CC BY
28
Математика. Физика
УДК 539.3
РАСЧЕТ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ НАКЛАДКАМИ С.В. Плотникова, М.Г. Куликов
Кафедра «Прикладная математика и механика», ГОУ ВПО «ТГТУ»; ки11коу@арша(Н. Ыы. ги
Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым
Ключевые слова и фразы: композитная оболочка; метод конечных элементов; пьезоэлектрик.
Аннотация: На основе теории оболочек c учетом поперечного обжатия предложена математическая модель, описывающая электроупругое состояние многослойных анизотропных оболочек с пьезоэлектрическими накладками. Разработан смешанный геометрически точный пьезоэлектрический элемент оболочки. Приведены численные примеры, подтверждающие состоятельность предложенной модели. Проведен анализ влияния размера пьезоэлектрических накладок на перемещения многослойных композитных пластин и оболочек.
Введение
В последнее время предложены различные методы расчета электроупругого состояния тонкостенных конструкций с сегментированными пьезоэлектрическими слоями, внедренными в основной материал или закрепленными на поверхностях конструкции [1-4]. Такие конструкции являются технологичными и позволяют эффективно управлять их деформациями. При создании алгоритма расчета подобных конструкций решающее значение имеет быстрота получаемого компьютерного кода, что позволяет осуществлять управление в режиме реального времени. Разработанный в работе [5] на базе [6, 7] геометрически точный элемент оболочки ОБХР4 превосходит по скорости расчета аналогичные пьезоэлектрические элементы, так как использует трехмерное аналитическое интегрирование, не требует численного обращения матриц и позволяет использовать редкие конечноэлементные сетки.
Существенной особенностью элемента ОБХР4 является использование в качестве независимых переменных перемещений, деформаций, результирующих напряжений и электрических потенциалов на лицевых поверхностях оболочки. Однако для конструкций с накладками при таком выборе переменных перемещения на лицевых поверхностях оказываются разрывными, что не позволяет применять стандартную процедуру сборки элементов в ансамбль. Отсюда следует необходимость адаптации элемента ОБХР4 для расчета конструкций с переменной толщиной.
Описание кинематики оболочки и электрического поля в пьезоэлектрике
Рассмотрим оболочку, представляющую собой композитную основу с наклеенными на лицевых поверхностях накладками из пьезоэлектрического материала. На отсчетной поверхности £ выбираем криволинейную ортогональную систему координат а1, а2, оси которой совпадают с линиями главных кривизн поверхности; е1 и е2 - единичные векторы, направленные вдоль координатных осей. Пусть е3 - единичный вектор, направленный по нормали к отсчетной поверхности; аз -координатная ось в направлении ез; 5к - координаты поверхностей раздела к-го и (к + 1)-го слоев; кь и к - толщины нижнего и верхнего пьезоэлектрических слоев (рис. 1).
Предположим, что оболочка разбита на два вида элементов: базовые, которые содержат только композитную основу, и пьезоэлектрические, которые наряду с композитной основой содержат пьезоэлектрические слои. Обозначим через N число слоев в базовом элементе. Для простоты изложения предполагаем, что пьезоэлектрические накладки расположены симметрично на обеих лицевых поверхностях основы, хотя это предположение не является принципиальным.
Пусть £_ и £ + - лицевые поверхности композитной основы элемента; и± -
перемещения точек поверхностей £_ и £ + в направлениях координатных осей отсчетной поверхности, где / = 1, 2, 3 . Используя линейную аппроксимацию перемещений по толщине оболочки, получим:
ui - N u- + N+иі ,
(1a)
N - T (dN -а3 ), N +- T (а3 -d0 ), hh
(1b)
где к - толщина композитной основы; а3 е [80 - кь, 5N + к ] - для пьезоэлектрического элемента; а3 е [5о, 5N ] - для базового элемента.
На лицевых поверхностях элемента определены тангенциальные £±ф и поперечные 3 деформации, а также деформация поперечного обжатия 833 на от-счетной поверхности [5]:
Рис. 1. Композитная оболочка с пьезоэлектрическими накладками
_
^aa _
Ua
A
V Aa J, a
+ Baaua + BaPUP + kau3 (P ^ a), (2b)
1_Pa = I u± I + Baau± — BaPua (p ^ a),
V Aa J,a
qa = — u± j — Baau3 + ka«a , P = 1 (u+ — u—I
BaP = ~T~Aa,P, Va = 1 + kad ,
Aa A
где Aa и ka - коэффициенты Ламе и главные кривизны отсчетной поверхности; индексы a, P принимают значения 1, 2.
