Вариационные уравнения термоэлектроупругости для многослойной композитной оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика. Физика

УДК 539.3

ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНОЙ КОМПОЗИТНОЙ ОБОЛОЧКИ

Г.М. Куликов1, С.В. Плотникова1, В.П. Ярцев2

Кафедры: «Прикладная математика и механика» (1), «Конструкции зданий и сооружений» (2), ГОУВПО «ТГТУ»; киИкоу@артаЖ. tstu.ru

Ключевые слова и фразы: вариационное уравнение Ху-Васидзу; многослойная композитная оболочка; термопьезоэлектричество.

Аннотация: Рассмотрены два функционала для исследования стационарных задач линейной термоэлектроупругости для многослойных композитных оболочек. На основе деформационных соотношений 7-параметрической модели оболочки с учетом поперечного нормального деформирования и гипотезы о линейном распределении температуры и потенциала электрического поля в пределах пьезоэлектрического слоя получены вариационные уравнения связанной задачи термопьезоэлектричества.

1. Введение

В 1974 г. Миндлин [1] впервые получил уравнения линейной термоэлектро-упругости для расчета пластин, однако лишь спустя двадцать лет были разработаны конечные элементы для расчета термоэлектроупругих пластин и оболочек [2, 3]. Результаты дальнейших исследований в этом направлении представлены в статьях [4-7]. Общим для всех этих работ является использование принципа виртуальных перемещений для получения конечноэлементных уравнений, что исключает возможность построения смешанных и гибридных элементов оболочки.

Как известно, смешанные и гибридные конечные элементы обладают рядом преимуществ по сравнению с конечными элементами в форме метода перемещений, так как они не подвержены сдвиговому и мембранному запираниям и не допускают ложных жестких смещений (механизмов). Однако для построения этих элементов оболочки требуется применение смешанного вариационного принципа Хеллингера-Рейсснера или более общего вариационного принципа Ху-Васидзу [8]. Таким образом, возникает актуальная задача обобщения смешанного вариационного принципа Ху-Васидзу с целью его использования в стационарных задачах термопьезоэлектричества.

В данной работе получено смешанное вариационное уравнение Ху-Васидзу для термоэлектроупругих оболочек на основе 7-параметрической модели оболоч-

ки [9]. Это вариационное уравнение открывает путь для разработки перспективных геометрически точных элементов термоэлектроупругой оболочки. Термин «геометрически точный элемент» означает, что отсчетная поверхность оболочки описывается аналитически заданными функциями, в частности сплайнами. При этом векторы перемещений представляются в локальном базисе, связанном с от-счетной поверхностью оболочки [10-12].

2. Функционалы пространственной теории термоэлектроупругости

Рассмотрим смешанный функционал для исследования стационарных задач линейной термоэлектроупругости, обобщающий смешанный функционал [13] путем включения в него напряжений и деформаций в качестве независимых переменных:

n3D =

V

- хи

Ш H+ST-a'j - \ ui, j - \ ил)+Di E+Ф,*)-

X,u, + Qvф]dV - ЦpjUjdD.- jjQsФdD;

Q„ D D

1 1 се 2

Н = ТТсукт8у8кт — 7Т — © — еЬ-Ек8гу — 1у8у © — §1Е1®,

2 2 21 о

где Н - электрическая энтальпия; - компоненты вектора смещения электрического поля; ЕI - компоненты вектора напряженности электрического поля; £ -энтропия; ф - электрический потенциал; и{ - компоненты вектора перемещений;

- компоненты тензора деформаций; стг- - компоненты тензора напряжений; © = Т - То - прирост температуры от естественного состояния; 70 - температура естественного состояния по шкале Кельвина; Сфт - компоненты тензора упругих постоянных; вк- - компоненты тензора пьезоэлектрических постоянных; е- -компоненты тензора диэлектрических постоянных; у- - компоненты тензора температурных напряжений; gi - компоненты вектора пироэлектрических постоянных; с8 - теплоемкость при постоянной деформации; Xi - компоненты вектора массовых сил; pi - компоненты вектора поверхностных сил, действующих на поверхности Ост; Qv - объемная плотность электрических зарядов; Qs - поверхностная плотность электрических зарядов на поверхности Ор. При этом О = Ост + Ои и О = Ор + Оф, где Ои - поверхность, на которой заданы перемещения; Оф - поверхность, на которой задан электрический потенциал. Отметим

также, что естественное состояние характеризуется отсутствием деформаций и напряжений и все величины измерены в изотермическом состоянии.

