О решении линейных функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.5, 517.929.7, 519.62

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-415-429

О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© Т. Х. М. Тахир

Рассматриваются некоторые линейные функционально-дифференциальные уравнения, решение которых можно записать аналитически. Для рассматриваемых уравнений получены функция Коши; функция Грина двухточечной (в частном случае, периодической и апериодический) краевой задачи.

Ключевые слова: линейное функционально-дифференциальное уравнение; функция Коши; функция Грина; общее решение.

Введение

В статье рассматриваются конкретные линейные дифференциальные уравнения первого порядка с запаздыванием и нейтрального типа, решение которых x(t), t > 0, удается записать аналитически. Если запаздывающий аргумент h(t) < t — т, т> 0, то решение строится последовательно на каждом участке времени [0, т], (т, 2т), .... В других случаях решение основано на представлении задачи Коши для соответствующего функционально-дифференциального уравнения в операторной виде

y(t) — (Ky)(t) = f (t), t € [0,T],

где y = X — производная искомого решения, K : L([0,T], R) — L([0,T], R) — линейный ограниченный оператор со спектральным радиусом р(К) < 1, f € L([0,T], R), T — любое положительное число. Для нахождения y мы используем ряд Неймана

y = f + Kf + К 2f + ....

Отметим, что интегрируемые в квадратурах функционально-дифференциальные уравнения используются, например, в качестве модельных уравнений при исследовании краевых задач, проблем устойчивости, задачи о периодических решениях, получении оценок решений (подробнее см. [1]). В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых случаи интегрируемости в квадратурах подробно изучены (см. [2]), в научной литературе содержится очень мало сведений о конкретных уравнениях с запаздыванием, интегро-дифференциальных уравнениях, уравнениях нейтрального типа и др., решение которых удается записать аналитически. Для линейных функционально-дифференциальных уравнений в [3] предлагается построение функции Грина с использованием ряда Неймана. Методы нахождения функции Коши рассмотрены в [4]—[7]. Вопросам выделения решаемых явно функционально-дифференциальных уравнений посвящена статья [8]; предлагаемая работа продолжает это исследование.

Статья состоит из трех параграфов, в заголовок каждого параграфа вынесено рассматриваемое в нем уравнение. Для каждого исследуемого уравнения найдено общее решение, фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения и функция Коши. Получены также условия однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи, определена ее функция Грина. На основании этих результатов исследуется периодическая краевая задача.

1. Уравнение х(г) — х(Ь — 1) = f (г). 1.1. Задача Коши

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянным запаздыванием

х(г) — х(г — 1) = f (г), г > о, х(£) = 0, если о (1)

при начальном условии

х(0) = а.

Если г € [0,1], то х(г — 1) € [—1, 0], следовательно получаем х(г) — 0 = f(t). Решением этого уравнения будет х(г) = а + / f (в)д,в.

о

t -1

е(1,2\, то x(t—1)„ ;; '

о

Решением этого уравнения будет

( t-1 \

Если t е (1,2], то x(t — 1) е (0,1], следовательно получаем X(t) — (a + f f(s)ds) = f(t).

t s -1

x(t)= x(1) + J f (s) + a + J f (£)d£jds. i

i

Подставим x(1) = a + f f (s)ds, получим

о

i t( s-i

x(t)= a + f(s)ds + / (f(s) + a

(t)= a + J f (s)ds + J f (s)+ a + J f (£)d^ds = о i о

1 t t t s-1

= a + J f (s)ds + j f (s)ds + j ads + J j f (£)d£ds =

0 1 110 t t- i t

= a + a(t — D + j f (s)äs + f Jäsf «)« =

0 0 £+1

t t -1 = a + a(t — i) + j f (s)äs +f(t -. - i)f

Если t е (2, 3], то x(t — 1) е (1, 2], следовательно получаем

t-1 t-2

x(t) — | a + a(t — '

