Монотонные операторы и разрешимость фунцкионально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И РАЗРЕШИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский

T.V. Zhukovskaya & E.S. Zhukovsky. Monotonous operators and the solvability offunctionally-differential equations. The article looks at the space of functions summable on [a,b]W\\h the order generated by cone К when Vf&K^fTe(a,b] X/oj/f^K Here, Х/ал/ is a characteristic function of section /ал] • The theorems of solvability and evaluation of solutions of equation x=Ax with a monotonous Volterra operator A are obtained. The existence of

lower and upper solutions is proved. The authors propose schemes for applying the obtained outcome to research into the functionally-differential equations.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений важную роль играют теоремы об интегральном и дифференциальном неравенствах, позволяющие получать оценки решений. Развитие теории функционально-дифференциальных уравнений потребовало изучения более сложных операторных неравенств в различных функциональных пространствах [1]. В [2, 3] получены утверждения о неравенствах в пространстве Ьр/а.ь/ функций, суммируемых на [а,Ь] с р-ой степенью, 1<р<оо , упорядоченном «естественным» конусом неотрицательных функций. Настоящая работа посвящена обобщению подобных результатов на случай произвольного конуса, порождающего вольтерровую полу-упорядоченность в пространстве Iр/а^у . Рассмотрены схемы применения полученных результатов к исследованию функционально-дифференциальных уравнений.

1. Приведем некоторые понятия теории конусов в банаховых пространствах [4], играющие важную роль в нашем исследовании.

Пусть Е - банахово пространство. Замкнутое выпуклое множество Кс^Е называют конусом, если из хеК , хфО вытекает что ХхеК при А.>0 и кхеК при А.<0. Для х.уеЕ будем писать х>у или у<х, если х-уеК.

Конус КаЕ называют миниэдральным, если у каждого множества из двух элементов х,у есть точная нижняя (верхняя) граница. Имеет место равенство ш/(х,у)+Бир(х,у)=х+у . Каждый элемент хеЕ в случае миниэдральности конуса К допускает представление х-х+ —х_ , где х+=зир(х,0)еК ,

х_=зир(- х$)^К . Если существует такое число М, что для всякого хеЕ выполнены неравенства х+ ||<Л/||*||, ||.х_||<Л/||л||, то говорят, что конус обладает свойством несплющенности. Конус К назы-

вают сильно миниэдральным, если нижняя (верхняя) граница есть у каждого ограниченного по конусу множества.

Конус К называется вполне правильным, если

сходится каждая ограниченная по норме, невозрастающая (неубывающая) последовательность Л]>Л2>...>л„>.... Если из 0<х<у следует ||;с||<7У||.у||,

где N не зависит от х и у , то конус К называют нормальным. В этом случае, если х<у<г, то ||^||<^N+1 /||д:||+||г||> . Действительно, 0<у-х<г-х .

Поэтому |уН*И^1ММИР •

Из полной правильности конуса вытекает его нормальность [4].

Покажем, что если конус КаЕ нормальный ми-ниэдральный и обладает свойством несплющенности, то существует такая константа Г, что ||™р(ЧН|^|д:||+|;ф • Воспользуемся неравенствами -х_<х<5ир(х,у)<х++у+. Получим 0<яир(х,у)+х_<х++х_+у+. Отсюда

I*иР(л,у;||-||л_\^(\\х+1+1*-1|+||^+1|> и ||^.^|Н^||Л+||+Г^+1^_||+^||д;+||< <М(2Ы+\)1\х\\+ММ\\у\\<М(2М+1Х\\х\\+\\у\\).

Оператор А:Е->Е называют монотонным, если из х>у следует Ах>Ау.

Следующее утверждение получено из более общей теоремы 38.2 [4].

Теорема 1. Пусть конус £<=£ вполне правильный. Пусть монотонный оператор А:Е-*Е преобразует в себя ограниченное замкнутое множество ІІеЕ. Пусть, далее, и>Аи для некоторого

и&и. Тогда оператор А имеет на (/ по крайней

мере одну неподвижную точку х, удовлетворяющую условию .х<и.