Варьируя ui, 8- , ст- , Di, Ei, ф , © и используя теорему Остроградского-

Гаусса, из вариационного уравнения Ху-Васидзу

5П3Р = 0

находим уравнения равновесия тела, уравнения электростатики, уравнения состояния и граничные условия:

7] = cijkm4m - ekijEk -Yij® в V;

(2)

Di = eikm4m + eikEk + gi ® в V;

S = Y km4m + gkEk +в V;

T0

e] =1 к ] + u]i) в V;

Сту.,] + Хг = 0 в V;

Е1 =-ф i в V;

о,,, = Qv в V;

ъ1]п] = р, на Ос;

и, = и, на Ои, где ди, = 0;

о,п, = Qs на Оо; ф = ~ на Оф, где 8ф = 0.

Рассмотрим также второй функционал, приведенный в монографии [13],

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(10) (11) (12)

(13)

где Ху - компоненты тензора теплопроводности; V - интенсивность внутренних

источников тепла; - компоненты вектора теплового потока через поверхность

Од; п, - компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности Од.

Варьируя температуру и пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, из вариационного уравнения

5И2° = 0,

с учетом закона Фурье д, = ;, получим уравнение теплопроводности и гра-

п 2D =

ffli 2 w. ]- wT 1dV+fl q~iniTdn

ничные условия:

Vi=-w в V;

qi = ~i на Q q;

T = T на Qt . где 8T = 0.

(14)

(15)

(16)

где О = Од + От .

зо

Уменьшим в функционале П1 число независимых переменных, приняв Е, = -ф,, и рассмотрим для определенности пьезоэлектрический кристалл моноклинной системы класса 2 при наличии двукратной оси симметрии параллельной оси Х3 [13]. В этом случае функционалы (1), (13) можно представить в матричной форме:

q

и?- = jjj

1sTcs-1 ETe E -^©2 -sTeTE -sTy©-2 2 270

Здесь обозначено:

U = [ U2 U?

ETg© + ST - aT (s - s) - uTX + QVф] dV - jjuTpdQ - JJqsфdQ

Qa Q D

П 2D = jjj( -2 Г ТХТ - wT J dV + jj qlnlTdQ.

V ^ Q q

]T, S = [ul,l U2,2 U3,3 Ul,2 + U2,l Ul,3 + U3,l U2,3 + U3,2]T

(l8)

(l9)

s = [sll s22 s33 2sl2 2sl3 2s23]T. a = [all a22 a33 al2 al3 a23]^ E = [-Ф,1 -ф,2 -ф,3]T, Г = [[ T,2 T,3]T, X = [ X2 X3]T,

p = [Pl

c =

cllll cll22

с2211 c2222

с3311 c3322

с1211 cl222

0 0

0 0

6=

P2 P3J >

cll33

c1233 0 0

6ll 62l

= [Yll

Y22 Y33 Yl2

0 0]T, g = [0 0 g3]1

clll2 c2212 c3312 c1212 0 0

0 0 0 0 e3ll

0 0 0 0 e322

0 0 T 0 0 e333

, e =

0 0 0 0 e3l2

cl3l3 cl323 ell3 e2l3 0

c23l3 c2323_ _el23 e223 0

6l2 6 22

0 " X11 ^12 0 "

0 ^ 21 ^ 22 0

633 _ 0 0 ^33 _

0 0

где и - столбец перемещений; ё и е - столбцы зависимых и независимых от перемещений деформаций; ст - столбец напряжений; е - столбец напряженности электрического поля; Г - столбец градиента температурного поля; x - столбец массовых сил; р - столбец поверхностных нагрузок; с ,е ,е, X , у , g -матрицы и столбцы термопьезоупругих постоянных.

