CC BY
2УДК 513.83; 517.5; 531; 533.9.01; 517.9
Проняев В.В., патентовед ООО «Цвет» (Воронеж, Россия)
В ПОИСКАХ ЭФФЕКТИВНЫХ ПОДХОДОВ, С Д-ЭНТРОПИЙНЫХ ПОЗИЦИЙ, В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЫСЯЧЕЛЕТИЙ: Р^Р, УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА И ГИПОТЕЗЫ ХОДЖА
Аннотация: в данной статье привлечены разные области математики с позиции Д-энтропии и ОНДС (Открытых Неравновесных Динамических Систем), предложена модель с детерминистским наполнением, для дальнейших исследований на основе бикватернионного представления атомов, в сопоставлении на основе подобия с относительно последними результатами (наработками) в аспекте разных подходов, в попытках решения известных задач тысячелетий: Р/ЫР, уравнений Навье-Стокса, гипотезы Ходжа. Данная модель универсальна как «инструментарий» для дальнейших исследований и представляет собой некую «концентрированную» или «кодированную» информацию из различных разделов математики, где за основу берутся: энергия, точка и кривая (траектория), призванные обеспечить эффективный подход в решении этих задач в дальнейшем и является продолжением аналогичных соображений высказанных Теренсом Тао в своей относительно недавней работе касающейся уравнений Навье-Стокса.
Ключевые слова: бикватернион, частота, многообразие, сфера, энергия, точка, кривая, твисторный.
Введение
Данная статья написана по результатам, полученными в последнее время учёными из Казахстана при рассмотрении вопросов Д-энтропии и ОНДС (Открытых Неравновесных Динамических Систем) [1], проблемы Р/ЫР [2], бикватернионного представления атомов [3], опубликованных на страницах журналов
Казахстана: «Проблемы эволюции открытых систем» и «Математического журнала».
С целью показать именно универсальность логических построений в контексте поиска эффективных «инструментариев» в решении известных задач тысячелетия: Р/ЫР, уравнений Навье-Стокса и гипотезы Ходжа, здесь будет предложена модель из различных областей математики с их «взаимопроникновением». При этом эта модель объединяет различные разделы математики в «концентрированном» виде и несёт характер «кодированности», т. е. за основу берутся математические объекты, объединяющие различные разделы математики на основе подобия логических построений при доказательстве различных утверждений с формулировкой Модельного предложения. Данная работа носит междисциплинарный характер.
Первый, кто понял, что необходимы эти «инструментарии» - Теренс Тао, т. е. не хватает аналитической «техники», например, для решения задачи тысячелетия, касающейся уравнений Навье-Стокса. В работе [4], в продолжении идей Теренса Тао, была предпринята попытка развить эту «технику» совместно с другой задачей тысячелетия - Р/ЫР. Там речь идёт о некотором «регуляторе» присущим этим двум задачам.
Вначале обоснуем детерминистский аспект, которому будет соответствовать подход, приведённый здесь, именно для дальнейших исследований.
Приведём следующий пример. Допустим, был создан робот, или робототехническое устройство с соответствующим программным обеспечением, призванное на велосипеде преодолевать препятствия, делать резкие повороты и т. п. Понятно, что такое устройство в принципе создать можно, т.е. оно будет с определённой долей погрешности выполнять данные действия. Если данную задачу поставить, например, цирковому акробату, то однозначно он здесь эти действия, в т. ч. с повышением скорости, будет выполнять более эффективно (акробат как бы будет «отводить душу»). Это к тому, что в отличие от робота, акробат при движении, в уме дифференциальных уравнений не решает. Сознание/мозг (его «квантовый компьютер») работает совсем на других принципах. Постараемся на примере поиска подхода в
решении вышеуказанных задач тысячелетия смоделировать предложение для дальнейших исследований, основанное именно на подобных принципах. При решении задачи уравнений Навье-Стокса использовались «инструментарии» прямого действия, т. е. по аналогии как с роботом - написание «конкретной программы», причём эффект от этого получается незначительный. Поэтому Теренс Тао и сформулировал соответствующий запрос на новые «инструментарии», т. е. более эффективную «аналитическую технику», как примерно эффективное «действие» сознания вышеупомянутого акробата. В контексте приведённой выше задачи, «программа» сознания акробата действует намного быстрее и эффективнее. С другими задачами тысячелетия: P/NP, гипотеза Ходжа - примерно такая же ситуация. В общем необходим подход, основанный на действии нашего сознания, т. е. весьма эффективный, и понятно что с детерминистским содержанием. Заметим, что наше сознание в мыслительном аспекте, здесь, как-то не очень спешит «поделиться» с нами своими «наработками».
