О разрешимости и оценках решений дифференциального уравнения с запаздыванием, зависящим от искомой функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

О РАЗРЕШИМОСТИ И ОЦЕНКАХ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ

© В. Б. Пеньков, Т. В. Жуковская, Л. В. Саталкина

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с авторегулируемым запаздыванием; локальная разрешимость; продолжение решений; дифференциальные неравенства. Исследуется функционально-дифференциальное уравнение с авторегулируемым запаздыванием. Это уравнение возникает при математическом описании взаимодействия быстро движущихся материальных точек или зарядов, если в модели учитывается запаздывание реакций объектов на внешние воздействия и внутреннее состояние. Получены условия локальной разрешимости, продолжаемости решений, найдены оценки решений.

В работе рассматривается уравнение

называемое в литературе уравнением с авторегулируемым запаздыванием. Это уравнение возникает при математическом описании взаимодействия быстро движущихся материальных точек или зарядов [1, 2]. Такие модели учитывают запаздывание реакций объектов на внешние воздействия и внутреннее состояние. Поэтому функция Н при всех Ь £ [а, Ь], х £ Я удовлетворяет неравенству Н(Ь, х) ^ Ь, что позволяет воспользоваться теорией воль-терровых операторов. Однако, отсутствие непрерывности оператора, порождаемого правой частью уравнения (1) (действующего из пространства абсолютно непрерывных в пространство суммируемых функций), становится преградой в использовании методов функционального анализа. Этой же причиной можно объяснить ряд необычных свойств уравнения

(1): задача Коши может не иметь локальных решений, или иметь непродолжаемые решения, в ряде случаев, задача Коши оказывается некорректной относительно импульсных воздействий и т.д. (соответствующие примеры можно найти в [3, с.278]). Один из наиболее эффективных методов исследования уравнения (1) основан на выделении специальных множеств пространства абсолютно непрерывных функций, на которых правая часть этого уравнения оказывается вполне непрерывным отображением [4].

В настоящей работе для уравнения (1) получены утверждения о дифференциальных неравенствах, аналогичные классическим теоремам С.А. Чаплыгина об обыкновенных дифференциальных уравнениях.

1. Обозначения и определения. Пусть Ьр [а,ц - пространство суммируемых в р -ой

х'(Ь) = /(Ь, х(Н(Ь,х(Ь)))), Ь £ [а, Ь],

х(£) = <р(£), если £ £ [а, Ь],

(1)

степени (1 < р < то) функций у : [а, Ь] ^ Я

[а,ъ\ - пространство измеримых ограниченных в существенном функций у : [а, Ь] ^ Я с нормой ||у||ь^ = vraiвир5е[а ъ\ |у(^)| ; Ор [[а^ъ\ - пространство таких абсолютно непрерыв-

ных функций х : [а, Ь] ^ Я, что х/ £ Ьр аъ\, 1 < Р < то, с нормой ||х||Лр = ||х/|Ьр + |х(а)|. Обозначим

х(Н(Ь, х(Ь))), если Н(Ь, х(Ь)) £ [а, Ь],

(Нх)() у р(Н(Ь, х(Ь))), если Н(Ь, х(Ь)) £ [а, Ь],

(^У)(Ь) = /(Ь, У(Ь))■

Представим уравнение (1) в виде

x/(t) = (Nf Нх)(Ь), Ь £ [а, Ь]. (2)

Для этого уравнения рассмотрим задачу Коши с условием

х(а) = а. (3)

Ее решением будем искать в классе абсолютно непрерывных функций.

Вольтерровость оператора ^ = Nf Н позволяет использовать понятия [5] локального, глобального и предельно продолженного решений. Функцию хт £ Ор [а,а+т\, 0 < т < Ь — а называют локальным решением уравнения (2), если она удовлетворяет этому уравнению при п.в. Ь £ [а,а+т]. Глобальным решением называют функцию хъ-а £ Ор [а^ъ\, удовлетворяющую данному уравнению почти всюду на [а, Ь]. Функция х^ : [а, а+£) ^ Я,

0 < £ < Ь — а, сужение которой хт на каждый отрезок [а,а+т], 0 < т < £, является локальным решением, и Нш ||хт||= то называется предельно продолженным решением.

2. Дифференциальные неравенства и оценки решений. Упорядочим пространство Ьр [[а^ъ\ конусом неотрицательных функций, то есть для любых двух функций У1,У2 £ Ьр считаем у\ > у2, если У\(Ь) > У2(Ь) при п.в. Ь £ [а,Ь]. Теперь стандартно определим понятия нижнего и верхнего решений и для получения условий их существования воспользуемся теоремами [6] об операторных неравенствах УоН;егга.

Теорема. Будем предполагать, что а ^ ф(а), функция ф : (—то, а] ^ Я непрерывная и неубывающая, функции /,Н : [а, Ь] х Я ^ Я измеримы по первому аргументу, не убывают и непрерывны справа по второму аргументу, при каждом х £ Я выполнено включение /(•,х) £ Ьр [а^ъ\, 1 ^ Р < то, при любом х £ Я и почти всех Ь £ [а, Ь] имеют место неравенства Н(Ь, х) ^ Ь, /(Ь, х) ^ 0. Пусть некоторая функция и £ Ор удовлетворяет условиям и/(Ь) ^ (Nf Ни)(Ь), Ь £ [а, Ь], и(а) ^ а. Тогда

• существует такое т > 0 и существует определенное на [а, а+т] локальное решение хт £ Ор [а,а+т\ задачи (2),(3), для которого при п.в. Ь £ [а,а+т] имеет место оценка хт(Ь) ^ и/У(Ь) ;

• любое локальное решение х7 задачи (2),(3), для которого имеет место оценка х/у (Ь) ^ и/(Ь), Ь £ [а, а + ^], продолжаемо либо до глобального хъ-а, удовлетворяющего неравенству х'ъ_а(Ь) ^ и/(Ь), Ь £ [а, Ь], либо до предельно продолженного решения х^, определенного на [а, а + £) и удовлетворяющего на этом интервале неравенству х^(Ь) ^ и/(Ь);

• существует нижнее глобальное или предельно продолженное решение х ^ задачи

(2),(3), удовлетворяющее на своей области определения неравенству х[ (Ь) ^ и/(Ь).

