CC BY
38
Математика. Физика
УДК 539.3
СВЯЗАННАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ СЛОИСТОЙ КОМПОЗИТНОЙ ОБОЛОЧКИ Г.М. Куликов, С.В. Плотникова, М.Г. Куликов
Кафедра «Прикладная математика и механика», ГОУ ВПО «ТГТУ»; киИкоу@артаЖ. tstu.ru
Ключевые слова и фразы: геометрически точный элемент оболочки; пьезоэлектричество; слоистая композитная оболочка.
Аннотация: Разработан алгоритм численного решения связанной задачи пьезоэлектричества для слоистой композитной оболочки, подверженной электромеханическому нагружению, на основе 7-параметрической модели. Построен новый геометрически точный билинейный трехмерный элемент оболочки с распределенными пьезоэлектрическими сенсорами и актюаторами путем использования нетрадиционного аналитического интегрирования. С помощью этого конечного элемента получено решение связанных задач электроупругости для пьезоэлектрической спиральной оболочки и композитной пластины с пьезоэлектрическими накладками.
Введение
В последнее время большое внимание уделяется разработке изопараметри-ческих трехмерных конечных элементов композитных оболочек с распределенными сенсорами и актюаторами [1-5]. Их особенностью является то, что начальная и деформированная конфигурации оболочки интерполируются единообразно в глобальной декартовой системе координат, что дает возможность корректно описать перемещения оболочки как жесткого тела. Однако изопараметрический элемент оболочки является неэффективным при расчете адаптивных композитных конструкций, для которых важное значение имеет быстрое реагирование на нежелательные внешние силовые воздействия.
Альтернативными являются геометрически точные конечные элементы оболочки на основе деформационных соотношений 6-, 7- и 9-параметрических пространственных моделей оболочки [6-9], которые точно представляют произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела в криволинейных координатах отсчетной поверхности. Термин «геометрически точный» означает, что отсчетная поверхность оболочки описывается аналитически заданными функциями, в частности сплайнами, которые составляют основу современных САЭ-сис-тем. При этом векторы перемещений внешних и срединной поверхностей представляются в локальном базисе, связанном с отсчетной поверхностью оболочки. Именно это обстоятельство позволяет повысить производительность конечноэлементного кода и эффективно использовать его в контроллерах «умных» конструкций.
В настоящей статье разработан новый геометрически точный 7-параметри-ческий билинейный элемент оболочки для расчета тонкостенных композитных конструкций с распределенными сенсорами и актюаторами под действием электромеханического нагружения. Для борьбы с известным в методе конечных элементов (МКЭ) явлением запирания как сдвигового, так и мембранного использована гибридная модель МКЭ [8]. Согласно этой модели, деформации и результирующие напряжений внутри элемента оболочки аппроксимируются самостоятельно, отдельно от перемещений. Необходимо отметить, что 6-параметрическая модель [10, 11], постулирующая равномерное распределение поперечных нормальных деформаций по толщине пакета слоев, приводит к пуассоновскому запиранию элемента оболочки в поперечном направлении, в то время как 7-пара-метрическая модель свободна от указанного недостатка. В работе [12] недавно построен геометрически точный 7-параметрический элемент оболочки для решения актюаторной задачи в случае, когда на электроды, расположенные на внешних поверхностях пьезоэлектрических слоев, подается заданное напряжение.
Рассмотрим оболочку, состоящую из N тонких слоев постоянной толщины Нп = 2п _ 2п_1 , включая 1-й пьезоэлектрический слой Р2Т толщиной Н, где 2п -поперечная координата поверхности 0.п (рис. 1). Криволинейные ортогональные координаты 01, 02 отсчитываются вдоль линий главных кривизн, а координата 03 направлена в поперечном направлении. Здесь и ниже индекс п обозначает принадлежность величины к п-му слою и изменяется в пределах от 1 до N индекс пьезоэлектрического слоя 1 = г'і, і2, к , ІL, где Ь - число пьезоэлектрических слоев, прикрепленных к внешним поверхностям или внедренных в тело оболочки; греческие индексы а, в принимают значения 1, 2; индексы і, ] принимают значения
1, 2, 3; греческий индекс А определяет принадлежность величины к верхней или нижней поверхностям и принимает значения -, +.
