Управление формой слоистых композитных оболочек с пьезоэлектричекими актюаторами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика. Физика

УДК 539.3

УПРАВЛЕНИЕ ФОРМОЙ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕКИМИ АКТЮАТОРАМИ С.В. Плотникова

Кафедра «Прикладная математика и механика», ФГБОУ ВПО «ТГТУ»;

psv@apmath.tstu.ru

Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым

Ключевые слова и фразы: композитная оболочка; метод конечных элементов; статическое управление формой; 7-параметрическая модель оболочки.

Аннотация: Представленная в статье модель позволяет определить напряжения на пьезоэлектрических актюаторах, приближающих форму конструкции к заранее заданной. Задача сводится к минимизации функции погрешности, которая задается как разность между деформированной формой оболочки и аналитически заданной функцией требуемой формы. Математическая модель основывается на конечно-элементных уравнениях, полученных для четырехузловых трехмерных геометрически точных элементов оболочки. Численные примеры подтверждают эффективность и надежность предлагаемой модели.

Введение

В работах [1, 2] построен четырехузловой конечный элемент, основанный на 7-параметрической теории пьезоэлектрических оболочек, позволяющий решать связанную задачу электроупругости. Разработанный на основе этой конечноэлементной модели программный код позволяет при заданных напряжениях на актюаторах и заданной механической нагрузке определять напряженно-деформированное состояние оболочки, а также напряжения на сенсорах. Однако во многих практических приложениях требуется подобрать такие напряжения на актюаторах, которые придают оболочке заранее заданную форму.

Известны различные постановки задачи управления формой конструкции [3]. Наиболее распространена формулировка, в которой минимизируется квадрат отклонений перемещений от заранее заданных. Такая постановка задачи целесообразна в случае, когда целью является возвращение конструкции к недеформи-рованному состоянию. В более общем случае, когда требуется привести конструкцию к заданной форме, не всегда можно предугадать приводящие к этой форме перемещения. В работе [4] предлагается подход, в котором целевой функцией является квадрат разности между отклонением формы деформированной конструкции от заранее заданной формы. В данной работе этот подход применяется для расчета методом Реллея-Ритца пологой оболочки, геометрия которой задана в декартовых координатах. В настоящей работе аналогичный способ построения целевой функции реализуется для случая геометрически точного элемента, когда оболочка описывается в связанных с отсчетной поверхностью координатах.

Постановка задачи управления формой оболочки

Рассмотрим композитную оболочку с пьезоэлектрическими слоями. На от-счетной поверхности £ выбираем криволинейную ортогональную систему координат 01, 02, оси которой совпадают с линиями главных кривизн поверхности; еі и Є2 - единичные векторы, направленные вдоль координатных осей. Пусть ез -единичный вектор, направленный по нормали к отсчетной поверхности; 0з - координатная ось в направлении ез (рис. 1).

Пусть £_ и £ + - лицевые поверхности оболочки; и± - перемещения точек

поверхностей £_ и £ + в направлениях координатных осей отсчетной поверхно-

1^0 М и

сти, где і = 1, 2, 3; из - перемещения точек серединной поверхности в направлении 0з. Для тангенциальных перемещений используем линейную аппроксимацию по толщине оболочки, а для поперечного перемещения - квадратичную аппроксимацию [5]:

иа = N иа + N иа; из = X из + X из + X из ; (1)

Ы~ = - (+-Є3 ); N+ =1 (е3-8") ; hy hy J

L~= N “(n N + ); LM = 4 N " N + ; L+ = N + (n + - N “),

(2)

где к = 5+ -5 - толщина оболочки; 63 е [б , 8+] , а = 1, 2.