3. Функционалы теории термоэлектроупругих оболочек

Рассмотрим тонкую оболочку толщиной к = d"+ d + , составленную из N анизотропных слоев постоянной толщины кп . Будем полагать, что в каждой точке оболочки существует поверхность упругой симметрии, параллельная отсчет-ной поверхности О. В качестве отсчетной поверхности примем внутреннюю поверхность какого-либо п-слоя или поверхность раздела слоев, которую отнесем к криволинейным ортогональным координатам 0! и 02, отсчитываемым вдоль линий главных кривизн. Поперечную координату 0з будем отсчитывать в сторону возрастания внешней нормали к поверхности О (рис. 1). Пусть е^ и е2 - единичные векторы касательных к координатным линиям 01 и 02 ; ез - единичный вектор внешней нормали; Аа - параметры Ламе; ка - главные кривизны; dА -

Рис. 1. Многослойная оболочка с внедренным пьезоэлектрическим слоем (Р2Т)

расстояния от отсчетной поверхности до внешних поверхностей ОА ; 2п-1 и 2п -поперечные координаты внешних поверхностей п-слоя О п-1 и Оп. Здесь и далее индекс слоя п = 1,2,к,N ; индекс пьезоэлектрического слоя 1 = г^, ¿2, ..., 1ь, где Ь - число пьезоэлектрических слоев в пакете (Ь < N); латинские индексы /, у, к, т = 1,2,3; греческие индексы а, р = 1,2; индексы внешних поверхностей А, В = -, + ; индексы внешних и срединной поверхностей I, J = -, М, +.

Будем полагать, что тангенциальные перемещения распределены по толщине оболочки согласно линейному закону, а поперечное перемещение - квадратичному [14], то есть

(20)

= 1N

u3 =Z Ги3

А

где иА(01,62) и иА (01,62) - тангенциальные и поперечное перемещения внешних поверхностей ОА; иМ (0!, 02) - поперечное перемещение срединной поверхности ОМ ; NА(03) и Ь1 (63) - многочлены Лагранжа первой и второй степени,

соответственно:

N- =-

1Z +-03). N + = 1 (03 -z-)

(21)

Г = N

"(v- - N +).

LM = 4N - N +.

Г+ = N + +

(n +- N "),

такие что Ь (г" )= 1 при J = I и Ь (г" )= 0 при J ФI, где 2 =-й , 2+= , г М = (г -+ 2 +)/2.

Деформационные соотношения 7-параметрической модели оболочки [9] имеют вид

(22)

В] =1N АВ].

А

Здесь еА (61,62) - деформации внешних поверхностей оболочки, определяемые по формулам:

0~А _ АА , Ал А А _ АпА , л А ~А _ ßA

2Baß = ca Aaß + cß Aßa. 2Ва3 = ca ßa + л3а. В33 = ß3 . (23)

где

iA = лаа

1

A uA V Aa

+ Baaua + Baß«A + kau3 (ß * a)

,a

Aßa -

(

T uß

V Aa

+ BaaußA- BaßuA ( * a)

,a

(24)

^3a -

A

V a

+ Baau3 kaua ,

UM -

a

f 1 (ua+ u+)

ß~ - h (- 3u~ + 4uM - u+ ), ß+ -1 (u- - 4uM + 3u+)

ca - 1 + kaz ,

Baß

1

Aa Aß

-A.

a,ß •

Деформационные соотношения (22) - (24) весьма привлекательны с точки зрения их использования в методе конечного элемента, поскольку они точно представляют произвольные перемещения оболочки как жесткого тела [9, 15]. Другое достоинство этих деформационных соотношений состоит в том, что они позволяют преодолеть так называемое пуассоновское запирание (искусственное завышение жесткости оболочки в поперечном направлении) [16].