Хотя, если быть последовательными, то именно в локальном аспекте, О. А. Ладыженская несколько предвосхитила идеи Теренса Тао в работе [5] (по части уравнений Навье-Стокса), где была « ...сформулирована идея свободы выбора пространств, в которых ищутся решения начально-краевых задач ...», в смысле «...однозначной рекомендации здесь нет, как нет обязательных предписаний к выбору всей шкалы пространств...». По О.А. Ладыженской основная проблема о глобальной однозначной разрешимости трёхмерной задачи сводится к вопросу о нахождении именно априорной оценки с какой-либо мажорантой М, удовлетворяющей определённым условиям. В дальнейшем, именно в продолжении этих идей в исследовании уравнений Навье-Стокса воспользуемся рекомендациями О. А. Ладыженской.
И самое главное, в этой работе будет представлен именно универсальный подход в поиске решения вышеуказанных задач тысячелентия именно на основе одинаковых, в смысле «знаковых» математических объектов в которых «закодирована», понятно, что в «концентрированном» виде необходимая информация.
1. Представление разделов математики (как вводящие в курс дела) задействованных (выборочно) в Модельном предложении по части уравнений Навье-Стокса, проблемы P/NP и гипотезы Ходжа.
А) Памятуя о вышеуказанной свободе выбора, обратимся к твисторному анализу гармонических отображений в статье [6]. В интересующем в дальнейшем нас аспекте, рассмотрим энергию E(f) отображения f в контексте 80(3)-модели, касающейся топологически нетривиальных решений в рамках описания решений некоторой модели с выяснением условий, при которых эти решения исчерпывают все критические точки лагранжиана. Заметим, что гладкие отображения f, задаваемые голоморфными функциями при deg f > 0 и антиголоморфными при deg f < 0, реализует минимумы функционала энергии E(f). Здесь deg f - есть степень отображения, зависящей от w - нормированной формы объёма на двухмерной сфере, а f'w - её прообраз при отображении f. Заметим, что здесь на евклидовой плоскости R задаётся гладкое отображение f : R ^ S, где S - двухмерная сфера входящая в R*, где * - размерность равная трём. При этом вектор f(x) -принадлежит R*. Но удобнее переходить к формулам в комплексных координатах с учётом стереографической проекции. В итоге получают следующую оценку:
E(f) > 4 п |deg f \ (1), где п - число «пи».
Помимо минимумов функционал энергии E(f) может иметь так называемые «седловые» критические точки. При этом критические точки E(f) называются гармоническими отображениями в аспекте рассмотрения римановых многообразий f : М —> N. Здесь f - гладкое отображение, Ми N - римановы многообразия снабжённые римановой метрикой. Выражение энергии здесь имеет вид:
E(f) = / J \d f(p)\* vol (2), здесьp - точка с учётом касательного расслоения, |df(p)\* -норма (в квадрате), вычисленная в римановой метрике, vol - мера на М, порождённая метрикой g. Немаловажно, что если f : М — N есть изометрическая иммерсия, т. е. имеем некоторое равенство метрик, то для многообразия именно произвольной размерности
отображение ф - гармонично тогда и только тогда, когда оно является минимальной иммерсией. Далее заметим, что гармонические отображения, факторизируемые с помощью редукций и расширений описывают в терминах голоморфных отображений, т. е. имеем процедуру кодирования замещений голоморфными отображениями в грассманианы. При твисторной интерпретации гармонических отображений были построены канонические твисторные расслоения, задаваемые так называемыми флаговыми многообразиями. Инвариантные, почти комплексные структуры на этих многообразиях описываются с помощью «турниров», т. е. специальных графов с игроками. При этом набор подрасслоений определённого типа = (Е1,..., Eк) -называют движущимся флагом на М, а любое гармоническое отображение является проекцией голоморфной кривой в многообразии флагов. При рассмотрении некоторого изоморфизма расслоений имеют полную голоморфную кривую. С учётом групп Ли О и грассманова многообразия имеем выражение для разности энергий с учётом гладких семейств проекторов Р на М и отображения ф ' , связанное с ф через выражение для семейства проекторов:
Еф) - Еф) = vol(M) с1 (Р)[М] (3).
Здесь с1(Р) - первый класс Черна (связан с гауссовыми поднятиями) расслоения Р , [М] - фундаментальный класс М. Также имеем следующую оценку, выраженную через пО - целое число, определяющееся квадратом длины наибольшего корня компактной группы Ли О :
Еф') < Еф - 16п пО (4).
