Классическая линейная теория оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 6. 2006

УДК 539.3

Памяти моих учителей Валентина Валентиновича Новожилова и

Климентия Феодосьевича Черныха посвящаю

КЛАССИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК 1 Е.И. Михайловский

Классической принято называть линейную теорию тонких упругих оболочек, основанную на гипотезах Г. Кирхгофа [1] и впервые достаточно детально разработанную А. Лявом [2], допустившему, однако, ряд неточностей. В данной работе последовательно выводятся общие (базовые) уравнения современного варианта классической теории оболочек, который составляют:

- уравнения равновесия А. Лява [2], записанные в терминах статических величин В.В. Новожилова [3];

- кинематические уравнения А. Лява [2] с исправленной А.Л. Гольденвейзером [4] формулой для кручения;

- уравнения неразрывности А.Л. Гольденвейзера [4];

- определяющие уравнения упругости В.В. Новожилова-Л .И. Ба-лабуха [3,5];

- распространенные на оболочку граничные величины Г. Кирхгофа [6];

- деформационные граничные величины К.Ф. Черныха [7], обобщенные автором на случай многосвязной области срединной поверхности [8].

1 Работа выполнена при поддержке программы “Государственная поддержка ведущих научных школ РФ” (грант НШ - 2180.2003.1)

© Михайловский Е.И., 2006.

В работе показано также, что уравнения неразрывности, выведенные А.Л. Гольденвейзером из соотношений Гаусса и Петерсо-на-Кодацци для деформированной срединной поверхности оболочки, могут быть формально получены непосредственно из уравнений равновесия с учетом кинематических уравнений.

При изложении используется предложенная автором [9] операторная форма записи полевых уравнений и граничных величин. Обозначения совпадают в основном с принятыми в работе [10].

1. Некоторые соотношения и обозначения для деформированной поверхности

1.1. Деформация поверхности

Отнесем поверхность к ортогональным лагранжевым координатам а1, а2. Пусть уравнения этой поверхности до деформации (исходная конфигурация) и после деформации (актуальная конфигурация) имеют соответственно вид

Вектор перемещения точки поверхности и будем представлять равенствами

где и<1>, и<2> - физические компоненты вектора и еа = А-1Г1 = = Аг1, ер = В~1г2 = В г2; А = ^/аЦ, В = у7- параметры Ламе.

Суммировать в формуле (1.3)1 и ниже следует исключительно по одноименным нижнему и верхнему греческим индексам.

Используя деривационные формулы Гаусса-Вейнгартена, находим

г = г (а1, а2),

Г = г(а1, а2) + и(а1, а2).

(1.1)

(1.2)

(1.3)і

(1.3)2

иа — и<1> = А 1и1 = Аи1, ив — и<2> = В 1и2 = Ви2,

(1.4)

где

£г) у гп) Ьг)

£г) = УгП) - Ьг)ю, $г = -дгю - Ь*па; (1.5)

уг - ковариантная производная,

(1.5)

Д_ _ л-2 _ дпа

£а — £<11> — А £ц — + Ра^р — О аю,

А _ 0-2 _ дпв I

£/3 — е<22> — -О £22 — Вд(3 РРПа ~ (ТРП]'1

Д_ _ / 1 п\-1 ____ дпв .

<Ла — е<12> — \АВ) £\2 — ~ Ра^а + Та^Ю,

дп

А (Л т-)Л —1 иаа

Шр — £<21> — \АВ) £21 — ~ Ррир + Тары,

ч А а _ дю

и а ~ ■#<!> — ~ Д()а ~ <ТаИа ТаРиР’

3 ~ $<2> = — £>др ~ (713и13 Тариа] (1-6)1

&а = 5“ = Ьк ц>, (7/3 = —— = 6< 22>, Та/з = - = — 6<12>,

Ла Лв Ка/3

-±_^_ (ЛК\

Ра АВд/З ’ Р/3 АВда ^

(оа,Ов, —Тав - физические компоненты тензора кривизны поверхности В = Ьавга ® гв; ра, ре - геодезические кривизны поверхности вдоль а-, Д-линий; ® - знак тензорного произведения),

С учетом приведенных соотношений компоненты тензора деформации Грина-Лагранжа определяются по формуле

1 * 1 1 ,

7V — 2 (а*з ~ — 2 2 е^“)’ (1-^)

Далее получаем следующую формулу для вектора нормали к деформированной поверхности:

* 1 1

П=—=Г1ХГ2 = А (1+е^Н ^еГ£2а)п+

/а \/а

+Л-1(^в + ^ С^£„а$^ )гв. (1.8)1

Здесь

»*.**** — , .