0

m — (a + a(t — 2) + j f (s)ds + j (t — £ — 2)f (£)d^ = f (t). Решением этого уравнения будет

t s-1 s-2

x(t)= x(2) + j f (s)+ a + a(s — 2) + j f (£)d£ + j (s — £ — 2)f (£)d£)ds. 20

2 1

Подставим х(2) = 2а + / / (в)йв + /(1 — в)/(в)¿в, получим

о о

2 1

х(Ь) = 2а ^У /(в)с!в + !(1 — в)/(в)(1в+

оо г в—1 я-2

+1/(в) + а + а(в — 2)+ I /(£)% + ! (в — £ — 2)/(£Щ)йв-2 0 0

2 1 = 2а + а(Ь — 2) + ! /(в)с!в + ! (1 — в)/(в)йв+

г в-1 г б - 2

+ У /Шв + ] а(в — 2)йв + 1 I /(£^в + ] I (в — £ — 2)/(£^в-

2 0 2 0

2 1 2а + а(Ь — 2) + ! /(в)с!в + ! (1 — в)/(в)йв+

г 1 г в -1 г-2 г

+ 1 /Шв + ! а(в — 2)йв + 11 /(£^в + ] I ¿(¿в + ! I (в — £ — 2)йв/(£)й£ = 2 2 2 0 2 1 0 £+2

2 1 г г 1

= а + а(Ь — 1) + ! / (в)с!в + !(1 — в)/(в) ¿в + ! / (в)с!в + ! а (в — 2)йв + ^(Ь — 2)/(в)с!в+

02 г—1 г—2 2

+ I (Ь — в — 1)с!в + ! ( — в— 2 /(в)¿в =

2

10

г г—1 г—2

2

= а + а(Ь — 1) + а ( ^ + { /Шв + ^ (Ь — в — 1)/(в)с!в + ^ ( в— 2 /(в)с!в.

0 0 0

Докажем методом математической индукции, что для для любого п при Ь € (п,п + 1], выполнено

г

а(Ь — п)п

х(Ь)= а + а(Ь — 1) + ... + а( + / / (в^в+

0

г — 1 г—п

+! (ь—в—1)/(в) ¿в+...+!(—в— п)п / (в) ¿в. 00

г

г

г

г

Это равенство проверено при п = 1,2,3. Предположим, что равенство справедливо при п = к — 1, т. е. для г € (к — 1,к], выполнено

г

а(г — к + 1)к-1

a(t — к + 1)k-1 x(t)= a + at + ... + v k — 1)![-+ J f(s)ds+

0

t-1 t-k+1 + j(t — s — 1)f (s)ds + ... + I ( — s— — + V*'1 f (s)ds.

(к — 1)!

00

Тогда при n = к для t е (к, к + 1], так как x(t — 1) е (к — 1,к], получаем

k 1 t-1 t-2 x(t) — (a + a(t — 1) + ... + \ j f(s)ds + j (t — s — 2)f(s)ds + ... +

(к — 1)!

00

t-k

\k-1

+ J f(td)=fw-

0

Решением этого уравнения будет t(

x(t)= x(ü) + J f(s) + a + a(s — 1) + ... + a(s — к)k-1 + J f(£)d£ + j (s — £ — 2)f(£)d£+

s-1 s-2

k1

00 s k

+-+I Ч—w1 f

(к - 1)!

0

Подставим

k

, a(к — 1)2 a2k-2 a1k-1

Чк) = a + ^ +-2!-+ ... + к — 2)\ + (¿—1)1 + J f(s)ds+

(k — 2)! (k — 1)!

0

k -1 k-2 2 1 k 1

+ j (к — s — 1)f (s)ds + I {к — s~ 2)2 f (s)ds + ... \ j f (s)ds,

0 0 0

получим

a(k — 1)2 a2k-2 a1k-1

x(t)= x(K) + j f(s)+ x(s — 1)Jds = a + ak + 2] + ... + J—y. + (—)!. +

k

k k-1 k-2 1 + J f (s)ds + j (к — s — 1)f (s)ds + j {к — 2)2 f (s)ds + ... + J f (s)ds+

0 0 0 0 t t(

+jf w+j (a+a<s—ц+-+a(s - к)-ч

k

s-1 s-2 s-k k i

+ j f(e)de + j(sгeг2)f(e)de+... + j {sг!) 1 f(en)ds=

, aik г l)2 а21е-2 а1k-1

=а+аk+ +...+ ^ + wny. +Jf(s)ds+

О

k-1 k-2 1 + j (k г s г l)f (s)ds + j {k г s~ 2)2 f (s)ds + ... + J 1k=s-l f (s)ds+

