CC BY
26
мацией объектов и происходит осуществление механизма действия времени всюду и в тот же момент. Сам факт существования нашего Мироздания (существует -значит есть время) и является источником энергии («наполнение» информацией) во Вселенной (как по Н.А. Козыреву).
Замечание 2
При внимательном чтении обязательно обнаружится некоторый «дефект». В диаграмме (1) указывалось, что «наполнение» ручек, чтобы не нарушалась связь, должно происходить постоянно и одновременно. Заметим, что в гибкую ручку Кассона V может входить множество других ручек Кассона («информации»). А ведь если предположить, что «наполнение» информацией этих ручек, допустим, происходить не будет или будет происходить не одновременно, тогда связи эти в (1) всё равно не нарушатся, ведь между любыми (!) ручками Кассона можно построить V ~ V'. Но это скорее не «дефект», а положительное свойство. Например, у нашей планеты своя «внутреняя» энергия, проявляющаяся в частности в землятресениях, цунами и т. п., а у Солнца совсем другая, т. е. объём информации, «получаемой» космическими объектами, может быть разный. А для некоторых объектов этой информацией по сравнению с другими можно и пренебречь. Но понятно, что согласно диаграмме (1) всё равно связи не будут нарушаться.
Вопрос
Возможно ли, опираясь на данное обоснование, разработать теорию, которая усиливает (дополняет) теорию вероятностей (по некоторым аспектам нашего Мироздания), исходя из топологии направления А. Кассона. В [7] Ю.П. Соловьёв заметил, что гибкие ручки Кассона являются всё ещё «неисследованной территорией». Это высказывание актуально до сих пор.
P. S. от автора. Читателям предлагается проанализировать содержание статьи на предмет выявления «дефектов» и по возможности их устранить. Или предложить свой альтернативный вариант, а потом, по возможности, сопоставить его со статьей.
Список литературы
1 Хокинг С. У. Краткая история времени. СПб.: Амфора, 2005. С. 265.
2 Власов А. А. Релятивистская теория гравитации и пространственная топология // Вестник МГУ, серия 3: физика, астрономия, т. 29, 2\1988. С. 72, 73.
3 Свешников К. А. Взаимодействие нулевых фермионных мод с веществом // Вестник МГУ. Серия 3: физика, астрономия, т. 29, 3\1988. С.7-11.
4 Адамс Д. Ф. Бесконечнократные пространства петель / пер. с англ.; под ред. Д. Б. Фукса. М.: Мир, 1982. С.5-9.
5 Фам Ф. Н. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау / пер. с англ.; под ред. В. И. Арнольда. М. : Мир, 1970. С. 136.
6 Марен А. М., Гийу Л.А. В поисках утраченной топологии / пер. с англ.; под ред. Ю. П. Соловьёва. М.: Мир, 1989. С. 249-256.
7 Соловьёв Ю. П. Топология четырёхмерных многообразий // УМН. Т. 46. 1991. Вып. 2(278). С. 166.
8 Лошак П. А. Каноническая теория возмущений // УМН. Т. 47, №6 (288). 1992. С. 59-121.
УДК: 517.9, 513.83, 511, 512.
В.В. Проняев
ООО «Цвет», г.Воронеж
К УРАВНЕНИЯМ НАВЬЕ-СТОКСА ЧЕРЕЗ ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА-ЭЙЛЕРА (ШЕСТАЯ ПРОБЛЕМА ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ)
Дннотация. На обсуждение читателям для исследования уравнений Навье-Стокса предлагаются некоторые модели, основанные на известной теореме Кэппелла-Шейнсона и Понтрягина-Уайтхеда из топологии четырёхмерных многообразий, теории групп Галуа, алгебраической теории чисел (группы Тэйта) с задействованием знаменитой проблемы гидродинамики - Парадокса Даламбера-Эйлера. Данные математические модели строятся на общих «точках» соприкосновения этого положения гидродинамики и вышеуказанных областей математики. Формулируется лемма и утверждение из которых следует Предложение для дальнейших исследований уравнений Навье-Стокса (на основании законов подобия). За основу этих исследований берутся выводы О.А.Ладыженской.
