Краевая задача для одного вида импульсных функционально-дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

Б01: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-439-447

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО ВИДА ИМПУЛЬСНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© О. В. Филиппова

Исследована краевая задача для импульсных функционально-дифференциальных включений с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений в пространстве суммируемых функций. Введено понятие обобщенного решения. Получены условия существования обобщенных решений и найдены их оценки.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; краевая задача; выпуклость по переключению.

Обозначим через Rn n -мерное пространство вектор-столбцов с евклидовой нормой | • | ; px[x; U] - расстояние от точки x € X до множества U С X в метрическом пространстве X ; hX[U\; U] = sup px[x, U] - полуотклонение по Хаусдорфу множества Ui С X от множества U

xeUi

в пространстве X ; hX[U1; U] = max{hX[U1; U]; hX[U; U1]} - расстояние по Хаусдорфу между

множествами Ui и U в пространстве X; Ln[a,b] - пространство суммируемых по Лебегу

b

функций x :[a,b] — Rn с нормой ||x||l™ \a,b] =f lx(s)lds ; Q(Ln[a,b]) - множество всех непустых

a

замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ln[a,b] .

Пусть tk € [a,b] , k = 1, 2,... ,m, (a<t1 < .. .<tm <b) - конечный набор точек. Обозначим через C [a,b] (D [a, b]) множество всех непрерывных (абсолютно-непрерывных) на каждом из промежутков [a,t1], (t1,t2], ..., (tm,b] функций x :[a,b] — Rn, имеющих пределы справа в точках tk, k = 1, 2,...,m, с нормой ||x||g«[ab] =sup{|x(t)| : t € [a,b]} (l|x||g"[a b] = lx(a)l +

m

+ ||x llbn{a,b] + E A(x(tk ))|, где A(x(tk))= x(tk + 0) - x(tk), k = 1, 2,..., m). k=1

Пусть y € Ln[a,b] , вк, a € Rn. Рассмотрим вначале линейную краевую задачу для функционально-дифференциального уравнения следующего вида:

Lx = y, Ax(tk) = вк, k = 1,2,... ,m; (1)

Ix = a, (2)

где L : D [a,b] — Ln[a, b] - линейное непрерывное отображение, l: D [a,b] — Rn - линейный непрерывный вектор-функционал.

Пусть задача (1), (2) однозначно разрешима. Тогда ее решение представимо в виде

m

x = Xa + Gy + J2 Gkвк, (3)

к=1

где X - фундаментальная матрица решений однородного уравнения Lx = 0, Ax(tk)=0, k = 1,2,...,m при условии, что l(X ) = E, E - единичная n х n матрица; (Gy)(t) = b

= f G(t,s)y(s)ds - оператор Грина G : Ln[a,b] — Dn[a,b] с ядром G(t,s) , называемым мат-

a

b

рицей Грина; (Gk вк )(t) = X(tk ,b](t) f G(tk ,s)ek ds, k = 1,2,...,m, x() - характеристическая

a

функция.

Применим представление (3) решения задачи (1), (2) к исследованию краевой задачи для импульсного функционально-дифференциального включения

Сх е Ф(х), ) = вк, к = 1, 2,...,т; (4)

1х е ф(х), (5)

где Ф: Сп[а, Ь] — д(Ъп[а,Ь]); ф: Сп[а,Ь] — еошр[Мп].

Согласно представлению (3), задача (4),(5) эквивалентна включению

т

х е Хф(х) + СФ(х) + Сквк■

к=1

Приведем необходимые определения и обозначения.

Пусть Ф - непустое подмножество пространства Ъп[а,Ь]. Выпуклой по переключению

I

оболочкой з-шФ множества Ф , называется совокупность всех элементов вида у = ^ х(Ыг)хг,

г=1 _

где хг е Ф, I - любое натуральное число, а произвольные измеримые множества Ыг, г = 1,1,

I

осуществляют разбиение отрезка [а,Ь], т.е. Ыг П Ы) = 0 при г = ] и и Ыг = [а,Ь] . Пусть далее,

г=1

зШФ замыкание множества вшФ в пространстве Ьп[а,Ь].

