CC BY
31
УДК 539.3
ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕХМЕРНОГО ЭЛЕМЕНТА ОБОЛОЧКИ ДЛЯ РАСЧЕТА КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ НАКЛАДКАМИ
С.В. Плотникова, М.Г. Куликов
Кафедра «Прикладная математика и механика», ГОУ ВПО «ТГТУ»; киИкоу@артаЖ. tstu.ru
Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым
Ключевые слова и фразы: композитная оболочка; метод конечных элементов; пьезоэлектрические накладки; 7-параметрическая модель оболочки.
Аннотация: Представлена математическая модель, описывающая электро-упругое состояние многослойных анизотропных оболочек с пьезоэлектрическими накладками, построенная на основе 7-параметрической теории оболочек и позволяющая использовать трехмерные уравнения состояния. Разработан смешанный геометрически точный четырехузловой пьезоэлектрический элемент оболочки. Приведены численные примеры, подтверждающие состоятельность предложенной модели.
Введение
Эффективным современным методом управления формой композитных тонкостенных конструкций является использование пьезоэлектрических накладок, внедренных в основной материал или закрепленных на поверхностях. В настоящее время активно разрабатываются аналитические и численные методы расчета таких конструкций [1-3]. В работе [4] для этих целей был разработан геометрически точный элемент оболочки вБХР4, построенный на базе 6-параметрической теории оболочек с учетом поперечного обжатия. Эта модель позволяет построить конечный элемент, свободный от пуассоновского, мембранного и других видов запирания, и может являться базой для построения геометрически нелинейной модели. Однако в таком элементе приходится использовать упрощенное уравнение состояния пространственной теории упругости [5], что для пьезоэлектрического элемента также приводит к искажению уравнения электроупругого состояния.
Избавиться от этого недостатка позволяет использование 7-параметрической теории оболочек, в которой в качестве независимых переменных выбираются по три перемещения на лицевых поверхностях оболочки и поперечное перемещение серединной поверхности оболочки. Построенный в [6] на базе этой теории смешанный элемент вБХ7Р4 продемонстрировал высокую эффективность и точность при расчете упругого напряженного состояния. В работе [7] предложено обобщение элемента вБХ7Р4 для расчета электроупругого состояния конструкций с распределенными пьезоэлектрическими слоями. В настоящей работе предлагается модификация элемента вБХ7Р4, позволяющая рассчитывать композитные конструкции с пьезоэлектрическими накладками.
Описание кинематики оболочки
Рассмотрим оболочку, состоящую из композитной основы и наклеенных на лицевых поверхностях накладок из пьезоэлектрического материала. На отсчетной поверхности £ выбираем криволинейную ортогональную систему координат 01,
02, оси которой совпадают с линиями главных кривизн поверхности; е1 и е2 - единичные векторы, направленные вдоль координатных осей. Пусть е3 - единичный вектор, направленный по нормали к отсчетной поверхности; 03 - координатная ось в направлении е3; 5к - координаты поверхностей раздела к-го и (к+1)-го слоев, къ и к - толщины нижнего и верхнего пьезоэлектрических слоев (рис. 1).
Разобьем оболочку на два вида элементов: базовые, которые содержат только композитную основу, и пьезоэлектрические, которые наряду с композитной основой содержат пьезоэлектрические слои. Обозначим через N число слоев в базовом элементе. Для простоты изложения предполагаем, что пьезоэлектрические накладки расположены симметрично на обеих лицевых поверхностях основы, хотя это предположение не является принципиальным.