Если к оболочке приложить механическую и электрическую нагрузки, от-счетная поверхность £ перейдет в деформированную поверхность Б1, а произвольная точка Л(01,02) исходной поверхности перейдет в точку А1 е Б1, радиус-

т

вектор которой ^Л1 = (х1, у1, ) может быть найден как

КА = Кл +Е и>е>, (3)

т _

где Я л = (хо, Уо, г0) - радиус-вектор точки Л; иг- - перемещения отсчетной поверхности в направлениях координатных осей, которые выражаются через координаты лицевых поверхностей по формулам (1), (2).

Обозначим через требуемую форму оболочки. Полагаем, что она задана в декартовых координатах дважды дифференцируемой функцией

* = ¥( х, У). (4)

Предполагаем, что перемещения малы и позволяют оставаться в рамках геометрически линейной модели. Погрешностью достижения заданной формы в точке А будем считать отклонение координаты г деформированной поверхности от заданной поверхности (рис. 2)

8а = - Г. (5)

Предполагая, что перемещения малы, запишем

= Т( хг, Уг) = Т( x0, Уо) + (x0, Уо)Ах + (Xо, Уо) ДУ; (6)

от ду

Ах = X -х = Х, ду = Уг -У = Хu^e^2, гг = го +Хи'ег3. (7)

Подставляя (6) и (7) в (5), получим выражение погрешности через перемещения:

§А = ё0 +Х ; (8)

ё0 = Т (х0, Уо) - г0'; ё, = (х0, Уо)ег1 + 1Г(Х0, Уо)ег2 - ег3. (9)

дх дУ

Отметим, что декартовы координаты отсчетной поверхности хо, Уо, го, координаты базисных векторов еу, перемещения и, задаются как функции координат

отсчетной поверхности 01, 02.

В результате получаем следующую формулировку задачи управления формой оболочки: требуется так подобрать функцию напряжения на актюаторе ф(01,62), чтобы при соответствующих перемещениях отсчетной поверхности й, (01,02) целевой функционал

W = - Ц(0 +^ ёгйг )2 4м 4М ё01ё02 + ^Цф2 4м аМ ё01ё02 (10)

2 5 2 5

принимал минимальное значение. Здесь 41м, 42м - параметры Ламе серединной поверхности. Первое слагаемое в (10) определяется отклонением отсчетной поверхности оболочки от требуемой формы; второе слагаемое делает функционал (10) строго выпуклым и при численном решении обеспечивает вычислительную устойчивость; у - параметр регуляризации.

Конечно-элементная формулировка задачи

При численном решении задача минимизации функционала (10) сводится к задаче минимизации функции нескольких переменных. При этом возможны два подхода: потенциал на актюаторе ф(01,02) можно рассматривать как непрерывную функцию, а можно как дискретную. Во втором случае полагают, что пьезоэлектрические слои расположены в виде накладок, для каждой из которых выполняется условие эквипотенциальности. Далее будем рассматривать именно этот случай. Для простоты формулировки полагаем, что пьезоэлектрические накладки

Хо хг х

Рис. 2. Нахождение отклонения деформированной формы оболочки от требуемой формы (плоскость X -1)

расположены симметрично на лицевых поверхностях оболочки и являются ак-тюаторами. При этом на электроды на их внешние поверхности подается заданное постоянное напряжение фг и ф^, а на поверхностях раздела композитной

основы и пьезоэлектрических слоев электроды заземлены, то есть напряжение принимается равным 0.

Рассмотрим четырехузловой прямоугольный элемент. Неизвестными в г-м

узле элемента являются 7 перемещений [6]: Vг = [и— и+ и—г и+г и-г и+г и3 ]Т. Уравнение равновесия элемента можно записать в виде

(11)

где Ve =

T T T T V1 V2 v3 V4

- вектор узловых перемещений элемента; Ге - вектор

механических нагрузок, действующих на элементе; Ке - симметричная матрица жесткости элемента; и Б| - векторы электромеханической связи на элементе,

отражающие вклады пьезоэлектрических накладок на верхней и нижней поверхностях. Вид этих матриц приведен в [7].