Доказательство. Положим и0={хеЕ\х>Ах,хе.и]. Это множество не пусто, так как и>Аи . Определим на 1/0 функционал / равенством /д:=^ы/?||н'-у||, где верхняя грань взята по всем таким м>уеи0, что x>\v>v . Покажем, что для любого уеіі0 выполнено

ш/ 1х=0.

хеи0,х<у

(1)

В самом деле, в предположении противного найдутся такой элемент у^е110 и такое число е>0, что

при всех х<у0 выполнено неравенство 1х>е. Но тогда можно построить последовательность >'0>™1>У1>^2>У2>...>М'£>У*>... так, чтобы Ци^-у* ||>е. Это противоречит тому, что конус К вполне правильный.

Равенство (1) позволяет найти такую последовательность {хк}, > что 1хк<~ •

к

к=1,2 Эта последовательность сходится к некоторому элементу ге1/ . Из хк>г следует Ахк>Аг . Так как хк>Ахк , то хк>Аг. Итак, г>Аг, т.е.

Далее, при каждом к=1,2,.. выполнены неравенства

и>хк>г>Аг . Поэтому из 1хк<— получаем оценку

к

||г—. Таким образом, г=Аг, г<и .

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Пусть, кроме того, конус КсЕ является ми-

ниэдральным, и для любых двух непод-

вижных точек \vyeU оператора А . Тогда в множестве неподвижных точек оператора А существует наименьший элемент.

Доказательство. Покажем, что неподвижная точка 2 оператора А, построенная при доказательстве предыдущего утверждения, является наименьшей. Напомним, что и>хк>г , где /**<— при любом

к

к=1,2 Предположим, что существует другая неподвижная точка х оператора А. Определим ф=ш/(г,х). Тогда х>ц>=>х=Ах>Ац>, гхр=>г=Аг>А(р . Следовательно, сроЛф, фе£/о> и>хк>г>^. Поэтому

из /•х*<~ получаем оценку Цг-фЦсД-. Таким образом, 2=ф.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 1. Пусть, далее, конус К<^Е является миниэд-

ральным, и для любых двух элементов х.уеС! существуют такие натуральные числа п, т. что

т/(Апх,Ату)е.и. Тогда в множестве неподвижных точек оператора А существует наименьший элемент.

Действительно, для неподвижных точек оператора А получаем А"и>=и’, Ату=у. Следовательно, т/(-и/у)е.и , и, на основании теоремы 2, в множестве неподвижных точек оператора А существует наименьший элемент.

Следствие 2. В условиях теоремы 2 в множестве неподвижных точек оператора А существует

наибольший элемент.

Для доказательства этого факта заметим, что так как г=А2, то г<А2. Теперь осталось взять в

качестве конуса в Е множество -К .

2. Применим полученные выше утверждения к исследованию операторных неравенств в пространстве суммируемых функций.

Пусть \Уе - некоторое пространство измеримых

на ееЯ функций. Обозначим через

Ру,т ■*07а.у/->И7а,т/ оператор, определяемый при

у>т равенством (Рухх)(1)=х(1), 1е[а,\] , а при

х($),при зе[а,у],

0, при зе(у,т].

Рассмотрим уравнение

уст (Рухх/і)=

х-Ах

(2)

с вольтерровым оператором А:Ьр/аь/^>1,р/аь/. Свойство вольтерровости оператора А позволяет говорить о локальной разрешимости уравнения (2). Обозначим Ах=РЬхАРхр , Ах:1р[ах]->Ьр[ах].

Локальным решением уравнения (2), определенным на [ал], называют такую функцию 2тб1/,^ату ,

которая удовлетворяет уравнению гх=Ахгх.