При рассмотрении гармонических отображений в эрмитово симметрическое пространство непостоянной голоморфной секционной кривизны с учётом, что ф не +голоморфно, т. е. эти пространства являются неустойчивыми, то имеем оценку: Еф) > 4п/с{^ф\ + 2} (5).
Здесь с - есть максимум из голоморфных секционных кривизн. При этом, если комплексное проективное пространство наделено метрикой постоянной голоморфной секционной кривизны с, то имеем следующую оценку:
Еф) > 4п/с{3^ф\ + 4} (6).
Напомним, что гладкое отображение /: М ^ N римановых многообразий гармонично, если оно является критической точкой функционала энергии Еф. При этом оно устойчиво, если вторая вариация этого функционала определяет неотрицательную билинейную форму на пространстве вариаций. В общем, здесь было приведено несколько различных конструкций гармонических отображений, но не всех. Более подробно - см. статью [6]. Самое главное, в аспекте дальнейшего анализа, здесь имеем как бы три «кодирующих» объекта (как ранее упоминалось), т. е. способность к замещению (посредством редукций и расширений), а это -энергия, точки и голоморфные кривые.
Б) Представим следующий раздел, это - глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики [7], где изучаются качественное поведение динамических систем различной природы, в частности система Навье-Стокса, т. е. изучается качественное поведение траекторий и свойств аттрактора при различных вариантах граничных условий (понятно, что нас интересует - в ограниченной области ё =3).
Глобальный аттрактор и - это ограниченное замкнутое инвариантное множество, равномерно притягивающее все траектории, начинающиеся в ограниченных подмножествах фазового пространства. Универсальных подходов в исследовании структуры аттракторов нет. Укажем некоторые множества, принадлежащие аттрактору. Траекторией динамической системы (Н, I >0) называется непрерывная в Н кривая ] отвечающая некоторым условиям. При этом любая точка аттрактора принадлежит траектории, целиком в ней лежащей. Эта динамическая система характеризуется функцией Ляпунова на ней, а также неустойчивыми множествами М+(У), выходящими из любого подмножества У аттрактора И.
Также важно то, что в фазовом пространстве диссипативной динамической системы существует так называемый конечномерный проектор Р, обладающий следующими свойствами: из условия
Р3 и1 - и2) ^ 0 (7), при I (время) -стремящемся в бесконечность вытекает, что \3 и1 - и2\\ ^ 0 (7а).
Здесь u1 и ^ величины, характеризующие скорость, St -эволюционный оператор (связан с характером его изменения при эволюции объёмов конечномерных множеств). При этом для любых двух траекторий ]1 и ]2, лежащих в аттракторе, из условия Pj1 = Pj2 (7б), вытекает, что ]1 = ]2 (7в).
В) В ранее упомянутой статье [3], где в аспекте ранее разработанной бикватернионной моделе электро-гравимагнитного поля (ЭГМ-поле) и электро-гравимагнитных взаимодействий, построены частные монохроматические решения уравнения свободного поля электро-гравимагнитных зарядов и токов в дифференциальной алгебре бикватернионов, которые описывают элементарные частицы как стоячие электромагнитные волны, при этом существует два класса - пульсары и спиноры. Заметим, что основу всего этого, составляют бикватернионные представления обобщённых уравнений Максвелла (ОУМ) и Дирака (ОУД). ОУМ выражает бикватернион плотности масс-заряда и ЭГМ-тока, а ОУД определяет трансформацию плотности масс-зарядов и токов под воздействием внешних ЭГМ-полей. При исследовании асимптотических свойств пульсаров и спиноров имеем классификацию соответственно на тяжёлые (бозоны) и лёгкие (лептоны) элементарные частицы. Показано, что бозоны - это сферические гармонические пульсары, плотность масс-заряда которых определяется их частотой колебаний. Всё это позволяет строить периодические системы элементарных частиц на основе классической гармонической музыкальной гаммы.
В интересующем нам аспекте из этой работы [5], напомним, что при рассмотрении элементарных сферических гармонических пульсаров, с задействованием некоторых решений уравнений Гамильтона со сферическими функциями Бесселя, вычисляют бикватернион его энергии импульса с получением выражениий: W = 0,5 1/г*^пЧ>г + j*(wr)) (8), Wp = 0,5н* (8а), где г - сферические координаты, w - частота, j ^г) -сферическая функция Бесселя, в дальнейшем знак * - обозначает «в квадрате», кроме 8* (см. далее по тексту).
