Существование и оценки решений задачи Коши для нелинейного функционально-дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1329-1334

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ

© Х. М. Т. Тахир

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]

Получено утверждение о функционально-дифференциальном неравенстве, аналогичное известной теореме Чаплыгина. Результат может использоваться для нахождения оценок решений конкретных функционально-дифференциальных уравнений. Ключевые слова: задача Коши; функционально-дифференциальное уравнение; теорема Чаплыгина о дифференциальном неравенстве

На основании утверждений о неподвижных точках монотонных операторов в нормированных пространствах (см. §33, §38 [1]) получены условия существования решения задачи Коши и найдены оценки решений.

Будем обозначать: Ь = Ь([0,Т], М) — банахово пространство суммируемых функций

у: [0, Т] —М, \\у\\ь = /\у(£)И; АС = АС([0,Т], Мга) — банахово пространство абсолютно непре-0

рывных функций х :[0,Т] — М, производная которых х € Ь, с нормой \\х\Цс = \х(0)\ + \\х

С = С([0,Т], М) — банахово пространство непрерывных функций х :[0,Т] —М, \\х\\с = тах \х(£)\.

гф,т ]

Пусть заданы: линейный вольтерров оператор С: АС([0,Т], М) —Ь([0,Т], М), произвольный (вообще говоря, нелинейный) вольтерров оператор Г: АС([0, Т], М) — Ь([0, Т], М) и а €М. Для функционально-дифференциального уравнения

Сх = Гх (1)

рассмотрим задачу Коши с начальным условием

х(0) = а. (2)

Выберем произвольную функцию f € Ь([0, Т], М) и рассмотрим также задачу Коши для соответствующего линейного уравнения

Сх = /, х(0) = а. (3)

При естественных предположениях (а именно, в случае вольтерровой обратимости главной части оператора С, подробнее (см. [2], с.35) задача (3) имеет единственное решение, и это решение представимо в виде

t

x(t) = аХ(t) + J C(t, s) f (s) ds, (4)

где X(•) е АС([0,Т], М) — фундаментальное решение однородного уравнения Их = 0, С(Ь,в) —

г

функция Коши, а выражение / С(Ь,в) /(в) йв называют оператором Коши. Такая запись ли-

0

нейного ограниченного оператора Коши

(•)

/ е Ь([0,Т], М) ^ у С(•, в) /(в) йв е АС([0,т], М) 0

является следствием интегрального представления любого линейного ограниченного оператора Ь([0, Т], М) ^ АС([0, Т], М) (см. [3], с. 302-305). Согласно этому представлению функция Коши С(Ь, в) измерима (по плоской мере) и существенно ограничена. Вследствие вольтерровости интегрального оператора Коши выполнено С(Ь,в) = 0 при в>Ь (см., например, [4], теорема 3), что позволяет этот оператор записывать как интеграл на множестве [0, Ь], а не на всем отрезке [0, Т]. Свойства функции Коши конкретных линейных функционально-дифференциальных уравнений изучены в [5].

Определим в пространстве С = С([0,Т], М) конус С+ неотрицательных функций и зададим упорядоченность, полагая для любых х,и е С выполненным неравенство х > и, если х — и е е С+, то есть, если х(Ь) — и(Ь) > 0 при всех Ь е [0, Т]. Аналогично, определим в Ь = Ь([0,Т], М) и АС = АС([0,Т],М) конусы Ь+ и АС+ неотрицательных функций и порядок

Чу, г е Ь у > г & у — г е Ь+, Чу, г е АС у > г & у — г е АС+.

Отметим, что в пространстве Ь конус Ь+ является сильно миниэдральным, то есть каждое ограниченное сверху (снизу) по норме множество обладает точной верхней (нижней) границей, и вполне правильным, то есть любая монотонная ограниченная по норме последовательность сходится (см.[1], с. 256,257). Конусы С+ С С, АС+ С АС, перечисленными свойствами не обладают.

Сформулируем основной результат работы.

Теорема. Пусть для функции Коши линейного уравнения (3) при 0 < в < Ь < Т выполнено неравенство С(Ь,в) > 0. Пусть вольтерров оператор Г : АС([0,Т], М) ^ Ь([0,Т], М) является монотонным. Тогда, если для некоторой абсолютно непрерывной функции и0 справедливы неравенства

и0 > Ги0, и0(0) > а,

то существует глобальное или предельно продолженное решение х задачи Коши (1), (2), удовлетворяющее на своей области определения неравенству

х(ь) < и(Ь).

Доказательство. Задача (1), (2) равносильна уравнению

(•)

х = Р(ах + / С ^ ад 4

0

Обозначим х = г, получим уравнение

(•)

г = Г^аХ + У С ( • ,в) г (в) йв) (5)

0

в пространстве L = L([0, T], R). Определим отображение

(•)

Ф: L([0,T], R) — L([0,T], R), Фz = F^aX + J C(-,s) z(s) ds).