Распределение независимых от перемещений деформаций по толщине пакета имеет вид

еу =£NА4 , (25)

А

где еА (1,02) - независимо введенные деформации внешних поверхностей оболочки. Как видим, законы распределения зависимых и независимых от перемещений деформаций (22), (25) согласованы друг с другом.

Далее будем полагать, что каждый слой в пакете является пьезоэлектриком, то есть Ь = N, и примем гипотезу о линейном распределении потенциала электрического поля по толщине 1 -го слоя:

ф i - Z NV

zi-1

<е3 < zo

(26)

А

N-- (( -ез), he

N +- -L (ез - zo-1), he

где ф_ (01,62) и ф+(01,02) - потенциалы электрического поля на нижней и верхней поверхностях и О1, при этом согласно условию непрерывности

Ф + = ф_+1, где г = 1,2, к, N_ 1.

Для полей температуры и энтропии воспользуемся аналогичными аппроксимациями:

Т =£ NАT А, _1 <03 < 71; (27)

А

=ЕNАSА, 71 _1 <03 < 71, (28)

А

где ТА(01,02) и ^А(01,02) - значения температуры и энтропии на внешних поверхностях 1 -го слоя, при этом Тг+ = Т,Г+1 и £+ = £_+1.

1

a

Вводя распределения (20), (22), (25) - (28) в трехмерные функционалы (17), (18) и пренебрегая массовыми силами, источниками тепла и свободными электрическими зарядами внутри слоев, получим

Q I 1 А,В

n2D =jljz I 2ИТ^АВе(1)вВ -2(А)ТСАВ E(

1 "АВ-(1)©В (еА)ТпАВ(е(1))Тe(i)b - (ба)ТпАВуW©В-

-ф©fСГWe 1 цГleV) E 2T0

-(е(1)а)т

сАВ§(1)©В+sAcAVi-

-I(hА)Т(ба - Ба)

А

-НТР- -(и+)Тp+ -ÖS9- -QWl ^AiMA2MdBidB2 - Wext,

(29)

n2D -jj

2 (1)А)Т сАВЛ(

)В- ~3-T1-+ q+TL

1 А,В

AiM A2MdBidB2 +Фext•

(30)

Здесь, с), е(1 , е(1 ^, ^, у(1), g(1) определяют согласно (19) матрицы и столбцы термопьезоупругих постоянных 1 -го слоя; = Аа(1 + ка2м) - параметры Ламе срединной поверхности; РТехг - работа внешних поверхностных сил

на торцах оболочки; ФеХ - тепловой поток на торцах оболочки; О- , Q~+ - поверхностные плотности электрических зарядов на внешних поверхностях оболочки; , ~з+ - нормальные компоненты тепловых потоков на внешних поверхностях оболочки; иА - столбцы перемещений внешних поверхностей оболочки; ёА , 8А - столбцы зависимых и независимых от перемещений деформаций внешних поверхностей оболочки; Е(1 )а - столбцы напряженности электрического поля на внешних поверхностях 1 -го слоя; ©А = ТА - 70 - прирост температуры

от естественного состояния на внешних поверхностях 1 -го слоя; Г

(1 )А _

столбцы

градиента температуры на внешних поверхностях 1 -го слоя; рА - столбцы внешних поверхностных нагрузок, действующих на внешних поверхностях оболочки; НА - столбцы результирующих напряжений, определяемые по формулам:

Б А =

А

ба б22 )3з 2Б12 2Б1з 2б23

А А А Т А А А А

U1 U2 U3 Р - p1 Р2 P3 .