Пусть £- и £ + - лицевые поверхности композитной основы элемента; и± -
перемещения точек поверхностей £_ и £ + в направлениях координатных осей
и ‘1^0 М и
отсчетной поверхности, где г = 1, 2, 3; и - перемещения точек серединной поверхности в направлении 03. Для тангенциальных перемещений используем линейную аппроксимацию по толщине оболочки, а для поперечного - квадратичную аппроксимацию:
где к - толщина композитной основы, 0 3 е [8 0 - къ, 8 N + Н1 ] для пьезоэлектриче-
иа = N иа + N+иа, u3 = L u3 + LMu3M + L+ u+ ,
(l)
(2)
ского элемента, 03 е [8 0, 8 N ] для базового элемента, а = 1, 2. Согласно [6], для деформаций применяем аппроксимации:
(3)
Рис. 1. Композитная оболочка с пьезоэлектрическими накладками
где е± (9 ь 9 2) - деформации лицевых поверхностей оболочки:
О ± ±Л ± ±^ ± ± ГЭ±
2еар — са^ар + ср ^ра, е33 — в3 ,
О ± ±гз± ^ ±
2еа3 — сава + ^3а,
где
Л ± _ 1 ^ п ±|7 ±
Ааа - "Л ма,а + вармр + к-и3
■Лгч
гаи3 •
Ца
Л
1 --± в ± р,а варма
(Р*а)
л ± _ 1 ± 1 ±
^3а — Л м3,а — кама, Ла
Р-—1 (-3м-+ 4им -м+), р+—1 (
— — ( -4мм + 3м+),
^ г г г ’
м
_ (ма + ма);
2
сА — 1 + ка§А,
Вар
1
Ла Лр
Л
(5)
где Ла и ка - коэффициенты Ламе и главные кривизны отсчетной поверхности;
индексы а , р принимают значения 1, 2; 8- — 80, 8+ —8К , индекс А характеризует принадлежность величины к внешним поверхностям и принимает значения «-» или «+».
Уравнения состояния и описание электрического поля
При построении матрицы жесткости пьезоэлектрических элементов используем уравнения состояния пьезоэлектроупругости [8]:
в — Аст + dт Е, (6)
Б — dст + Z Е, (7)
Б — [ £ £>3]Т, Е — [ Е2 Е3]т,
ст — [ст11 ст22 ст33 ст23 ст13 ст12^ в — [е11 е22 е33 2е23 2е13 2е12] Т = где Б - вектор смещения электрического поля; Е - вектор напряженности электрического поля; ст - вектор напряжений; в - вектор деформаций; А = С - матрица податливостей материала при постоянном электрическом поле, а С - матрица упругих констант; d - матрица пьезоэлектрических констант; £ - матрица
диэлектрических констант. Рассматриваем пьезоэлектрический слой как моно-
клинный кристалл (класс 2), обладающий осью второго порядка параллельной оси 93. В этом случае матрицы d и £ могут быть записаны в виде
(8)
Разрешая уравнение (6) относительно вектора напряжений и введя его в (7), получим альтернативную форму уравнений электроупругого состояния:
" 0 0 0 <Ли й?15 0 " "Си С12 0 "
d — 0 0 0 СА 43 Ш еч Чз 0 , с— 2 2 0
_^31 3 3 3 43 0 0 1 ЧС 3 Буш. С33 _
ст — Св - еТЕ
Б — ее+ е Е,
(9)
(10)
е — dc, е— с - аса7.
Предполагаем, что для пьезоэлектрических элементов электрический потенциал ф / (91,9 2), где / — Ь, /, имеет линейное распределение по толщине пьезоэлектрического слоя:
Ф1 — Щф! + ^+ф+, (11)
^ь — ~ (80 -93X — — (93 -80 + кь X (^2)
кЬ кЬ
N7 — -1(8N + к-93), Ж+— (93 -8N),
где ф±(91,92) - значения электрического потенциала на верхней и нижней поверхностях 1-го пьезоэлектрического слоя.
Вектор напряженности электрического поля Е может быть выражен через потенциал ф как
Е — -Уф, (13)
что приводит к аппроксимациям:
Е/± — - — ф±а, Е13 — - к (ф+-фД (14)
Ла /
при этом компоненты вектора напряженности Е1, Е2 имеют линейное распределение по толщине пьезоэлектрического слоя, а компонента Е3 постоянна по толщине слоя.