Доказательство. Как доказано И.В. Шрагиным в [7], данные предположения обеспечивают измеримость суперпозиций (Их)(-), /(■, (Их)() для каждой непрерывной функции х. Для любого х € Ор а,Ъ] выполнено

(Ех)(г) < /(г, \х(а)\ + ! \х\в)\йв) <

а

Ъ

< /(г, \х(а)\ + \х'(в)\р /р(Ь - а) ^) < /(г, (ъ - а + ^ ^\\х\\Вр).

а

Аналогично устанавливается справедливость неравенства

/ \ 1/я

№х)(г) ^ /(г, -(Ь - а + ^ \\х\\в).

Обозначим /(г, х) = шах{ \/(г, х)\, \/(г, -х) \ } и запишем полученные выше неравенства в виде

Л/я.

Из этой оценки следует Ех Є Ьр а,Ъ\ ■

Конус неотрицательных функций в пространстве Ьр [а, ъ\ является вольтерровым на совокупности V = { [а, а + }, вольтеррово сильно миниэдральным, вольтеррово вполне

правильным и несплющенным. В пространстве Ор а,ъ\ конус Ор[а,ъ\+ будет состоять из неубывающих функций х : [а,Ь] — Я удовлетворяющих неравенству х(а) ^ 0. Непосредственно применить для доказательства теорему об операторном неравенстве работы [6] нельзя, так как оператор Е : Ор — Ьр аъ\ не является монотонным. Определим опера-

тор 0 : Бр а,ъ\ — Ор \а,Ъ\ равенствами (0х)(і) = тах{ х'(Ь), 0 }, (0х)(а) = тах{ х(а), а }. Задача Коши с начальным условием (3) для уравнения

х = Е 0х (5)

равносильна исходной задаче (2),(3). Действительно, если существует решение любой из задач (2),(3) или (5),(3), то оно будет монотонной функцией, удовлетворяющей равенству

(3), а на таких функциях оператор 0 совпадает с тождественным. В отличие от оператора Е оператор Е0 обладает свойством монотонности.

Далее, для каждого х Є Ор а,ъ\ из ||х||л ^ д следует ||0х||л ^ а + д. Используя оценку

(4) получаем

\(Е0х)(Ь)\ < /(Ь, (ъ — а + і) /д(а + д)).

(•) ^

Отсюда, так как функции У /(Ь, — а + ^ (а + д)) ЛЬ равномерно непрерывна на [а, Ь],

а

заключаем, что оператор Е0 является улучшающим [6].

Все перечисленное позволяет воспользоваться теоремами 4,5,6 работы [6].

Теорема доказана.

Отметим, что аналогичный результат был получен ранее в работе [8] для уравнения (2) в случае, когда имеется несколько иная зависимость запаздывания от неизвестной функции, а именно, оператор Н определяется равенством

(Н )(і) ( виРзєтдх(в)’ если к(і) Є [а,Ъ]

1 р(Н(і)), если Н(і) Є [а,Ь].

ЛИТЕРАТУРА

1 . Драйвер Р.Д. Топологии для уравнений нейтрального типа // Дифференциальные уравнения

с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 113-127.

2 . Писаренко В.Г. Уравнения с отклоняющимся аргументом, возникающие в проблеме многих

тяготеющих электрически заряженных тел при учете запаздывания сил взаимодействия // Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 255-269.

3 . Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функцио-

нально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

4 . Гусаренко С.А., Жуковский Е.С., Максимов В.П. К теории функционально-дифференциаль-

ных уравнений с локально вольтерровыми операторами // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. № 2. С. 268-272.

5 . Жуковский Е.С. Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве

// Известия вузов. Математика. 2005. № 10 (521). С. 37-48.

6 . Жуковский Е.С. Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах // Матем. сб., 2004.

Т. 195, № 9. С. 3-18.

7 . Шрагин И.В. Измеряемость суперпозиций разрывных функций // Труды Тамб. ин-та хим.

машиностроения. 1969. С. 6-8.

8 . Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. Монотонные операторы и разрешимость функционально-

дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов: Изд-во ТГУ, 1998. Т. 3. Вып. 2. С. 171-176.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 11-01-00626, № 11-01-00645) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственный контракт № 14.740.11.0349).

Поступила в редакцию 24 апреля 2011 г.

Penkov V.B., Zhukovskaja Т.У., Satalkina L.V. About solvability and solutions estimates for differential equation with delay depending on required function. The functional-differential equation with autoadjustable delay is under discussion. The equation as such arises at the mathematical description of interaction of quickly moving material points or charges if in the model there is considered the delay of objects reaction on external influences and inwardness. The conditions of local solvability and extendability are derived as well as solutions estimates.

Key words: differential equation with autoadjustable delay; local solvability; extension of solutions; differential inequalities.

Пеньков Виктор Борисович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теоретической механики, e-mail: [email protected]

Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]

Саталкина Любовь Владимировна, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]