Используем линейную аппроксимацию тангенциальных и поперечных касательных деформаций по толщине оболочки, деформация поперечного обжатия полагается постоянной по толщине:
eaP = N eaP+N+eaP, ea3 = N ea3 +N+ea3, e33 = e33. (3)
Предполагаем также, что для пьезоэлектрических элементов электрический потенциал фг (ab a2), где l = b, t, имеет линейное распределение по толщине пьезоэлектрического слоя:
jl = Nj—+ N+j+, (4а)
Nb = "I- (d0 — a3 X N+ = "I- (a3 — d0 + hb), (4b)
hb hb
Nt = ~T (dN + ht — a3 ), N+ = ~T (a3 — dN X
ht ht
где j± (a1, a2) - значения электрического потенциала на верхней и нижней поверхностях l-го пьезоэлектрического слоя.
Построение матрицы жесткости элемента
При построении матрицы жесткости пьезоэлектрических элементов используем уравнения состояния пьезоэлектроупругости [8]:
e = Ao + dTE, (5)
D = do + C E, (6)
D = [A D2 D3] T, E = [£1 E2 E3] T,
a = [°11 o22 o33 o23 o13 o12] T, e = [e11 e22 e33 2e23 2e13 2e12 ] ,
где Б - вектор смещения электрического поля, Е - вектор напряженности электрического поля; d - матрица пьезоэлектрических констант; £ - матрица диэлек-
трических констант; о - вектор напряжений; е - вектор деформаций. Рассматриваем здесь пьезоэлектрический слой как моноклинный кристалл (класс 2), обладающий осью второго порядка параллельной оси аз. В этом случае матрицы d и £ могут быть записаны в виде
(7)
А = С - матрица податливостей материала при постоянном электрическом поле, где С - матрица упругих констант, имеет вид
А11 А1:
А.о
" 0 0 O dl4 dl5 0 " ' Z11 Cl2 0 "
d= 0 0 O d24 «О 2 ^3 0 , z= 2 2 0
_d3l 2 з Чз з з Чз O O I 40 з Чз sym. Сзз.
A=
A13 0 0 A16
A23 0 0 A26
0 0 A36
A44 «о 4 0
«о «о 0
б б
(8)
зуш.
Для преодоления Пуассоновского запирания элемента оболочки, возникающего при ненулевых коэффициентах Пуассона, вводится модифицированная матрица А [9], которая получается из матрицы А отбрасыванием подчеркнутых членов. Разрешая далее уравнение (5) относительно напряжений, получим
о = Ce-eT E,
C=A
-l
e = dC.
(9)
(lO)
Электрическое поле Е может быть выражено через потенциал ф как
Е = -Уф. (11)
Используем билинейную конечноэлементную аппроксимацию перемещений и потенциала электрического поля:
1т
(12а)
= Z NrVr, V r = Ulr u+r U2r u+r u-r u+r ]
r
Fl = Z Nr jlr, jlr =[j-r j+r ] T
(12b)
где Ыг - билинейные функции формы элемента; г = 1,4 - номер узла в элементе. Используя аппроксимации (12), получим конечноэлементный аналог соотношений (2) и (11):
Е = X ХГ1 Х22 вМ2 V, ^ = X ХГ1 Х22 вГ ф і, (13)
г1,г2 Г ,г2
V = [V?' V? V? V? ]Т, фі = [фТ1 ф/2 Ф/3 Ф/4 ]Т , ^і = [е11 е12 еіз]Т ,
Е = [є11 е+1 е22 е22 2е1 2 2е+2 2є13 2є13 2е23 2е+3 е33] ,
где ВМ"2 и ВЕГ2 - постоянные на элементе матрицы, индексы "1, Г2 здесь и далее принимают значения 0 и 1; Ха є [_ 1,1] - нормализованные криволинейные координаты.
r
Используя смешанный функционал Ху-Васидзу [5], интегрируя по объему элемента и разрешая полученные при варьировании функционала уравнения относительно неизвестных векторов перемещений и потенциалов, получаем условия равновесия пьезоэлектрического элемента:
(14)
1 K M K(t) K ME K(b) K ME " V " FB + FS
K(t )t K ME K(t) K E O8x8 F t - O8xi
K (b)T K ME O8x8 1 Fb _ _ O8xi _
где
K м -
I (вM2)TQrir2 (Qrir2)TDмQrir2 (qrir2)TвMr2:
ri, r2 3
KMe - 13^(вMr2)TQrir2 (Qrir2)Td!MeBEr2: r1, r2 3
K IE ’-1 -tV (BEr! )T “IE )BEr2.
