Уточнение нелинейной квазикирхгофовской теории оболочек К. Ф. Черныха Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып. 3.1999

УДК 539.3

Уточнение нелинейной квазикирхгофовской теории оболочек К.Ф.Черныха

Е. И. Михайловский, А. В. Ермоленко

Получены уравнения статики оболочек, уточняющие квази-кирхгофовскую теорию К.Ф.Черныха [1,2] в основном за счет варьирования параметров А?, к?, характеризующих поперечное обжатие. Граничные величины приведены к исходной конфигурации оболочки. Показано, что в общем случае независимыми являются шесть геометрических граничных величин, что не согласуется с порядком разрешающей системы уравнений в смещениях, основанной на гипотезе Кирхгофа об отсутствии поперечных сдвигов.

1. Некоторые исходные соотношения

1.1. Отнесем срединную поверхность недеформированной оболочки к ортогональным координатам а1, а2. Предположим, что уравнение этой поверхности

г = г(аг), г = 1,2 (1.1)

в результате деформации оболочки переходит в следующее:

г = г(аг) + и(аг). (1.2)

Здесь и ниже величины, соответствующие деформированной (актуальной) конфигурации оболочки, снабжены знаком (*).

Вектор перемещений и можно представить так:

и = иага + и;п = ирТ13 + юп = и<а>еа + гоп, (1-3)

где е,- = ъ/у/аЦ; и<г> - тангенциальные физические компоненты век-

тора перемещений, приведенные к исходной конфигурации срединной

203

© Михайловский Е.И., Ермоленко А.В., 1999.

поверхности: и<г> = игу/ай = Ui/y/аЦ, ац = Г; • г,-, гг = дг/да1 = 9tr; здесь и ниже по одинаковым в одночлене верхнему и нижнему греческим индексам следует суммировать от 1-го до 2-х.

Используя формулы дифференцирования векторов ковариантного {гі, г2, п} и контравариантного {г1, г2, п} подвижных базисов

diTj = nj = Г,“га + btJn. діт3 = V\av° + Цп,

din = пі = = -Ьгага, (1.4)

(Г^ - символы Кристофеля второго рода: Г-j = = гч ■ гк; Ьч, Ц -

ковариантные и смешанные компоненты тензора кривизны срединной поверхности: btJ = bJt — n • r,-j, Ь]г = dtr] ■ n), находим

діП = £iara - і9г-п. (1.5)

Здесь

£ij = V,-Uj - , і?г = — 5г-ги - Ь°иа (1.6)

или (в физических компонентах)

А ди< 1>

£а — £<11> — Т.--------Ь PlU<2> — &1W,

U3\

а ди<2>

Є/З — Є<22> — —q-------f- /?2^<1> ~ 02

Д ди<2>

— є<і2> — ^ ^i^<i> + тги,

US\

А 5п<1>

^/3 — Є<21> — —X------------Рги<2> + TW,

US2

q A q 9W

va = v<i> = -"5--------СГіИ<1> + TU<2>,

OS і

dvo

0/9 = #< 2>=-д---------^2«<2> +'гм<і>; (1.6')

(X^ *— Ri і T — ~R-^2 •} dSi — yfcdot 5

_ 1 dV^ _ 1

Pl ds2 ’ P2 ^ dSl ’ ( • }

(В соотношениях (1.6') слева показаны обозначения, обычно принимаемые в линейной теории оболочек при использовании ортогональных, но

не главных координат поверхности (см., например, [3], форм. (6.161)-(6.163)).)

На основании (1.2)-(1.6) получаем следующие формулы для физических компонент тензора деформации (срединной поверхности) Грина-Лагранжа:

7<и> — п(аи а'з)/\/аиаЦ ~

1

— 2^£<(-;> е<^> ^ £<^>£^а> — 1^<;>^<;>)'

Нетрудно проверить справедливость формул

Гг = Г,- + £гаГа - 1^П, П = ^ X Г2/|гг X Г2| =

= *4[(1 + в)п + 1?<а>ел],

где использованы обозначения

(1.7)

(1.8)

/ * 3)« * # * 2

Л = у а/ а, а = ацс^г, а = апа22 — а12,

0<г> = ^<г> + Т<г^>, Т<^-> = $<{>£<{]> ~ г' 7^ 3■,

£ = £<11> + £<22> + £<11>£<22> — £<12>£<21>-Далее на основании (1.2), (1.4), (1.5) имеем

Гу = (^? + е“)Га7 + + Ь“1?«)гв - ЭДп.