Ключевые слова: теорема, гомеоморфизм, диффеоморфизм, парадокс, «экзотическое оснащение», сужение, группа Галуа, уравнения.
V.V. Pronyaev
Society with limited liability «Zvet», Voronezh
TO THE EQUATION OF NAVIER-STOKES THROUGH THE PARADOX OF DALAMBER-EULER (THE SIXTH PROBLEM OF THE MILLENIUM)
Annotation. For discussion on equation Navie-Stoks some model based on the known theorem of Keppella-Sheinsona from topology of four-dimensional varieties for the solution, theory groups, algebra theoru numbers of the well-known problem of hydrodynamics - Paradox of the Dalember-Euler is offered to readers. The given mathematical model is under construction on proposal on work. This work of basis in inference O.A, Ladujenskaya.
Keywords: the theorem, a homeomorphism, diffeomorphism, paradox, «exotic equipment», a contraction, problems, groups Galua, equation.
1 Представление проблемы
Вначале напомним читателям некоторые весьма известные положения, которые можно найти во множестве специальной литературы, а также интернете. Решения уравнений Навье-Стокса не известны, и неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. О.А. Ладыженская в статье [1], довольно ёмко сформулировала главный вопрос - проблему относительно уравений Навье-Стокса, а именно: «Дают ли уравнения Навье-Стокса вместе с начальным и краевым условиями детерминистическое описание динамики несжимаемой жидкости или не дают». О.А. Ладыженская со своими идеями и результатами достаточно близко продвинулась в этом направлении.
Далее нам понадобится Даламбера-Эйлера парадокс - положение гидродинамики, согласно которому
при равномерном и прямолинейном движении тела произвольной формы, но конечных размеров внутри безграничной несжимаемой жидкости, лишённой вязкости, вихреобразований и поверхности разрыва скоростей, результирующая сила сопротивления жидкости движения тела равна нулю. Парадокс Даламбера-Эйлера строго доказан и для идеального совершенного газа, движущего адиабатически. Физически отсутствие сопротивления объясняется тем, что при указанных условиях поток жидкости или газа должен замыкаться позади движущего тела, причём жидкость оказывает на заднюю сторону тела воздействие, уравновешивающее (всегда имеющее место) на переднюю сторону.
В действительности же тело при своём движении в жидкости или газе всегда испытывает сопротивление. Противоречие между действительностью и содержанием парадокса Даламбера-Эйлера объясняется тем, что в реальной среде не выполняются те предположения, из которых строится доказательство парадокса. При движении тела в жидкости всегда проявляется вязкость жидкости, образуются вихри (в особенности позади тела) и возникают поверхности разрыва скорости. Эти термодинамически необратимые процессы и вызывают сопротивление движению тела со стороны жидкости. В общем математическая модель, использованная Даламбером и Эйлером, оказалась переупрощённой. Реальные течения нессиметричны: трение нарушает симметрию. Реальная математическая модель должна учитывать трение и отрыв потока от тела.
2 Математические моделирование
Вначале обоснуем следующее: для представления материала для дальнейших исследований необходимо будет сформулировать уже с более «насыщенным» математическим «наполнением» механизм действия па-радкса Даламбера-Эйлера, при этом нижеприведённые результаты, понятно никоим образом не будут противоречить известным(см. выше).
За основу, как аналог здесь будет взят «приём», который более 60 лет тому назад А.Н. Колмогоров предложил описывать свойства развитой турбулентности, т. е. на основании законов подобия. Позднее идеи подобия легли в основу ренормгруппы (методы статистической механики и квантовой теории поля). Всё это давно вошло в историю математики и отвечает самым высоким стандартам. Вот и здесь используется аналогичное подобие или некое моделирование, и почему бы всё это не превнести в проблему уравнений Навье-Стокса.