Также, имеем одно из нескольких свойств, одно из которых - это плотность энергии колебаний Wp равна 0,5w*. У сферических гармонических спиноров плотность энергии
колебаний тоже равна 0,5^*. При этом, атомы называют музыкальными элементарными частицами с соответствующими названиями - например, «до» первой природной октавы, а этих октав существует не меньше, чем число строк в периодической системе Менделеева. Заметим, что в классической музыке, как известно, полного гармоничного звучания в этом строе добиться нельзя, т. к. из-за несоразмерных частотах колебаний возникают биения. Не менее важно это то, что подобные периодические системы можно строить для элементарных гармонических лептонов, добавление которых к атомам с той же частотой колебаний создаёт, по-видимому, изотопы этих атомов. И здесь можно построить множество различных изотопов с той же асимптотической плотностью ЭГМ-заряда. При воздействии внешних полей заряды-токи трансформируются. Короче имеем самое главное - спектр колебаний, биения и эту бикватернионную модель, которая является детерминистской, а не вероятностной.
Г) Далее, самое время напомнить об ОНДС (открытые неравновесные динамические системы) из статьи [1], где именно с позиции детерминизма происходит построение законов развития физической картины мира, в которой они (ОНДС) выступает как основной структурный элемент природы. При этом законы системы определяются законами динамики их элементов. Заметим, для данной статьи самое главное, что гармония с внешними ограничениями достигается благодаря балансу потоков энергии, вещества и энтропии для ОНДС, что позволяет формализовать решение задач по изучению ОНДС. А само понятие Д-энтропии распространяется на любые ОНДС, обладающие внутренней иерархической структурой и работа внешних сил тратится не только на перемещение ОНДС, но и на увеличение её внутренней энергии, т. е., на приращение Д-энтропии ОНДС. Напомним, Д-энтропия определяется, как относительное приращение внутренней энергии системы за счёт энергии её движения, т. е. характеризует изменение внутренней энергии системы при совершении над ней работы по её перемещению. И что самое важное, это то, что сумма внутренней энергии движения при возможности изменения каждого из её членов сохраняется. Это представляет собой закон сохранения энергии открытой системы.
Показана возможность формализации взаимосвязей законов на всех ступенях бесконечной иерархической лестницы материи с приведением соответствующих уравнений баланса. В общем ОНДС - мощный «инструментарий» для познания нашего Мироздания. Это моделирование должно ещё раз, на основании математического «наполнения», подтвердить корректность подхода с участием теории ОНДС совместно с разными математическими областями в познании (с учётом детерминизма).
Напомним одно из фундаментальных уравнений движения системы ОНДС (с учётом дифференцирования): МШ^ = - ^ - aNVN (9), aN = (Ф + Е)/ VN (9а), где МN - масса МТ (материальных точек) системы в количестве N, причём это количество N, связано с R -координатами МТ; VN - скорость ЦМ (центра масс) системы; ^ -сила приложенная к ЦМ системы, определяющая движение в целом; аN - коэффициент определяющий изменение внутренней энергии (Ф и Е) здесь этот 2-ой член правой части уравнения (9) обуславливает изменение энергии движения. Здесь заметим, если N, будет стремиться в бесконечность при условии равновесности системы, то увеличение внутренней энергии необратимо и такая система называется структурированной частицей (СЧ), для которой уже справедлив второй закон термодинамики. Далее в этой иерархии идут неравновесные системы (НС), в которой структурным элементом является СЧ, при этом вводится понятие энергии НС — ENS с соответствующим уравнением для этой энергии (более подробно в [10]). При этом иерархическая «лестница» материи выглядит так:
МТ ^ СЧ ^ НС ^ ОНДС (9б). Д) В книге [8], при рассмотрении фальшивых четырёхмерных многообразий, была приведена одна известная теорема, где утверждается, что существует гладкая свободная инволюция на гомотопической четырёхмерной сфере 8*, не являющейся эквивариантно РЬ-гомеоморфной линейной инволюции на четырёхмерной сфере & В этой книге, Р. Мандельбаумом, была предложена на рассмотрение задача, где предлагается определиться, какие из 8* гомеоморфны S, или
показать, что какая-то 8* на самом деле не гомеоморфна 3. Однозначно здесь идёт речь о неком «регуляторе», т. е. о «математическом наполнении», которое будет определять гомеоморфность/ не гомеоморфность. В книге [8], в этом контексте, наглядно приведены примеры некоторых построений картины топологических преобразований. Например, имеется шар с центром, соединённый с другими шарами 1-ручками компонентами зацеплений со стрелками, указывающими на бесконечность. Если уничтожить одну ручку, то эта картина понятно изменится, а если уничтожить все 1 -ручки (дополнительными 2-ручками, которые в свою очередь дополнительны трём 3-ручкам), то картина изменится кардинально: останется тривиальное 3-х компонентное зацепление, или сфера 3. Здесь заметим, что по выражению Р. Мандельбаума, несмотря на значительные усилия, всё ещё остаётся неизвестным, гомеоморфны ли 8* и 3 и допускает ли сфера 3 эту «экзотическую» инволюцию? Так, вышеуказанная задача, поставленная Р. Мандельбаумом, весьма актуальна. Но эта тема для другой статьи.