Поле перемещений аппроксимируется по толщине оболочки согласно следующему закону [8]:
Кинематика оболочки и деформационные соотношения
Ua — N Uq + N Uq , U3 — L U3 + L U3 + L U3 ,
(1)
(2)
(3)
1 ¿0—1 £.
Рис. 1. Слоистая оболочка с внедренным пьезоэлектрическим слоем (Р2Т)
где N А(0з) и 1А(0з), ¿М (0з) - полиномы Лагранжа первого и второго порядков соответственно; к = г + — г_ - толщина оболочки; 7 = го и г+ = ZN - поперечные координаты лицевых поверхностей оболочки О— и О+ ; иА(01,02) - танген-
циальные и поперечное перемещения лицевых поверхностей; (0j, 02) - попе
речное перемещение срединной поверхности QM.
Представим векторы перемещений лицевых поверхностей оболочки в базисе отсчетной поверхности
uA=I мАег. (4)
1
В этом случае деформационные соотношения 7-параметрической теории оболочек первого порядка [8] могут быть записаны в виде:
saß = Nsaß+ N+sciß, s33 = Ns33 + N+s+3> (5)
M M
баз _ (ea3 + ea3),
ьа3 ьа3’ ьа3
где вАА (01,02 ) - компоненты тензора деформаций лицевых поверхностей оболочки:
2вАР= сА^ф + в33 =вА, 2вА3 = (6)
^аа = А иа,а + Врир + каи3 , ^Ра = А ир,а — Вриа для Р Ф а, (7)
Аа Аа
^3а = и3,а — каиа , Ра = "Т (иа — иа\
Аа к
Рз = к(— 3и3 + 4и3 — ^ Р+ = к (и3 — 4иМ + 3и3+}
са = 1 + ка 7 , Ва = — - Ар,а для р ф а,
Аа Ав
где Аа и ка - параметры Ламе и главные кривизны отсчетной поверхности;
сА - компоненты тензора сдвига на лицевых поверхностях оболочки; символ
( ) а означает частную производную по координате 0а. Можно показать, что
деформационные соотношения (5), (6) точно представляют перемещения оболочки как твердого целого в криволинейных конвективных координатах отсчетной поверхности [8].
Описание электрического поля
Полагаем, что электрический потенциал распределен по толщине пакета слоев согласно гипотезе ломаной линии [13]:
Ф = Х^Фп — 1 + ^Фп } (8)
п
NnА=|Nn, 03 б[п—1,7п ] (9)
I0, 03 Фп—Ь7п ]
^п , (п 03), Nп , (03 2п_1), 03 6 [п-1, гп],
К к
где фп_1 (01,02), фп (01,02) - значения электрического потенциала на нижней и верхней поверхностях п-го слоя.
Связь между вектором напряженности электрического поля Е и электрическим потенциалом ф имеет вид
Е = -Уф. (10)
Таким образом, вектор напряженности электрического поля имеет следующее распределение по толщине п-го слоя:
e() = N- е()— + N+e()+, ¿М = --L ( -Фи _!),
hn
(11)
E,
(п)_ =_________L
Aa
фп — 1,1
E
(п)+=______L
Аа
Фп
7(п)
где Еа' - тангенциальные компоненты вектора напряженности электрического поля п-го слоя. Как видим, поперечная компонента электрического поля Е,(п) постоянна по толщине пьезоэлектрического слоя.
Уравнения состояния линейной теории электроупругости
Уравнения состояния линейной электроупругости для пьезоэлектрического 1-го слоя с зеркальной симметрией на поверхности, параллельной отсчетной, могут быть записаны в форме [14]:
= A(l)o(l) + (d(l))T E(l),
l(l) = d(l)n(l) + Z(l)E(l)
(12)
(13)
где в - вектор деформаций; с(і) - вектор напряжений; Е(1 ^ - вектор напряженности электрического поля; Б(і) - вектор смещения электрического поля; А( ^ -матрица податливостей; d(і ) - матрица пьезоэлектрических постоянных; -
матрица диэлектрических постоянных:
А (А (А (А (А МІ т
£ = [11 є22 є33 2є23 2є13 2є12] T, ® 1 =
T
,СТ11 СТ22 СТ33 СТ23 СТ13 СТ12
(14)
E(1) E(l) E(1 С1 2 с3
A(1) =
А(1) А(1) А22 А23
А(1 ) А33
sym.