Эффективное использование свойств вольтерро-вых операторов в полуупорядоченных пространствах для исследования разрешимости уравнения (2) возможно только, когда конус Ка1р/аЬ] удовлетворяет следующему условию. Будем говорить, что отношение порядка является вольтерровым, если при любом хе(а,Ь] имеет место включение

РхЬРЬхКсК . В этом случае множество Кх=РЬхК будет конусом В пространстве • Для элемен-

тов хх,ухеЬр1ахI , таких что хх-ухеКх , сохраним обозначения хт>.ут, ,ут<*т.

Теорема 3. Пусть порожденное вполне правильным конусом К отношение порядка в Ьр[аьу является вольтерровым. Пусть оператор А:1р1аы~*1р1аЬ] вольтерровый монотонный улучшающий. Пусть, наконец, для некоторого и^Ьр[аЬ] выполнено и>Аи. Тогда для любого

числа В существует такое (Зе^а,Ь] , что на [а,Р] определено локальное решение гр уравнения (2), удовлетворяющее условиям:

а) ||гр||>В , или (3=Ь ,

б) *р<РЬри .

Доказательство. При каждом те(а,Ь] конус Кхс.Ьр[ах] является вполне правильным и, следовательно (см. [4]), нормальным. Из хх<ух<гх следу-

ет 1Ы1^+1^ЫН1гФ * где N не зависит от т и элементов хх,ух,гх .

Возьмем Г|=шах||м|і}. Вследствие улучшаемости оператора А:Ьр^аЬ]-^ір!а,Ь] - множество

У,

а,=

«I

\\( Ах)(

сЬ

<1 \/лг||л-||<Г|

не пусто. Из

непрерывности интеграла по верхнему пределу [5] следует, что §]=5цр0|€0]. Таким образом, оператор А^:1р1а.ъ^]^1р[а,ъх1 преобразует в себя шар радиуса Элемент ы5|=РА 5|г* лежит в этом шаре и М61>Л5|М5|. Согласно теореме 1 уравнение (2) имеет локальное решение Р[а,ь1] • 7б, <м8, • Так как конус АГ5|=/^5|АГ нормальный, то конусный отрезок /5) =^г§( ,г<5| ^ ограничен по норме. Обозначим с/|=5ггр/'|л|*е/5| } . Заметим, что, согласно определению, конус /С5) замкнут. Следовательно, и множество /8( замкнутое. Найдем г2=^1+П-

Положим С22 =

«I

^АхХ*І

\Ур

(І8

82=8ирС22е&2- Рассмотрим множество

М8 =

(8, Л1/Р

| /82,8,-хе/81> (к ІА

,5'

Отображение АЪг ■^Р1а.ъг1^1р1а.Ь1} преобразует в себя замкнутое ограниченное множество м52. м82 =/>6.82мбМ82 > м62>^52“62- Согласно

теореме 1, уравнение (2) имеет локальное решение 1Ь1^р\а,Ь11 . г82«м82 •

Обозначим ^82 = (г52-м52) .

<*2=™р{\х\\, хе/5г; , Г3=^2+г, .

Найдем со3

8|

\\(АХ)(8)\1

СІБ

6 2

У,

НИИ

Оператор А5 преобразует в себя множество

Га. \1/р

| РЬ).&2Х(=Ь2’ \\х(*)\ ^1

Л

М X =

уравнение (2) имеет локальное решение гЬъ&1'р[а,ЬзУ . 283 <ы8з=^/>.5з“ • И Т-Д-

Пусть существует такое В, что при любом к

выполнено |г5і |<В и Ък<Ь. Тогда для всех

*Е/8,={28. ■"!>.)•

||+|и8^ ||>£('Л'+1/В+||и||;. Таким обра-

зом, гк+]<(М+І/В+Цгф+Г]. В силу улучшаемости оператора А существует такое <;>0, что для всех х&ір[а,Ь] . ІИІ^М+І/В+Цгф+г, и всех (е[а,Ь-<;]

г V7

\\(АхХ*)\

выполнено неравенство

і&

^1. Сле-

довательно, дк+\-6к>с,. Это противоречит тому, что решения при всех к определены только на

части отрезка [ а,Ь].