Отсюда с учетом (1.8), (1.8') находим

Ьц = Гу • п = А[(Ьц + - дуд,)(1 + е)+

+(Г"+г^ + а,£“ + б^,)^]-

(1.8')

(1.9)

(1.10)

Эти формулы можно записать в следующем удобном для практического применения виде:

(1.11)

* Ьи л V

* Ьи — .Д[ц7,^] 1 + е

* &22 . $<2> .

Здесь

де

шп

<11>

дз1

+ <5г(1 + £<п>) ~ Р1£<12> + сг1^<1>,

д$<1>

иг 12 = дву

0)13 = де<12> дэ1

и>21 = де<п> дв2

и>22 — д$<1>

дз2

^23 = ^£<12>

<^31 = де<21> дв2

<^32 = д'9<2>

дв 2

^33 = д&<22> дз2

+ <^1(1 + £<11>) — Т£<12> ~

- /?1 (1 + £<11>) + ^1£<12> — т^<1>>

— г(1 + £<11>) + (Т£< 12> — Р$< 1>,

+ ^2(1 + £<22>) — Т£<22> — $2'3<2>-,

+ ^2(1 + £<22>) + Р2^<21> + Сг2^<2>,

= д(1пу/а~{)/дз{. (1-12)

*

1.2. Рассмотрим на срединной поверхности оболочки линию Г (Г - в актуальной конфигурации), которая, в частности, может совпадать с

*

граничным контуром д$1 (дГ2). Свяжем с линией Г правую тройку ортов {и, 1, п}, где и - орт тангенциальной нормали к линии Г, 1 - орт касательной, п - орт нормали к срединной поверхности. Очевидно, что

» (1г йоР

* =‘п = 17, = (1ЛЗ)

т.е.

г = (1.13')

Далее получаем

V = = *хп = Гр, (1-14)

где с*- - смешанные компоненты поверхностного дискриминантного тензора:

с\ = -4 = 4 = (1.14')

у/а у/а у/а

Вводя вектор-градиент для поверхности

У = г°Уа, (1.15)

производные вдоль касательной и тангенциальной нормали можно выразить формулами

~ = I ■ V = А = I/. V = (1.16)

(ХЭI/

Правила дифференцирования введенных ортов вдоль касательной можно записать в виде

-Г“ = М - т*п, dst

— = сггп - рг1/, dst

йи

<И

—- = Т*|/ - СГ^. (1.17)

Отсюда с учетом формул (1.4), (1.13) и (1.14) находим

<г* = -* ~ = -(Гг7) • (4~~г~) =

азг аа" аз4 '

<Й1 о?п Лх" ^

т‘ = "■ 17, =(" ^'’

е, = -V ■ -т- = —(^“Га) • (i'JV;зt) =

= -иа^{дрГ + ГГ^) = (1.18)

По аналогии с (1.13), (1.13') можно записать

0 <1г дг да13 <1ар

" = =*: = ^ (1Л9)

'Г.е.

1/* = йа*/с1зи. (1.19')

Далее имеют место соотношения

йи и • в

— = аип - риЬ, ри = -1 • — = руа,

азу аз„

Л е?п ,,

—— = ^1/ - Гг/П, Т„ = t■ — = -Ьари'“Г, аз„ аз„

-— = - 0-^1/, а„ = —и ■ -— = Ьари . (1.20)

Учитывая принятое выше предположение о том, что координатные линии на недеформированной срединной поверхности являются ортогональными, нетрудно получить следующие соотношения (см, рис.1 [6] и форм.П .6")):

Г; = I/IV ~Ь 1$, Г1 = РгУ + £4,

сов 7, 1/2 =

*1 = -у^17зт7, ^2 = \/о^сов7, х сое 7 2 я1п7

" = ^Г’ " = 7^’

, эт7 , соэ7 . „ ч

* = —;==, * = “7==; (1.21)

л/оГГ л/5^

8Ш7 д сое 7 5 = *“д„ = -—==—г +

rfsf yfin-dot2'

А. _ ^ _ £22 « + S* (1.22)

as,, д/ап #а уЧггг с*»