Под обобщенным решением задачи (4),(5) понимается функция х е 1ЭП[а,Ь], удовлетворяющая соотношениям

Сх е ШФ(х), Ах(Ьк) = вк, к = 1,2,... ,т,

1х е ф(х).

Отметим, что если - обобщенное решение задачи (4),(5), то существуют такие г е ф(х) и

т

V е 8шФ(х), что х = Хг + Су + ^ Сквк.

~ к=1 Пусть д0 е Сп[а, Ь] , го е ф(д0) , у0 е Ъп[а, Ь] . Представим функцию д0 в виде

qo = Xzo + Gvo + °kßk + e, (6)

k=i

где е = д0 — Хг0 — Су0 — ^ Ск вк. Пусть далее для функции у0 е Ьп[а,Ь] существует функция

к=1

к е Ъ1[а, Ь] такая, что для любого измеримого Ы е [а, Ь] выполняется

Рь"(и)[У0,8шФ(д0)} ^ (7)

и

Определим функцию ш € C+[a,b] равенством

+ L

b

ш(Ь) = j \G(t,s)\K(s)ds + \e(t)\,

a

где \G(t,s)\, \e(t)\ - норма в пространстве Мга матриц G(t,s) и e(t) 440

Будем предполагать, что для любого измеримого U€ [a,b] и любых х,у € Cn[a,b] существует такая функция Кф € L1[a, b] и такое кф ^ 0, что

hbn(u)Mx), Ф(У)] < \\х - У\\с"(и) f кф(s)ds(9)

и

hRn [ф(х),ф(у)] < Кф\\х — у\сЧа,Ь]'; (10) b

max / \G(t, s)\^(s)ds + кф max \X(t)\ < 1. (11)

t&[a,b] J t&[a,b]

а

Пусть для функции ш € C+[a, b] , определенной соотношением (8), равномерно сходится ряд

те

Aiu, Л0ш = ш, Л^ш = Л (Ai-lw) ,i = 1,2,..., (12)

i=0

где непрерывный оператор Л: C+[a, b] ^ C+[a, b] определен равенством

(AC)(t) = ^J\G(t,s)\^(s)ds + кф^ \\Ш\\. Пусть £(ш) - сумма ряда (12), то есть

те

аш) = ^2 лш (13)

Для любой функции ш € C+[a,b] из некоторой окрестности 0 ряд (12) сходится в пространстве C1 [a,b]. _

Теорема. Пусть q0 € Cn[a,b], z0 € ф(q0), v0 € Ln[a,b] и пусть функция q0 пред-ставима равенством (6). Далее, пусть отображения Ф : СП [a, b] ^ Q(Ln[a, b]), ф : C^[a, b] ^ ^ comp[Rn] удовлетворяют соотношениям (9) — (11) . Тогда найдется обобщенное решение х задачи (4),(5), для которого выполняются следующие оценки: при любом t € [a,b]

\x(t) — qo(t)\ < СШ); (14)

\z — zo\ ^ Кф max \X(t)\ \\£(ш)\\с1[а,ь]; (15)

t€.[a,b]

при почти всех t € [a, b]

\v(t) — Vo(t)\ < K(t) + \\ Кф (t \\l1 [а,Ь] \\£(ш)Ь[а,Ь]- (16)

Доказательство. Пусть функция q0 € Cn[a, b] представима в виде (6) и пусть функция v1 € вШФ^о) для любого измеримого U€ [a,b] удовлетворяет равенству

\\vi — Vo\\Ln(UU) = PLn(U )[vo,^(qo)].