(31)

_А _ А А А0А0А0А Б - 1Б11 б22 Б33 2Б12 2Б13 2Б23

Е1

(1)А =

1 А 1 А 11 + Л

--Ф1,1--Ф1,2 -Ф1,1

A A ' h

„(1)А =

—T& — тА2 h-(+-T-)

A A-

Q

Т

Т

z o

H

A

Z fo(%Ace

zo-1

H

A

ttA TTA TTA TTA TTA TTA

H11 H 22 H 33 H12 H13 H 23

T „(o) „(o) Jo) „() „() „() „()

, „; - „11 „22 „33 „12 „13 „23

z1 z1 zo

;AB- f NA N B^3, ZAB- f NA N В0Ю3, nAB- f NA N?c

zo-1

zo-1

z

l -1

где ст(1) - столбец напряжений 1 -го слоя.

Замечание. Следуя работам [9, 11] полагаем, что метрики поверхностей параллельных отсчетной поверхности эквивалентны, поэтому в функционалах (29),

(30) элемент площади полагается равным Ам АМ й^й^.

4. Вариационные уравнения теории термоэлектроупругих оболочек

Варьируя в функционале (29) независимые переменные и1, еА , НА, фА, ©А , а в функционале (30) температуру ТА , и учитывая уравнения

8П2° = 0, 5П 2° = 0,

получим вариационные уравнения 7-параметрической модели термоэлектроупру-гой оболочки

JHZMh A)T (A-8 A)-s( a)T H a'

Q I A

+Z8>'

A

lB

Zs(eA)T HA -ZZ(^ABc(1)8B -nAB(e(1 ))TE(1 )B - nAV )©B '

■ZZ8(e(1)a)t [V+zAB e(1)b +cABg(1)©B

1 A,B

-ZZS@A

A , B

cA%A -nAB(yw)T 8B -zAB(g (1))t e(1)b -141)cAB©B

s(u")Tp- +s(u+)Tp+ + ß^f + е,+5ф+ |AMA2MCe^ +5rext -0; (32)

Я

ZZsCflA)T «AW( 0B - ?3-sr,- + ft'Stf

1 A,B

AMA2Mce^ +SФext - 0.

(33)

Вариационные уравнения (32), (33) могут служить основой для разработки перспективных геометрически точных конечных элементов термоэлектроупругих многослойных композитных оболочек.

3

t

T

+

+

0

Q

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 2.1.1/660).

Список литературы

1. Mindlin, R.D. Equations of high frequency vibrations of thermopiezoelectric crystal plates / R.D. Mindlin // International Journal of Solids and Structures. - 1974. -Vol. 10, № 6. - P. 625-637.

2. Jonnalagadda, K.D. Piezothermoelastic composite plate analysis using firstorder shear deformation theory / K.D. Jonnalagadda, G.E. Blandford, T.R. Tauchert // Computers & Structures. - 1994. - Vol. 51, № 1. - P. 79-89.

3. Tzou, H.S. Piezothermoelasticity and precision control of piezoelectric systems: theory and finite element analysis / H.S. Tzou, R. Ye // Journal of Vibration and Acoustics. - 1994. - Vol. 116, № 4. - P. 489-495.

4. Lee, H.-J. Generalized finite element formulation for smart multilayered thermal piezoelectric composite plates / H.-J. Lee, D.A. Saravanos // International Journal of Solids and Structures. - 1997. - Vol. 34, № 26. - P. 3355-3371.

5. Lee, H.-J. A mixed multi-field finite element formulation for thermopiezoelectric composite shells / H.-J. Lee, D.A. Saravanos // International Journal of Solids and Structures. - 2000. - Vol. 37, № 36. - P. 4949-4967.

6. Oh, J. A finite element based on cubic zig-zag plate theory for the prediction of thermo-electric-mechanical behaviors / J. Oh, M. Cho // International Journal of Solids and Structures. - 2004. - Vol. 41, № 5-6. - P. 1357-1375.

7. Kumar, R. Static and dynamic analysis of smart cylindrical shell / R. Kumar, B.K. Mishra, S.C. Jain // Finite Elements in Analysis and Design. - 2008. - Vol. 45, № 1. - P. 13-24.

8. Washizu, K. Variational methods in elasticity and plasticity, 3rd edition / K. Washizu - Oxford : Pergamon Press, 1982. - 542 p.

