0,5) в шаре Bd(х0,а) суще-

ЛИТЕРАТУРА

С. 45-59.

Высшей Школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

Burlakov Е.О., Zhukovskiy E.S, Hodaev A.P. On a correctness of an abstract boundary value problem. Conditions for correct solvability of a boundary value problems for nonlinear functional-differential equations.

Key words: functional-differential equations; boundary value problem; continuous dependence of solutions on equation’s parameters.

УДК 517.965, 517.911

ВЕРХНЕЕ И НИЖНЕЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

© Т. В. Жуковская

Ключевые слова: монотонный оператор; конус в банаховом пространстве; нижнее и верхнее решения; оценки решений; операторные неравенства; уравнение с авторегулируемым запаздыванием.

Рассмотрены утверждения об операторных неравенствах, найдены условия существования верхнего и нижнего решений уравнений с монотонными операторами. Полученные результаты применяются для исследования уравнения с авторегулируемым запаздыванием.

Одной из основных задач исследования уравнений является описание свойства множеств решений. Для решения этой проблемы бывают чрезвычайно полезными утверждения о неравенствах, позволяющие построить оценки решений, доказать существование верхнего и нижнего решения. Здесь рассматриваются подобные утверждения для уравнений с монотонными операторами, действующими в полуупорядоченных банаховых пространствах.

Обозначим L([a, b], R) - пространство измеримых суммируемых функций у : [a,b] ^ R с нор-b

мой \\у\\ь = /|y(s)l ds] AC ([a, b],R) - пространство абсолютно непрерывных функций

a

х : [a, b] ^ R, производная которых X Е L([a, b], R), с нормой ||х|Цс = |x(a)| + \\Х\\l-

Приведем некоторые понятия теории конусов в банаховых пространствах [1], играющие важную роль в нашем исследовании.

Пусть В - банахово пространство. Замкнутое выпуклое множество В+ С В называют конусом, если из х Е В+, х = 0 вытекает, что Лх Е В+ при Л > 0 и Лх Е В+ при Л < 0. Для х, у Е В будем писать х > у или у < х, если х — у Е В+.

Элемент Z Е В называют точной верхней границей множества U С В и пишут Z = sup U, если для всех u Е U выполнено z > u и для любого у Е В из у > u, У u Е U следует у > Z. Аналогично определяется точная нижняя граница. Если у множества из двух элементов есть точная