Для каждого элемента введем проективную матрицу Ре, отражающую вклад элемента в глобальную систему элементов. После сборки элементов в ансамбль получаем уравнение равновесия конструкции

N г

KU = -У[<

e=1

([e)T Bet фЄ + (Pe)T Deфє

(12)

где Ые - общее число элементов; и - глобальный вектор узловых перемещений;

ме ме

К = ^(Ре)ТКеРе - глобальная матрица жесткости; Г = ^(Ре)ТГе - глобаль-

е=1 е=1

ный вектор механических нагрузок. Пусть Фх- вектор напряжений, подаваемых на электроды верхних накладок; Фь - вектор напряжений, подаваемых на электроды нижних накладок, то есть в результате решения задачи управления формой оболочки должен быть найден вектор Ф = [фт Ф^ ]т размерности 2Ыр, где Ыр -

количество пьезоэлектрических накладок на лицевой поверхности оболочки. Введем векторы соответствия между пьезоэлектрическими накладками и элементами

Qe; компоненты этого вектора принимают значение 1, если соответствующая

накладка попадает на элемент е, и значение 0 в противоположном случае. Тогда из (12) получим следующую зависимость между вектором перемещений и векторами нагружения:

U = K -1(ЯФ + F ),

(13)

ґ Ne

R

-X (Pe )T B teQe

0,

e=1 0

N

Np X NJ

Np XNp

-X (Pe )T BbQe

e=1

Функционал (10) заменим на его дискретный аналог

W(Ф) = -2(GU + g)T (GU + g) + 2уфTФ ^ min.

(14)

Здесь, учитывая (1), (8), (9), полагаем (р - г-й узел; г изменяется от 1 до Ып, где Ып - число узлов):

Яг = а о( р); От-1)+1 = N - (0)^( р); От-Ц+2 = N + (0)ад);

0,7(г-1)+3 = N (0)а2(р); °,7(г-1)+4 = N + (0)а2(р);

0,7(г-1)+5 = ^(0)аз(Р); Сг,7(г-1)+6 = ¿+ (0)*з(Р); Сг,7(г-1)+7 = ^^(Р,).

Приравнивая к нулю градиент функции (14) и учитывая (13), получим систему уравнений для нахождения оптимального распределения напряжений на пьезоэлектрических накладках:

ЯТК-1С ТОК-1Я + у 1]ф = -ЯТК-1С Т (К-1Р + g), (15)

где I - единичная матрица размера 2 Nр х 2 N р.

Численные результаты

Рассмотрим криволинейную балку радиуса Я = 0,1 м, шириной Ь = 0,01 м,

-з

толщиной к = 1,061 -10 м с 20 накладками из пьезокерамики Р2Т в1195 (рис. 3). Основу балки составляет четырехслойный углепластик Л84/3501 с укладкой слоев [90/0]8. Ненулевые значения механических и пьезоэлектрических констант для углепластика Л84/3501: Ец = 143 ГПа, Е22 = Е33 = 9,7 ГПа, Vl2 = Vlз = V 23 = 0,3, ^12 = ^13 = 6 ГПа, 023 = 2 ГПа; для пьезокерамики в1195: Ец = Е22 = Е33 = = 63 ГПа, л>12 = ^*1з = У2з = 0,3, 012 = ^13 = 023 = 24,2 ГПа, аз1 = аз2 =2,54^10 м/В, азз = 3,74^10-10 м/В. Для расчетов была выбрана конечно-элементная сетка 20 х 1 и

Рис. 3. Консольная криволинейная балка

Z, мм 100

80

60

40

20

O'

1 5

I J х !

- У7

f j *

ri

і !