а„ — <7\ cos2 7 — г sin 27 + сг2 sin2 7, crt = (Т\ sin2 7 + Т sin 27 + 02 cos2 7,

rv~Tt — ~(01 - <72) sin 27 + г cos 27,

d-у

Pt = 7- + Pi sm 7 + P2 cos 7, dst

d*y

pv = -~------1- /91 COS 7 -/92 sin 7. (1.23)

dsy

1.3. В реализуемом ниже вариационном подходе к выводу уравнений

нелинейной теории оболочек будут использованы специальные фор-

мулы интегрирования по частям (в том смысле, что подынтегральные функции представляют собой компоненты вектора или тензора, а ко-вариантное дифференцирование связано как с исходной, так и с актуальной конфигурациями). Дадим краткий вывод названных формул. Фолмулы Грина для скалярной функции имеют вид

/ йФda1 da2 = (f Фda2,

«/И J д£1

/ <92Фda1 da2 = — d) Фda1, (1-24)

Jn /ап

где движение по контуру дП осуществляется так, чтобы ограничиваемая им область О оставалась слева.

На основании (1.14) имеем

^ = с,-в*а, (1.25)

где - ковариантные компоненты дискриминантного поверхностного тензора:

с 12 = -с21 = \/а, сп = сщ = 0. (1.25')

Из (1.13') с учетом (1.25), (1.25') находим

с1(Х — t dSf — ---ds^ —------^=1/2^5^,

С21 у/а

<1а2 = t2dst = — dst = -7=г^1С?з4. (1.26)

С12 Vе

Используя (1.26), интегралы (1.24) можно представить единой формулой

I дiФdalda2 — <р (1/{Ф/у/а^зг, % — 1,2. (1-27)

V А «/ дИХ

Из вывода этой формулы видно, что она остается справедливой при замене Ф на у/аи3у. Выполнив такую замену и свернув полученное равенство по индексам I шпридем к формуле

I дp(y/avPv)da^doL2 = ® vpvPvdst (1.28)

■уа ]за

I \favPдpvda1 da2 = ф vpu^3vdst—

Л2 /эп

— / vдp(^/au|3)da1da2. (1.29)

Ja

Используя известную формулу для свертки ковариантной производной контравариантной компоненты вектора

/аи0) = др(л/аи0), (1.30)

соотношению (1.28) при V = 1 можно придать вид

[ Ури^сЮ, — <£ Vfзu|5dst. (1-31)

л а. Jдa

или

Установим вспомогательную формулу

Учитывая, что величина Л — у а/ а является инвариантом, и принимая во внимание (1.30), находим

С другой стороны, принимая во внимание (1.32), можно записать

Приравнивая правые части равенств (1.33) и (1.34) (см. (1.32)), придем к следующей формуле интегрирования по частям:

1.4. Для описания изгиба жесткогибкой оболочки (изготовленной из жесткого сжимаемого материала и допускающей конечные перемещения за счет конечных поворотов при относительно малых деформациях) обычно используют стандартный материал второго порядка (8ТМ-2). Закон упругости для БТМ-2 имеет вид [2]

= др(^) = V

На основании (1.31) имеем

(1.33)

/ и^с^^^аЧа2 + [ Г13\/аирв,й. (1.34)

/ = <р t/atp‘puвdst~ / ир^а{л/а^13)с1а1 (1а2. (1.35)

{Г-1 • Л1 • Г'1*} = 2 цГ + А/г1

(1.36)

({Г-1 • ЗЕ ■ Г-1*} - тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа; Г - тензор-градиент движения; £ - тензор истинных напряжений Коши; J - якобиан преобразования от лагранжевых координат к эйлеровым; Г - тензор деформации Грина-Лагранжа; /р - первый главный инвариант тензора Г; 1 - единичный тензор; А, ц - упругие константы Ламе) или в терминах компонент соответствующих тензоров

(дгз - контравариантные компоненты метрического тензора оболочки как трехмерного тела до деформации).

2. Вывод полевых уравнений . Предположим, что радиус-вектор

в результате деформации оболочки переходит в следующий (см.

Преобразованию (2.1)-(2.2) отвечают следующие компоненты тензора деформаций Грина-Лагранжа:

Мі = {\дііда<і + 2міаді(і)'1ар

(1.37)

.Ща\0=г(с0 + £п(аг) (аг' = {а1, а2) Є П, { Є [-к/2, к/2])

(2.1)

форм.(1.2), (1.3)):

І(а\<Є) - г(аг) + А€(«4)(Є + 0,5£2«*(а*')) п(аг). (2.2)

(2.3)

(2.3')

№ = (А сГ’а*0 + 2Маіаа^)7*0 + Аагі7|3, За33 = А«в% + (А + 2^)733.