Лемма: парадокс Даламбера-Эйлера, в смысле его «двойственность» (известные утверждения и фактически наблюдаемые реалии), образно перенесём как модели на некоторые известные положения из разных областей математики, у которых также есть аналогичная «двойственность», но вполне обоснованная (конструктивная). Это даст обоснование различий неких соответствующих «оснащённостей» - очевидных в смысле для жидкости/газа и тела. Тогда из этой обоснованности известных положений возможно обосновать причину «нестыковки» утверждений Даламбера-Эйлера и наблюдаемых реалий.
Доказательство
Нам предстоит образно перенести неконструктивное положение дел Парадокса на конструктивные взаимоотношения разных математических объектов или наоборот. С осмыслением «механизма» действия Парадокса.
1 В [2] при рассмотрении фальшивых четырёх-122-
мерных многообразий была приведена одна известная теорема. Это теорема Кэппелла-Шейнсона (CS2), в которой рассматриваются компактное гладкое четырёхмерное многообразие с (возможно, пустым) краем. Если предположить, что группа пх{Х) имеет обращающий ориентацию элемент порядка 2, то тогда существует такое многообразие (<24, д£>4) и такая простая гомотопическая эквивалентность /":(£)А,дQ4) ^ (X,дХ) (1), что её сужение /: дQ ^ дХ (2) является диффеоморфизмом. И что самое интересное, сама она, эта гомотопическая эквивалентность (1), не гомотопна ни диффеоморфизму, ни PL-гомеоморфизму.
На первый взгляд, это выглядит парадоксально. Но с ознакомлением с этим доказательством «парадоксальные ощущения» исчезают. Если образно сопоставить эту теорему (CS2), как модель, с содержанием Парадокса Даламбера-Эйлера, то получается довольно занятная «картина».
Во-первых, ничего не будем опровергать, а наоборот, все предположения, на которых базируется известное доказательство Даламбера-Эйлера, и само это доказательство будем считать верными. Как утверждение, в контексте рассматриваемого взаимодействия тела со средой действующее всегда, постоянно, или бесконечное количество раз, когда мы снова и снова будем возвращаться к этому явлению. Так вот, это «всегда» условно возможно сопоставить с сужением (2), являющимся диффеоморфизмом, модель которого в реальной среде мы не наблюдаем. Здесь читателю рекомендуем вспомнить определение диффеоморфизма.
Во-вторых, гомотопическую эквивалентность (1) -именно не гомотопную ни диффеоморфизму, ни РL-гомеоморфизм - очевидно можно сопоставить с фактом того, что мы реально наблюдаем в газе (жидкости) - это всегда проявляющиеся вязкость, вихри, поверхности разрыва скорости. При этом саму гомотопическую эквивалентность (1) можно сопоставить (смоделировать) с конфигурацией тела (её формой), условно скажем, с многообразием её внутреннего (в этом объёме) содержания вне исследуемой среды в состоянии покоя. И в среде, именно с «вытесненным» этим телом объёма в самом начале движения. Здесь возможны варианты.
Заметим, что доказательство этой гомотопности и т. д. для (2) и (1) в этой теореме (CS2) строится на различиях между экзотическими оснащениями тора Т3 и другими оснащениями, а также теоретико-множественных вычислениях соответственно. Для нашего случая по факту также имеем свои разные «экзотические» оснащения. Это, с одной стороны, газ (жидкость), т.е. сама среда, с другой - само тело в контексте с гомотопической эквивалентностью (1) и сужением (2). Получается, что у нас «зарезервировалась» информация, касающаяся реального положения дел, которую очевидно не учли при доказательстве Даламбера-Эйлера. Значит, необходимо продолжить доказательство Даламбера-Эйлера (не опровергать, а продолжить). И «подвести» его к бесспорному наблюдаемому нами факту - вязкость, вихри, поверхности разрыва скоростей. И тогда понятно, «странного» в этом Парадоксе уже ничего не будет.
Здесь очевидно, что на взаимоотношения сред -жидкость/газ и тело - образно перенесли четырёхмерное многообразие, как бы «ослабив» требования к исследуемому процессу.
