CC BY
15
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки
Том 23, № 122
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-180-186 УДК 517
О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ОБЩИМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
< М. С. Афанасова
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет» 394018. Российская Федерация, г. Воронеж. Университетская площадь, 1 El-mail: [email protected]
Аннотация. В работе рассматривается задача Копш для функционально-дифференциального включения дробного порядка с общим начальным условием в банаховом пространстве.
Ключевые слова: дифференциальное включение; дробная производная; задача Коши; мера не ком и акт ноет и; неподвижная точка; уплотняющее мультиотобра-жение
Введение
Идеи Лейбница и Эйлера положили начало теории дифференциальных уравнений дробного порядка, однако эта тематика получила бурное развитие только в конце XX столетия, за счет осознания ее практического применения в различных отраслях естествознания таких как биология, экономика, прикладная математика и других. В настоящее время дробный математический анализ характеризуется значительным ростом за счет его изучения нашими соотечественниками и зарубежными коллегами (см., например, монографии [1], [2], статьи [3], [4], [5] и др.).
Изначально методы нелинейного функционального анализа применялись и разрабатывались в приложениях к дифференциальным уравнениям такими учеными как Пуанкаре А., Брауэр H.A., Хопф Г., Шаудер Ю. и др. Данные методы с начала 50-х годов XX века претерпели изменения и в дальнейшем были применены к новым классам дифференциальных уравнений, а также к дифференциальным включениям, этим занимались Красносельский М.А., Крейн С.Г., Борисович Ю.Г., Забрейко П.П., Звягин В.Г., Пе-ров А.И., Садовский Б.Н, Каменский М.И., Обуховский В.В. Развитие данных методов связано в первую очередь с тем, что дифференциальные включения являются удобным
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках проектной части государственной квоты (проект № 1.3464.2017/4.6), Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0037).
аппаратом для описания систем управления, систем с разрывными характеристиками, математической физики, экономики и биологии (см., например, монографии и статьи [6], [7], [8] и др.).
Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении, в ней указанные методы применяются для изучения нового класса дифференциальных включений дробного порядка.
Пусть Е — сепарабсльное банахово пространство, Ку)Е-\— совокупность его непустых выпуклых компактов. Для а > 1, к > 1 обозначим
д [ С ] VI С ] к,1щЕ{.
Для х С д определим функцию х{ С х)1 0 в С ] /¿, 1а
Рассмотрим общую краевую задачу для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка
№)£+С Аж)£+0 £ С ]1, ащ )2+
х С Бх, )3+
где с[ С х С С ]1,аа,.Е{, ж)£+[ х)^ £ С ]1,аа В этом включении А ; 0)А-|—>
Е Е Е — линейный замкнутый оператор в Е, порождающий ограниченную Сг полугруппу (>1=обозначим М [ ихя .г}Т)£-^ Т. £ С 1. Относительно мультиоператора F ; ]1, аа0Р Е Ку)Е-\- будем предполагать следующие условия:
для всех х С Т> мультифункция Е)^х+] 1, аае Къ>)Е+ допускает сильно измеримое сечение;
).РЗ+для почти всех £ С ]1, аа мультиотображение F)£, хН Т>Е Ку)Е+ полунепрерывно сверху;
)£14+для любого непустого ограниченного ! —> 'V найдется функция а( С Ь°° ]1,аа{ такая, что для почти всех £ С ]1, ац х С Т) выполнено
,ж^>а()£+2 0 х с{=
найдется функция ¡1 С ]1,аа[ такая, что для любого ограниченного множества ! —>Т> при почти всех £ С ]1, аа выполнено
где х —мера нскомпактности Хаусдорфа в Е, <рс —модуль послойной некомпактности в V
<рс)}- +[ их5 е р*х ! Нее] —Л-,1
Для операторов из граничного условия )3+ предполагаются следующие условия: ; С ] 1, аа, Е\ Е Т)— линейный ограниченный оператор; ) 5+мультиотображение Б ; О Е КV) является полунепрерывным сверху и переводит каждое ограниченное множество в относительно компактное.