(2.4)

Параметры А^, определяем из граничных условий

^(к/2) = ?+, J°■33{-h/2) = (2.5)

После несложных преобразований находим

А' = 1 “ + {\ + 2ц)Ь'

А^ = -ЛТ^°“^ + (ЛТ1Й1’ <2'6>

где

Яп = Яп- 9п> тп = \{Чп + Яп )к- (2-6')

Исключив А^, из уравнений (2.3)з, (2.4)2 с использованием формул (2.6), получим

£ А ар £ , тп ^Яп

Ъз~~~\ + 2ра 7а(3 (\ + 2р)к'

За33 = ^(тп + £д„). (2.7)

Усилия и моменты вводим следующими формулами:

гЛ/2,. А

ГА/а А

5° = / (7<т^ - ---—агиа33)й^

я/—А/2 А + 2/Х

Гк/2 Л

мг> = А* / («/*•' - —— а”За33Ш. (2.8)

«/—Д/2 Л +

По найденым усилиям и моментам напряжения у лицевых поверхностей оболочки вычисляются по формулам (принято, что А^ и 1)

]<У^ — ^ + д2 + _ г/а л/аиаЦЯп)

т - ^<г]> 6ЛГ<г'^> У ^ - _ . .

^1] ~ ^ ^2 ^ _ г/а • (2-9)

На основании (2.4), (2.7) и (2.8) получаем

_ ВА^а)37а/з, М13 = А^Агз’а(3ка(3, (2.10)

где

ли,а/з = ^ +

п Ек п № I-чпч

В~ГГ^’ (2Л0)

Принимая для упрощения записи, что нагрузка на боковой поверх-

ности оболочки отсутствует, вариационное уравнение Лагранжа можно записать в виде

би-А(8К) = 0, (2.11)

где

г гк/2 * г * + * - *

би= 6Ф<1£<1П, А(£Я) = / (я+ бВ. И )<1П,

За 3 ~ь/2 За

8Ф = {Г"1 ■ 3£ • Г'1*} : 8Г = За^б^ + ^Л7|3- (2.11')

На основании формул (2.3), (2.7) и (2.8) получаем

би

/а

[ (заРё7а0 + \^марбка13)(т. (2.12)

Jtt

Преобразуем интеграл (2.12). Прежде всего в силу симметричности 5*г’ имеем

8аР87ар = ^а0(га ■ 8гр + гр ■ 8га) = ЗаРта ■ 8тр. (2.13)

Далее с учетом (2.6) находим

8кар = -Х^8ьар + - А,. Ьара^Гу ■ 8т (2.14)

Л "г

Используя формулы (1.4), можно записать

Уа8тр = 8(датр) - Тиар8ги

= 8{ТиарТи) + 8(Ьарп) - Гиар8г„ = 8{Ьарп) + г^Г^з- (2.15)

На основании (2.15) и (1.4) получаем

Ус(п ■ 8тр) = • 8гр + п • Ьа8тр = ~ь:1 • &0 + 8Ьар. (2.16)

Объединив формулы (2.14) и (2.16), будем иметь

8кар = -Л^У„(п • 8тр) - \^аги ■ 8гр + ^-Лараи*т„ ■ 8тм. (2.17)

Интеграл (2.12) с учетом этой формулы приводится к виду

SU = [ [Та(3та • бтр - Maf3V«{n ■ 6тр)]сК1,

Ja

где

Т11 = 5<j - 6’M“j +

С использованием формулы интегрирования по частям (1.35)

- [ Ma/3Va(П ’ <^)<Ш =

Ja

= I Va(V<iMal3)n ■ 6Tpdalda2 + Jl5 Ja

J\ = - vaMai3xi ■ dp(Sr)dst.

