CC BY
38
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
Ю. Г. Видеман, С. А. Назаров
УТОЧНЕННОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ ТОНКОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ*
В 1886 г. О. Рейнольдс [1], знакомый с исследованиями по гидродинамике Н. П. Петрова (см. собрание сочинений [2]), вывел линейное скалярное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее течение жидкости в зазоре между двумя жесткими стенками. Этот результат на долгое время предопределил направление развития теории смазки. Было предпринято немало попыток повысить точность приближения за счет поправочных членов, учитывающих кривизну поверхностей и нелинейные конвективные члены. Именно отсутствие этих параметров в самом уравнении Рейнольдса рассматривается как главный его недостаток. Ошибки в инженерных подходах или объемных вычислениях (они упоминаются, например, в книге [3]) обусловили то, что лишь в 1994 г. было опубликовано [4] правильное выражение для поправки первого порядка в геометрически простейшей двумерной задаче о движении жидкости в зазоре между двумя некоаксиальными цилиндрами. Опубликованные к настоящему времени математические работы (см. [5-9] и др.), относящиеся к строгому выводу уравнения Рейнольдса из уравнений Навье—Стокса, т. е. к обоснованию так называемой процедуры понижения размерности, либо устанавливают сходимость решений в подходящих функциональных пространствах, либо оценивают точность основного асимптотического члена по метрике интеграла Дирихле, естественной в задачах гидромеханики [10], но не отвечают на вопрос об улучшении порядка приближения.
В данной статье приведено и обосновано уточненное уравнение Рейнольдса, полученное при помощи детального асимптотического анализа системы уравнений Навье—
Стокса
—Axv(x) + R(v(x) ■ Vx)v(x) + Vxp(x) =0, x £ Q,
-Vx ■ v(x) =0, x £ Q, (1)
v(x) = gl(x), x £ Г®, i = 1, 2,
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке CEMAT/FCT (Centro de Matematica e Aplicagoes/Fundagao para a Ciencia e Tecnologia) и РФФИ (грант №06-01-257).
© Ю.Г.Видеман, С.А.Назаров, 2008
в области Q С R2, ограниченной двумя близко расположенными контурами Г1 и Г2. Если эти контуры — окружности с мало различающимися радиусами и центрами, то (1) — задача о длинном вращающемся роторе (journal bearing). В формулах (1) v = (vi, v2) — вектор скоростей, p — давление, Vx = grad, точкой обозначается скалярное произведение, т. е. Vx- = div и Дх = Vx ■ Vx — оператор Лапласа, R > 0 — (безразмерное) число Рейнольдса, а д® — заданные вектор-функции, обладающие нулевыми проекциями на кривые Г®, i = 1, 2. Контур Г1 = Г считаем основным. Соответственно положим
Г2 = Г^ := {x : s £ Г, n = hH(s)};
здесь (s, n) —естественные криволинейные координаты, длина дуги и расстояние вдоль нормали, H — положительная функция на Г, гладкость которой фиксируется далее, и h £ (0, ho] —малый безразмерный параметр, ho > 0.
В предположении
g®(x) = fli(s)ri, i = 1, 2, (2)
где т® —единичный касательный вектор к дуге Г®, уравнение Рейнольдса [1] имеет вид
~ ds H(sf daq(s) = -да (H(s)f(s)) := -да (Н(з)(д\з) + fl2(s))) , s 6 Г. (3)
Здесь ds = d/ds и h-2q(s) —главный член асимптотики давления p(x) в задаче (1) (оба решения определены с точностью до аддитивной постоянной в давлении).