Теорема доказана.

Локальное решение ^е/^у^у называется продолжением решения гх , а решение гх - частью решения , если гх=Р^ хг^ , £>т. Функция

г^:[называется предельно продолженным решением уравнения (2), если при любом т<Р элемент 2хе1р1ах! , 2т=/,ртгр является локальным решением уравнения (2), и либо Р=Ь, либо гре^^^ру. Решение 1хе1р/ах/ уравнения (2) назовем НИЖНИМ, если ДЛЯ любого решения Хце1р1ац1 , Г)<Т выполнено Л,1>/>ТП2Т .

Для доказательства следующего утверждения о существовании нижнего предельно продолженного решения уравнения (2) нам потребуется вычислять верхнюю и нижнюю грани множества функций, заданных на разных интервалах.

Пусть хх&1р[ах] , уъь1р[аЬ] , а<кЬ<Ь,

М - некоторое подмножество пространства 1р/х 5у

(возможно совпадающее со всем пространством). Возьмем произвольно и>еМ и обозначим через

хх\/м>еЬр[аь] функцию, определяемую равенством

(хх(1),прШе[ ал],

Верхней гранью двух

м>( / ),прШе( т,8 ].

функций {хх,у5} по множеству М назовем sup(xx,y^)=infsup(xTvw,yb) . Аналогично определим

W

inf(xx,y&)=sup inf (xxvw,y5). При таком определе-

W

нии верхняя (нижняя) грань обладает привычными свойствами:

1. P8xsup(xx,y8) >хх, зир(хх,уъ) >у&;

2. \/zeLpfaxj VveM (z>xx,zvv >у$) =>

ZVV >sup(xx,yb).

Предположим, что конус К, порождающий воль-терровую полуупорядоченность пространства Lp/a,b] • является сильно миниэдральным. Так как

\\iw=sup(xxvw,ybPy8 при любом W , то inf\\iw суще-

W

ствует.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Пусть, кроме того, конус К является сильно миниэдральным и обладает свойством несплющен-ности. Тогда существует нижнее предельно продолженное определенное на некотором интервале [а,$) решение zр уравнения (2), удовлетворяющее

при любом т<ф условию PpxZp<PbxU .

Доказательство. Конус Кх, как и конус К, является вполне правильным сильно миниэдральным и обладает свойством несплющенности. Для любых х x,yxeLp/axj выполнено неравенство

||5M/Y*T^T^|H7’4VT|WKIP , где Т не зависит от т и элементов Хх,ух . Кроме того, конус Кх является нормальным: из ,xT<yT<zT, xx,yxeLp/ax/ следует

|.yr|£r./V+ljr|r,||

+||2т||^ - гДе N не зависит от т и элементов Xx,yx,Zx .

Возьмем Г| =(jV+1 )тах{ЪТ'+1,||ы||/

Ур

Найдем 8i=sup

ds

<1 Vjc|jc||</-,

Оператор Л&1 ±р1а!Ьх]-*1р1аб1у преобразует шар М5] радиуса /*,>1 в свою часть - шар единичного радиуса. Для м§1 =Рь,ъхи еМ5| выполнено

иб1>/15[ы8| . Согласно теореме 1, уравнение (2) имеет локальное решение г5|е/,руо5| I , <м5) . Пусть

это решение, построенное при доказательстве теоремы 1. Покажем, что это решение является нижним.

Возьмем любое решение хх, т<5]. Сначала заметим, что ||*т||-1 • Действительно, в предположении противного существует такое Г|<Т , ЧТО 1<|/\ л^т|<Г| .

Но тогда АГ]Рхцхх=Рхцхх, и из улучшаемости оператора А следует ||рт11лт||^1. Получено противоречие. Определим ф]=ш/(xx,Z£i)=SUp inf(xxVW,Z$i) ,

W

где weLp[xb{] , ||и>||<1.