2 Для решения подобных проблем здесь возможно применить следующую схему. Вышеуказанная задача (модель) представляет, вообще говоря, более трудную проблем у, че м сам П а р ад о кс. С ам П а рад о кс
Вестник КГУ, 2015. № 4
назовем проблемой А, а само вышеприведённое содержание и задачу - проблемой В. Так вот, если будем «ослаблять» требования к проблеме В, то будем тогда решать, например, некоторую проблему С. Всю эту деятельность будем называть подходом к проблеме А. С формальной точки зрения, например, такой подход укладывается в задачу погружения в теории Галуа. Кстати, в нашем Парадоксе тоже имеем своё «погружение» - тело как бы погружается в газ или жидкость.
Центральной проблемой современной теории Галуа является обратная задача - построение по заданному полю к и заданной группе G расширения L/k с группой Галуа G [3]. Задача погружения полей обобщает обратную задачу, при этом обычно требования к искомому объекту ослабляются: требуется, чтобы поле L было не обязательно полем, но алгеброй Галуа над полем к с группой G. Тогда задача погружения оказывается вполне содержательной.
Напомним задачу погружения для локальных полей: (К/к, G, f, В),
где G, В - конечные р-группы, f - отображение. Здесь данная задача погружения разрешима только в том случае , когда разрешима сопутствующая ей задача с неким коммутантом группы В*. При этом необходимы известные четыре условия согласности. Вот это положение дел с конечными группами образно перенесём на известные теоремы гидродинамики(или наоборот). Кстати, по аналогии с конечными группами (группой -см. выше) тело в жидкости/газе тоже конечных размеров. Группы G и В - условно примем (имеем «ослабление») за положение тела в разные моменты времени (понятно, что возможны «вариации»). Но здесь, как известно, нельзя в представленной задаче погружения избавиться от требований равенства числа, образующих группы и факторгруппы, т. е. чтобы, образно переносясь в гидродинамику, результирующая сила равнялась нулю. Но эта задача погружения в теории Галуа неразрешима в связи с тем, что её разрешимость эквивалентна тривиальности некого символа Гильберта. Вот это и будет относиться к наблюдаемым нами гидродинамическим реалиям. Опять вместе с моделью (см. п. 1) имеем некий аналог нестыковок «экзотических» оснащений.
3 Далее напомним из алгебраической теории чисел [4] - по части групп Тэйта известную теорему. Это когда для каждой точной последовательности G-модулей (группа G конечна)
СО А — В — С — 0 (3)
имеет место точная последовательность когомологий:
... — Н 4 (в, А) — Н 4 (в, В) — Н 4 (в, С) Н 9+1 (в, А) — ...(4) Здесь очевидно, что (3) с нулями образно можно перенести на положение дел в гидродинамике - известные теоремы (или наоборот), где результирующая сил сопротивления жидкости движению тела равна нулю. При этом бесконечную последовательность (4) когомо-логий (опять более усложнённое «оснащение») можно сопоставить с наблюдаемыми нами реалиями в разные моменты времени.
На основании вышеизложенных моделей по п. 1, 2 и 3 очевидно можно сделать вывод:
Для известных теорем и для наблюдаемых нами реалий гидродинамики перенесение на них как модели известных соответствующих (конструктивных) положений из различных разделов математики даёт один и тот же «эффект» - различные «оснащённости». Теперь будем обосновывать вышеупомянутую причину «нестыковки». Лемма доказана.
Утверждение: причина Парадокса Даламбера -Эйлера «кроется» в изначальной несостоятельности доказываемых известных теорем гидродинамики, т. е. начинать их доказывать не стоило из-за того, что среды -жидкость/газ и тело - имеют различные плотности.
Доказательство
Из леммы представленные модели по п. 1, 2 и 3 из разных разделов математики определяют одинаковый фактор или свойство. Однозначно это различные «оснащённости», представленные объектами, соответствующие этим разделам математики, которые находятся в констуктивной связи с Парадоксом гидродинамики. Теперь из этой конструктивности, переходя к физической сущности (гидродинамике), однозначно причина Парадокса «кроется» в различиях плотности среды (жидкости/газа) с телом, т. е. начинать доказывать эти известные утверждения гидродинамики не стоило. Различные «оснащённости» - это различные плотности.