Далее приводится уточненное уравнение относительно скалярной функции р, которое содержит кривизну k(s) контура Г и нелинейное слагаемое
T(H, р) = ds [(H3dsp)2dsH] , (4)
происходящее от конвективного члена (v ■ Vx)v в задаче (1). В отличие от всех предшествующих работ установлены поточечные оценки разности p(x) — h2p(s). Кроме того, полученный результат оказался исчерпывающим в двух смыслах. Во-первых, используется минимальное ограничение
R = h-1R, R < Ro, (5)
на число Рейнольдса: при R = O(h-1—), S > 0, реализовать процедуру понижения
размерности нельзя (ср. с [8, 9]). Во-вторых, функция р переменной s £ Г вбирает в
себя два члена асимптотики давления p в задаче (1), но третий член такой асимптотики зависит от быстрой поперечной переменной
Z = h-1n £ Y(s) := (0,H(s)).
Иными словами, дальнейшее уточнение одномерной модели невозможно по существу. Применяется следующий асимптотический анзац:
p(x) ~ h-2q(s) + h-1q1(Z, s) + h0q2(Z, s) + h1q3(Z, s) + . . . ,
(6)
v(x) ~ h 10 + h0u1(Z, s) + h1u2(Z, s) + h2u3(Z, s) + ...
Формулы (6) и (5), (2) подставляются в задачу (1), которая переписывается в криволинейных координатах (Z, s); в частности, вводятся проекции vn и vs вектора v на
соответствующие координатные оси. После выделения множителей при одинаковых степенях малого параметра Н возникает последовательность задач для обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезках Т(в) Э С с параметром в € Г. Первая из этих задач имеет вид
-дс2^ + %'П дс < + дс д1 = 0, -д2'1 + дс V,1 + дяд = 0,
-дс«П = 0 при С € Т, (7)
«П = 0, V1 = д1 при С = 0, «П =0, V1 = д2 при С = Я.
Из последнего уравнения на отрезке и однородных граничных условий для компоненты скорости «П вытекает, что «П = 0. Следовательно, задача (7) становится линейной, а ее решение определяется по формулам
?1(С,в) = ^(в),
1 (8)
«1(С,«) = в1!» - н(в) хс (в1^) - в2(в)) + - С(С - я(в))а8д(в).
Подчеркнем, что условие разрешимости задачи (7) выполнено автоматически, однако на следующих шагах алгоритма такие условия оказываются нетривиальными. Именно, условием разрешимости задачи для («2, д2) служит уравнение Рейнольдса (3). При этом функция д2 зависит полиномиально от переменной £, а также линейно от кривизны к и приведенного числа Рейнольдса %. Упомянутая зависимость д2 от £ вместе с первой формулой (8) подтверждают сказанное ранее о членах асимптотики давления р.
Решение для («2,д2) и, тем более, задача для («3,д3) выглядят весьма громоздко. Однако без явных выражения для «2 и д2 удается преобразовать условие разрешимости упомянутой задачи к достаточно компактному виду
1 1 %
--АЯ3^1 = МН3двд - —ЧН,ч) ~ двЩ. (9)
6 6 560
Здесь помимо нелинейного оператора (4) использованы обозначения
Й = ^кН + + 02)^Я + б^д1 + <9802)я),
3=Ьн(в1-в‘2) -^-(((у-гв2)^1- ^-в2)^2)^- (10)
-2 ((д1)2 + 40102 + (02)2)яд8я).
Величины (10) целиком определяются данными задачи (1). Уравнение (9) имеет ту же структуру, что и уравнение Рейнольдса (3), но его правая часть зависит от решения д.
Итак, полностью найдены члены д, д1 и и1, и2 анзацев (6). Благодаря выполнению условия разрешимости (9) можно, в принципе, вычислить решение (и2,д2), однако все равно составляющие д2 и д3 асимптотики давления будут определены с точностью до слагаемых д2 и д3, зависящих только от переменной в. Процедуру построения асимптотики можно продолжить и, в частности, вывести аналогичные (9) уравнения для д2
и д3; впрочем, все формулы становятся невообразимо громоздкими и потому бесполезными.
Укажем две оценки, служащие обоснованием асимптотического анзаца (6) в предположении, что
Но шах | |к(в)|Н(в) в Є г| < 1. (11)
Последнее неравенство устанавливает верхнюю границу изменения геометрического параметра Н, принятую далее всюду.