0

Заметим, что являясь композицией вольтерровых отображений, оператор Ф вольтерров. Покажем, что уравнение (5) имеет локальное решение. Для произвольного т € (0, T) определим отображения:

п = ПЬао;Т]Д) : L([0, т], R) — L([0, T], R),

(ПтzT)(t) = { *(t), ^ t € \ VzT € L([0, т], R); v Tyw \ 0, если t € (т, T], T u ' J' h

PT = Pl([o,t],r) : L([0,T],R) — L([0,т],R), (PTz)(t) = z(t), t € [0,т], z € L([0,T], R).

Определим функции x0(t)= aX (t) — 1, v0(t) = (Fx0)(t), w0(t) = min{v0(t), u0(t)}, t € [0,t].

t

Найдем т> 0 так, чтобы J C (t,s) w0(s) ds >—1 при t € [0, т ]. Это возможно, так как вслед-

0

t

ствие ограниченности функции Коши функция J C(t,s) wo(s) ds непрерывна по t и

0

0

JC(0,s) w0(s) ds = 0. Тогда на отрезке [0, т] выполнено 0

(•)

wo(t) < (Fxo)(t) = (F(aX(■) — 1))(t) < F[aX(■) + J C(,s) wo(s) d^j (t).

0

При t € [0, т] уравнение (5) запишем в виде операторного уравнения

Zt = PT ФПТ zt . (6)

Для функций w0T = PTw0 и и0т = PTu0 выполнены неравенства

w0T < и0т, w0T < PT ФПТw0T, и0т > PT ФПТи0т.

Таким образом, монотонный оператор PTФПТ : L([0, т], R) — L([0,т], R) отображает в себя ограниченное по конусу множество [w0T,и0т] = {z : w0T < z < и0т}. Так как конус L+ С L является вполне правильным, то монотонный оператор PTФПТ обладает свойством предельной монотонной компактности (см. [1], с. 307,308), и согласно теореме 38.2 из [1] существует решение zT € L([0,^, R) уравнения (6), удовлетворяющее неравенствам

w0T < zT < и0т.

Это значит, что существует локальное решение xT задачи (1), (2), для которого при п.в t € [0, т] выполнено хт(t) < u0(t).

Теперь докажем, что любое локальное решение xv : [0, v] — R, удовлетворяющее неравенству x(t) < U(t), t € [0, v], можно продолжить на некоторый больший отрезок.

Определим z~v — xZv, эта функция является локальным решением уравнения (5). Определим функции

{aX (t) + / C (t, s)Zv (s)ds, t € [0, v],

V

aX(t)+/ C(t,s) zv(s)ds — 1, t € (v, T], 0

щ(г) = Гх0)(ь), г е [0,Т].

Имеем ъ0(г) = (г) на [0,и]. Далее определим функции

т = { Ъ®, Ь е Й, *>(Ь)=тш{У0(Ь),т}, Ь е [0,Т].

г

Найдем А 0 > 0 так, чтобы / С (г,в)го0(в)йв >—1 при г е [и,и + А 0] . Это возможно, так

V

г V

как функция / С(г, в)и)0(в)йв непрерывна но г и f С(Ь,в)гЪ0(в) =0. Тогда на отрезке [0,и]

V V

выполнено и>0(г) = ^(г), а на (и,и + А0] имеем

V

Мг) < %(г) = (Гх0)(г) = г (ах( • ) + у С(•, в)zv(в)йв — 1) (г) <

0

V г г

< г[аХ(•) + ! С(^в^(в)йв + ! С(•,в)йю(в)йв) (Ь) = Г (ах(• С(• ,в)йю(в)йв) (г).

0

Определим

ах (г) + / С (г, в) ¿V (в)йв, г е [0, V],

х°(г) = { V

ах(г) + /С(г,в)zv(в)йв + 1, ге (и,Т]. 0

Для этой функции справедливо неравенство х°(Ь) > х0(Ь) при всех г е [0,Т]. Положим ¿0(г) = = (Гх0)(г),г е [0,Т]. Очевидно, v0(г) = Zv(г) на [0,р], и V0(г) > ¿0(г) на всем отрезке [0,Т].

Далее, определим функцию ъи0(г) = т&х{у0(г),§(г)}, г е [0,Т]. Имеем ъо0(г) >и)0(г), г е [0,Т].

г V

Так как функция / С(г,в)^°(в)йв непрерывна г и / С(Ь,в)^°(в)йв = 0, то существует

V

г

А0 > 0, для которого /С(Ь,в)ю0(в)йв < 1 при всех г е + А0]. Тогда на отрезке [0,и]

V

выполнено w0(г) = zV(г), а не интервале [и,и + А0] справедливы соотношения

V

w0(г) >ъ0(г) = (гх0)(г) = г (ах(•) + !С((в)йв + 1^(г) >

0

V г г

> Г (ах (•) + ! С (• ,в) VV (в)йв + ! С (• ,в№0(в)йв^ (г)= Г (ах (• С (^в^^йд) (г).