(1) = D() D W D(1) 2 D3
0 0 1 () А
0 0 А(1) а26
0 0 А ( )
А(1) А44 А(1) А45 0
А ( ) 0
А ( ) I
(15)
T
0 0 0 d1 'Ч? in d1 0 1 1( 1 2 ^ 0
d(1) = 0 0 0 'Ч? 4—(<N d d ( ) 0 . ç(i) = Z(1) ^>22 0
d (1) _ 31 d« dg1 0 0 < sym. z(1) ^>33 _
Разрешая уравнение (12) относительно вектора напряжений, и подставляя вектор напряжений в уравнение состояния (13), получим:
(i) = C«£ -(e(i))T Ed).
a4“' = сл“ £ - \e D(l) = e(l)£ + e(l) E(l)
(16)
(17)
где С(1) - матрица материальных жесткостей; е(1), е(1) - пьезоэлектрическая и диэлектрическая матрицы:
с(1) = (а(1))-1, е(1) = а(1)с(1), е(1)= с(1)- а(1)с(1)(а(1))г. (18)
Смешанное вариационное уравнение для расчета слоистой электроупругой оболочки
Предлагаемая 7-параметрическая теория пьезоэлектрических оболочек первого порядка основывается на аппроксимациях в поперечном направлении перемещений (1), деформаций (5), электрического потенциала (8) и вектора напряженности электрического поля (11). Введем также согласованные с (5) аппроксимации для независимых от перемещений деформаций:
saP = N єаР + N єаР.
)33 = N S33 + N + S+3. Sa3 = £&
(19)
где ^сф^Ь02), Є33 (©і,02) - независимо введенные тангенциальные и поперечные нормальные деформации лицевых поверхностей; §03(01,02) - независимо введенные деформации поперечного сдвига срединной поверхности.
Подставляя аппроксимации (1), (5), (8), (11) и (19) в смешанное вариационное уравнение пространственной теории пьезоэлектричества [15], полагая метрики поверхностей, параллельных отсчетной равными метрике срединной поверхности и вводя результирующие напряжений:
H Ар =
X і^NAd03. H33 = X jCT3nNAd03.
(20)
n Z
n-1
n z.
n-1
H a3 =
X jCTdn3)d03
zn-1
получим вариационное уравнение Ху-Васидзу для 7-параметрического слоистого пьезоэлектрического элемента оболочки 1 1Г
| Дб£г (и - ( + )г ( + Бфф£)+ (21)
-1-1
-5HT(E-E)-8STH + 5vTp +5xTq] A1A2cMc2*£1£2dÇ1d%2 = 0.
z
z
П
u+=2î4cî
lla, = 2(Uar+lù)
Рис. 2. Геометрически точный 7-параметрический элемент оболочки, где Рг - узловая точка ( г = 1,4)
где |а = (9а - а - нормализованные криволинейные координаты элемента
(рис. 2); dа - координаты центра элемента; 21 а - длина элемента в направлении
V - вектор перемещений внешних поверхностей; б, б - векторы зависимых и независимых от поля перемещений деформаций внешних поверхностей соответственно; Н - вектор результирующих напряжений (20); х - вектор электрических потенциалов на внешних поверхностях оболочки и поверхностях раздела слоев; Е - вектор напряженности электрического поля в слоях оболочки; р -вектор поверхностных нагрузок; q - вектор поверхностных зарядов на внешних поверхностях оболочки и поверхностях раздела слоев; Бнн, Бнф, Бфф - механическая, пьезоэлектрическая и диэлектрическая матрицы, определяемые по формулам:
0а ; = 1 + ка2м - компоненты тензора сдвига на срединной поверхности оболочки; 2М = + 2 + )/2 - поперечная координата срединной поверхности Ом ;
(22)
Tf
ооооооо^^
q
Ss
q
Ss
q
§2
q
q
82
q
q
О,_I
O^H
Q
о о о о о о о
’—1 40 '—1 40 ,_н'40 «—'40 -—140
’—1 ч—I ОсЧ ’—! (Ч О со ’—1 СО 0 40 1—140
Q Q Q q q Q Q
^40 0 40 !^40 0 40 1^40 О 40
О О (Nj 0(4, о со о со 0^0
q q q q q q
^CO !Z?CO '—ICO СО ^co
1—н,—i 0(N ,—i CN Oco 1—1 СО
Q Q Q Q Q
S2 88 sa 8£
Q Q Q Q
-2 Sgj ^
Q Q Q
S2 8gj
q q
~q
q q
«ri «r»
q
Ht
s; es s: fN s:co s; со s: 40 s: 40 —^CO^—V—^co^——^co^—^co
о
о s
Q)
h s; о s:
^ Q) -h s: о s:
Q
oooooooo
Si-
ft
* s 4 О s: о s:
o s: o s;
5x5 5x5 1 >; 9-0^9-
О о o
m -'TT'9- l/~)
X q. О Q X 1Г) О
-■—-s 9- m ir>
^H. Cl. X О о 1 ; x О i
9-
9-
1 О о о О i Ss Ш к
s: <n "“uT ^ (N uT Sa Ш Sa Ш
о s ^ s о « ^ s
s: <n К (N n) 22
^uT uT Ш
о о s o s о о «
^T—' ^uT ^N>-' uT
о s ^ s
^uT о 0 s 1 sym.
¡*ï>
>9-
>9-
616 ISSN 0136-5835. Вестник ТГТУ. 2010. Том 16. № 3. Transactions TSTU
где р^ - поверхностные нагрузки, действующие на внешних поверхностях в направлениях 9г; - плотности поверхностного заряда на поверхностях
Оп— и О.п. Кроме того, введены дополнительные обозначения:
DP9 = 1 Dcd =1 hnCcd
(«)
(23)
z
,pq = | (n-)2-p-q (+)p+q
d03, mp =
d03
kPq = | (n-)2'P_9(n+)P+qd03, kP = I (')'P(N+)Pd03 = -2h'
zn-1 zn-1
где a, b = 1, 2, 3, 6 ; c, d = 4,5; p, q = 0, 1.
Геометрически точный элемент пьезоэлектрической оболочки
Конечноэлементная формулировка для четырехузлового пьезоэлектрического элемента оболочки основывается на простой и эффективной билинейной аппроксимации перемещений и электрического потенциала:
т
■ = Х N
Vr , Vr =
«lr «2r «3r «lr «2r «3r «3r
X =X NrX r, X r =[Ф0г Фіг ••• VNr]
(24)
(25)
где Ыг(§2) - билинейные функции формы элемента; Vг и Xг - векторы перемещений и электрического потенциала в узлах элемента; индекс г обозначает номер узла и изменяется от 1 до 4.
Чтобы применить аналитическое интегрирование на элементе, используем введенные билинейные интерполяции для деформаций и вектора напряженности электрического поля [8, 10]:
g = £ Nrgr, Er = g(Pr ) = В« U,
Г
E = £ Nr Er, Er = E(Pr ) = -ВфФ,
(26)
(27)
где Б", Б? - постоянные на элементе матрицы размера 10 х 28 и 5 Ж х 4(Ж +1); и - столбец размера 28 х 1; Ф - столбец размера 4(Ж +1) х 1, определяемые по формулам:
U =
TTTT T Ф = TTTT
vi v2 v3 v4 . , Xi X2 X3 X4.
(28)
Для упрощения вычислительного процесса соотношения (26), (27) удобно записать в виде:
E =Е&) &)r2El2, g^ = B«r2U,
r1, r2
E = Z(^i) &)r2E^2, E^ = -Brir2Ф,
ri,r2
(29)
(30)
n
n
z
z
n-i
n-i
r
T
r
T
где
B
00
B
10
|b" + b2 + B3 + b4 I
-B2 - b3 + B4,
b01 =1 (b3 + b2 - b3 - b4 i
B
11
1 (b3 4 (b3
B3 - B2 + B3
-B4
(31)
Матрицы Б^ вычисляются аналогичным образом путем использования матриц
В5?; индексы Г1, здесь и далее принимают значения 0 и 1.