О О О

t t t t t k-1

+ J f (s)ds + J Œds + j а (s г l)ds + ... + J а(,в г k)k-lds + J J f (e )deds+

k k k k k О

t s-1 t k-2 t s-2

+ f j f(e)deds+...+j j (s г e г 2)f(e)deds+j j (s г e г 2)f(e)deds+... +

k k-l k О k k-2

t-k t

+ f ¡ '■^WTtT- dsf «>«=

О ç+k

k k -1

k 2 k l

, aik г l)2 ai2)k-2 а(1) f f . J

= а + cxk + +... + (k г 2) ! + (k г ^ +J f (s)ds + j (k г s г l)f(s)ds+

ОО

k-2 2 l t t + j (k г s2 г 2 f (s)ds + ... + J f (s)ds + J f (s)ds + J cmIs+

О О k k

t t k-1 t t -1 t + J а(,в г l)ds + ... + J а (s г k)k-lds +J J dsf (e)de + j J dsf (e)d£ + ... +

k k О k k-1Ç+l

k -2 t t-2 t + J .f(s г e г 2) dsf (e)de +J j(s г e г 2)dsf (e)de+... +

О k k-2Ç+2

t-k t

+f ¡(s г! dsf «>«=

О Ç+k

k k -1

a(к - 1)2 a2k-2 a1k-1

1 a(к - 1)2 a2k-2 a1k-1 fn

= a + aк + 2] + ... + (к—Щ +(—)!■ +J f + J (к — s — 1)f(s)ds+

00

k-2 2 1 t t + j (к — 2-2) f (s)ds + ... + J (1—S1)l f (s)ds + J f (s)ds + J ads+ 0 0 k k t t k-1 t-1

+ j a(s - 1)ds + ... + J a(s - K)k-1ds + j (t - к)1'(£^£ + j (t - £ - 1)f(£)d£ + ... +

k k 0 k-1 k-2 t-2 t-k +1 ш-£-м-(-2)2^+ у оц-2!fK№+-+ jf

0 k-2 0 Итак, при t е (к, к + 1] имеем

t

\k

a(t — кг f x(t)= a + a(t - 1) + ... + к\ f (s)ds+

0

t-1

+ I (t - s - 1)f (s)ds + ... + j ( - s~ к) f(s)ds...

t-1 t-k

(t - s - U)k

Таким образом, при любых г > 0 решение задачи Коши представимо в виде оо г—п

Ф) = £ х^) (+ / ,Л). (2)

п=0 * 0 '

п, ч _ ^ Pn(t — s — П)ПХ In,те) C (t, s) =

Отсюда для уравнения (1) определяем функцию Коши

рп(г — в — п)п х[п,ж)(г) Х[о,г—п](8) ^ п! '

п=0

и фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения

уил ^ рп(г — п)п х^г)

Х (г) = Ь п! •

п=0

1.2. Двухточечная краевая задача

Рассмотрим задачу

х(г) — х(г — 1) = f (г), г € [0,к], х(£) = 0, если {< 0, (3)

Ах(0) + Вх(к) = С. (4)

Аналогично представлению (2) общего решения уравнения (1), для уравнения (3) получаем общее решение в виде

к г—п

х(г) = Ехт,к](г){аР(гп— пГ + [ ^Р^Дв) 4 г £ [0,к]. (5)

n=0 0

Отсюда, учитывая равенство Х[п,к](к) = 1, вычисляем

к—n

x(0) = a, x(k) = а^(k- ПГ + E f РП(k ~ ПГ f (s) ds.

n=0 ' n=0 0 '

Подставим эти соотношения в краевые условия (4):

к—n

а(А + )+ В ±! '(к — в - П) /(в) ¿в = а

п=0 ' п=0 0 '

Краевая задача (3), (4) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда

А + В V -п(к — П)п =0. п'

п=0

В этом случае получаем

к—1 к—п

с — вЕ 1 Р (к-в—п) /(в) ¿в

п=0 0

а =-—-.

А + В £

п=0

Таким образом, решением краевой задачи (3), (4) является

к—1 к—п

с — вт. 5 '^Ч—11 /М ¿в к х(Ь) =--V Х1„,к]М ^+

к—1 ,г1(Ь_г,Лп „ П'

A + В Y; P"(k-n)" n=0

n!

n=0

t -n k

+ / Y,X[n,k](t)p (t - n) f (s) ds, t e [0,k].