Е) Здесь напомним известную основную теорему об устойчивости Ляпунова, всего лишь интересующий нас в дальнейшем фрагмент: « ... что можно найти знакоопределённую функцию V, производная которой V ' в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, ...» [9]. По части последнего словосочетания можно записать следующее выражение (последовательность):
... ^ 0 ^ Е0 ^ Е1 ^ Е2 ^ 0 ^ .... ^ 0 ^ Е" ^ Е' ^ Е'' ^ 0 ^ ... (10), где все Е - условно возмущённое состояние, понятно рассматриваемое в контексте устойчивости Ляпунова.
2. Модельное предложение.
Далее, на основании представленных выше областей математики, в аспекте их «взаимопроникновения», сформулируем Модельное предложение.
Модельное предложение: При рассмотрении как модели, состоящей из различных математических областей из п. 1 (см.
выше), в их «взаимопроникновении», т. е. в сопоставлении, привнесении в аспекте подобия действия характерных приёмов, или особенностей логических построений одинаковых по смыслу объектов этих областей на основе подобия, получаем, как следствие, целостную математическую картину для дальнейших исследований в решении задач тысячелетия: уравнений Навье-Стокса, проблемы P/NP и гипотезы Ходжа именно на основе одинаковых, в смысле характерных математических объектов, это - «энергетическая составляющая», или просто энергия, кривая, или траектория и точки (точка), которые, в общем, являются некоторыми «тестами», или «маркерами» на корректность используемых абсолютно всех «инструментариев» при попытке этих доказательств. При этом получаем: оценочные выкладки к известной мажоранте М (система Навье-Стокса); P = ^ (проблема P/NP) и рекомендации по гипотезе Ходжа для дальнейших исследований.
Доказательство.
Вначале заметим, что доказанную гипотезу Пуанкаре Г. Перельманом, а также недоказанные - проблемы уравнений Навье-Стокса и Р/ЫР, объединяет с позиции Д-энтропийности, одно важное свойство: все доказательства и попытки доказательств строятся, образно говоря, именно в контексте закона сохранения энергии. Например, в доказательстве Г. Перельмана самое главное, это то, что с учётом градиентоспособности потока Риччи, известная топологическая операция по обрезке некоторых элементов не должна бесконечно ускоряться, так, чтобы именно за конечное время проводилось бесконечное число операций, т. е. необходим некоторый баланс действий, или «энергетических составляющих», стоящими за этими действиями.
Что касается проблем системы Навье-Стокса и Р/ЫР, там имеем аналогичную картину. Ведь, как для системы Навье-Стокса, так и для Р/ЫР имеем некий «регулятор», также образно говоря с некоторыми «энергетическими составляющими», по Л.А. Ладыженской - мажоранту М в контексте известной оценки (для системы Навье-Стокса) и некий «дрейф» от условно простых задач, т. е. Р = ЫР (заметим, что сюда относятся случаи, когда проверка короче самого решения) и сложных задач, в смысле,
когда предполагается, что не стоит тратить времени на поиск быстрых алгоритмов (понятно, что это когда (Р >ЫР).
С гипотезой Ходжа всё намного сложнее. Она говорит о том, что форму любой обобщённой поверхности, задаваемой некими уравнениями, можно определить при помощи каких-то алгебраических циклов. При этом имеем некую связь между тремя разделами математики: топология, алгебра и анализ. Другими словами можно сказать - имеем некоторое «взаимопроникновение» топологии пространства и специальных дифференциальных уравнений на этом пространстве. Здесь прослеживается связь между классами когомологий и гармоническими функциями. При этом, как известно, любое решение уравнения Лапласа (заметим, что гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа) называется гармонической функцией. В вакууме, т. е. в отсутствии вещества, среднее значение потенциала по очень маленькой сфере равно его значению в центре сферы.