Для того чтобы избежать сдвигового и мембранного запирания элемента оболочки и при этом не получить ложных энергетических мод, для независимо введенных деформаций и результирующих напряжений используем следующие аппроксимации [8, 16]:
Е =1(^1) &)Г2 *б'ПГ2, (32)
r1, г2
т
11
g-00 g+00 g-00
e11 e11 e22
e+01 e-01 g+01
e11 e33 e33
g+00 g-00 g+00 2р-00 2р+00 M00 M00
e22 e33 e33 2e12 2e12 2e13 2e23
2е
M01
13
-10 g+10 g-10 5+10
'22 e22 e33 e33
2 e
M10
23
H
00
^11 _[e-11 e+11 E = Ls33 e33
h = X(^1 )r ta )r2 Qr1 r2 Hr1 r2, r1, r2
-00 +00 -00 +00 -00 +00 -00 +00
H11 H11 H 22 H22 H33 H33 H12 H12
(33)
00 00 H13 H 23
H
01
rr-01rr+01 ТГ-01 w+01^01
H11 H11 H33 H33 H13
10
H
11
H
H — 11 H + 11
H33 H33
-10 +10 -10 +10 10 H22 H22 H33 H33 H23
где о00 - единичная матрица размера 10 х 10 ; О01. матрицы:
Q10, Q11 - проективные
»11
Q
01
1 0 0 0 0" "0 0 0 0 0" "0 0"
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 10 0 0 1 0 0 11 1 0
, Q = , Q =
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
(34)
Подставляя интерполяции (24), (25), (29), (30), (32), (33) в смешанное вариационное уравнение (21), применяя аналитическое интегрирование в пределах
элемента и исключая независимо введенные деформации Е '1'2 и результирующие
напряжений НГ1 Г2 , получим уравнения равновесия элемента
)
T
T
К ^ии К Мф "и' і Ч р і
К Л фМ К ^фф ф Е _ я _
где Кии , Кнф, Кфф - механическая, электрическая и диэлектрическая матрицы
-ФФ
жесткости; Ер - вектор поверхностных нагрузок; Е - вектор электрического
нагружения:
Кии = (и"2 )Т О’"2 (о1’2 )Т ВииО’1’2 (о”2 )Т ви'2,
(36)
'1,'2‘
К =Х—1— (вГ1'2 )ТО'”'2 (о'1'2 )Т в в'”'2 К = (к )Т
Мф ¿_а 3'1 + '2 V и / V \у / ^иф^ф 5 Лфи V иф/
’1,'2
К =-Х—1— (в’1 ’2 )Т Б в ф ’2
фф ^3П+ ’2 V ф ' фф ф •
’1,’23
Каждую поверхность раздела слоев можно рассматривать как активную (на которой известен электрический потенциал) или сенсорную (на которой электрический потенциал неизвестен). В соответствии с этим столбец Ф разделяется на активную Фа и сенсорную (свободную) Ф8 части, так что систему (35) можно записать в виде:
К К8 ^Мф 1 ф ¡4 " и" і рР і
К ^фМ К 88 фф К 8а фф ф8 = 0
К а ^фМ К а8 фф К аа ^фф Фа 1 Л Ьм 1
(37)
Кя
•'■фм
= К )Т ка = (ка )
у^-нф/ - “чрн у^/іф/
К аз _ [жт-\ фф = *К<
где индексы з и а означают сенсорную и активную части соответствующих матриц. Чтобы не усложнять численный анализ [1, 3, 4], дополнительно принято
^ = о.
Далее используется стандартная процедура сборки элементов в ансамбль. В результате получим глобальную систему линейных алгебраических уравнений, описывающую электроупругое состояние слоистой композитной оболочки:
Киии + КМфФ = ¥р - КфФ
Кфи и + КффФ8 =-КфафФа,
^=кф и и+к ф; ф8+к фаф Фа.
Из уравнения (39) выражаем столбец
Ф8 = -(к ф8ф Т(кфи и + Кфаф Фа Т
(38)
(39)
(40)
(41)
Подставляя столбец (41) в уравнение (38), получим разрешающее уравнение для нахождения глобального вектора перемещений
К - К
*^ии -“-Иф
(кф, Г
К
и = ¥р +
К
иц>
(Кїфг
К§а — ка
ЛФФ ^г/ф
Фа.