ri,r2 3
(i5a) (i 5b) 05с)
Здесь Ев и - действующие на элементе объемные и поверхностные нагрузки; 0°° - единичная матрица порядка 11 х 11. Проективные матрицы Q’lr’2 имеют вид:
Q
oi
i o o o o" 0 o o o o" 'o'
o i o o o o o o o o o
o o o o o i o o o o o
o o o o o o i o o o o
o o o o o o o o o o o
o o o o o , Qi() - o o o o o , Qu - o
o o i o o o o o o o o
o o o i o o o o o o o
o o o o o o o i o o o
o o o o o o o o i o o
o o o o i o o o o i i
Определим также материальные матрицы:
D
м
Г
oo
11
Doi
Г11
Г)П
Г11
Г oo ri2 roi ri2 Г oo Г22
sym.
roi ri2 roo Г16 S;2 Q o o o o o
rii ri2 Г oi Г16 Г11 Г16 o o o o o
2 o Ю 1 roo Г26 Г oi Г26 o o o o o
Г11 Г22 Г oi Г26 Г11 Г26 o o o o o
roo Г66 Г oi Г66 o o o o o
Г11 Г66 o o o o o
Г oo Г55 roi Г55 roo Г45 Г oi Г45 o
Г11 Г55 roi Г45 Г11 Г45 o
roo Г44 Г oi Г 44 o
Г11 Г 44 o
Г33
D
(l) _
ME _
D
(l)_
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
m?0^ m'M? ml°el4 ml0le1(5) WMs m^ mlM4 ml00eil5) mj°e25 m,00e(l) ml e24 10 (l) mi e24 ml0le2l5) mi11e2l) m,0le(l) ml e24 m\le24
0 0 0 0
00 p(l) fcll k0l G(l) kl Gll k,ll e(l) kl Gll k 00 e(l) kl fcl2 k 01 e(l) kl el2 k,00 e(l) kl fc22 k 01 e(l) kl fc12 k,u e(l) kl e12 k ,01 e(l) kl 22 k11 e(l) Kl t rsrs
0 (l)
- ni e31
1 (i)
- nle31
0 (i)
- ni e\J.
- n/42
- n?D
- nl4l6
0
0
0
0
-4Ч"1
0
0
0
0
-h- e3l3
0 (l) '
ni e3i
l (l)
n/e3i
0 (l) ni e\l
n/eg
nfj
nle3l6) 0 0
0
0
0
A-1
0 0 0 0
irl e(l)
sym.
- h- e(l)
33
(l
33
_ z«г2c$+«гc$+«;ir2D33 _ x^^ k _i
k _i
,k"2 _ J (w-)2-'-'2 (,v+)'l+r2d%.
dk-l
,r _ J (v-)2(v + )r-*'2 do,. <"2 _ J (v-)2(v + )^ do,.
60 -hb
6 v
6v + ht
Ь _IT J (v-)1-ri (v+)ri d«3, n[l _h- J (v-)l-ri (vf+)
hb Я ht x._
/f+) ri d«3,
60 -hb
kbr2 _- J (v-)2-ri -r2 (vb+)ri +r2 d«3, ktrir2 _- J -r2 v+)
60 -hb 6
60
rl + r2
d&3
'N
mP _ J(v■)l"ri (v +)ri (v-)1"'2 (v+)r2 d«3 60 -hb
6 v +ht
tp _ J (v“p (v +)Г (v-)1-'2 (v+)Г2 d«3.
k
6
6
v
Рассмотренные в статье примеры относятся к так называемым актюаторным проблемам, когда на электродах на внешних поверхностях пьезоэлектрических накладок подается заданное напряжение, а на поверхностях склейки композитной основы и пьезоэлектрических слоев напряжение принимается равным 0. Для таких задач конечноэлементное уравнение (14) упрощается и может быть записано в виде
К м V = -К ЦЕф, - к МЕфь + ^. (16)
Далее применяется стандартная процедура сборки элементов в ансамбль и решение полученной системы линейных уравнений методом Холецкого.
Численные результаты и их обсуждение
Рассмотрим задачу цилиндрического изгиба консольной пластины из углепластика с накладками из Р2Т-5Л, прикрепленными к нижней и верхней поверхностям пластины (рис. 2), где Ь = 1 м, Н = 0,1 м. Актюаторы поляризованы в направлениях аз и -а3. К поверхностям а3 =-Н /2 и аз = Н /2 приложены равные электрические потенциалы фо (задача растяжения) либо потенциалы ± фо (задача изгиба). Ненулевые механические и пьезоэлектрические константы материалов приведены в табл. 1. Задача моделировалась сеткой 8 х 1. На рис. 3 приведены
0,1 я
0,8 Я
а.