Теорема 1. Пусть Н Є С2(Г), д® Є ^22 (Г) и к Є ^21(Г), причем
N = Ц01; ^2(Г)|| + ||д2; ^2(Г)||, N = ||к; ^(Г)! (12)
Найдется такое число 6 > 0, зависящее от величин
шіп{Н(в) в Є Г} и ||Н; Н2(Г)||, (13)
что при условиях Н Є (0, Но] и
тN0 (1 + н(1 + №)(1 + тл/?)) < 6 (14)
задача (1) имеет решение («,р), для которого справедливо неравенство
— Vxu1 — НVжм2; ^2 (П) || + Н 11V — и1 — Ни2; ^2 (П) || +
+ Н||р — Н 2^ — Н 1д1; І2(П)/К|| <
< сН3/2(1 + т)(1+ N^(1+ N) =: сН3/2^, (15)
где постоянная с зависит от величин (13), но не от параметра Н Є (0, Но] и норм
(14). Кроме того,
N = N (1 + N )(1 + т МД (16)
а в факторпространстве Ь2(П)/М отождествлены функции, различающиеся на постоянную. Если в дополнение к условиям (11) и (14) величина Н3/2ЭД из правой части
(15) достаточно мала, то упомянутое решение единственно с точностью до постоянного слагаемого в давлении.
Ограничения, возникшие в теореме 1, включают в себя малый параметр Н. В принципе, его можно заменить величиной Но и получить ограничения, обслуживающие весь промежуток (0, Но] изменения параметра Н. Так, например, при малой верхней границе Но > 0, зависящей от данных задачи, указанное теоремой 1 решение единственно. Между тем, в физических приложениях Н — малое, но фиксированное число, и ни о каком предельном переходе Н ^ +0 речи нет. Поэтому выявление зависимости мажорант от данных задачи — принципиальный и новый по сравнению с предшествующими работами момент.
Следуя схеме [10] повышения гладкости обобщенного решения задачи Навье— Стокса, но учитывая на каждом ее шаге зависимости от параметра Н норм и множителей в правых частях неравенств, которые пишутся на ячейках размером О(Н) и
в координатах, растянутых в h-1 раз, оцениваем нормы асимптотических остатков в пространствах Гельдера, т. е. выводим поточечные оценки точности построенного приближения.
Теорема 2. Пусть Г —контур класса C3, r Є (1, +го), H и g1, g2 принадлежат пространству Соболева W,4^) и k Є W3^). Тогда решение (v,p) задачи (1), упомянутое в теореме 1, попадает в произведение С1,а(И)2 х С0,а(И) пространств Гельдера с показателем а Є (0, 2 — 2/r). Верна оценка
sup |v(x) — u1(x) — hu2(x)| + hsup |Vxv(x) — Vxu1(x) — hVxu2(x)|+
+ h2 sup |p(x) — h-2q(s) — h-1q1(s)| < Crh2-2/r, (17)
в которой supremum вычисляется по области Q, а постоянная Cr не зависит от параметра h Є (О, ho].
Замечание. Оценка (15) точна в следующем смысле: нормы первых отброшенных асимптотических членов в анзацах (б) совпадают по порядку с мажорантой. Такое же свойство приобретает и оценка (17) в случае r = +то. Однако постоянная Cr неограниченно возрастает при r ^ +го, т. е. предельный переход в (17) невозможен. Причина последнего кроется в отсутствии априорных оценок решения задачи Стокса в пространствах W^, (П).