0 n=0

Преобразуем полученное выражение

к

C ^ , ,p> (t - j )3

x(t) =-k-r——E xm(t)^-f11-

A + В Y P - j=o j

n!

n=0

k-1 k—n

Г Pn(k—s—n)n f (s) ds k . . k t—3. ,

n=0 0 n! ' A + ^ (t) fP3 (t - s - j )3 f() d

2^xi3,k](t)—T]— + 2., X[3,k](t) -T'-f (s) ds =

A + в y pn(t—n)n 3=0 J' 3=0

j!j!

0

n=0

k k k

C Exm(t) + E xrn(t)j X03)p (t s f (s) ds-

A + в y pn(k—n)n 3=0 3=0

0

n=0

k k—1 k -—B-E Wzpr f (s) ds E XMW j

0 A + BJ2 pn(k——\n)n n=0 n' 3=0 j '

n=0 n!

Отсюда для задачи (3), (4) определяем функцию Грина

. , . , ,pj (t — s — j)j G(t, s) = 2^ X[n,k] (t)X[0,t-j](s)-j--

t-j\- ■ n .

j=0

B - Г(к - s - n)n Л mpj (t - j)j X[0,k-n](s)--!-X[j,k](t) -

k1

A + в V Pn(k-n)n n=0 П! j=0 j!

' ¿—t n!

n!

n=0

и фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения

k

* (t) =-^-Е rn^j-.

A + в Y, v У" •"' j

n=0

pn(k-n)n j=0 j!

n!

Рассмотрим частный случай задачи (3), (4) — периодическую краевую задачу с условием

X (к) — X (0) = С. (6)

Это условие совпадает с (4), если А = —1, В = 1. Таким образом, задача (3), (6) однозначно разрешима при любых с тогда и только тогда, когда

£ Рп(к — пТ (7)

п!

п=0

При к = 1 это условии нарушено, то есть задача (3), (6) не является однозначно разрешимой. При к > 2 условие (7) эквивалентно неравенству

£ т^^^пГ =0. (8)

п!

п=1

При выполнении (8), решение краевой задачи (4), (6) определяется формулой

к ■ ■ к к С Л ^р3(г — З)3^ Г г ,р3(г — в — з)3

x(tt) = -Y,X[j,k](tf { •, +ЕX[n,k](t) X[0,t-j](s) .! л f (s) dsv pn(k-n)n j=0 j! j=0 0 j!

n! 0

n=1

k

k

1 V^ / лРа(к — s — n)n , V^ л'(t - j)j

E, (к — s — П) . . V""^ . .

X[0,k-n](s)--!-f (s) ds2_^X[j,k](t)

, k-1 ^-[0,k-n].< n! ' j!

■J p (k-n) n=0 7=0

0 ^ n! n=1

Следовательно, функция Грина задачи (3), (6) равна

G(t, s) = Е X[n,k] (t)X[o,t-j] (s)'(t s j^

t-j] j! j=0

1 s^ , ^РЧк - s - n)n A p(t - j)j

Ъ X[0,k-n](s)-n-E X[j,k](t) -

k-1 /V[0,k-n]. •

k-1 pn(k-n)n n=0 n! j=0 j

¿—t n!

n!

n=1

Фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения равно

* (i)=S j •

n!

n=1

2. Уравнение x(t) — px(t/2) = f(t)• 2.1. Задача Коши

Здесь рассматривается линейное дифференциальное уравнение с переменным запаздыванием вида

x(t) — px(t/2) = f (t), t > 0- (9)

Задача Коши с начальным условием x(0) = 0 для уравнения (9) заменой y = x сводится к интегральному уравнению

t/2

y(t) = p iy(s) ds + f (t)' '€ ^T] x(0 = °- если ^ 0' (10)

0

где T — любое положительное число. Так как спектральный радиус вольтеррова интегрально-

t /2

го оператора K : L([0,T], R) ^ L([0,T], R), (Ky)(t)= pfy(s) ds + f (t), равен нулю, то суще-