Всё вышеизложенное может показаться не совсем конструктивным. Используем последний довод - представим некую верификацию. Гипотетически представим следующий эксперимент.
Его с соответствующим оборудованием можно провести в лабораторных условиях. Допустим в жидкости с известными условиями движется тело - кусок льда. К нему прикреплены по периферии и внутри нагревательные элементы. Понятно, что после вступления их в действие - кусок льда начнёт растапливаться (по ходу движения). Однозначно обнаружится, что вязкость, вихри, поверхности разрыва скоростей будут уменьшаться, т. к. плотность пограничного слоя будет стремиться к плотности среды (жидкости). Потом она превратится в одинаковую с исчезновением вихрей и т. п., а также и движения. Аналогично в газе, в конечном итоге, возможно рассмотреть (как модель) обычный ветер, где плотность немногим отличается от окружающей среды (воздуха). Очевидно, сопротивление там будет минимальным, - условно его вообще не будет, как в известных утверждениях гидродинамики Даламбера-Эйлера. В общем всё дело в разной плотности вещества. А утверждения Даламбера-Эйлера верны, когда условно плотность тела стремится к плотности среды (жидкости/газу).
Всё-таки для полного осмысления самой сути действия «механизма» Парадокса снова обратимся к топологии четырёхмерных многообразий, а именно к известной теореме Понтрягина-Уайтхеда, в которой рассматриваются М и М* - замкнутые односвязные четырёхмерные многообразия с их соответствующими формами пересечений L и Ц* При этом существует гомотопическая эквивалентность, когда соответствующие пары групп изоморфны как пространства с внутренним произведением. Так вот, как модель эти многообразия условно примем за среду и тело соответственно. А теперь самое интересное. Для того, чтобы выполнялись теоремы Даламбера-Эйлера, где результирующая сила сопротивления равняется нулю, т.е. есть баланс (эквивалентность), а в нашем случае, возвращаясь к теореме Понтрягина-Уайтхеда, это гомотопическая эквивалентность, необходимо выполнение вышеупомянутых форм пересечений. А это означает взаимное проникновение среды и тела друг в друга. Ясно, что на основании вышеприведённых «оснащений» из разных областей математики, т.е. различной плотности среды и тела (основной причины), этого проникновения никогда не будет.
А если (гипотетически) такое тело создать, то для выполнения гомотопической эквивалентности понадобится ещё и изоморфизм пар групп (см. выше). Опять поле деятельности для лабораторных экспериментов. Например, движение полого и сплошного цилиндра («диаметром» навстречу потоку - в принципе здесь это грубое допущение). Хоть результирующая сила сопротивления среды должна равняться нулю по теоремам Даламбера-Эйлера, но эта среда имеет массу, и «обойти» природу (закон: действие равно противодействию) не представляется возможным. В общем, если не будет «демпфирования» ситуации, т.е. взаимного проникновения (пересечения) среды и тела, то не будет никакой эквивалентности, и в итоге будем наблюдать известные гидродинамические реалии.
Задача: возможно ли продолжить рассмотрение моделей, аналогичных п. 1, 2 и 3 из других разделов математики?
Замечание (попутное): очевидно, что некоторые разделы математики по отношению к другим продвинулись в своём развитии относительно больше. Поэтому по аналогии с «продвинутыми» разделами для «непро-двинутых» и по аналогии с вышеупомянутой оснащённостью возможно было бы их сопоставлять и ставить задачи, гипотезы и проблемы для дальнейших исследований (для «непродвинутых» областей математики).