Как довольно известно, М. Атья и Ф. Хирцебрух доказали, что для высших измерений одна из версий гипотеза Ходжа не верна. А вот с использованием рациональных коэффициентов есть надежда, что именно такая версия гипотезы Ходжа будет верна. Тем более, как тоже, довольно известно, относительно недавно, была доказана теорема об «алгебраичности локусов Ходжа», которая является некоторым следствием из гипотезы Ходжа и при этом она была доказана не на основе самой гипотезы Ходжа. По словам И. Стюарта [10] существует некоторая надежда на доказательство этой гипотезы.
а). По гипотезе Ходжа. Произведём построение следующей модели. За основу возьмём топологическую картину с шарами из п. 1. В (см. выше), где имеем действие инволюций на сферах 8* и 3. Здесь вышеупомянутые инволюции (условно говоря, те же «траектории», согласно известному рисунку из [6]) возможно сопоставить с объектами из бикватернионного представления атомов из п. 1. А (см. выше), где элементарные гармонические лептоны добавляют к атомам с той же частотой колебаний и создают изотопы этих атомов, при этом можно строить множество различных изотопов с той же асимптотической плотностью ЭГМ-
заряда. В общем имеем спектр колебаний. Этому возможно сопоставить вышеуказанные объекты из теоремы об «алгебраичности локусов Ходжа», где имеем образно говоря некий «резонанс» (совпадение «частот») - в смысле рациональные «составляющие» (см. выражения (8) и (8а)). Если возвратиться к теореме из п. 1. В, где речь идёт об отсутствии эквивариантно PL-гомеоморфности между вышеуказанными инволюциями, то этому свойству можно сопоставить отсутствие вышеупомянутого в п. 1.А. полного! гармоничного звучания, т. е. возникают «биения» при рассмотрении бикватернионного представления атомов (это как в последовательности (10) убрать все нули кроме крайних, -ясно, что она будет некорректна). А это имеет отношение к самой гипотезе Ходжа, в смысле имеем отрицательный прогноз, т. е. рациональной комбинации алгебраических циклов наблюдаться не будет. И здесь, для устранения этого «биения», т. е. неточностей, понадобится дополнительный «инструментарий», скажем так -«канализирующий» этот «фактор биения». Короче, имеем некоторое подобие построений «цепочек» логических рассуждений из вышеупомянутых областей математики. В системе Навье-Стокса и проблеме P/NP, тем более в доказанной гипотезе Пуанкаре, понятно, что необходимости в «канализации» этого фактора биения» нет, т. к. там этого «биения» не наблюдается: в этих задачах, просто, необходимо обеспечить «энергетический баланс». Здесь же, в гипотезе Ходжа, этого «обеспечения» недостаточно, т. к. очевидно, что необходим постоянный сильно коррелирующий фактор (или другими словами - постоянный «приток» с «внешней стороны» некой «энергетической составляющей», т. е. новой «поддерживающей» аналитической «техники»). В последовательности (10), нули внутри неё (та же, условно говоря, «траектория»), образно говоря сопоставимы с «точками» бифуркации, где и «канализируется» «бесконтрольная» энергетическая составляющая, а нули по краям - это отвечает тому, что избранный набор инвариантов однозначно задаёт искомый объект. Объясним это.
В гипотезе Ходжа - классы, это - классы когомологий, представляющие собой наборы когомологических коциклов. Напомним из статьи [11], где в случаях, когда редуцированные
когомологии не совпадают с нередуцированными, применение, например, аддиционных методов для вычисления редуцированных когомологий встречаются трудности, в связи с тем, что когомологические последовательности редуцированных когомологий бывают и не точны. В этой статье [11], подробно, предлагается способ преодоления этих трудностей, который основан на изучении соотношений между мерами неточности различных когомологических последовательностей, связанных с триадой римановых многообразий. Это, как например, по аналогии со спектральной последовательностью Адамса с её е-инвариантами, где измеряется отклонение гомоморфизма Гуревича от изоморфизма. Да и решение уравнения Лапласа - есть гармоническая функция (в контексте рассмотрения гравитационного потенциала), полученная как упоминалось выше - за счёт усреднения.
Вывод по гипотезе Ходжа: таким образом, если мы хотим, чтобы избранный набор инвариантов однозначно задавал исходный объект, необходимы, скажем так, «пластичные», в смысле адаптационные «инструментарии» с «коррелирующими» функциями, т. е. с «эффективной канализацией
неконтролируемой энергии», вызванной разного рода неточностями. В общем говоря, нужна новая аналитическая «техника» основанная на «взаимопроникновении» разных разделов математики.