Тот факт, что оба уравнения (З) и (9) имеют одинаковую структуру, а два первых члена асимптотического разложения давления p(x) не зависят от поперечной переменной Z, позволяет воспользоваться идеей [11] образования уравнения, описывающего двучленную асимптотику решения. Именно, положим
q(h, s) = q(s) + hq1(s)+ <?(h, s) (18)
и «присоединим» уравнение (9), умноженное на h, к уравнению Рейнольдса. В результате получим нелинейное модифицированное уравнение Рейнольдса
1 Rh
--ds(l + hS))H3dsq + —%(h,q) = -ds(H(f+h^)) на Г. (19)
б 5б0
Нетрудно видеть, что невязка суммы q + hq1 в уравнении (19) имеет порядок h2. Сформулируем точное утверждение о представлении (І8).
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда найдется такое є > О, зависящее только от величин (1З), что при ограничении h N < є (число N определено в (15)) уравнение (19) имеет решение q Є W22(T). Будучи подчиненным условию ортогональности f qds = 0, решение становится единственным и удовлетворяет г
оценке
||q; WICHIK cN, (20)
где N — выражение (1б). Если решения q и q1 уравнений (З) и (9) подчинены тому
же условию ортогональности, то выполнено неравенство
II q — q — hq1; W22(Г)|| < Ch2. (21)
Постоянные c и C в формулах (2І) зависят только от величин (ІЗ).
Сравнивая утверждения теорем 1 и 3, видим, что они приводят к соотношениям
||p — h-2q; Ь2(П)|| < ch1/2N, ||p — h-2q; L2(0)|| < ch-1/2N.
Таким образом, уточненное уравнение Рейнольдса (19) обеспечивает повышенную точность приближения в сравнении с обычным уравнением Рейнольдса (3), оставаясь при этом одномерным и скалярным, но становясь нелинейным. Отметим, что коэффициенты уравнения (19) зависят от кривизны к контура Г и приведенного числа Рейнольдса R (см. формулы (10) и (5)), которые отсутствуют в (3).
Разумеется, аналогичные неравенства и утверждения справедливы и для гельдеров-ских классов, т. е. можно указать поточечные оценки разности q — q — hq1.
Расчеты для упоминавшейся ранее конкретной задачи о вращающемся роторе демонстрируют, что уравнение (19) (или (9)) дает те же поправочные члены, что и в работе [4].
Литература
1. Reynolds O. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Tower’s experiments // Philos. Trans. Roy. Soc. 1886. Vol. 177. P. 157-234. (Русский перевод: Рейнольдс О. Гидродинамическая теория смазки. М.; Л.: Гостехиздат, 1934).
2. Петров Н.П. Гидродинамическая теория смазки: Избранные работы. М.: изд-во АН СССР, 1948.
3. Szeri A. Z. Fluid Film Lubrication: Theory and Design, Cambridge University Press, 1998.
4. Myllerup C. M., Hamrock B. J. Perturbation approach to hydrodynamic lubrication theory // ASME J. Tribology. 1994. Vol. 116. P. 110-118.
5. Bayada G., Chambat M. The transition between the Stokes equations and the Reynolds equation: a mathematical proof // Appl. Math. Optim. 1986. Vol. 14. P. 73-93.
6. Назаров С. А. Асимптотика решения задачи Навье—Стокса о течении тонкого слоя жидкости // Сибирский матем. журнал. 1990. Т. 31, №2. С. 131-144.
7. Назаров С. А., Пилецкас К. И. Рейнольдсово течение жидкости в тонком трехмерном канале // Литовский мат. сборник. 1990. Т. 30, №4. С. 772-783.
8. Bourgeat A., Marusic-Paloka E. Nonlinear effects for flow in periodically constricted channel caused by high injection rate // Math. Models Methods Appl. Sci. 1998. Vol. 8. P. 379-405.
9. Nazarov S. A., Videman J. H. Reynolds type equation for a thin flow under intensive transverse percolation // Math. Nachr. 2004. Bd 269-270. P. 189-209.
10. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.
11. Назаров С. А. Двучленная асимптотика решений спектральных задач с сингулярными возмущениями // Мат. сборник. 1990. Т. 181, №3. С. 291-320.
Статья поступила в редакцию 24 сентября 2007 г.