і /

?ф

tf

s/

г/

У

¿f

1 1

стабилизирующий параметр у = 10 9. Требуемая форма конструкции - дуга окружности радиуса Яо = 105 мм, то есть уравнение заданной поверхности имеет /2 2

вид 2 = Яо -V Яо - X . Для узлов Рі с координатами (01, 02) имеем:

do (P ) _ R) — л/Rc2 — R2 sin2 01 — R + R cos 0i

2-2 ,

dl( Pi ) =

35

70

105

х, мм

;

R cos 0i sin 0i r) — R2 sin2 01

R sin2 0i

r + cos 0

R — R2 sin2 01

Рис. 4. Решение задачи управления ¿2(Р) = 0; ^з(р-)=- _

формой для криволинейной балки: ^

- - о---исходная форма; - - □---

расчетная форма;--------------------------------------------------заданная форма Результаты решения задачи приве-

дены на рис. 4 и в табл. 1.

Во втором примере рассмотрим квадратную пластину со стороной а = 0,2 м,

—з

толщиной к = 1,061 -10 м, жестко закрепленную при х = 0 (рис. 5). Пластина изготовлена из такого же материала, что и криволинейная балка из предыдущего примера, направление укладки слоев [90/0]8. На лицевых поверхностях пластины имеется по 25 квадратных пьезоэлектрических накладок. Пластина моделируется сеткой 10 х 10 элементов, так что каждая накладка занимает 4 элемента. Ставилась задача привести пластину к форме, задаваемой уравнением 2 = 0,1х(у — а/2)

(рис. 6, а). Для узлов Рі с координатами (01, 02) имеем: ё0(р) = 0,101(02 - а/2),

ё1(Р1) = 0,1(0 2 - а/2), й2(Рг) = 0,101, й3(Рг) = -1.

На рисунке 6, б приведена деформированная форма пластины, полученная в

-12

результате решения задачи оптимизации формы при значении у = 10 . Опти-

мальные напряжения на накладках, расположенных на поверхности £ +, приведены в табл. 2. Напряжения на накладках, расположенных на поверхности £_, по абсолютной величине совпадают с приведенными в табл. 2, но имеют противоположный знак.

Таблица 1

Напряжения на пьезоэлектрических накладках для криволинейной балки, В

0

Фн ф2 ф3 ф4 ф5 ф« ^7 ф8 ф9 Ф«0

- 310 - 256 - 238 - 217 - 190 - 158 - 122 - 84 - 44 - 10

ФЬ1 ФЬ2 ФЬ3 ФЬ4 ФЬ5 ФЬ6 ФЬ7 ФЬ8 ФЬ9 ФЬ10

318 263 245 223 195 163 126 86 46 11

Таблица 2

Напряжения на пьезоэлектрических накладках для пластины, В

Фи ф2 <ït3 Фt4 Ф15 Фt6 Фt7 Фt8 Ф» ф10 ®t11 ФШ Фи3

- 252 - 181 0 181 252 - 147 - 4 0 4 147 - 137 1 0

фи4 ф15 ®t16 фи7 Фш ФШ ф20 ®t21 Ф122 ®t23 ®t24 ®t25

- 1 137 - 70 - 2 0 2 70 45 29 0 - 29 - 45

ф5 Фю ф,5 Ф20 Ф25

Ф4 Фі) Ф|4 Ф]9 Ф24

ф3 Ф8 Ф,3 Ф18 Ф23

Фт Фу Ф12 Ф,7 Ф22

Фі Фб Фи Фіб Ф21

4

tt

220 мм

/Пьезокерамика Углепластик q 553

0,254 мм

Рис. 5. Прямоугольная пластина с 50 пьезоэлектрическими накладками

z

Заключение

Приведена формулировка задачи управления формой оболочки в случае, когда требуемая форма оболочки описана аналитически заданной функцией. Для поставленной задачи реализована конечно-элементная модель, построенная на основе трехмерного оболочечного элемента точной геометрии, имеющего высокую эффективность и точность. На основе этой модели разработан программный код, позволяющий рассчитывать оптимальные напряжения на актюаторах. Проведенные численные расчеты подтверждают состоятельность предлагаемой модели и метода решения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по теме «Проведение фундаментальных исследований в области естественных, технических и гуманитарных наук» (проект № 2.1.1/10003).