182
М. С. Афанасова
1. Основные понятия
Определение 1. Интегральным решением задачи Коши )2+- )3+на промежутке ] /г, аа называется функция х С @ такая, что С^х С 5'х,
(
х)±+[ 5)Нс)1-Ю )£ 1С ] 1, на,
1
где /)з+С
оо ОС
1 1
-7) )пд" 2+11р)шгдЧг 0СМ°.
7Г /г 71
?и 2 4
Замечание 1. ^^ [ ^ 2+.
Определение 2. Линейный оператор С ; 1/°°)]1, С)]1, опре-
деленный соотношением
(
9-2
)£ з-Р--21 )£
1
называется оператором Коши.
Обозначим через 51 подпространство (7 ] 1, аа Е -(, состоящее из функций вида х)£+ [ <5)£Нж)1-|г Определим сужение оператора на Будем предполагать, что выполнены следующие условия:
)Ясуществует линейный ограниченный оператор Ф ; 'Ре 1 такой, что
)1 1 для всех х С 0 , у С Т)х+и / С F)s,
) <5+линейный ограниченный оператор <5 5 Т>. определенный как СЦс [ <5 )гс^1,а {) является обратимым.
Нетрудно видеть, что при выполнении условия )<3+ оператор Ф можно задать явным образом
Фс [ г <3~2)е+.
В предположении, что условие выполнено, рассмотрим многозначный оператор
; О е Ку)& заданный соотношением
)хЦ Ф5)х+о)/ Ф
Лемма 1. )са(. ]: а+- Мулътпиотобрамсение С является полунепрерывным сверху.
Лемма 2. Мультиотображение является полунепрерывным сверху.
Лемма 3. Каждая неподвижная точка мулътиоператора умеет, вид
X [ Ф)у О С/ )4+
и является интегральным решением задачи Коши )2+ )3-|г Если дополнительно выполняется условие то каждое интегральное решение х задачи Коши )2+ )3+ является неподвижней точкой мулътиоператора
Введем в пространстве 0 векторную меру некомпактности и ; Р)0 + е со
значениями в конусе определенную как
¡^иУ- +[ -^тос/с)£)-[{,
где Л)! Н—совокупность всех счетных подмножеств ! ,
1КБ е р£х
и константа р > 1 выбрана так, что для с? > 1, удовлетворяющего неравенству
дМ у 20 Ф Ь{& 2
)2 0 д 5'
выполняется следующая оценка
дМ р ^ 20 Ф Ь{ 2 2
)2 0 р^2" 5' '
Вторая компонента определенной нами меры некомпактности и1 суть модуль равностепенной непрерывности, который определяется соотношением
то(1с)0 +[ йп ихэ п 1
иеЪ ]
Лемма 4. Мультиоператор является уплотняющим относительно меры некомпактности и.
2. Основные результаты
Теорема 1. При выполнении условий )Е2-\; )ЕЗ-^ )Я2+ множество решений задачи )2+-)3+на ] /г, аа непусто и компактно.
184
М.С. Афанасова
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск: Наука, 1986.
2. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных оторбажений и дифференциальных включений. Издание 2-е, испр. и доп. М.: Книжный дом «Либроком», 2011.
3. Петросян Г.Г. Об одной теореме о слабой замкнутости суперпозиционного мультиопера-тора // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. Вып. 5. С. 1355-1358.
4. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2001. 231 p.
5. Ke T.D., Obukhovskii V., Wong N.-C, Yao J.-C. On a Class of Fractional Order Differential Inclusions with Infinite Delays // Applicable Analysis. 2013. Vol. 92. № 1. P. 115-137.
6. Obukhovskii V., Yao J.-C. Some Existence Results for Fractional Functional Differential Equations // Fixed Point Theory. 2010. Vol. 11. № 1. P. 85-96.
7. Kamenskii M., Obukhoskii V., Petrosyan G, Yao J.-C. On semilinear fractional order differential inclusions in banach spaces // Fixed Point Theory. 2017. Vol. 18. № 1. P. 269-292.
8. Обуховский В.В., Петросян Г.Г. О задаче Коши для функционально-дифференциального включения дробного порядка с импульсными характеристиками в банаховом пространстве // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2013. № 1. С. 192-209.
9. Петросян Г.Г., Афанасова М.С. О задаче Коши для дифференциального включения дробного порядка с нелинейным граничным условием // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2017. № 1. С. 135-151.
Поступила в редакцию 29 марта 2018 г.