0

Пусть А = шт{А0, А0}. При п.в г е [0,и + А] выполнены неравенства

w(г) < (Ш0)(г), w0(г) > (^0)(г), Wo(г) < w0(г).

Таким образом монотонный оператор Рг/+А+А : Ь([0, V + А], М) ^ Ь([0, V + А], М) отображает в себя ограниченное по конусу множество

[Wov+А,Wov+А] = {г е Ь([0^ + А],М) : Wov+А < г < W°+А}.

Согласно теореме 38.2 из [1] существует решение ¿г,+д € Ь([0, V + Д], М) уравнения ¿г,+д = = рудовлетворяющее неравенствам го0(г) < ¿г,+д(г) < г0 (г), г € +[0, V + Д]. Так как го0(г) = го0(^) = ¿и(г), í € [0, V], то ¿г,+д(г) = ¿г,(г), г € [0, V], то есть ¿г,+д это продолжение решения ¿V.

Итак, показано, что произвольное локальное решение хи задачи (1), (2) продолжаемо на некоторый больший отрезок [0, V + Д], причем существует продолжение хи+д этого решения, производная которого удовлетворяет оценке

х*+д(г), < й(г), г € [0, V + Д].

Определим на множестве 2 всех локальных решений хи задачи (1), (2), удовлетворяющих неравенству хV(г) < и(г), г € [0, V], порядок

хи < хп & V < п, Уг € [0, V] хи(г) = хп(г).

Относительно этого порядка согласно теореме Хаусдорфа существует максимальная цепь Б С 2, содержащая произвольное заданное локальное решение хи. Каждому хп € Б сопоставим число п € [0,Т] и найдем п = ёиР[п : хп € Б}. Определим функцию х^ :[0, п) — М, хщ(г) = хп(г), где п = ■ С увеличением п € (0, п) значение \\хп\\лс([0>п],м) не убывает. Если Ит0 \\хп\\ас([0,п],м) = то х^ — предельно продолженное решение.

v

Пусть 1ш10 \\хп\\ас([0,п],м) = г0 < т.е. выполнено \ хп (0) \+ / \ хп(з) \ йз — г0 при п — П — 0.

Тогда \х7(0) \+/ \х7(3)\йз = г0, таким образом функцию х^ можно доопределить в одной точ-0

ке г = п, и мы получим локальное решение, определенное на отрезке [0, п]. В случае п <Т это локальное решение, согласно доказанному выше, можно продолжить на больший отрезок [0,п + Д], что противоречит определению числа п. Таким образом, п = Т, т.е. получено глобальное решение. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 c.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

4. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 9. С. 1599-1605.

5. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 4. С. 601-606.

Поступила в редакцию 3 августа 2017 г.

Тахир Халид Мизхир Тахир, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, e-mail: [email protected]

UDC 517

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1329-1334

THE EXISTENCE AND ESTIMATES OF SOLUTIONS OF THE CAUCHY PROBLEM FOR A NONLINEAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION

© Kh. M. T. Tahir

Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 33 Internatsionalnaya st., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected]

We obtain an assertion about functional-differential inequality analogous to the well-known theorem of Chaplygin. The result can be used to find estimates of solutions of specific functional-differential equations.

Keywords: Cauchy problem; functional-differential equation; the Chaplygin theorem on differential inequality

REFERENCES

1. Krasnoselsky M.A., Zabreiko P.P. Geometricheskie metody nelinejnogo analiza. M: Nauka, 1975. 512 p.

2. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rahmatullina L.F. Vvedenie v teoriyu funkcionalno-differencialnyh uravnenij. M: Nauka, 1991. 280 s.

3. Kantorovich L.V. Akilov G.P Funkcionalnyj analiz. M: Nauka, 1984. 752 s.

4. Zhukovskij E.S. Contribution to the theory of Volterra equations // Differential Equations. 1989. V. 25. Iss. 9. P. 1132-1137.

5. Maksimov V.P. The Cauchy formula for a functional-differential equation // Differential Equations. 1977. V. 13. Iss. 4. P. 601-606.

Received 3 August 2017

Tahir Khalid Mizhir Tahir, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov,

the Russian Federation, Post-graduate student, Functional Analysis Department, e-mail: [email protected]

Для цитирования: Тахир Х.М.Т. Существование и оценки решений задачи Коши для нелинейного функционально-дифференциального уравнения // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1329-1334. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1329-1334.

For citation: Tahir Kh.M.T. Sushchestvovanie i ocenki reshenij zadachi Koshi dlya nelinejnogo funkcionalno-differen-cialnogo uravneniya [The existence and estimates of solutions of the Cauchy problem for a nonlinear functional-differential equation]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1329-1334. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1329-1334 (In Russian, Abstr. in Engl.).