Построение матрицы жесткости элемента
Используем билинейную конечноэлементную аппроксимацию перемещений и потенциала электрического поля
v
r
— XN.V. , V. — [м1г м+. М2Г м+г М3Г м^+г м3Г ] , (15)
Ф/ — X Ыгф/г, ф/г — [ф-. ф+г ] T, (16)
г
где N. - билинейные функции формы элемента; г —1,4 - номер узла в элементе. Используя аппроксимации (15), (16), получим конечноэлементный аналог соотношений (4) и (13):
Е — Х5?522 вмг2 V, Т/ — Х??? В<Е/),Г2 Ф/ • (17)
П,г2 г1,г2
V — [ VТ У3т VТ] Т , Ф/ — [ ф/2 фТ3 ф/4] Т , ] — [е-1 Е +1 Е-2 Е+2 Е/3]Т,
Е -[є11 є1~1 є22 є22 є33 є33 2є12 2є12 2є13 2є23 ] ,
где В^р и ВЕ)Г1Г2 - постоянные на элементе матрицы, индексы Гі, Г2 здесь и далее принимают значения 0 и 1, |а є [-1,1] - нормализованные криволинейные координаты.
Используя смешанный функционал Ху-Васидзу, интегрируя по объему элемента и разрешая полученные при варьировании функционала уравнения относительно неизвестных векторов перемещений и потенциалов, получаем условия равновесия пьезоэлектрического элемента:
(18)
1 к М к () к МЕ к () к МЕ " V " ®в +
к ()Т к МЕ к() к Е °8х8 Ф г - °8х1
к (Ъ)т к МЕ °8х8 1 а Ф Ъ _ _ °8х1 _
K(/) МЕ!
KЕ) приведены в [4]; FB и - действующие на эле-
где матрицы К м
менте объемные и поверхностные нагрузки. Определим материальные матрицы:
Б
М
п00 п01 п11 п11 00 п п01 п00 п12 п13 п01 п13 п00 п1б п01 п16 0 0
пи п11 п01 п12 п11 п 01 п12 п13 п11 п13 п01 п1б п11 п16 0 0
п 00 п22 п01 п00 п22 п23 п01 п23 п00 п26 п01 п26 0 0
п11 п01 п22 п23 п11 п23 п01 п26 п11 п26 0 0
п00 и33 п01 п33 п00 п36 п01 п36 0 0
п11 п33 п01 п36 п00 п66 п11 п36 п01 п66 п11 п66 0 0 0 0 0 0
П55 П45
8уШ. П44 _
0 0 0 0 0 (/)! Щ/ е31
0 0 0 0 1 (/) п/е31
0 0 0 0 0 (/) Щ е32
0 0 0 0 1 () е32
II _ К 33 о 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (/) щ е33 1 (/) Щ е33 ,
0 0 0 0 0 (/) щ е36
0 0 0 0 1 (/) Щ/е3б
0 (/) т е15 1 () 0 (/) т/ е15 т/е25 1 (/) т/е25 0
0 (/ ) т/ е\4 1 () 0 (/) т/е14 т/е24 1 (/) т/е24 0
Б(/ ) -бе -
*00 е(/) ,01 е(/)
к/ е11 к/ е11
*11 е(/) к/ е11
к00 Л) к?1 ^)
к/ с12
к,~ е(/) к/ е12
к,П е(/) к/ 22
к?1 е(/) к/ 12
к11 е(/) к/ е12 к?1 е(/) к/ 22
к11 е(/) / 22
8уШ.
0
0
0
0
- к е(/) к/ е33.
(19)
N N
ПГ1Г2 - V1 ЩГ1Г2 С(к) + „Г1Г2 С(Ъ) + пг1г2 С() П , - V к, С(к) + (Ъ) + к С(г)
ПаЪ _^Щк СаЪ + ПЪ СаЪ +Щ СаЪ , ПаЪ _^ ккСаЪ + кЪСаЪ + к?СаЪ
к-1
к-1
выражения для п^2, «р, «Г2, П?, ир, кГ приведены в [4].