A = у a/a, a = ana22 — a12, a = ana22, cj = (ri x r2) • n

ковариантная компонента дискриминантного тензора поверхности,

В физических компонентах формула (1.8)1 принимает вид

n = A [(1 + e)n + $a ea + $в ев],

(1.8)2

где

$a = (1 + £в )$а — &а $ ¡3, $в = (1 + £а)$в — ¿в $а

£ = £а + £/3 + £а£/3 — ¿а&в ■

(1.8')

На основании соотношений (1.2), (1.4) и формул Гаусса-Вейнгартена находим

Гг) = д)дгг = (5га + £Т)га) - (д)£га + Ь)а$г)га - (д)$г)п, (1.9)

* *

Ьг) = Ь)г

Abij — Ап ■ Tij — (1 + s)[bij — - {di'dj + dj'di — b^£ja — 6“е^а)]+

1

+К> + rjf? + j(v,£;» + v)£i” + що, + (l.io)

1.2. Деформация линии вместе с поверхностью

Формулам для гг (см, (1.4)) и п (см. (1.8)2) можно придать вид

= (Vi + £ia Vа) V + (ti + £iata)t —

n,

*

n

A-1 (1 + £)n + A-1$ v v + A $tt

где (рис. 1.1)

$v = $v + $t = $t —

$a ¿a

$e £e

$a ¿a

$e £p

cos y + sin y +

£a $a ¿в $в

£a $a ¿в $в dw

sin y,

cos y ;

•&v = tfyU1 = i9a cos 7 + i9e sin 7 = —---------------------auuu + ruut

dsv

(2.1)

(2.2)1

dw

i}t = -¿V7 = -fia sin 7 + Dj3 cos 7 = ----------------------atut + Ttuv\ (2.2)

dst

*

ии = ЩVі = иа сов 7 + ив вІП 'У, и = щV = —иа віп 7 + ив сов 7;

(2.2)3

V1 = V ■ г1 = Аи ■ еа = А сов 'У, Ь1 = —А віп V1 = А-1 сов

11 = —А-1 віп V2 = В віп

12 = В сов 'у, V2 = В-1 віп 'у,

і2 = В-1 сов 7;

Рис. 1.1.

1 віп 7^ сов

¡6 =' = --гу‘ + ^гу-

7~ =

ав,.

сов 7„ віп -V! + -^У2;

А

В

а* = аа віп 7 + Тав віп 27 + ^ сов 7,

1,

г* = -{СГа - О ¡З) 81П 27 + Тав С0!3 27,

Оу = аа сов2 7 — Тав віп 27 + ав віп2 7.

(2.2)4

(2.2)£

(2.2)6

Выведем теперь формулы для Ь и V в проекциях на направления

V, Ь, п. Вводя параметр, характеризующий кратность удлинения элемента линии Г (см. рис. 1.1)

Хг = (йг/йэг,

находим

где

аг

і ^ = АГ1^ = А

Л*

ав*

1г , дг 1ав

* 'ч сЫь 1 да/3 сЫь

А-Чв гв

А 1[(1 + Єи)^ — — п])

= єа/зіаі13 = є в С082 7 — ^ віп 27 + віп2 7

1щ

1ві

+ Ріии — ОігШ,

(2.4)

-utt = £aptave = Up cos2 y + (єр - £a) sin Y cos 7 - ua sin2 7 =

duv

= -----PtUt + TtW,

dst

dY cos y^2 sin y

^ — Ua + U/з, Pt — -^7 H Г21Н —T12. (2-4)

В последней формуле (для геодезической кривизны pt) приняты обозначения rj для символов Кристоффеля 2-го рода. Ниже эти символы, связанные с ковариантным дифференцированием, будут неоднократно использоваться. Поэтому приведем здесь всю их совокупность. Имеем