0

ствует единственное решение уравнения (10), и это решение представимо суммой ряда Неймана y(t) = f (t) + (Kf )(t) + (K 2f )(t) + •••• Имеем

t/2 s/2 t/4 t/2 t/4

t

(K2f)(t)= p2 J J f(0 d£ds = p2 J J f(0 dsd£ = p2 J (2 — 2()f(0 0 0 0 2£ 0

Аналогичными вычислениями по индукции устанавливаем

t/2n

f 2021•• • 2n-2 ( t \n i

(Knf )(t) = PnJ {n — iy. (.2— — 20 f * 0

Таким образом,

t oo oo t

x(t)= E(Knf )(s) ds = £ (Knf )(s) ds

•J ^_n ^_n •J

0 n=0 n=0 0

t s/2

n

ff 2021 • • • 2n-2 ( s \n i

ZfJ] -^rvri^ — f«>d^ds

n=0 0 0

t/2n t

^ ff 2021•• • 2n-2 ( s \n l

Zr" -(.2—1 - f dad( =

n=0 0 2n£

(n — 1)! \2n

t /2n

~ r 2n(n-1)/2 , t n

T,pn — Ы—20 f

n=0 0 n! 2

Итак, получено общее решение уравнения (9)

} те 2п(п—1)/2 ( г уп

х(г) = РпХ[0,г/2п] (в) п- (2п—Г — 2в) к (в) йв. (11)

0 п=0 п! 2

Заметим, что справедливость этого равенства следует из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (см. [9], с. 200). Действительно, подынтегральная функция удовлетворяет при г € [0,Т}, в € [0,г] неравенству

2n(n-1)/2 t \n

E'nX[0,t/2n](s) n! - 2s) f (s)

n=0 n! 2

<

^ 2n(n-1)/2 ( T \n те PInT

^Е'г^^Ы) f(s)\=f(s)\E

n! \2n-1J ^ n!2n(n-1)/2''

n=0 n=0

где числовой ряд ^ (п!2п(п—1)/2) \р\пТп сходится.

п=0

Из (11) для уравнения (9) получаем функцию Коши

оо

2n(n-1)/2 ( t \i

С^ s) = ЕpnX[0,t/2n]- 2sJ n=0 n! 2

prifn

X(t) = С(^ 0)=Е n!2p(n-1)/2 .

и фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения (см. [1], с. 63)

п.!'

п=0

2.2. Двухточечная краевая задача

Рассмотрим задачу

х(г) — рх(г/2) = к (г), г € [0,Т], (12)

Ах(0) + Вх(Т ) = С. (13)

Аналогично представлению (11) общего решения уравнения (9), для уравнения (12) получаем общее решение в виде

рпгп г 2п(п—1)/2 ( г уп

те рпгп [те 2п(п—1)/2{ г \п

х(г)= аТ.п!2п(п—1)/2 + Т.РпХ[0,г/2п](в) п! — 2в) №йв. (14)

п=0 о п=0

Из предоставления (14) получаем

Т

те рптп [ те 2п(п—1)/2 ( т уп

х(0)= а, х(т)= а^п!2п(п—1)/2 + /Е РпХ[0,Т/2п](в)-п- 12п-1 — 2в) К(в) йв.

п=0 о п=0

Подставим эти соотношения в краевые условия (13):

Т

те рптп (те 2п(п—1)/2 ( т уп

Аа + ВаЕ п!2п(п—1)/2 + В ^хот^ф-)^^^ — 2в) К(в) йв = С

п=0 0 п=0

Краевая задача имеет единственное решение тогда и только тогда, когда

те раТп

А + „,2 =0.

п=0

п'2п(п—1)/2

В этом случае получаем

а=

Т те

с — В / Е'пХ[0;т/21](в)

0 п=0

п! I 21—1

(зП^г — 2в^п/(в) ¿в

А+В

п=0

' 1Т1

п!2п(п-1)/2

Следовательно, решением краевой задачи (12), (13) является

х(Ь) =

Т те

с — В / Е'пХ[0;т/21](в)

0 п=0

21(1-1)/2 (А — 2в) / (в) ¿в

г! I 21-1

ч п *) /(в)'

А+В

п=0

' 1Т1

п!2п(п—1)/2

■Е

п=0

рпГ

п'2п(п—1)/2

+

Г 2п(п—1)/2 ( Ь чп

+ /ЕрпХ[0,г/2"](в^^-^(^ — 2в) /(в) ¿в =

п=0

те 11 Т те 2«.(п —1)/2 ( т

С Е п!21(п—1)/2 ^ Е рпХ[0,Т/2п](в) п ^ к!2к(к—1)/2

п=0 п!2 0 п=0 к=0

^ чп те кгк

—1 — Е ШЫк—1//(в) ¿в

+

А+В

п=0

'1Т1

п!2п(п—1)/2

А+В

п=0

' 1Т1

п!2п(п—1)/2

Т

г 2п(п—1)/2 ( Ь чп

+ / Е-пХ[0,г/21](в)—^(^п—Т — /(в) ¿в. п=0 п' 2

Таким образом, получена функция Грина уравнения (12),(13)