Jaa

На основании (2.19) интеграл (2.18) можно представить так:

6и = [ [ГК* + —V„(^Ma/3)A] • + Jl

Jn V«

Выполнив в (2.20) интегрирование по частям, будем иметь 8U — — f dpl^/aT^Ta + ^а(л/аМа(3)п] ■ 6гda{da2 +

Ja

+Ji + Ji + </з-

где

Здесь

J2= (f vpTPaTa ■ Srdst, Jaa

J3= I ^j=Va{\/aMat3)n • ./ЭП Vй

Преобразуем далее выражение для работы внешних сил. вании (2.2) и (2.6') получаем

Ч+ • 6В.+ - • 6К =ц-6т+1к2Яп6{Х^)+

О

4- Л^т • ёл —Н2 Х^к^с^ • $п. --------------------8----------

(2.18')

получаем

(2.19) (2.19')

(2.20)

(2.21)

(2.22) На осно-

(2.23)

Элементарный анализ показывает, что подчеркнутыми в (2.23) слагаемыми можно пренебречь. На основании (2.6) и (2.17) приходим к следующей приближенной формуле:

ё(Х^) да ^-|;аа/3Уа(п • бгр). (2.24)

Окончательно работу внешних сил на вариациях отвечающих им смещений с использованием формул интегрирования по частям (1.29), (1.35) можно представить в виде

-Л(^Я) = - I {Ущ+к2др[Ча(Яп^аар)п}}-ёг(1а1<1а2 + 34 + 75, (2.25)

где

74 = к2 (Ь 1/рА 1 Уа(9ггаа/3)п • бгИвг, Уэп

<£ уааа0л~1дпп • д(з{8т)<1зи

Уэп

— к

Jдa

и А 2

*2 = щ*^у (см-[6])- (2-25,)

*

Подставляя теперь 811 из (2.21) и А(б11) из (2.25) в уравнение (2.11) п приравнивая в интеграле по области О, в скалярном произведении (...) • 8г множитель (...) к нулю, придем к следующему уравнению равновесия:

д/з [у/аТ13ага + ^ а(у/аМар)п] + \Zaq-l-

+к2д13{Ча(ЯпУааар)п\ = 0. (2.26)

Выполнив в (2.26) дифференцирование с использованием формул (1.4) и умножив полученное уравнение последовательно на г3 и п, будем

иметь

др{уДТК) + ^Т0аЦ0 - Ча{^МаР)У0 + \Pacf-

-к^аУ^па^Ц = 0, 2 = 1,2;

д&сЬЯМ**) + + \Д9п +

+к2др['Д'Уа(дпааР)\ = 0. (2.27)

Уравнениям (2.27) можно придать несколько иной вид. Сумму первых двух членов уравнения (2.27)1 с учетом известной формулы (см., например, [2,4])

ча(^) = да(^аг) + \Ага/3^

можно представить так:

+ ф^аР{лгра) =

Аналогично на основании формулы (1.30) получаем

др{\раЧа{АМа(3)) = \7(з(уДча(АМа(})) = У„У/з (л/^Ма/3).

Окончательно систему полевых уравнений равновесия можно записать в виде

Уа(^Таз) - Ь^а{у^МаР) + у/1д1 = 0, з = 1,2,

V» ~Ч р{^/йМаР) + л/аТ*3аЬа/з +

+к2др[у[аЧа{Чпаа13)\ = 0. (2.28)

Заметим, что в случае плоской пластины уравнения (2.28) при отсутствии тангенциальной поверхностной нагрузки совпадают с уравнениями (1.23)ь (1.23)2 [6], в чем нетрудно убедиться, если положить в (2.28)

Г* _____ *

уа = А/а = 1, Гу = 0, V* = = да,

Ь'1] — &,г] ) а — ёу{3 ? Я 0

и отбросить среднее слагаемое в уравнении (2.28)1.

3. К формулировке граничных уравнений

На основании соотношений (1.2), (1.5), (1-21) имеем

Г; = (щ + £го,иа)и + (и + £^а)1 - 0,11,

6т'~ 1/8и^+ tSut + nSw, (3-1)

где

ии = иаиа ~ и<1:> сое 7 + и<2> зш7,

ставить так:

•h = {Q'uMv + - Ta/Sua‘df}6w)dst. (3.2)

JdSl

Здесь

<2' „ = 7U + Taf)e01vav\ Tuv = g'г - r„t + Ta%^uat\ Tut = Ta0uat0,

Tal3va$0 = Ta(3ua{^u + tptit) = Tuudv + Tutdu

dw

= $ava = 0<1> COS 7 + 0<2> sin 7 = -------------avuu + Tvut]

dsu

= -0<1> sin7 + 0<2> COS 7 = - сггиг + TtU„. (3.2')

aSt

Формулу (1.8)2 можно представить в виде

п = Л[(1 + е)п + $vv + 0<t], (3.3)