' L/4 L/2
Т
Рис. 2. Консольная пластина с пьезоэлектрическими накладками
Таблица 1
Механические и пьезоэлектрические константы углепластика и пьезоэлектрика Р7Т-5Л
Константа Углепластик PZT-5A
Си, Па 18з,44зі 09 99,201 109
С22 11,бб2109 99,201 109
Сзз 11,бб2109 8б,85б109
С12 4,збз • 109 54,01б109
Сіз 4,збзі09 50,778-109
С2з з,918109 50,778-109
С44 2,870-109 21,100-109
С55 7,170-109 21,100-109
Сбб 7,170-109 22,59з-109
d32, м/В 0 -17110-12
dзз 0 з74-10-12
d24, d15 0 584-1012
u3
500
400
300
Ui
200
0,25 0.5
а)
0.75 1
a1/L
a1/L
б)
Рис. 3. Перемещения консольной пластины с пьезоэлектрическими накладками:
а - задача изгиба; б - задача растяжения; - - ОЕХР4;
□ - трехмерное решение [2]; о - решение на основе СРЬТ [2]
0
безразмерные перемещения и~к =------------, где в0 = dзlCll+dз2Cl2+dззClз=
e0j0
= -7,209 К/м2, Со = 99,201 • 109 Па для задачи изгиба (к = з) и растяжения (к = 1). Приведено сравнение с полученными в [2] трехмерным аналитическим решением и аналитическим решением, полученным на основе классической теории многослойных пластин (CPLT). Как видим, наблюдается хорошее согласование с решением на основе CPLT. Отличия от точного трехмерного решения достигают максимума на свободном конце пластины и составляют 10 % в задаче изгиба и 1з % в задаче растяжения.
В следующем примере рассмотрена консольная квадратная шестислойная пластина из углепластика Тз00/976 с накладками из пьезоэлектрика PZT G1195 (рис. 4, а) с а = 0,254, b = 0,254 , h = 0,828 , ht = hj = 0,254 . Ненулевые механические и пьезоэлектрические константы материалов приведены в табл. 2. Ориентация слоев в углепластике [з0/з0/0/0/з0/з0] приводит к существенному проявлению эффекта анизотропии. К внешним поверхностям пьезоэлектрических слоев приложен электрический потенциал ± 100 В. Задача моделировалась сеткой 20 х 20. Исследовалось влияние относительной длины l/а пьезоэлектрической накладки на безразмерные перемещения на свободном конце пластины Мз(а)= из(а, b/2)/b и w(а)= (из(а,b) - из(а,0))/b . Из рис. 5 видим, что эти зависимости не являются монотонными. Приведено сравнение с результатами из [4], полученными на основе теории пластин Кирхгоффа путем использования метода Ритца. Отличие в результатах может быть объяснено различными методами решения. На рис. 6 приведены безразмерные перемещения Мз = из (a1, b /2)/ b и w = (из(abb)- из(ab0))/b для случая l/а = 0,5. Как видим, зависимость перемещения от координаты носит сложный характер, что трудно учесть при использовании метода Ритца.
а) 6)
Рис. 4. Шестислойная консольная пластина (а) и цилиндрическая оболочка (б) с пьезоэлектическими накладками
Таблица 2
Механические и пьезоэлектрические константы углепластика Т300/976 и пьезоэлектрика Р7Т 01195
Константа T300/976 PZT G1195
E11, Па 150109 63 109
^, E33, Па 9109 63 109
v 0,3 0,3
G12, G13, Па 7,1 • 109 24,2109
а С сп 2 3109 24,2-109
d31, d32, м/В 0 254-1012
%3(a), w3(a)
Рис. 5. Влияние длины пьезоэлектрических накладок на перемещения на свободном конце пластины:
------~3 (а) (ОЕХР4);----------т~3 (а) (ОЕХР4);
□ - ~з (а) [4]; о - т~з (а) [4]
Далее решалась аналогичная задача, но вместо пластины рассматривалась цилиндрическая оболочка (рис. 4, б). Расчеты проводились при К/Ь = 10 и К/Ь = 100. Как видим (рис. 7), при увеличении кривизны &2 значения перемещений уменьшаются. Для оболочки с большей кривизной в диапазоне от 1/а = 0,2 до 1/а = 0,9 перемещение 1~з (а) практически не меняется, а ~з (а) растет медленно.