Рассмотренные примеры относятся к так называемым актюаторным проблемам, когда на электродах на внешних поверхностях пьезоэлектрических накладок подается заданное напряжение, а на поверхностях склейки композитной основы и пьезоэлектрических слоев напряжение принимается равным 0. Для таких задач конечноэлементное уравнение (18) упрощается:
Далее применяется стандартная процедура сборки элементов в ансамбль и решение полученной системы линейных уравнений методом Холецкого.
Рассмотрим задачу цилиндрического изгиба консольной пластины из углепластика с накладками из пьезокерамики Р2Т-5Л, прикрепленными к нижней и верхней поверхностям пластины (рис. 2), где длина пластины а -100 мм, толщина основы кс - 8 мм, толщина накладок из пьезоэлектрика кр2т -1 мм. Ак-тюаторы поляризованы в направлениях 93 и -93. К поверхностям 93 - -к/2 и 93 - к/2, где к - кс + 2кр2т , приложены равные электрические потенциалы ф0
(задача растяжения) либо потенциалы ± ф0 (задача изгиба).
Ненулевые механические и пьезоэлектрические константы материалов приведены в [4], пьезоэлектрические константы Р2Т-5Л: в31 = в32 = -7,209 Кл/м2, в33 = 15,118 Кл/м2. Задача моделировалась сеткой из 16 элементов. На рис. 3
показаны безразмерные перемещения
~ , где С0 = 99,201-109 Па,
в0 - -7,209 Кл/м2 для задачи изгиба (к - 3) и растяжения (к - 1). Приведено сравнение с полученными трехмерным аналитическим решением [2] и с конечноэлементным решением на основе 6-параметрической теории оболочек [4]. Как видим, решение на основе 7-параметрической теории оболочек лучше согласуется с точным решением.
В следующем примере рассмотрена консольная прямоугольная композитная пластина с 30-ю накладками из пьезокерамики Р2Т в1195 (рис. 4). Основу пластины составляет 6-слойный углепластик Л84/3501 с различными направлениями укладки слоев, ненулевые механические и пьезоэлектрические константы материалов приведены в табл. 1. К внешним поверхностям пьезоэлектрических слоев
KMV = _KME^ _ K(ME^ + FB + FS.
(20)
Численные результаты и их обсуждение
Wo
0
од я
0,8 Я
и 4
U2
0,1 Я
L
Рис. 2. Консольная пластина с пьезоэлектрическими накладками
щ
а)
б)
Рис. 3. Перемещения консольной пластины с пьезоэлектрическими накладками:
а - задача изгиба; б - задача растяжения;
• - ОЕХ7Р4; —0------ОЕХ6Р4; □ - точное решение [3]
15,2 1
2,5 см
1
►
N
03. Пьезокерамика к.
Г
0,25 мм
Углепластик
0.83 мм □ 1
—5,1 гаН*-"
- 29.2 см
Т 01
Рис. 4. Консольная пластина с 30-ю пьезоэлектрическими накладками
(Геометрия и конечноэлементная сетка)
приложен электрический потенциал ± 157,6 В для пластины с ориентацией слоев [0/±45]8 и ± 188,8 В для пластины с ориентацией слоев [302/0]8. Эта задача исследовалась экспериментально в [1], а также численно с помощью различных конечноэлементных моделей.