Г1 _1^4 __^дВ

4l~ Ада’ 12~ 21~Ад/3’ 22~ А*да’

_,2 1 dB 2 2 1 dB 2 A дА

Г22 = бДг Гі2 = Г21 = б^’ Тп = ~в^др- (2-4)

□ Справедлива формула Фосса-Вейля для “сокращенных символов

Кристоффеля”

Г« = \д¡-Л, (2.5)

'а

с помощью которой нетрудно установить следующие полезные равенства:

\/аУаГг = да(\ГоЬаг) + . (2.6)

Последние соотношения использовались, в свою очередь, при выводе автором формул интегрирования по частям, связанных как с исходной, так и с актуальной конфигурациями поверхности [11]:

и^дрУсЮ, = — [ —=др(\/гаи^)уйО + [ ири^уйвг,

■)п\а -)дП

>п JQ

* Г *

/ Ьав'Чапр(П = — / АУа(А 1Ьав)пр(П + / ^аЬавпрйвь (2.7)

и П иП и дП

(П - область та поверхности, дП - те граница). И

Из соотношения (2.4) вытекает, в частности, следующая формула:

= 1 + 2£и + + $2. (2.8)

И, наконец, используя формулы (2.1), (2.4), находим

;к ^ ^ л —'

V = t X п = (АьА)- [(1 + £)(1 + £а) + $Ь$ь]»—

— (АЬ А) 1[(1 + £)шЬЬ — $и $и ^ — (АЬА) 1[(1+ £ЬЬ)$ V + ШЬЬ$Ь]п (2.9)

2. Линейная теория оболочек

2.1. Уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности оболочки

Геометрическую гипотезу Кирхгофа можно записать так (см, форм.

В работе [12] показано, что “нет никакого смысла” сохранять слагаемые порядка h/Ra, h/Rß, h/Raß (ниже - критерий Н-Ф), так как теорией, основанной на допущении (1.1), ряд слагаемых такого порядка все равно не учитывается. Следствием принятия критерия Н-Ф является то, что величины, зависящие от £ следует учитывать в линейном приближении по этой переменной. Ниже линейную аппроксимацию будем использовать, не оговариваясь.

На основании соотношений (1,1,2), (1,1) имеем

def Ol iiL ^ * *

R(a, £) = r(a) + £n(a)-> R(a, £) = r(a) + £n(a). (1.1)

deform *

* * u = R — R = u + £ (n — n).

(1.2)

Учитывая, что в рамках линейной теории (см. форм. (1.1.8)1)

п = п + г7,

формуле (1.2) можно придать вид

= и + г7.

Принимая во внимание, что (см. (1.1.4), (1.3))

(1.3)

(1.4)

r = <%Г = Г + £iara — tfin, ni = di n = ni + (Vi$a )ra + ba$an,

(1.5)

получаем

* л * * *

Ri = diR = ri + £ ni = Ri + (£ia + £ Vi'&a )ra + + M“ + £b*)$an,

(1.6)

где

(1.6')

Выведем формулы для векторов взаимного базиса исходной конфигурации Ш путем предварительного вычисления контравариантных компонент метрического тензора С, которые понадобятся при получении соотношений закона Гука,

Прежде всего, на основании формулы (1.6') имеем (Из = п)

9Ч 2СЬЩ + С Ьг ^ 2СЬЩ •>

913 = 0, дзз = 1, г,] = 1, 2. (1.7)

Определитель матрицы метрического тензора имеет следующие вид и значение:

g = det[gij ] =

aii — 2Cbii -2ІЬ\2 0

— 2^6і2 Й22 — 2^&22 0

0 0 1

а(1 — 2££). (1.8)

Компоненты gij будем вычислять по известной формуле

gij = g-1gj,

где gij - алгебраическое дополнение элемента gij в определителе (1.8). В результате простейших выкладок получаем

gij = aij + 2£aiabja, gi3 = 0, g33 = 1, i,j = 1, 2. (1.9)

С помощью этих соотношений находим

Ri = giaRa = aia(ra + фр),

R3 = g3aRa = g33R3 = R3 = n. ■ (1.10)

Тензор-градиент движения (deformation gradient) [13] в выбранной координации (a1, a2, С) имеет вид