где использованы обозначения (см. (1.8'))

0^ = 0^ + Т<12> cos 7 -}- Т<21> sin 7,

0* = I?* - T<i2> sin 7 + Т<21> cos 7. (3.3')

Принимая во внимание (3.1) и (3.3), находим (см. (2.22))

J2 + Jz — Ф (Qw&uv + QutSut -(- T„nSw)dst, (3.4)

где

Q", = Q'w + У*(ЛМ“>Д,,

Л = Q'ut +

Tvn = У«(ЛМа/?Ь(1 + є) - Т„Ж - T„A. (3.5)

Используя формулы (см. (1.22))

d d d

аЗ = "<1Г + и77,' г = 1'2' {Щ

I/U, Ituj/ UO j

•Л = Jll + J12)

где

f dSv

Ju = - Ф М*п • ——dst, Mut = Ma0yat0,

JdQ (ist

*

л j С

Jl2 = - ф Mvvn • ——dst, Mw = M^VaVp. (3.7')

JdQ

Предполагая, что контур dCl не имеет угловых точек, получаем с использованием интегрирования по частям

Jll ~ Jill + Jll2i

Jin - I . Srdst, Jn2 = i ■ Srdst. (3.8)

Jdn dst Jan dst

Принимая во внимание формулы (3.1) и (3.3), можно записать

Jin — (f Л^^[ди8ии + $t8ut + (1 + e)8w\dst. (3.9)

Jdn dst

Аналогично, интегралу J4 из (2.25') можно придать вид

J4 = к2 (£ upVa(qnaap)[dи8ии + + (1 + e)8w]dst. (3.10)

JdQ.

С точностью, принятой при вычислении 8(Х^к,^) (см. (2.24)), с учетом (1.21), (1.22) можно использовать приближенные равенства

S/^{qnall3)up да V7(gna7/3)^ =

J4 = k2 </ ~^~8wdst. (3-11)

Jdn us»

Далее, используя формулы (1.17) применительно к исходной конфигурации, контурный интеграл JU2 можно преобразовать к следующему виду:

J112 = Ч> Ml/t[(/C<j/ + <4(1 + e)Tt)8uv + (к it — *4(1 + £)(Tt)5ut-b Jdn

+(<тг0г - тД, + (^, + ^ )Ьги\(1я-1. (3.12)

Здесь использованы обозначения

~ _ . АЛ ~ , - л! /ОЮП

^1/ — , ^££ — т Н“ у • (3.12 у

(25^

Собирая воедино интегралы (3.4), (3.9), (3.11), (3.12), получим

Зц + ^2 + ^ + З4 — Ф [(^ии8и1> +

Зэп

+ (3.13)

ази

Здесь

(^ии — Тии + -М„г(*4(1 + е)Т( + к^) +

+Та<3£^а^ + ^(ЛМ00)^ +

«5*

— Тцг — Л/„*(.Д(1 + гГ)^ — «;«)+

+Та13е,з^аГ + Ъа{АМп,3)р& +

аз*

д,„ = у„(лм^)^(1 + е) + л^(1 + е)-

«5^

ХЛ - М + ЛМ<тД - тД + ^-(1+%. (3.13')

аз*

Рассмотрим, наконец, интегралы и ./5. Второй из названных интегралов (см. (2.25')) с использованием формулы (3.6) можно преобразовать к следующему виду:

35 = -к2 ф А 1<7пП •

I А ^„п

Уап

(Здесь учтено, что аа13иаир — 1, аа131/^р = 0.

(16г

йв.