С(Ь,в) = —

В

А+В

п=0

' 1Т1

п!2п(п—1)/2

А РпХ[0,т/21 ](в)(, — 2пв)п ркЬк +

п '2п(п— 1) / 2 1)/2 +

п=0

к=0

к'2к(к-1)/2

+ ^ РпХ{0,г/21](в)(Ь — 2пв)п

п=0

п'2п(п-1)/2

Для уравнения (12) рассмотрим периодическую краевую задачу с условием

х(Т) — х(0) = С.

(15)

Условие (15) — частный случай условия (13) при А = —1, В = 1. Из приведенных выше результатов получаем, что краевая задача (12),(15)) однозначно разрешима тогда и только тогда, когда выполнено неравенство

Е

п=0

рпТ п

п'2п(п-1)/2

= 1 ^ Е

рпТ п

п=1

п'2п(п—1)/2

= 0.

Таким образом, получена функция Грина задачи (12),(15)

те

£ pnX[°,T/2n](s) (T - 2ns)n pktk pnX[0,t/2n](s)(t - 2ns)n

G(t ч) = n=0__(T - 2 s) у ' t + V

( , ) pnTn n!2n(n-1)/2 k!2k(k-1)/2 + ^ n!2n(n-1)/2

Ъ „!2Pn(n-B/2 k=0 n=0

n!2"("-i)/2

n=1

3. Уравнение х(г) — рх (г/2) = К (г). 3.1. Задача Коши

В заключение рассмотрим линейное уравнение нейтрального типа

х(г) — рх (Н(г)) = К (г), г > 0, х(£) = 0, если {< 0. (16)

Будем предполагать, что измеримая функция Н : М+ ^ М удовлетворяет условию Н(г) < г и выполнено следующее условие

<1 (17)

где символом ц обозначена мера Лебега.

„ у(Н(г)), если Н(г) > 0, „

Определим оператор (ЬьУ)(ч = < ' , Вследствие принятых предпо-

0, если Н(г) < 0,

ложений, при любом т> 0 оператор действует в Ь([0,т], М) и \\ShW < 1 (см. [1], с. 21),

следовательно, при любых а, К задача Коши с начальным условием х(0) = а однозначно

разрешима. Решение может быть определено через ряд Неймана

х(г) = К (г) + р Ш )(г) + р2 (бН2 к )(г) +.... (18)

Для упрощения выкладок приведем решение уравнения (16) в частном случае при Н(г) = г/2. Итак, рассмотрим уравнение

х(г) — рх (г/2) = к (г), г > 0. (19)

Условие (17) приобретает вид неравенства \р\ < 1/2. В силу (18) имеем

г/2п

тете

х(г) = ^ Рп К (г/2п), х(г) = а + £ / (2р)п к (в) йв. (20)

п=0 п=0 0

Таким образом, функция Коши уравнения (19) равна

те

С(г,в) = Е Х[о, г/2п] (в) (2р)п,

п=0

или, что то же самое

1 — (2Р)п+1

С(г,в) =-(-Р)—, если с € [г/2п,г/2п+1 ], п = 0,1, 2,... .

1 — 2р

В [3] предложен метод нахождения функции Грина уравнения (16), использующий, как и в нашей работе, ряд Неймана (18).

3.2. Краевая задача

Рассмотрим краевую задачу для линейного уравнения

х(Ь) — рх(г/2) = /(Ь), Ь € [0, Т] (21)

с условием

Ах(0) + Вх(Т) = С. (22)

Представление (20) общего решения уравнения (19) при Ь € [0, Т] дает и общее решение уравнения (21). Таким образом, получаем

г/21

оо '

те

(Ь) = а + £ / (2р)п /(в) ¿в, Ь € [0,Т]. (23)

--п Л

х(Ь) = а + I (2р) /(в) ¿в, Ь €

п=0

Отсюда имеем

Т/21 оо '

х(0) = а, х(Т) = а + / (2р)п /(в) ¿в.

--п

п=0 0

Подставим эти соотношения в краевые условия (22):

Т/21

а(А + В)= С — В [ (2р)п /(в) ¿в.