(42)
На основе описанного численного алгоритма был разработан геометрически точный пространственный билинейный конечный элемент Б07Р4, позволяющий решать связанные актюаторные и сенсорные задачи электроупругости для тонкостенных конструкций из слоистых композитов.
1. Рассмотрим спиральную оболочку (рис. 3, а), изготовленную из пьезокерамики Р2Т-5И. Спиральная оболочка, выполняющая функции актюатора, состоит из четырех полных витков и имеет минимальный радиус гтіп = 1,875 мм, максимальный радиус гтах = 15,2 мм, длину Ь = 215 мм, ширину Ь = 3,75 мм и толщину к = 0,2 мм. Актюатор поляризован в поперечном направлении 63 и подвергается действию постоянного напряжения V = 100 В. Механические характеристики пьезокерамики следующие [17]: Сп = С22 = 127,205 ГПа, С12 = 80,212 ГПа, С13 = С23 = 84,670 ГПа, С33 = 117,436 ГПа, С44 = С55 = 22,988 ГПа, С66 = = 23,474 ГПа, е31 = е32 = -6,62 Кл/м2, е33 = 23,24 Кл/м2, е24 = е15 = 17,03 Кл/м2, Є11=є22 = 15,05 нФ/м, є33 = 13,01 нФ/м. Геометрические параметры срединной поверхности вычисляем по формулам:
где г - полярный радиус; а - параметр, характеризующий расстояние между двумя соседними витками.
Оболочка моделировалась с помощью равномерных конечноэлементных сеток. В табл. 1 дан анализ сходимости предложенного геометрически точного элемента оболочки Бв7Р4. Приведено сравнение с результатами, полученными в [17] путем использования трехмерного изопараметрического элемента С3Б8Б из коммерческого пакета программ АВАрЦ^ и изопараметрического пьезоэлектрического элемента оболочки р4Т8Б без учета поперечного обжатия. Как видим, значения поперечного перемещения на свободном крае хорошо согласуются друг с другом. Отметим также, что учет поперечного обжатия является важным для рас-
Численные результаты и их обсуждение
r = rmin + я02, е2 є [0,8п],
, М-м
64
3
32
48
16
0 -----------------------'--------------------'------------------->-
0 271 471 6я
0,5
а)
б)
Рис. 3. Спиральный актюатор: геометрия (а) и перемещения (б) срединной поверхности:
M
M
— мэ ; — — и2
чета спирального актюатора, так как изопараметрический элемент р4Т8Р приводит к неприемлемым для окружного перемещения им результатам. Дополнительно на рис. 3, б показана зависимость перемещений срединной поверхности оболочки от окружной координаты 02, полученная с использованием конечноэлементной сетки 1 х128 .
2. Исследуем задачу цилиндрического изгиба шарнирно опертой углепластиковой пластины с полимерными РУОБ накладками, имеющими следующие характеристики: Е = 2 ГПа, V = 0,29 , ез1 = 0,046 Кл/м2, 6ц=£33 = 0,1062 нФ/м. Геометрические параметры пластины соответствуют [18]: а = 10 мм и а = 100 мм, АрУОр = 0,04 мм, кс = 0,92 мм, к = 1 мм (рис. 4). Механические характеристики
углепластика следующие: Е1 = 172,5 ГПа, Е2 = Е3 = 6,9 ГПа, 012 = О13 =
= 3,45 ГПа, О23 = 2,76 ГПа, ¥12 = Vlз = ¥23 = 0,25. Верхний пьезоэлектрический слой выполняет функции актюатора, а нижний слой - сенсора. На поверхностях раздела пластины и пьезоэлектрических накладок поддерживается заданное нулевое напряжение. К верхней поверхности актюатора прикладываются одновременно механическая и электрическая нагрузки:
р+ = Р081п(пх/а) и фа =ф0 8т(лх/а).