Тогда в силу неравенства (7) при почти всех t € [a, b] справедлива оценка

\vi(t) — vo(t)\ < K(t). (17)

Далее, пусть

т

д1 = ¿1 + Сух + Си вк, к=1

где г1 = го • Тогда согласно (17) для любого г € [а, Ь] получаем соотношения

Мг) - до(г)\ = \(С(У1 - Уо))(г) - е(г)\ < \(С(У1 - Уо))(г)\ + \е(г)\ <

ь ь

^ I\с(г,в)\Ыв) - Уо(в)\йв + \е(г)\ \с(г,в)\к(в)йв + \е(г)\.

а а

Таким образом, для любого г € [а, Ь] выполняется оценка:

\д1 (г) - до(г)\ < (Лои)(г). (18)

Существует г2 € ф(д1) удовлетворяющее равенству

\?2 - ¿1\ = р[х1,ф(д1)}.

Тогда в силу (10) имеют место неравенства

\?2 - ¿1\ < Н[ф(до); ф(д1)] < Кф\\до - дЛСп[а, ь] < КфЛ°ш.

Пусть для функции у2 € в^Ф(д1) и любого измеримого множества и € [а,Ь] справедливо соотношение

\\у2 - У1\\Ъп (и) = рЪп(и)[у1,8ШФ(д1)\.

Из определения функции У2 и неравенств (9), (18) для любого измеримого и € [а, Ь] вытекают оценки

\\У2 - У1\\Ьп(Ы) < ЬЬп(Ы)[87ШФ(до);ШФ(д1)] < \\до - дМ&и) ! Кф(в)йв < \\«ф\\ь1(и) \\Лош\\ь1(и)-

и

Пусть

т

д2 = ¿2 + СУ2 + Ск вк. к=1

Тогда для любого г € [а, Ь] имеют место соотношения

\ д2(г) - д1 (г)\ = \ъ(г) + (су2)(г) - г^г) - (СУ1)(г)\ <

ь

< \ г2(г) - г1(г)\ + \ С(У2 - У1)(г)\ < Кф(Лош)(г)^ \С(г,в)\\У2(в) - ы(в)\ йв.

а

Таким образом, при всех г € [а, Ь] справедлива оценка

\ д2(г) - д1(г)\ < (Лш)(г). (19)

Пусть г3 € ф(д2) удовлетворяет равенству

\ гз - ¿2 \ = р[г2,ф(д2)].

Тогда из соотношений (10), (19) получаем неравенства

\гз - ¿21 4 Ь,[<р(д{); ф(д2)] 4 Кф\\дг - д2^с"[а, ь] 4 к^Лш. (20)

Далее, пусть уз € в7ШФ(д2) для любого измеримого Ы € [а,Ь] удовлетворяет равенству

\ Уз - У2\\Ъп (и) = Рьп(и)["2,ШФ(д2)]. Из соотношений (9), (19) вытекают оценки

\ \уз - У2\\ьп(и) 4 ЬЬп(и)[ШФ(д!)]ШФ(д2)] 4

<\\д1 - д2\\сп(и) У кФ(в)с1в <\\кФЛш\\Ъ1(и)■ (21)

и

Теперь пусть

дз = гз + Суз + ^ Ок вк ■ к=1

Тогда из (20), (21) для любого £ € [а,Ь] получаем неравенства

\дз(г) - д2(г)\ 4 \гз(г) - г2(г)\ + \С(уз - У2)(г)\ < ь

/Ь.1 I

Ъфл

ь

4 КфЛш + у \С(Ь, в) \ (кФЛш)(в) йв.

Таким образом, для любого £ € [а, Ь] справедлива оценка

\дз(£) - д2(£)\ 4 (Л2ш)(£). (22)

Наконец, пусть для г4 € ф(дз) имеет место равенство

\г4 - гз\ = р[гз,ф(дз)]. Тогда из (10) и (22) вытекают соотношения

\г4 - гз\ 4 [ф(д2); ф(дз)] 4 Кф\\д2 - дз\с«[а,Ь] 4 к^Л2ш.