Список литературы

1. Куликов, Г.М. Связанная задача электроупругости для слоистой композитной оболочки / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2010. - Т. 16, № 3. - С. 610-624.

2. Kulikov, G.M. Exact Geometry Piezoelectric Solid-Shell Element Based on 7-parameter Model / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2011. - Vol. 18, No. 2. - P. 133-146.

3. Irschik, H. A Review on Static and Dynamic Shape Control of Structures by Piezoelectric Actuation / H. Irschik // Engineering Structures. - 2002. - Vol. 24, No. 1. -P. 5-11.

4. Koconis, D.B. Shape Control of Composite Plates and Shells with Embedded Actuators. II. Desired Shape Specified / D.B. Koconis, L.P. Kollar, G.S. Springer // Journal of Composite Materials. - 1994. - Vol. 28, No. 5. - P. 459-482.

5. Kulikov, G.M. Refined Global Approximation Theory of Multilayered Plates and Shells / G.M. Kulikov // Journal Engineering Mechanics. - 2001. - Vol. 127, No. 2. -P. 119-125.

6. Kulikov, G.M. Finite Rotation Geometrically Exact Four-Node Solid-Shell Element with Seven Displacement Degrees of Freedom / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Modeling in Engineering & Sciences. - 2008. - Vol. 28, No. 1. - P. 15-38.

7. Плотникова, С. В. Применение трехмерного элемента оболочки для расчета композитных конструкций с пьезоэлектрическими накладками / С. В. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-т. - 2010. - Т. 15, № 2. - С. 380-390.

Control over the Shape of Layered Composite Shells with Piezoelectric Actuators

S.V. Plotnikova

Department “Applied Mathematics and Mechanics”, TSTU; psv@apmath.tstu.ru

Key words and phrases: a composite shell; finite element method; static control of the shape; a 7-parameter model of the shell.

Abstract: The model presented in the paper allows determining the voltage on piezoelectric actuators, approximating the shape of the structure to a predetermined one.

The problem is reduced to minimize the error function, which is defined as the difference between the deformed shape of the shell and the analytically given function of the desired shape. A mathematical model is based on the finite element equations obtained for the three-dimensional geometrically precise shell elements. Numerical examples confirm the effectiveness and reliability of the proposed model.

Steuerung von den Formen der schichtlichen Kompositmäntel mit den pjesoelektrischen Aktjuatorn

Zusammenfassung: Das vorgeschlagene im Artikel Modell erlaubt, die Spannungen auf den pjesoelektrischen Aktjuatorn zu bestimmen. Die Aufgabe führt auf die Minimisierung der Fehlerfunktion, die als Differenz zwischen der deformierten Form der Hülle und der analytisch aufgegebenen Funktion der nögen Form aufgegeben ist. Das mathematische Modell basiert auf den endelemententischen Gleichungen, die für die viereckigen feinen Elementen der Hülle erhalten sind. Die Zahlbeispiele bestätigen die Effektivität und die Sicherheit des vorschlagenden Modells.

Commande de la forme des enveloppes composites stratiformes avec des actuateurs piézo-électriques

Résumé: Le modèle présenté dans l’article permet de définir les tensions sur les actuateurs piézo-électriques approchant la forme de la construction à celle donnée préalablement. Le problème consiste dans la minimisation de la fonction de l’erreur qui est donnée comme une différence entre une forme déformée de l’enveloppe et une fonction de la forme exigée donnée analytiquement. Le modèle mathématique est fondé sur les équations élémentaires finies reçues pour les éléments géométriquement précis à quatre noeuds. Les exemples numériques affirment l’efficacité et la sécurité du modèle proposé.

Автор: Плотникова Светлана Валерьевна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и механика», ФГБОУ ВПО «ТГТУ».

Рецензент: Ярцев Виктор Петрович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Конструкции зданий и сооружений», ФГБОУ ВПО «ТГТУ».