Постановка задачи (Предложение) для дальнейших исследований
Далее напомним, что же, по О.А. Ладыженской, достаточно сделать для уравнений Навье-Стокса, чтобы дать ответ на указанную вначале статьи проблему. Необходимо одно: чтобы в выделенном классе обобщённых решений имела место теорема единственности (с нахождения классов единственности). За основу О.А. Ладыженская взяла энергетические соотношения и ближайшие к ним гильбертовы пространства. Потом были банаховы пространства и пространства Гёльдера. Здесь предлагаются для дальнейших исследований в данном контексте вышеприведённые разные математические объекты (на выбор), сформулированные для парадокса Даламбера-Эйлера, которыми, по замыслу автора, можно воспользоваться, например, для нахождения обобщённых решений начально-краевых задач, определив их с помощью тождеств (превнося законы подобия), и доказательства теоремы единственности в выбранных классах решений и существования по крайней мере одного решения в классах гладких функций. Здесь «диапазон» творчества достаточно велик (исходя из вышеуказанных обоснований). Далее нужно будет исследовать гладкость найденных обобщённых решений в зависимости от гладкости данных. Кстати, задачи с решениями именно во все моменты времени, возможно, корректно (используя законы подобия) будут сочетаться с четырёхмерными многообразиями и их математическим «наполнением».
Здесь, на взгляд автора, если и дальше исследовать вышеприведённое направление, то найдутся другие весьма интересные (сопутствующие) направления.
Список литературы
1 Ладыженская О. А. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса, существуетвование и гладкость // УМН. 2003. Вып. 2(350). С.46, 73, 74.
2 Мандельбаум Р. С. Четырёхмерная топология / пер. с англ. М.: Мир, 1981. С. 16, 103-108.
3 Ишханов В. В., Лурье Б. Б., Фаддеев Д. К. Задача погружения в теории Галуа. М.: Наука, 1990. С. 115-125.
4 Касселс Д. А., Фрёлих А. П. Алгебраическая теория
чисел / пер. с англ. М. : Мир,1969. С. 161.
УДК: 53
О.А. Шварц1, И.В. Шварц2 Российский государственный университет имени А.И. Герцена, Санкт-Петербург 2Курганский государственный университет
ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА ХОЛЛА ОТ ТОЛЩИНЫ И ЧИСЛА СЛОЕВ В СВЕРХРЕШЕТКЕ BI-SB ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Аннотация. В данной статье отражены результаты исследования гальваномагнитных свойств композиционных полуметаллических сверхрешеток с напряженной структурой (СНС) Bi-Sb. В частности проводились эксперименты по изучению эффекта Холла в данных системах.
Ключевые слова: сверхрешетки, полуметаллы, гальваномагнитные свойства, слоистые структуры.
O.A. Schwartz1, I.V. Schwartz2
Russian state University named after A. I. Gertsen
2Kurgan State University
THE DEPENDENCE OF HALL COEFFICIENT ON THE THICKNESS AND AMOUNT OF LAYERS IN THE SUPERLATTICE BI-SB AT LOW TEMPERATURES
Annotation. This article presents the results of studies of the galvanomagnetic properties of composite polymetallic superlattices with strained structure (S3) Bi-Sb. In particular, experiments were conducted to study the Hall effect in these systems.
Keywords: superlattices, semi-metals,
galvanomagnetic properties of the layered structure.
Исследование сверхрешеток полуметаллов является одним из слабоизученных направлений современной физики конденсированного состояния, несмотря на то, что результаты, полученные в данном направлении, имеют большое практическое значение.
Цель данной работы - исследовать изменения гальваномагнитных свойств (в частности эффекта Холла) в композиционных серхрешетках с напряженной структурой (СНС) в виде тонких пленок на подложке полиамида, составленных из двух полуметаллов Bi и Sb c сохранением толщины плёнки, равной 200 нм.
Производство сверхрешеток осуществлялось методом вакуумного напыления, а именно использовались установки на базе промышленных систем УВН-ЖК, имеющих рабочий вакуум 10-3 Па. Все сверхрешетки получались при глубине вакуума в камере напыления 10-3 Па.
В данной работе использовался висмут марки «Ви 000» и сурьма марки «Су - 000».
Для проведения исследований использовалась автоматизированная установка для измерений гальваномагнитных эффектов в пленках полуметаллов.
Всего в процессе работы были измерены пленочные сверхрешеточные структуры с 2,4 и 6 слоями, имеющими периодическое расположение Bi и Sb, а именно:
124
Вестник КГУ, 2015. № 4