Прошла рецензирование 10 мая 2018 г.
Принята в печать 5 июня 2018 г.
Афанасова Мария Сергеевна, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант, математический факультет, e-mail: [email protected]
Для цитирования: Афанасова М.С. О задаче Коши для функционально-дифференциального включения дробного порядка с общим начальным условием в банаховом пространстве // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 122. С. 180-186. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-180-186
О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ 185
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-180-186
ON THE CAUCHY PROBLEM FOR A FUNCTIONAL DIFFERENTIAL INCLUSION OF FRACTIONAL ORDER WITH A GENERAL INITIAL CONDITION IN A BANACH SPACE
M. S. Afanasova
Voronezh State University 1 University square. Voronezh 394018, Russian Federation El-mail: [email protected]
Abstract. In this paper we consider the Cauchy problem for a functional differential inclusion of fractional order with a general initial condition in a Banach space. Keywords: differential inclusion; the fractional derivative; the Cauchy problem; MNC; fixed point; condensing multimap
REFERENCES
1. Akhmerov R.R., Kamenskiy M.I., Potapov A.S., Rodkina A.E., Sadovskiy B.N. Mery nekom-paktnosti i uplotnyayushchie operatory [Measures of Non-Compactness and Condensing Operators]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1986. {In Russian).
2. Borisovich Yu.G., Gelman B.D., Myshkis A.D., Obukhovskiy V.V. Vvedenie v teoriyu mnogo-znachnykh otorbazheniy i differentsial'nykh vklyucheniy [Introduction to the Theory of Many-Valued Separations and Differential Inclusions]. Moscow. Book House "Librokom" Publ., 2011. (In Russian).
3. Petrosyan G.G. Ob odnoy teoreme o slaboy zamknutosti superpozitsionnogo mul'ti operator a [Theorem on the weak closure of superposition multioperators]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2015, vol. 20, no. 5, pp. 1355-1358. (In Russian).
4. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin, New York, Walter de Gruyter. 2001. 231 p.
5. Ke T.D., Obukhovskii V., Wong N.-C., Yao J.-C. On a Class of Fractional Order Differential Inclusions with Infinite Delays. Applicable Analysis, 2013, vol. 92. no. 1, pp. 115-137.
6. Obukhovskii V., Yao J.-C. Some Existence Results for Fractional Functional Differential Equations. Fixed Point Theory, 2010, vol. 11, no. 1. pp. 85-96.
7. Kamenskii M., Obukhoskii V., Petrosyan G., Yao J.-C. On semilinear fractional order differential inclusions in banach spaces. Fixed Point Theory, 2017, vol. 18, no. 1, pp. 269-292.
8. Obukhovskii V.V., Petrosyan G.G. O zadache Koshi dlya funktsional'no-differentsial'nogo vklyucheniya drobnogo poryadka s impul'snymi kharakteristikami v banakhovom prostranstve [On the Cauchy problem for functional differential inclusions of fractional order with impulsive characteristics in a Banach space]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika - Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2013, no. 1, pp. 192-209. (In Russian).
This research was supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (projects № 1.3464.2017/4.6, № 14.Z50.31.0037).
186
M.C. A^aHacoBa
9. Petrosyan G.G., Afanasova M.S. O zadache Koshi dlya differentsial'nogo vklyucheniya drob-nogo poryadka s nelineynym granichnym usloviem [On the Cauchy problem for a differential inclusion of fractional order with nonlinear boundary conditions]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstven-nogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika - Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2017, no. 1, pp. 135-151. (In Russian).
Received 29 March 2018 Reviewed 10 May 2018 Accepted for press 5 June 2018
Afanasova Mariya Sergeevna, Voronezh State University, Voronezh, the Russian Federation, Post-Graduate Student, Faculty of Mathematics, e-mail: [email protected].
For citation: Afanasova M.S. O zadache Koshi dlya funktsional'no-differentsial'nogo vklyucheniya drobnogo poryadka s obshchim nachal'nym usloviem v banahovom prostranstve [On the Cauchy problem for a functional differential inclusion of fractional order with a general initial condition in a Banach space]. Vestnik Tambovskogo universiteta,. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 122, pp. 180—186. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-180-186 (In Russian, Abstr. in Engl.).