*

V = Ra ® Ra + П ® n. (1.11)

Принимая во внимание, что

1 = Ra ® Ra + n ® n, с учетом формул (1.3), (1.6), и (1.10) находим

V — 1 = [є^ + С(Vv+ є1ІЛЬІЖ ® rv + -^(r^ ® n — n ® r^). (1.12)

Используя (1.12), получаем следующее выражение для тензора малых деформаций Коши [11]:

Е 4 4^ о г" = 1[У - 1 + (V - 1)*] =

= + У/А + £1РЬ1 + е11УЬ1)]ги (8) гм =

= (е^ + С® гм, (1.13)

где введены обозначения

11

2 Vе*? + — 2

+ + 2^^ + )• (1-13')

С помощью формул (1.5) в рамках линейной теории находим

*

= Ьц + 6^ Ь^ — V) $i = Ьц + Ь" — ^ (1.14)

или

* 1 1 Ьу - Ьу = + У,-^) - ~{£ыЦ + £>££ )• (1-14')

Вычитая последнее равенство из (1.13')2, получим

*

= Ъц — Ьц + еыЬ) + е)иЩ. (1.15)

На основании равенств (1.13), (1.15) имеем

*

ец = ец + С (е™Ь) + е}М[ ) + С(Ьц — Ь) ), (1.16)

т.е. подчеркнутые слагаемые в формуле для компонент тензора Коши на основании критерия Н-Ф следует отбрасывать и соответственно формулу (1.15) - принимать в виде

*

= Ьц — Ьц. (1.17)

Далее на основании (1.12) приходим к следующей формуле для тензора поворота материальной частицы оболочки:

П = -1 - СУ - !)•] =

= т;[Чл ~ + £(у!_>■&„ - У^м + £1УЬ~1 - е1^Ь1)]Г1' ® Гм+

+-$Дгм ® п — п ® гм). (1.18)

Тензор же, описывающий поворот окрестности точки на срединной по-

верхности, определяется формулой

Г2|?=0 = ^(У,А, - У^К ® гм + г?/Дгм ® п - п ® гм). (1.19)

Кососимметричному тензору (1.19) отвечает следующий сопутствующий вектор:

ш = е^^ гм + ^„п, (1.20)

где

ип = т^У^ = (1.20')

Используя формулу (1.20), получаем

ш х п = г7 = 5;^г7 = ^ г",

т.е. соотношению (1.4) можно придать вид

и^ = и + ш х С п. (1.21)

Дифференцируя (1.20), придем к следующему равенству:

дш = е^Хы гм + Оп, (1.22)

где

Хц = Vi'дj — е^ Ь} шп, ^ = д^п + е"^ . (1.22')

Учитывая, что на основании соотношений (1.14), (1.17)

Жц V’Ь^ , (1.23)

и принимая во внимание (1.20'), первую формулу из (1.22') можно за-

писать в виде

Хц 38*7 + £jl, — 2 С31С 4” (1‘^4)

□ Переходя в формулах (1.22'), (1.24) к физическим компонентам и учи-

тывая соотношения (1.1.6), получим

Жа = Х<11> = Та + Тав Жр = Х<22> = Тр — Тар (1.25)1

ш ш

Х<12> = т + (7а — + ТарЄа, Х<21> = т + + ТарЄ/З,

где

Шп

1 , дВир дАиа . ша шв

-------я~а~> = -----о----’

2АВ да

1 дії в

дв

(1.25)2

(1.25')

1 д$а

т° = 1а7 “ рЖ' 4 = вЖ ~ Р0<>0'

Т = Ж<12> — Тав (£а + £в) = Та — авШа — Тав£в = Тв — аа шв — Тав £а. ^

(1.25'')

Далее на основании соотношений (1.1.5^ и (1. 13') 1 имеем

£*7 — ^ + ^гЩ — У^И*).

С учетом этой формулы соотношению (1.1.4) можно придать вид

<%и = \еАи + ^(У^ - У1/^)]г1/ - г^п. (1.26)

С другой стороны, нетрудно убедиться в справедливости равенства

и х ті = ^(УіПи - У1діі)г1/ - $*п.

Сравнивая соотношения (1.26) и (1.27), получаем

д^и = еА1У ти + их Гі.