Тогда ||/«/^jctvw,25|^ І йІ\х Tvw'||+||z51||]^37’ • т.е. vj/1=/>j/^Tv>vlz6|>)eM5| . Так как ф1<крІ<мй) ,

то Цф^І^^+І/Іч/^І+ЩЛ^Л^+І/ЗГ+і;, т.е. Ф,єМ6і. Далее, />5і тф1<дгт=>/1т/55і тф,<^тхт=лт. Следовательно, существует такой элемент w16L/7^t5| у , ||wi ||<1, что . Кроме того, ^5)ф<у4§|25) =zg| . Та-

ким образом, /^S|ф1<m/^д:тvн'l,z5l^<фI. Тогда (см. доказательство теоремы 1) />й5і«>дг^>25|>ф,

||zSi —фЦс—, при любом к . Отсюда г5]=ф и решение z8| является НИЖНИМ.

Обозначим /5| = ^2§1 ,M8i ^ - конусный отрезок в

Lpla.&J> </,=™рф|*є/5і;.

Пусть r2=(N+l)max{T(3+2d])+d]+\\\u\\} .

Определим

. лУр

52=sup

«I

JV Ax/s) |

ds

<1 Vjc||jc||<r2

Рассмотрим множество

М, =

( 8i

si р

ХЄІРІа.51]\РЬ2.Ь]хЄ/5Г

\\x(s) I

ds

<r~>

Отображение А&2 :1р1а<ьг]^Р[а^г] преобразует замкнутое ограниченное множество М§2 в себя И М51еМ5г , М52>Л§2М52 . Построим, согласно теореме 1, локальное определенное на [а,Ъ2] решение уравнения (2), удовлетворяющее условию гб2 <ы5-, * и покажем, что это решение является ниж-

ним.

Возьмем любое решение хх, т<82 . Отметим, что

если т>8], то X JhH

чае найдется

% л '

1< |л-т^;| ds <r2.

Is- >

ds

Ур

<1. В противном слу-

такое пєґ5,т], что

<г2. Но АцРхцхх=Рхцхх, т.е.

1<

]У Ax/s) |

ds

Ур

<г2 , и получено противоречие с

определением 62 .

Положим (р2=м/(хтгь2 )=зир т/(х^\/\\>,г8г).

Здесь 2/ и ||ф , если т>5!. Если же ,

то будем выбирать м> так, чтобы Р5г 5| ^тvн'/)6/5l и

ds

<1. Это возможно, например, если

МО совпадает при /е/т^У с нижней гранью функций {хх,и&{} по множеству 1р^ 5, у ,

а при /е^51,627 М1)=(^2~^1) ■ Обозначим

^2=‘п/(хх^'гЬ2 ) ■ Тогда /52>51Ч,2е^5| • Кроме того,

Цч'гЦ &{1*х 41+5,1) *Т(ЬЫ1)> те- М^2еМ52 •

Так как ф2<(Р2<и8, ,

Ф2еМ52 . Далее />52ТФ2<*т=>/<т/52,тФ2<Л^т=^т •

Следовательно, существует такой элемент >у2е£р^Т52у , удовлетворяющий перечисленным

выше условиям, что ^52ф2<дгту№2 (В качестве м>2

можно выбрать ^2(1)=(А8^2ХО . /б/т,827 )• Кроме

того, А5^(р2<А5,25, =гЙ2 . Таким образом,

452<Р2<1П/(хт'/™2'28-,^<(Р2 ■ Тогда (см. доказательст-

1

во теоремы 1) РЬ81и>хк>гь2>ч>2, Ц^-ФгЦ^, при любом к . Отсюда г52=ф2 , т.е. решение г§2 является нижним. Это решение продолжает решение г8|.

Обозначим /52 = ^б2,ы52^ , d2=sup{\\x\\xeI&l}, г3=(N+\)mclx{T(3+2d2)+d2+l\\u\\} .