Пусть у4 € в7ШФ(дз) - такая функция, что для любого измеримого Ы € [а,Ь] выполняется равенство

\\у4 - уз\\Ьп(и) = Рьп(и)[уз,вШф(дз)].

Из определения функции У4 и из соотношений (9), (22) для любого измеримого Ы € [а,Ь] вытекают оценки

\\у4 - Уз\\ьп(и) 4 ЬЬп(и)[в7шФ(д2)]вшФ(дз)] 4

<\\д2 - дз\\сп(и) У КФ(в)йв <\\кф\ь1(и) \\л2ш\\ьци). и

Далее, пусть

т

д4 = г4 + Су 4 + ^ Ск вк ■ к=1

Тогда для любого t € [a, b] имеют место неравенства

\q4(t) - q3(t)\ < \zA(t) - z3(t)\ + \G(v4 - v3)(t)\ < b

< КфЛ2ш + J \G(t,s)\(K<bA2u)(s) ds = A(A2w)(t) = (A3w)(t).

a

Продолжая этот процесс дальше, получим последовательности {qi} , {zi} и {vi} такие, что для любого i = 1, 2,... справедливо равенство

m

qi = zi + GviJ2 Gkßk, (23)

k=i

где zi € ф(qi-i) , vi € , причем имеют место следующие соотношения:

\qi(t) - q-i(t)\ < (Ai-^)(t), (24)

\\zi - z-i\\cn[aM < KvAi-2U (25)

и при почти всех t € [a, b]

\vi(t) - v-1 (t)\ < |Mt)||Li(w) \\(Ai-2u)(t)\\Liu). (26)

Покажем, что последовательность {qi} сходится. Действительно, согласно неравенству (24) для любых j = 0,1..., i = 1, 2 ... и t € [a,b] получаем оценку

\qj+i(t) -qj(t)\ < \qj+i(t) -qj+i-i(t)\ + \qj+i-i(t) -qj+i-2(t)\ + ••• + +\qj+i(t) - qj(t)\ < (Aj+i-iu)(t) + (Aj+i-2u)(t) + ••• + (Aju)(t).

Таким образом, для любых j = 0,1,..., i = 1, 2,... и при любом t € [a, b] выполняются соотношения

<х

\qj+i(t) - qj(t)\ ^ (AkU)(t). (27)

k=j

Из сходимости ряда (12) следует, что последовательности {qi} фундаментальна в пространстве Cn[a,b] , поэтому последовательность {qi} сходится. Пусть

x = lim qi.

Докажем, что x удовлетворяет теореме. Покажем, что для x справедливо неравенство (14). Пусть в неравенстве (27) j = 0. Тогда, учитывая, что £(ш) € Ci[a,b] - сумма ряда (12), при любом t € [a, b] получим оценку

\qi(t) - qo(t)\ < СШ).

Переходя к пределу при i ^ ж в этом соотношении, получим неравенство (14).

Докажем далее сходимость последовательности {zi} . Так как при t € [a, b] и любых i, j = 1, 2 . . . выполняются соотношения

\zj+i(t) - zj (t)\ < \zj+i(t) - zj+i-i(t)\ + \zj+i-i(t) - zj+i-2(t)\ + • • • +

+ \zj+i (t) - zj (t)\,

то, согласно (25) справедлива оценка

те

Е Aku. (28)

k=j-i

Отсюда и из сходимости ряда (12) вытекает, что последовательность {zi} фундаментальна в пространстве Rn. Пусть

z = lim zi.

i^-те

Приняв в соотношении (28) j = 1 и переходя к пределу при i — ж, при этом учитывая, что zi = z0, получим, что z удовлетворяет неравенству (15).