(1.27)

(1.28)

Основываясь на формулах (1.22), (1.28), уравнения неразрывности деформаций выведем путем раскрытия равенств

д1д2и = д2д1и, д1 д2и = д2 д1 и.

(1.29)

Раскрывая первое равенство (1.29), в результате громоздких, но несложных преобразований получим

У^еаіХиа) + Ъ1 с^ = 0, І = 1, 2, -У„ (с^С.) + Ь^в (с^савХиа) = 0.

(1.30)

На основании второго равенства (1.29) приходим к следующим скалярным уравнениям:

У.(с^сіаєиа) + с*С. = 0, І = 1, 2,

е^^а — Х) = 0. (1.31)

Последнее уравнение удовлетворяется тождественно, что легко усматривается с учетом формулы (1,24),

Исключив величины е"^(^ с помощью уравнения (1.31) 1 из уравнений (1,30), получим следующую систему уравнений неразрывности-.

Vа (е"ае^) + Ьр Vа (е^ае^вв^) = 0, * =1, 2,

V а V в (еиа е^в в^) — Ьав (еиае^в Х»„) = 0. (1.32)

2.2. Уравнения равновесия

2.2.1. Вспомогательные соотношения

Компоненты тензора Грина-Лагранжа для оболочки, как трехмерного тела, определяются по формулам (см, (1.7), (1.17))

4- = \{9ц ~ 9ц) = 1ц + £ае*,-, г,:] = 1, 2, (2.1)

где

1 * *

7*7 = ~^(ач ~ агз)> = Ьц — Ьу. (2.1 )

□

ются в терминах величин, относящихся к актуальной конфигурации, однако знак “*” над ними не ставится для упрощения записи. Начиная с уравнений равновесия отсутствие знака “*” будет означать, как и

прежде, “принадлежность” к исходной конфигурации, так как в линейной теории упомянутые конфигурации не различаются. ■

С учетом сделанного замечания на основании (2.1) можно записать

5'у^ = ^б0гз-€5Ьф (2.2)

где

дац = Гi ■ 5гц + гц ■ 5гi,

5Ьц = Vi(n ■ дгц) + ЬVги ■ дцдг. (2.2')

Справедливость последней формулы усматривается из следующих соотношений:

У^г,- = дi5rj - Г“5га = 5Гу - Г“5га =

= д(гц га + Ьц п) — Г" га = д(Г“. )га + (дЬц )п — Ьц дп,

Vi(n • ôrj) = —Щха ■ ÔTj + n • ViÔTj = —Щха ■ ÔTj + ôbij.

Вычислим далее элементарный объем деформированной оболочки. Имеем (см, форм, (1.6))

dV = (Rida1 х R2da2) ■ ndÇ =

= [1 — + £2(&î&2 — b\b\)]y/âda1da2dÇ, = dQdÇ. (2.3)

(Подчеркнутые слагаемые следует отбрасывать в соответствии с критерием Н-Ф.)

2.2.2. Полевые уравнения равновесия

Выведем полевые уравнения равновесия оболочки, исходя из вариационного уравнения Лагранжа

SU = A(Suç ). (2.4)

Вариация упругой энергии деформации с учетом соотношений (2.2), (2.2') может быть преобразована следующим образом:

г гп/2 / [ / аав(Saap - ^Sbap)d£]dfi = JQ J-h/2

= i [Saera ■ Sre - МавVa(n ■ Sre) - Мавbvarv ■ dpSr]dü, (2.5)

Jq

где

/h/2 p h/2

aij d£, Mij = aij ÇdÇ. (2.5')

h/2 J-h/2

Используя формулы интегрирования по частям (1.2.7), получаем

[ Saf3ra ■ dpôrdfl = - [ A-dp{^Sapra) ■ 5rdÜ+

Jq Jq v a

+ I Sавvpra ■ Srdst; JdQ

— f MafiVa(n • 5rp)dü = — f -^9/з[у/а(УаМ“/3)n] • ôrdQ+

Jq Jq v a

+ </ (VaMae)vpn ■ Srdst + </ Мавvarp ■ Sndst;

JdQ JdQ

находим

- [ Maßbvarv ■ dßSrdQ = [ A-dß{^/äMaßbuaru) ■ SrdQ-Jq Jqv a

- J) MaßVßbvarv ■ ördst. (2.6)