Вследствие симметрии задачи рассмотрена половина пластины, которая моделировалась десятью конечными элементами. На рис. 5 приведена зависимость напряжения, возникающего на нижней поверхности сенсора, от координаты х для тонкой пластины (а/к = 100) при Р0 = 10 Па и ф0 = 0 В, и толстой пластины (а/к = 10) при Р0 = 10 Па и ф0 = 100 В. Представлено сравнение с точными решениями на основе теории пластин третьего порядка [18] и пространственной
Таблица 1
Перемещения срединной поверхности спирального актюатора на свободном крае
Элемент EG7P4 Q4TSF C3D8E
Сетка 1x16 2x16 4x16 1x32 2x32 4x32 1x64 1x128 [17] [17]
£ 3 1 2,109 2,102 2,100 2,625 2,620 2,619 2,503 2,460 2,00 2,59
„м и2 , М-м 58,18 58,16 58,15 59,95 59,88 59,87 60,55 60,72 - 0,62 41,47
Рз = Ро sin(7ix/a)
Рис. 4. Цилиндрический изгиб шарнирно опертой углепластиковой пластины с полимерными РУЭР накладками
Ф, мВ
Ф, мВ
а)
xla
xla
б)
Рис. 5. Зависимость напряжения на нижней поверхности сенсора от координаты х:
а - а/h = 100 ; б - а/h = 10;---------------------------------EG7P4;-Kant [18] ; О - Ray [19]
теории пьезоэлектричества [19]. Как видим, для тонкой пластины получено практически полное совпадение с известными результатами. Для толстой пластины решение в большей степени зависит от вида используемой модели.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ по программе «Проведение фундаментальных исследований в области естественных наук» (проект № 2.1.1/660) и РФФИ (проект № 08-01-00373).
Список литературы
1. Sze, K.Y. A hybrid stress ANS solid-shell element and its generalization for smart structure modelling. Part II - Smart structure modelling / K.Y. Sze, L.Q. Yao, S. Yi // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2000. - Vol. 48, No. 4. - P. 565-582.
2. Lee, S. A nine-node assumed strain shell element for analysis of a coupled electro-mechanical system // S. Lee, N.S. Goo, H.C. Park, K.J. Yoon, C. Cho // Smart Materials and Structures. - 2003. - Vol. 12, No. 3. - P. 355-362.
3. Zheng S. The formulation of a refined hybrid enhanced assumed strain solid shell element and its application to model smart structures containing distributed piezoelectric sensors/actuators / S. Zheng, X. Wang, W. Chen // Smart Materials and Structures. - 2004. - Vol. 13, No. 4. - Р. N43-N50.
4. Tan, X.G. Optimal solid shell element for large-deformable composite structures with piezoelectric layers and active vibration control / X.G. Tan, L. Vu-Quoc // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2005. - Vol. 64, No. 15. -P. 1981-2013.
5. Klinkel, S. A geometrically non-linear piezoelectric solid shell element based on a mixed multi-field variational formulation / S. Klinkel, W. Wagner // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2006. - Vol. 65, No. 3. - P. 349-382.
6. Кулиев, Г.М. Дефoрмациoнные сooтнoшения, точта представляющие бoльшие перемещения oбoлoчки как жесттого тела / Г.М. Кулитов // Механика твердoгo тела. - 2004. - Т. 39, № 5. - С. 130-140.
7. Kulikov, G.M. Non-linear strain-displacement equations exactly representing large rigid-body motions. Part II. Enhanced finite element technique / G.M. Kulikov,
S.V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2006. -Vol. 195, No. 19-22. - P. 2209-2230.
8. Kulikov, G.M. Finite rotation geometrically exact four-node solid-shell element with seven displacement degrees of freedom / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Modeling in Engineering & Sciences. - 2008. - Vol. 28, No. 1. - P. 15-38.
9. Kulikov, G.M. Finite deformation higher-order shell models and rigid-body motions / G.M. Kulikov, E. Carrera // International Journal of Solids and Structures. -
2008. - Vol. 45, No. 11-12. - P. 3153-3172.
10. Kulikov, G.M. Geometrically exact four-node piezoelectric solid-shell element / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2008. - Vol. 15, No. 3-4. - P. 199-207.
11. Плотникова, С.В. Расчет композитных оболочек с пьезоэлектрическими накладками / С.В. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. -
2009. - Т. 15, № 2. - С. 380-391.