На рис. 5 приведены безразмерные перемещения м = М3 (01, Ь/2)/Ь и ™2 = (мз(01,Ь)-Мз(01,О))/Ь , где а - длина пластины, Ь - ее ширина (сетка 16x10). Приведено сравнение с результатами эксперимента из [1] и с результатами конечноэлементного расчета на основе послойной теории оболочек [9]. Получено
Таблица 1
Механические и пьезоэлектрические константы углепластиков и пьезоэлектриков
Константа Углепластик Углепластик Пьезокерамика Пьезокерамика
AS4/3501 [2] PZT G1195 PZT 4
Eli, Па 143-109 132,4-109 63-109 81,3-109
E22, Па 9,7-109 10,8-109 63-109 81,3-109
E33, Па 9,7-109 10,8-109 63-109 64,5-109
v12 0,3 0,24 0,3 0,33
V13 0,3 0,24 0,3 0,43
v23 0,3 0,49 0,3 0,43
G12, Па 6-109 5,6-109 24,2-109 30,6-109
G13, Па 6-109 5,6-109 24,2-109 25,6-109
G23, Па 2-109 3,6-109 24,2-109 25,6-109
^31, d^2, м/В 0 0 254-10-12 -122-10-12
d33, м/В 0 0 374-10-12 285-10-12
а)
б)
в)
г)
Рис. 5. Перемещения wi (а), w2 (б) консольной пластины [0/45/—45]s с 30-ю пьезоэлектрическими накладками и wi (в), w2 (г) консольной пластины [30^0] с 30-ю пьезоэлектрическими накладками:
------GEX7P4;---------Tan, Vu-Quoc [9]; □ - Crawley, Lazarus [1]
92
Рис. 6. Консольная цилиндрическая оболочка с пьезоэлектрическими накладками
(Геометрия и конечноэлементная сетка)
удовлетворительное совпадение с результатами эксперимента; практически полное совпадение с результатами расчета на такой же сетке указывает на то, что использование более сложных аппроксимаций для перемещений и деформаций, чем предложенные в данной работе, не приводит к улучшению результата.
В третьем примере рассматриваем оболочку, представляющую собой половину цилиндра (Я = 0,291 м; а = 0,1524 м), жестко закрепленную по прямолинейной границе (рис. 6). Основу оболочки составляет 8-слойный углепластик с ориентацией слоев [0/90/+45/—45]8 (углы отсчитываются от направления 02), толщина слоя 0,12 мм. На лицевых сторонах закреплены 8 накладок из пьезокерамики Р2Т4 толщиной 0,24 мм. Ненулевые механические и пьезоэлектрические константы материалов приведены в табл. 1. К внешним поверхностям накладок приложен электрический потенциал ± 50 В. На рис. 7 показаны перемещения серединной
^2-10 3, ^3-10 3, м
02, град
Рис. 7. Перемещения цилиндрической оболочки с 8 пьезоэлектрическими накладками:
- w2 (ОБХ7Р4); — □---w3 (ОБХ7Р4);----w2 [10];-------w3 [10]
линии оболочки w3 = u3(a/2,02) и W2 = U2(a/2,02). Приведено сравнение с результатами из [1Q], полученными на аналогичной сетке методом конечных элементов, построенным на основе теории оболочек без учета поперечного обжатия. Незначительное расхождение результатов может быть объяснено использованием различных теоретических моделей.
Далее для этой оболочки исследовался вклад каждой пары накладок на перемещения серединной линии в окружном и поперечном направлениях. Рассматриваются следующие четыре задачи: к углепластиковой основе прикрепляется одна пара накладок (I, II, III или IV), то есть накладки занимают 2Q % поверхности оболочки. На рис. 8 приведены перемещения, соответствующие такому расположению накладок. Как видим, на перемещения на свободном конце в окружном направлении наибольшее влияние оказывает накладка I, а на перемещения на свободном конце в поперечном направлении - накладки II и III. Таким образом, варьируя расположение пьезоэлектрических накладок, можно управлять формой конструкции.
Заключение
Построенная конечноэлементная модель для расчета электроупругого состояния оболочек переменной толщины позволяет решать задачи для пластин и оболочек с пьезоэлектрическими накладками. Использование уравнений состояния пространственной теории электроупругости позволяет получать решения, достаточно близкие к точным. Данная модель может служить основой для построения алгоритма управления формой адаптивных конструкций.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 2.1.1/660).
Список литературы
1. Crawley, E.F. Induced strain actuation of isotropic and anisotropic plates / E.F. Crawley, K.B. Lazarus // AIAA Journal. - 1991. - Vol. 29. - P. 944-951.
2. Vel, S.S. Analysis of piezoelectric bimorphs and plates with segmented actuators / S.S. Vel, R.S. Batra // Thing-Walled Structures. - 2001. - Vol. 39. - P. 23-44.