JdQ

Вводя обозначения

5U = ( {...}! dH + I {.. .}2 dst, (2.7)

JQ JdQ

r- h/2

Tij = aaiRa ■ ridC = Sij - baMai, (2.8)

J-h/2

i {...}! dü =

■J Q

= - f 4=[Ф(^Г','')Г„ + ЧЛГ'5‘'(Г1Г(, + %„П)+

Qa

+dß(^VaMaß)n - ^(VaMaß)b^Y^\ ■ 5rdÜ. (2.9)

В предположении, что вариации на границе дH отсутствуют, на основании (2.4) можно записать

dß(^T^) + ^rßvTßv - ,/dlfßVaMaß = -v^f,

dß(^dVaMaß) + ^JdTßvbßv = ~^dfn, (2.10)

гДе fi, fn ~ функции, которые будут определены после раскрытия правой части уравнения (2.4).

Принимая во внимание формулы (1.2.6) полевым уравнениям равновесия (2.10) можно придать вид

VaTai - bßVaMaß = -fi, i = 1, 2,

V«Vß Maß + baß Taß = -fn. (2.11)

Раскроем теперь правую часть уравнения Лагранжа (2.4). При этом отдельно рассмотрим работу внешних сил, действующих на лицевые поверхности, - Aq (5U) и работу сил, приложенных к боковой поверхности, - AdQ(5u^), Имеем

Aq (5u?)= f (q+ ■ 5u+ - q- ■ 5u-)dH, (2.12)

n

где

Лг*1 = 5г ± ^Мп. (2.12')

Используя обозначения

—I— — I

Ч = Ч - Ч = д га + дпП,

т=^1г(ц++ = тага + тпп, (2.13)

выражению (2.12) можно придать вид

АП(5и?) = /(ч ■ 5г + тага ■ 5п)^П =

.'п

= [ [(дв — та\Ра)гв + (дп + V ата)п] ■ — </ таиап ■ 5г^. (2.14)

*/ П «/ дП

Таким образом, имеем

/г = дг — т“^ , /п = дп + Vama. (2.15)

(Подчеркнутым слагаемым в соответствии с критерием Н-Ф и формулой (2.13)2 следует пренебрегать.)

2.2.3. Операторная форма записи полевых уравнений равновесия

Для получения уравнений, удобных для практического применения, проще исходить из системы (2.10), (2.15). Преобразовав эту систему с использованием формулы (1.2.7)2 и перейдя к физическим компонентам, получим три уравнения равновесия относительно следующих семи статических величин:

Т! А_ ГТ7 ГТ7 А_ ГТ7 ГТ7 ГТ7

а — 1<11>, Тв — Т<22>1 1<12>, 1<21>,

ма — М<11>, Мр — М<22>, Н — М<12> = М<21>. (2.16)

Очевидно, что седьмая искомая статическая величина появилась из-за несимметричности компонент Тг, Если же вернуться к усилиям Бг^, то искомых величин будет шесть. Однако более компактные и удобные для преобразований уравнения получаются, если использовать комбинированную систему величин, предложенную В.В. Новожиловым [4]

Та, Те, Б = 5<!2> = 5<21>, Ма, Мв, Н, (2.17)

исключив из уравнений равновесия величины Т<12>,Т<21> с помощью формул

Т<12> = Б + тав Ма — авН, Т<21> = Б + тав Мв — ааН. (2.18)

Окончательно систему уравнений равновесия, преобразованную с учетом соотношений Гаусса-Петерсона-Кодацци

дАо,

~др

а 1 дВ2Та/з

В да

дА дВар 1 дА2та[} _ дВ <9/3 ’ да А д/3 °а да ’

дЛдВ д 1 дА

Ъа ~А~да ~д/3 Ч3~д/3 ~

можно представить в следующем виде:

-АВ(ааар — тар)

+ Ь2т — —АВд,

где (® - знак транспонирования)

г =(Та,Б,Тв)®, т =(Ма,Н,Мв)®, д =(да,дп,др)

(дП = дп +

1 дВт

<1>

+

1 дАт

<2>

В Ада А Вдр

);