--п «/

п=0 0

Краевая задача имеет единственное решение тогда и только тогда, когда

(А + В) = 0.

В этом случае получаем

те Т/21

с — В£ / (2р)п /(в)с!в

п=0 0

а = -:-.

А + В

Таким образом, решением краевой задачи (21), (22) является

те Т/21

с — В£ / (2р)п /(в)с!в те г/21 х(Ь) =-п=°А+В-+ Е (2р)п /(в) ¿в-

А + В п=0 0

Таким образом, получена функция Грина краевой задачи (21), (22)

ВТ,Х0,Т/2ф)(2р)п те А + В

в) =--——А—В-+ Х[0, г/21](в) (2р)Г

п=0

Для уравнения (21) рассмотрим периодическую краевую задачу с условием

х(Т) — х(0) = с. (24)

Как уже отмечалось, условие (24) — частный случай условия (22) при A = -1, B = 1. Так как A + B = 0, периодическая задача не является однозначна разрешимой ни при каких значениях p,T.

В отличие от периодической задачи апериодическая задача с условием

x(T)+ x(0) = C (25)

однозначно разрешимой при любых p, T, так как A + B = 2 = 0. Ее функция Грина равна

те те

G(t,s) = -1 Еxp,m(s) (2p)n + £Х[о,t/2n](s) (2p)n.

n=0 n=0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

3. Жуковским Е.С. Использование ряда Неймана для построения функции Грина // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 1997. Т. 2. № 2. С. 205-206.

4. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. 256 с.

5. Жуковская Т.В., Молоканова Е.А. Численные методы решения эволюционных функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Т. 17. № 5. С. 1352-1359.

6 . Жуковская Т.В. Интерполяция функции Коши // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2002. Т. 7. № 1. С. 110-111.

7. Жуковская Т. В. Метод построения функции Коши уравнения с обобщенно вольтерровым оператором // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2003. Т. 8. № 1. С. 162-163.

8. Борзова М.В., Козадаев А.В., Тахир Х.М.Т. Некоторые интегрируемые в квадратурах линейные функционально-дифференциальные уравнения // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. № 5. С. 1079-1083.

9. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1973. 352 с.

Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.

Тахир Халид Мизхир Тахир, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, e-mail: [email protected]

UDC 517.977.5, 517.929.7, 519.62

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-415-429

ON SOLVING LINEAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS

© T. Kh. M. Takhir

We consider some linear functional-differential equations the solutions of which can be written analytically. For these equations we derive the Cauchy function, the Green function for a two-point (in particular, for periodic and aperiodic) boundary value problem. Key words: linear functional-differential equation; the Cauchy function; the Green function; general solution.

REFERENCES

1. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rahmatullina L.F. Vvedenie v teoriyu funkcional'no-differencial'nyh uravneniy. M.: Nauka, 1991. 280 s.

2. Kamke EH. Spravochnik po obyknovennym differencial'nym uravneniyam. M.: Nauka, 1976. 576 s.

3. Zhukovskiy E.S. Ispol'zovanie ryada Nejmana dlya postroeniya funkcii Grina // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 1997. T. 2. № 2. S. 205-206.

4. Kim A.V., Pimenov V.G. i-Gladkiy analiz i chislennye metody resheniya funkcional'no-differencial'nyh uravnenij. Izevsk: Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika, 2004. 256 s.

5. Zhukovskaya T.V., Molokanova E.A. Chislennye metody resheniya evolyucionnyh funkcional'no-differencial'nyh uravnenij // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2012. T. 17. № 5. S. 1352-1359.

6. Zhukovskaya T.V. Interpolyaciya funkcii Koshi // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2002. T. 7. № 1. S. 110-111.

7. Zhukovskaya T.V. Metod postroeniya funkcii Koshi uravneniya s obobshchenno vol'terrovym operatorom // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2003. T. 8. № 1. S. 162-163.

8. Borzova M.V., Kozadaev A.V., Tahir H.M.T. Nekotorye integriruemye v kvadraturah linejnye funkcional'no-differencial'nye uravneniya // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2015. T. 20. № 5. S. 1079-1083.

9. Vulih B.Z. Kratkiy kurs teorii funkciy veshchestvennoy peremennoy. M.: Nauka, 1973. 352 s.

Received 21 March 2016.

Tahir Khalid Mizhir Tahir, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student of the Functional Analysis Department, е-mail: [email protected]