Определим 83=5М/7

*1

I (A*Xsi‘

ds

Ур

<1 V.x|;t||<r3

и рассмотрим множество

'83 р ' 1/р

М5з=- xeLp[a.bij\Pbv&2xeIb2- ds <г3

Оператор А&^ преобразует замкнутое ограниченное множество М51 в себя, г<5^еМ§1 , и83>^5зы8, • Уравнение (2) имеет нижнее решение

, являющееся продолжением решения ,

г83 <м83 • и Т-Д-

Если на &-ом шаге получим 8к=Ь, то получено предельно продолженное решение. В противном случае будет построено решение гр:[а,(3, где

Р=//от8^ . Так как, согласно теореме 3, р§ -х» , к-*оо II к II

то гр*1р1аы.

Теорема доказана.

3. В заключение обсудим некоторые возможности применения полученных результатов к исследованию разрешимости функционально-дифференциальных уравнений.

Рассмотрим задачу Коши с начальным условием х(а)=х0 для уравнения

x'(t)=f(t, sup х(t)), te[a,b], se[h(t),t]

x(£>)=0(£,), npu£,e[a,b].

(3)

равенством (Hx)(t)=\

Уравнением (3) описывают некоторые экономические задачи, системы автоматического регулирования [6, 7].

Будем предполагать, что функция f:[a,b]*R->R

суммируема в р-ой степени по первому аргументу, не убывает и непрерывна справа по второму аргументу; функция h:[a,b]^>R измерима и h(t)<t\

функция Q:(-oo,a)->R непрерывна справа и ограничена.

Для каждой непрерывной функции x:[a,b]^>R определим Hx:(-oo,b]-*R

{x(s),npuse[a,b ],

Q(s J, при se[ a,b ],

и обозначим (QxXt)= sup (Hx)(s) , te[a,b] . В [8] sel h( i )Jj

показано, что функция Qx измерима и QxeLm/ab/ для любого xeC/ah j .

(■)

Пусть (Ay)(t)=f(t,(Q(xо+ Jy(s)ds))(t)) .

a

Отметим, что функция f, порождающая оператор Немыцкого, может не удовлетворять условиям Ка-ратеодори. Измеримость Ау при каждом yeLp[abу

следует из результатов, полученных И.В. Шраги-ным в [9]. Обозначив х'=у, запишем задачу Коши

для уравнения (3) в виде у=Ау.

Упорядочим пространство Lpiabj конусом К

неотрицательных функций. Конус К вполне правильный и сильно миниэдральный. Оператор A:Lpjabj-*Lpfabj является вольтерровым монотонным улучшающим. В [10] предложен метод, позволяющий доказать существование и построить такую функцию ueLp[abj , что и>Аи. Теперь, используя теорему 4, можно утверждать, что задача

Коши для уравнения (3) имеет нижнее и верхнее предельно продолженные решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Макашов В.П.. Рахматуллшш Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1991. 278 с.

2. Азбелев Н.В., Рахматуллшш Л. Ф. К вопросу о функциональнодифференциальных неравенствах и монотонных операторах // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1986. С. 3-9.

3. Жуковский Е.С. Об интегральных неравенствах в пространствах суммируемых функций // Дифференциальные уравнения. Т. 18. № 4. 1982. С. 580-584.

4. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.

5. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974. С. 234.

6. МагомеОов А.Р. О некоторых вопросах дифференциальных уравнений с максимумами // Изв. АН Азерб. ССР, сер. Физ.-техн. и мат. наук. 1977. № 1. С. 104-108.

7. Попов Е.П. Автоматическое регулирование и управление. М.: Наука, 1966. 388 с.

8. Ермолаев М.Б. Устойчивость решений некоторых классов существенно нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Дис.... канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1995. 104 с.

9. Шрагин И.В. Измеряемость суперпозиций разрывных функций //Тр. Тамбов, ин-та хим. машиностроения. Тамбов, 1969.

10. Жуковский Е.С. Об одном методе решения вольтерровых неравенств. Пермь, 1981. 22 с. Деп в ВИНИТИ, № 86-82.

Поступила в редакцию 10 марта 1998 г.