3. Analysis of laminated composite beams and plates with piezoelectric patches using the element-free Galerkin method / K.M. Liew [and others] // Computational Mechanics. - 2002. - Vol. 29. - P. 4В6-497.
4. Плотникова, С.В. Расчет композитных оболочек с пьезоэлектрическими накладками / С.В. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. -2009. - Т. 15, № 2. - С. 3В0-390.
5. Kulikov, G.M. On the use of 6-parameter multilayered shell models in structural mechanics / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. -2004. - Т. 10, № 4А. - С. 1042-1052.
6. Kulikov, G.M. Finite rotation geometrically exact four-node solid-shell element with seven displacement degrees of freedom / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Modeling in Engineering & Sciences. - 200В. - Vol. 2В, No. 1. - P. 15-3В.
7. Kulikov, G.M. Effective geometrically exact piezoelectric solid-shell element based on 3D analytical integration / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Proceedings of the 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Portugal, Lisbon, 7-11 September, 2009. - Lisbon, 2009. - P. 351-352.
В. Новацкий, В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новацкий. -М. : Мир, 19В6. - 160 с.
9. Tan, X.G. Optimal solid shell element for large-deformable composite structures with piezoelectric layers and active vibration control / X.G. Tan, L. Vu-Quoc // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2005. - Vol. 64. -P. 19В1-2013.
10. Coupled mixed-field laminate theory and finite element for smart piezoelectric composite shell structures : NASA Contractor Report / D.A. Saravanos. - Cleveland, 2009. - 3В p. - № 19В490.
Application of Three-Dimension Shell Element for Analysis of Composite Structures with Piezoelectric Patches
S.V. Plotnikova, M.G. Kulikov
Department “Applied Mathematics and Mechanics”, TSTU; kulikov@apmath. tstu.ru
Key words and phrases: composite shell; finite element method; piezoelectric patches; 7-parameter shell model.
Abstract: Mathematical model of electroelasticity for multilayered anisotropic shells with piezoelectric patches, based on 7-parameter shell theory and used 3D constitutive equations is presented in this paper. Mixed geometrically exact four-node piezoelectric shell element is developed. Numerical examples demonstrated the validity of the proposed model are reported.
Anwendung des dreidimensionalen Umhtillungelementes ftir die Berechnung der Kompositenkonstruktionen mit den piezoelektrischen Belagen
Zusammenfassung: Im Artikel wird das matematische Modell fur die Beschreibung des elektroelastischen Zustandes der vielschichtigen anisotropen Umhullungen mit den piezoelektrischen Belagen vorgelegt. Es ist auf Grund der
7-Parametertheorie der Umhullungen gebaut und erlaubt, die dreidimensionalen Gleichungen des Zustandes zu benutzen. Es ist den gemischten geometrisch feinen piezoelektrischen Element der Umhullung erarbeitet. Es sind die die Stichhaltigkeit des vorgeschlagenen Modells bestatigenden zahlenmaBigen Beispiele angefuhrt.
Usage de l’element de l’enveloppe a trois dimensions pour le calcul des constructions composites avec les appliques piezoelectriques
Resume: Dans Particle est presente le modele mathematique, decrivant l’etat electrique et elastique des enveloppes anisotropes multicouches avec les appliques piezoelectriques, construit a la base de la theorie 7-parametrique des enveloppes et permettant d’utiliser des equations a trois dimensions de l’etat. Est elabore un element mixte geometriquement exacte piezoelectrique a quatre noeuds. Sont cites les exemples numeriques confirmant la validite du modele propose.
Авторы: Плотникова Светлана Валерьевна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и механика»; Куликов Михаил Геннадьевич - аспирант кафедры «Прикладная математика и механика», ГОУ ВПО «ТГТУ».
Рецензент: Ярцев Виктор Петрович - доктор технических наук, профессор кафедры «Конструкции зданий и сооружений», ГОУ ВПО «ТГТУ».