Г <18т

312 */б = — Ф {Ми1/ + &2.Д 1^п)п • — с1,31. (3.14)

Уэп ив,,

С учетом формул (3.1), (1.20) применительно к исходной конфигурации интеграл (3.14) приводится к виду

3\2 + /5 = </ (ЛМи1/ + к2дп)[(1 + е^б'ду —

Jдn

(3.15)

где (см. [3], с.288, форм.(б.41))

(1и„

&1/1/ — “Ь /^г^- ,

аз„

^ . (Ч 1с/\

^ = ;----Ь РЛ - тию. (3.15)

Из (3.15) видно, что обобщенному усилию ЛМу„ + к2цп в нелинейной теории оболочек, вообще говоря, нельзя сопоставить обобщенное смещение (так, чтобы в квадратных скобках (3.15) стояла вариация какой-либо геометрической величины). На граничном контуре срединной поверхности оболочки в нелинейной теории независимыми являются б геометрических параметров щ, ю, ди^/дв», дщ/дз„, дгю/дзи, что, как известно, не согласуется с порядком разрешающей системы уравнений в смещениях, основанных на принципиальной гипотезе Кирхгофа об отсутствии трансверсальных сдвигов. Вместе с тем, основные виды граничных условий, соответствующие реальному закреплению элементов конструкций, обеспечивают выполнение граничного вариационного уравнения (см. (3.13), (3.15))

5

«/п + </х2 + У] Зк — 0- (3.16)

к=2

Действительно, в случае незакрепленного края граничные условия

до

~ — Яип + ~ Мии + Л = 0

очевидно удовлетворяют уравнению (3.16).

Рассмотрим условия, соответствующие в линейной теории случаю жестко защемленного края

uv = ut — w — 0, — 0.

Из (3.2') следует, что dt — 0. Но тогда i?<i> — г?<2> = 0 (см. (3.2')) и поэтому = i?t = 0 (см. (1.8'), (3.3')), что означает выполнение уравнения (3.16) (см. форм.(3.15)).

Нетрудно убедиться также в том, что уравнению (3.16) удовлетворяют граничные условия шарнирно опертого подвижного

Quu = Qvt - о, w = 0, Mvv + A~lk2qn =» 0

и неподвижного

и„ = щ = 0, w = 0, Muv + А~гк2цп 0

краев.

Однако используемые иногда в линейной механике оболочек граничные условия жестко защемленного тангенциально подвижного края

(см., например, [7])

Quu — Qvt = 0, W = 0, = 0,

вообще говоря, не обеспечивают выполнение уравнения (3.16), так как в этом случае (см. (3.2'))

= -<Ttut + TtUu ф 0.

С учетом сказанного в качестве рабочего варианта граничных величин можно принять следующие пары ’’обобщенная сила —► обобщенное смещение”

Тии ”i~ t Mut I ) ^Ul Tut &t^£ut * ^ U t1У1У -f* k (fa ^ $ui

- Tuutiu - Ы + k2^ <—* w (3.17)

uSf dsy

Граничные величины (3.17) полностью совпадают при ert = rt = 0 с выведенными в работе [6] (см. форм. (1.41)!, (1.47)) для теории пластин типа Кармана, уточненной за счет трансверсального обжатия. Погрешность упрощений, связанных с использованием варианта граничных величин (3.17), может быть оценена a posteriori по решению, найденному на основе этих величин.

Литература

1. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропных упругих тонких оболочек//Изв.АН СССР. МТТ. 1980. М3. С.Ц8-159.

2. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. JL:Машиностроение, 1986. 336с.

3. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.:Политехника, 1991. 656с.

х 4. Михайловский Е.И., Торопов А.В. Математические модели теории упругости. Сыктывкар: Сыкт.'ун-т, 1995. 251с. (ISBN 5-8723741,79-2)

5. Михайловский Е.И. Граничные условия подкрепленного края жестко-гибкой оболочки в нелинейной теории типа Тимошенко-Рейсснера//Изв.РАН. МТТ. 1995. М2. С.109-119.

6. Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба плоских пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа//Вестник Сыкт. ун-та. Сер.1. 1999. Вып.З. С. 181-202.

7. Ермоленко А.В., Михайловский Е.И. Граничные условия для подкрепленного края в теории изгиба плоских пластин Кармана//Изв.РАН. МТТ. 1998. MS. С.73-85.

Summary

Mikhailovskii E.I., Ermolenko A.V. Refinement of nonlinear quasi-Kirhhoffian K.Chernykh’s theory of shells

Due to the variations of the parameters Af, which characterize the transverse squeezing, we deduce the equations for the statics of the shell which refine K.Chernykh’s quasi-Kirchhoffian theory. The boundary values are reduced to the origin configuration of the shell. It is shown, that in the general case, there are 6 independent geometrical boundary values that does not agree with the order of the permitting system of the equations in displacement based on KirchhofFs hypothesis on non-availability of transverse displacement.

Сыктывкарский университет

Поступила Ц-09.98