Наконец, рассмотрим последовательность {vi} . Докажем ее сходимость. В самом деле, для любых j = 0,1, 2,..., i = 1, 2,... и при почти всех t € [a, b] имеет место соотношение

Ivj+i(t) - vj (t) < Ivj+i(t) - vj+i-i(t)I + Ivj+i-l(t) - vj+i-2(t)I + ••• +

+Ivj+i(t) - vj(t)I

Поэтому из (26) следует, что при почти всех t € [a, b] выполняется оценка

те

Iv3+i(t) - v3(t)I < (ЛкшШ\ъЧи). (29)

k=j-i

Следовательно, последовательность {vi} фундаментальна в пространстве Ln[a,b] .Пусть

v = lim vi.

i^-те

Покажем, что при почти всех t € [a, b] z удовлетворяет соотношению (16). Действительно, так как при почти всех t € [a, b] и любом i = 1, 2,... выполняется оценка

Ivi+i(t) - vo(t)I < Ivi+i(t) - vi(t)I + Ivi(t) - vo(t)I, то из (29) для любого i = 1, 2,... и при почти всех t € [a, b] имеем неравенство

те

Ivi+i(t) - vo(t)I < \\кФ(тьЧи(Aku)(t)l\bl[aM + Ivi(t) - vo(t)I.

k=0

Переходя к пределу в последнем соотношении при i — ж и учитывая (13), (17), при почти всех t € [a,b] получим оценку (16). Далее, переходя в равенстве (23) к пределу при i — ж, получим равенство

m

х = Xz + Gv + E Gk ßk, k=i

z € ф(х), v € ШФ(х) причем из непрерывности по Хаусдорфу отображений ф : Cn[a,b] — — comp[Rn], Ф: Cn[a,b] — Q(Ln[a,b]) вытекают включения v € ~»ШФ(х) и z € ф(х), т. е. х - обобщенное решение задачи (4),(5). Теорема доказана.

Замечание. Приведенная теорема дает несколько больше, чем просто условия существования решения краевой задачи (4),(5). Она дает способ нахождения приближенного решения путем подбора функции q0 € Cn[a,b]. При этом функция £(ш), зависящая от функций qo,zo € Rn и vo € Ln[a,b], дает оценку погрешности приближенного решения - функции

qo .

Таким образом, для импульсных функционально-дифференциальных включений с правой частью, не обладающей свойством выпуклости по переключению значений, получены оценки обобщенных решений (см.[2], [3]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

2. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Части 1-6 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1275-1313.

3. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы // Прикл. математика и пакеты прикл. программ. Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. С. 155-179.

4. Булгаков А.И., Полянский А.И. Обобщенные решения квазилинейных краевых задач для функционально-дифференциальных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып. 1. С. 52-54.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-97504, № 14-01-00877).

Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.

Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: [email protected]

UDC 517.911, 517.968

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-439-447

A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ONE TYPE IMPULSE FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL INCLUSIONS

© O.V. Filippova

A boundary value problem for one type impulse functional-differential inclusions with a multi-valued map not necessarily convex-valued with respect to switching in the space of summable functions is considered. Concept of a generalized solution is represented. Existence conditions for generalized solutions are obtained and their estimates are found. Key words: functional-differential inclusion; boundary value problem; convexity with respect to switching.

ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects № 14-01-97504, № 14-01-00877).

REFERENCES

1. Filippov A.F. Differencial'nye uravneniya s razryvnoy pravoy chast'yu. M.: Nauka, 1985. 224 s.

2. Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Funkcional'no-differencial'nye vklyucheniya s impul'snymi vozdeystviyami. CHasti 1-6 // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2009. T. 14. Vyp. 6. S. 1275-1313.

3. Chugunov P.I. Svoystva resheniy differencial'nyh vklyucheniy i upravlyaemye sistemy // Prikl. matematika i pakety prikl. programm. Irkutsk: Izd-vo SEISO AN SSSR, 1980. S. 155-179.

4. Bulgakov A.I., Polyanskiy A.I. Obobshchennye resheniya kvazilineynyh kraevyh zadach dlya funkcional'no-diffrencial'nyh vklyucheniy // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2007. T. 12. Vyp. 1. S. 52-54.

Received 21 March 2016.

Filippova Olga Viktorovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, e-mail: [email protected]