б) По системе Навье-Стокса: Уравнение Навье-Стокса, основано на законах Ньютона, где ускорение частицы пропорционально действующей на неё силе. Здесь, для того, чтобы «взять» поток под «контроль», законам Ньютона сопоставим твисторный анализ с гармоническими отображениями в аспекте с «движущимися» флагами, причём заметим - частицам жидкости, возможно, сопоставить игроков турнира (см. п. 2А).
Самое главное есть энергия и её оценка - см. выражения с (1) по (6). Ясно, что они в принципе равноценны и отличаются всего лишь разным математическим «наполнением». Здесь имеем как устойчивые, так и неустойчивые отображения (вариации, множества) - см. п. 2А, Б. (когда поток становится турбулентным, численные методы решения уравнения приводят к тому, что
компьютер тратит непозволительно огромное количество времени на решение). Вкратце, при рассмотрении в сопоставлении с системой Навье-Стокса математического «наполнения» из п. 2А, Б, имеем, условно говоря, тот самый «регулятор» - аналог вышеупомянутой в п. 1 мажоранте М. Этот «регулятор» представлен в образе энергии с её оценкой, например, см. выражение (6), точек («седловые» критические точки), которым сопоставимы известные точки x из задачи Навье-Стокса (нахождение вектора скорости u (t, x), давление p(t, x)) и кривые (голоморфные, траектории). Что касается последних
(«траекторий»), то довольно известным фактом, а это увеличенные в несколько раз изображения турбулентного потока, является формирование вихревых струек, как длинных тонких структур, собирающиеся в пучки, т. е. более крупные структуры по длине и сечению (всё согласно схеме 96). Заметим, что числитель из выражения (9а) возможно сопоставить, например, с оценочным выражением (3), т. е.
Ф + E' ~ vol (M)c1(P)[M].
В выражении (9) присутствует скорость, при этом заметим, что оно получается, когда последовательно рассматривается свойства динамики системы потенциально взаимодействующих одинаковых МТ с их координатами R и скоростями.
При этом задействуются координаты и скорости МТ в лабораторной системе координат с потенциальной и кинетической составляющими внутренней энергии, а в теории потенциала есть понятие плотности при рассмотрении пространства мер и зарядов.
Всё (в смысле, любой анализ, каких-то объектов, а тем более поток жидкости) в основном начинается с энергетической составляющей (составляющих). Кстати, там же в [6], рассматривается случай нахождения уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала энергии. Это основа, или «базовая платформа» построения в основном всех систем. В нашем случае, к этой энергии добавляются сопутствующие объекты: точка и кривая (траектория).
В соответствии с диаграммой (9б), в аспекте вышеуказанного анализа насчёт пучков, представляется интересным (следуя пожеланиям О.А. Ладыженской о свободном
выборе пространств), исследовать систему Навье-Стокса с позиции умножений гомологий на когомологии, с учётом диагональных вложений пространств Х в декартов квадрат с естественным преобразованием дифференциального пучка тензорного произведения комплексов сечений двух подходящих ациклических резольвент из статьи [12], во взаимосвязи с симметризацией в теории функций комплексного переменного из статьи [13] и др.. И всё это с Д-энтропийных/ОНДС позиций в контексте энергетических оценок, например, см. выражения (3) ... (6). Но эта тема совсем для другой статьи.
Вывод по системе Навье-Стокса: Данные выкладки возможно будет в дальнейшем сопоставить с другими решениями этой задачи, в т. ч. и с попытками её решения, именно с оценочных позиций по отношении к определённой мажоранте М (по Л. А. Ладыженской).
в) по проблеме Р/ЫР: В ранее упомянутой статье [2], был представлен пакет программ для решения задач укладки, причём это программное обеспечение решает их за полиминальное время. В общем были представлены серьёзные аргументы (теоретические и эмпирические) в пользу равенства Р = ЫР.