12. Плотникова, С.В. Применение трехмерного элемента оболочки для расчета композитных конструкций с пьезоэлектрическими накладками / С.В. Плотникова, М.Г. Куликов // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2010. - Т. 16, № 2. -С. 375-386.
13. Saravanos, D.A. Mixed laminate theory and finite element for smart piezoelectric composite shell structures / D.A. Saravanos // AIAA Journal. - 1997. -Vol. 35, №. 8. - P. 1327-1333.
14. Новацкий, В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новац-кий. - М. : Мир, 1986. - 160 с.
15. Куликов, Г.М. Вариационные уравнения термоэлектроупругости для многослойной композитной оболочки / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова, В.П. Ярцев // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2009. - Т. 15, № 3. - С. 628-637.
16. Куликов, Г.М. Расчет композитных конструкций под действием следящих нагрузок с использованием геометрически точного элемента оболочки / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова // Механика композит. материалов. - 2009. -Т. 45, № 6. - С. 789-804.
17. Zouari, W. A FSDT-MITC piezoelectric shell finite element with ferroelectric non-linearity / W. Zouari, T. Ben Zineb, A. Benjeddou // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 2009. - Vol. 20, №. 17. - P. 2055-2075.
18. Kant, T. Cylindrical bending of piezoelectric laminates with a higher order shear and normal deformation theory / T. Kant, S.M. Shiyekar // Computers & Structures. - 2008. - Vol. 86, №. 15-16. - P. 1594-1603.
19. Ray, M.C. Exact solution for static analysis of an intelligent structure under cylindrical bending / M.C. Ray, K.M. Rao, B. Samanta // Computers & Structures. -1993. - Vol. 47, № 6. - P. 1031-1042.
Coupled Problem of Electroelasticity for Laminated Composite Shell
G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova, M.G. Kulikov
Department “Applied Mathematics and Mechanics”, TSTU; kulikov@apmath.tstu.ru
Key words and phrases: geometrically exact shell element; laminated composite shell; piezoelectricity.
Abstract: Based on the 7-parameter shell model, a numerical algorithm has been developed for solving the coupled problem of piezoelectricity for a laminated composite shell subjected to electromechanical loading. A new geometrically exact bilinear solidshell element with distributed piezoelectric sensors and actuators has been formulated by using non-conventional analytical integration. With the help of this finite element, solutions of coupled problems of electroelasticity for a piezoelectric spiral shell and a composite plate with piezoelectric patches have been obtained.
Gebundene Aufgabe der Elektroelastizität für die geschichteten Kompositenhülle
Zusammenfassung: Es ist den Algorithmus der numeralischen Lösung der gebundenen Aufgabe der Piezoelektrizität für die der elektromechanischen Belastung untergezogenen geschichteten Kompositenhülle auf Grund des 7-parametrischen Modells erarbeitet. Es ist das neue geometrisch feine bilinearische dreidimensionale Element der Hülle durch die Benutzung des untraditionellen analytischen Integrierens gebaut. Mit Hilfe dieses Endeelementes ist die Lösung der gebundenen Aufgaben der Elektroelastizität für die piezoelektrischen Spiralhülle und die Kompositplatte mit den piezoelektrischen Belägen erhalten.
Problème couplé d’électroélasticité pour une enveloppe composite feuilletée
Résumé: Est élaboré l’algorithme de la solution numérique du problème couplé de la piézo-électricité pour une enveloppe composite feuilletée soumise au chargement électromécanique à la base du modèle paramétrique. Est construit un nouvel élément bilinéaire à trois dimensions exacte du point de vue géométrique aux sensors et actuators piézo-électriques de distribution par la voi de l’usage de l’intégration analytique non traditionnelle. A l’aide de cet élément final est obtenu la solution des problèmes couplés d’électroélasticité pour une enveloppe spirale piézo-électrique et pour une plaque composite aux éclisses piézo-électriques.
Авторы: Куликов Геннадий Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и механика»; Плотникова Светлана Валерьевна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и механика»; Куликов Михаил Геннадьевич - аспирант кафедры «Прикладная математика и механика», ГОУ ВПО «ТГТУ».
Рецензент: Коновалов Виктор Иванович - доктор технических наук, профессор кафедры «Химическая инженерия», ГОУ ВПО «ТГТУ».