9. Kulikov, G.M. Finite rotation geometrically exact four-node solid-shell element with seven displacement degrees of freedom / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Modeling in Engineering & Sciences. - 2008. - Vol. 28, № 1. - P. 15-38.

10. Kulikov, G.M. Simple and effective elements based upon Timoshenko-Mindlin shell theory / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2002. - Vol. 191, № 11-12. - P. 1173-1187.

11. Kulikov, G.M. Geometrically exact assumed stress-strain multilayered solidshell elements based on the 3D analytical integration / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computers & Structures. - 2006. - Vol. 84, № 19-20. - P. 1275-1287.

12. Kulikov, G.M. Geometrically exact four-node piezoelectric solid-shell element / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2008. - Vol. 15, № 3-4. - P. 199-207.

13. Новацкий, В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новац-кий. - М. : Мир, 1986. - 160 с.

14. Kulikov, G.M. Refined global approximation theory of multilayered plates and shells / G.M. Kulikov // Journal of Engineering Mechanics. - 2001. - Vol. 127, № 2. - P. 119-125.

15. Kulikov, G.M. On the first-order seven-parameter plate theory / G.M. Kulikov // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2007. - Т. 13, № 2Б. - С. 518-528.

16. Bischoff, M. Models and finite elements for thin-walled structures / M. Bischoff, W.A. Wall, K.U. Bletzinger, E. Ramm // E. Stein, R. de Borst, T. J. R. Hughes (eds) Encyclopedia of Computational Mechanics. Vol. 2: Solids and Structures. - Willey, 2004. - P. 59-137.

Variational Equations of Thermoelectroelasticity for Multilayered Composite Shell

G.M. Kulikov1, S.V. Plotnikova1, V.P.Yartsev2

Departments: "Applied Mathematics and Mechanics" (1), "Construction of Buildings and Structures" (2), TSTU; kulikov@apmath. tstu.ru

Key words and phrases: Hu-Washizu variational equation; multilayered composite shell; thermopiezoelectricity.

Abstract: Two functionals for stationary problems of thermoelectroelasticity for multilayered composite shells are considered. Based on the strain-displacement relationships of the 7-parameter shell model accounting for a transverse normal strain and a hypothesis concerning the linear distribution of temperature and electric potential throughout the piezoelectric layer, the variational equations of a coupled problem of thermopiezoelectricity have been obtained.

Variationsgleichungen der Thermoelektroelastizität für die vielschichtigen Kompositenhülle

Zusammenfassung: Es sind zwei Funktionale für die Untersuchung der Sta-zionäraufgaben der linearen Thermoelektroelastizität für die vielschichtigen Kompositenhüllen betrachtet. Auf Grund der Deformationsverhältnisse des 7-Parametermodells der Hülle mit Rücksicht auf die normale Querdeformierung und der Hypothese über die linearen Temperaturverteilung und des Potentiales des elektrischen Feldes innerhalb der piezoelektrischen Schicht sind die Variationsgleichungen der gebundenen Aufgabe der Thermopiezoelektrizität erhalten.

Equations de variation de l'élasticité électrique et thermique pour une enveloppe multicouche composite

Résumé: Sont examinées deux fonctionnelles pour l'étude des problèmes stationnaires de l'élasticité électrique et thermique linéaire pour les enveloppes multicouches composites. A la base des relations de déformation du modèle à 7 paramètres de l'enveloppe et compte tenu de la déformation normale transversale et l'hypothèse de la répartition linéaire de la température et du potentiel du champ électrique dans une gamme de la couche piézoélectrique sont reçues les équations de variation du problème couplé de la piézoélectricité.

Авторы: Куликов Геннадий Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и механика»; Плотникова Светлана Валерьевна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и механика»; Ярцев Виктор Петрович - доктор технических наук, профессор кафедры «Конструкции зданий и сооружений», ГОУ ВПО «ТГТУ».

Рецензент: Коновалов Виктор Иванович - доктор технических наук, профессор кафедры «Химическая инженерия», ГОУ ВПО «ТГТУ».