из, w з
Рис. 6. Зависимость перемещений пластины от координаты при 1/а = 0,5:
------~3 (ОЕХР4);---~~3 (ОЕХР4)
%з(а), w 3(a)
Рис. 7. Влияние длины пьезоэлектрических накладок на перемещения на свободном конце цилиндрической оболочки:
------~3 (а) (ОЕХР4);---------~~3 (а) (ОЕХР4)
Заключение
Построенная конечно-элементная модель для расчета электроупругого состояния оболочек с переменной толщиной позволяет решать задачи для пластин и оболочек с пьезоэлектрическими накладками. Данная модель является эффективной и достаточно точной. На ее основе может быть создан код, позволяющий в режиме реального времени управлять деформациями конструкций.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 2.1.1/660).
Список литературы
1. Crawley, E.F. Induced strain actuation of isotropic and anisotropic plates / E.F. Crawley, K.B. Lazarus // AIAA Journal. - 1991. - Vol. 29. - P.944-951.
2. Vel, S.S. Analysis of piezoelectric bimorphs and plates with segmented actuators / S.S. Vel, R.S. Batra // Thing-Walled Structures. - 2001. - Vol. 39. - P. 23-44.
3. Wang, B.T. Laminate plate theory for spatially distributed induced strain actuators / B.T. Wang, C.A. Rogers // Journal of Composite Materials. - 1991. -Vol. 25. - P. 433-452.
4. Kioua, H. Piezoelectric induced bending and twisting of laminated composite shallow shells / H. Kioua, S. Mirza // Smart Materials and Structures. - 2000. - Vol. 9. -P. 476-484.
5. Kulikov, G.M. Geometrically exact four-node piezoelectric solid-shell element / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. -2008. - Vol. 15. - P. 199- 207.
6. Kulikov, G.M. On the use of 6-parameter multilayered shell models in structural mechanics / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2004. -Т. 10, № 4А. - С. 1042-1052.
7. Kulikov, G.M. Geometrically exact assumed stress-strain multilayered solid-shell elements based on the 3D analytical integration / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computers & Structures. - 2006. - Vol. 84, № 19-20. - P. 1275-1287.
8. Новацкий, В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новацкий. -М. : Мир, 1986. - 160 с.
9. Ausserer, M.F. An eighteen-node solid element for thin shell analysis / M.F. Ausserer, S.W. Lee // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1998. - Vol. 26. - P. 1345-1364.
Calculation of Composite Shells with Piezoelectric Plates
S.V. Plotnikova, M.G. Kulikov
Department “Applied Mathematics and Mechanics ”, TSTU; kulikov@apmath. tstu. ru
Key words and phrases: composite covering; finite elements method; piezoelectric.
Abstract: The paper presents the mathematical model based on the shell theory with regard for transverse contraction; it describes electro-resistant condition of multilayer anisotropic shells with piezoelectric plates. The mixed geometrically accurate
piezoelectric element of the shell is designed. The numerical examples confirming the viability of the proposed model are given. The analysis of the effect of the piezoelectric plate size on the movement of multi-layer composite plates and shells is carried out.
Berechnung der Kompositenumhullungen mit den piezoelektrischen Belagen
Zusammenfassung: Auf Grund der Umhullungentheorie mit Rucksicht auf die Querverformung ist das mathematische Modell, das den elektroelastischen Zustand der vielschichtigen anisotropen Umhullungen mit den piezoelektrischen Belagen beschreibt, vorgeschlagen. Es ist das gemischte geometrisch feine piezoelektrische Element der Umhullung erarbeitet. Es sind die Zahlbeispiele, die die Stichhaltigkeit des vorgeschlagenen Modells bestatigen, angefuhrt. Es ist die Analyse des Einflufles der Grofle der piezoelektrischen Belage auf die Umstellungen der vielschichtigen Kompositplatten und Umhullungen durchgefuhrt.
Calcul des enveloppes composites avec des plaques piezoelectriques
Resume: A la base de la theorie des enveloppes et compte tenu du serrage transversal a ete propose un modele mathematique decrivant l’etat electrique et flexible des enveloppes multicouches anisotropes avec des plaques piezoelectriques. Est elabore un element geometrique precis mixte piezoelectrique de l’enveloppe. Sont cites les exemples numeriques confirmant la valeur du modele propose. Est effectuee une analyse de l’influence de la dimension des plaques piezoelectriques sur les deplacements des plaques et des enveloppes composites.
Авторы: Плотникова Светлана Валерьевна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и механика»; Куликов Михаил Геннадьевич - аспирант, ГОУ ВПО «ТГТУ».
Рецензент: Коновалов Виктор Иванович - доктор технических наук, профессор кафедры «Химическая инженерия» ГОУ ВПО «ТГТУ».