Заметим, что с «энергетических» позиций, именно «усилий» на решение задачи, а потом на её проверку будет затрачиваться разное (неодинаковое), но здесь понятно, что, если время, в т. ч. и «усилия» затрачиваемые на проверку меньше чем на решение, то это будет подпадать под равенство Р = ЫР (за «полиноминальное время»). Об этом чётко свидетельствует образное сопоставление с оценочным «энергетическим» выражением из твисторного анализа, это - (4). Ведь отображение / есть флаговое преобразование /' посредством некого другого отображения, т. е. эти «энергетические» составляющие в выражении (4) есть, условно говоря, «энергетические усилия», затрачиваемые на решение и проверку задачи, а знак "<_" однозначно показывает в пользу равенства Р = ЫР. При рассмотрении типичной ЫР-полной задачи, например, поиск гамильтонова цикла в сети, требуется найти замкнутый маршрут по рёбрам сети, которые проходят через каждую «точку» (узел сети). А «замкнутый» означает, что, в конце концов, маршрут возвращается в начальную точку. Короче, имеем
те же «точки» и «траекторию» (маршрут). А ранее в п. 2Б рассмотренный аттрактор, есть, образно говоря, не что иное, как «регулятор» в поиске оптимальных решений с проверками (ведь он равномерно притягивает все «траектории»). Тогда выражения с (7) по (7в) свидетельствуют в пользу Р = ЫР. Ведь проектор P сопоставим с «регулятором», обеспечивающим
«взаимопроникновение» объектов задачи (решения и проверки), а и(скорость) - это относительная эффективность «ходов» соответствующих алгоритмов, при этом ещё везде имеем время 1. Ясно, что маршрут - это кривая («траектория») с точками. Заметим, что графики в статье [2], представляющие собой эмпирические зависимости количества разрешений и смешанные линии соответствующих экспоненциальных данных с характерными точками на этих графиках, также свидетельствуют при их сопоставлении с анализом по аттракторам в пользу выражений с (7) по (7в). Всё это однозначно говорит в пользу Р = ЫР. Аналогичный анализ возможно произвести с участием ОНДС, т. е. при рассмотрении уравнений (9) и (9а).
Вывод по проблеме P/NP: Однозначно, сложных задач не бывает, а есть задачи относительно простые, т. е. всё это говорит в пользу Р = ЫР.
Общий вывод по Модельному предложению:
В рамках известной математической теории приближённых рассуждений, имеют процесс, при котором из нечётких посылов получают некоторое следствие, возможно -тоже нечёткое, но тем самым, всё-таки идёт процесс приближения к истине. В данных же выкладках, всё-таки имеем, при сопоставлении разных математических объектов детерминистское «наполнение», т. е. весьма «чёткое» «наполнение» аналитической «техникой» вышеуказанных задач тысячелетия, где за основу взяты характерные математические объекты: энергия, кривая (траектория) и точка. Эти объекты, в «редуцированном» аспекте, задают необходимое «наполнение» из разных разделов математики, т. е. в нём «концентрируется» необходимая аналитическая «техника». Возможно, это послужит более эффективным изысканием и не только в поиске окончательных решений этих задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сомсиков, В.М. Открытые неравновесные динамические системы // Проблемы эволюции открытых систем. -2017. - Т.2. - Вып. 19. - С. 33-45.
2. Voinov V., Arnqvist N., Voinov V. Polinominal in time nonnegative integer solutions of knapsacks and simular problems in R: P = NP, // Математический журнал, 2018. - Т. 18. - №2(68). - С. 47-58.
3. Алексеева, Л.А. Бикватернионное представление атомов. Простая гамма. // Математический журнал, 2018. - Т. 18. -№1. - С. 11-26.
4. Проняев, В.В. К взаимосвязи Д-энтропии с двумя задачами тысячелетия: P/NP и уравнения Навье-Стокса с позиции системного подхода // Проблемы эволюции открытых систем. -2017. - Т.2(вып.19). - С. 88-97.
5. Ладыженская, О.А. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса, существование и гладкость// Успехи матем. наук, 2003. - Т.58. - Вып.2(350). - С. 46, 47, 73.
6. Давидов, И., Сергеев, А.Г., Тристорные пространства и гармонические отображения // Успехи матем. наук, 1993. - Т.48, вып.3 (291). - С. 5-93.
7. Чуешов, И.Д. Глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики //Успехи матем. наук, 1993. -Т.48. - Вып.3 (291). - С. 135-151.
8. Мандельбаум, Р., Четырёхмерная топология/ Перев. с англ. О.Я. Виро. - М.: «Мир», 1981. - С. 103-108.
9. Четаев, Н.Г., Теоретическая механика. - М., «Наука», 1987. - С. 245, 358-361.
10. Стюарт, И., Величайшие математические задачи, пер. с англ. 2015, М., - Династия, С. 291-393.
11. Кузьминов, В.И., Шведов, И.А. Аддиционные формулы для редуцированных Lp когомологий, //Сибирский матем. журнал, - 1994. - Т.35. - Вып. 2. - С. 380-387.
12. Скляренко, Е.Г. О природе гомологических умножений и двойственности // Успехи матем. наук, 1994. - Т. 49. - Вып.1(295). - С. 141-198.
13. Дубинин, В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного// Успехи
матем. наук, 1994. - Т. 49. - Вып.1(295). - С. 3-76.