ЯоЬ

1=

дВ ( ) 1 дА2 ( ) дВ

да

АВаа

дА

А д/З да

—2АВтав АВав 1 дВ2 ( ) дА( )

дв В да

2=

дВ( )

/(о)

/ав

да

(3)

/(2)

/ав

/(2) /ва

дв

/(3)

/ав

/(о)

/ва

/(о)

/ав

ва

д 1 дВ( )

(тр-

/(2)

/ав

да А да аа дА2 () дАаа ()

¿мл

ад

д I дА 2

~~ 5/ЗБ Дв “ Та/3’

А дв

дв

дА т«в дВ2( )

С/3— +

дв

В да

7(3)- дВ_ ~

^а/З + 2га/3

дА( ) + ^а/3

дв

дв

. д 1 дА2( ) д 1 дВ2 ( ) л .

; “ 1к,1ё~ЩГ + д0В1~!кГ + -4В(а“+ ст^)тъ'5’

(2.19)

(2.20)

(2.20')

(/

■в«) = (а, А

в, В)(©,®,©.

(2.20'')

/

2.2.4. Граничные уравнения равновесия

Вариационное уравнение Лагранжа (2,4) при условии, что полевые уравнения (2,11), (2,15) выполняются, принимает вид

ф {.. .}2 dst = АдП(5и?) — ф таиа5т4вг, (2.21)

JдП JдП

где (см, форм, (2,6))

Ф {. ..}2 ^ =

дП

= ^ {[Тавгв + (VвМав)п] ■ уа5г + МавVвга ■ ¿п} dst. (2.21')

Учитывая, что

гв = VвV + гвt, га ■ 5п = иа5$„ + га 5rвt, на основании (2.21') можно записать

^ (Туубиу-\-Tyt5ut-\-Tyn5w-\-Му 1/8гд1/-\-(2.22)

^ дО,

где

Tvv = Tавvave = Ta cos2 Y + S sin 2y + Tp sin2 Y+

+ ^[Тар(Ма + Mp) ~ {(Ta + &p)H] Sm 2y,

Tut = Tal3vatp = S cos 2y + ^(Tp- Ta) sin 2y-

-(ap cos2 Y - a a sin2 y)H + Тар(Ma cos2 y - Mp sin2 y),

T V7 Aí0c_ со^ дВМа 1 дА2Н dB

"" - da + A~d,3---д^Цз)+

sin y ,dÁMp 1 dB2H дЛЛ/Г

+^(^Г+в^Г-деад'

Mvv = Mавvavp = Ma cos2 y + H sin 2y + Mp sin2 y,

Mut = Mal3vatp = H cos 2y + ^(Mp - Ma) sin 2y- (2.22')

Рассмотрим интеграл, соответствующий подчеркнутому в (2,22) слагаемому, Принимая во внимание формулу (1.2.2)2 и предполагая, что контур dQ является гладким, получаем

(f MvMtdst = <f Mut(-^-atSut + TtSuu)dst =

JdQ JdQ dst

= I - ъМ^бщ + т1Мг/15ии)<181.

!дп dst

С учетом этого соотношения формула (2,22) принимает вид

Ф {. . .}2 dst Ф (Qvvбии + Qvtбut + Яипб^ + бФV)dst, (2.23)

дП дП

где

Quu = Тиг/ + — (ТгМ^, т = Тт-\—-—. (2.23')

dst

Вычислим теперь работу внешних сил, действующих на боковую поверхность оболочки. Названные силы уравновешиваются напряжениями у боковой поверхности, поэтому их можно представить так (лат. етЛегпив - внешний):

е е е ав е а3 е 3а

аи = V • X = V • (а & Ив + а & п + а п & Иа+

з 33 , _ е ав , е а3

г п & п) = [а (гв На основании (2,24) находим

+а п & п) = [а ' (гв — ЩГv) + а п](^ — (2.24)

Адп(би? )=/ (/ (Ги ■ би? =

./дП ■!— Н/2

I [! <ги ■ (бг + £бп)(1 — ^Щ]dst

«/дП J—Н/2

Г еав е а е ав

= Ф [(Т ^гв + Т,пУап) ■ бг + М иагв ■ бп]dst. (2.25)

дП

Здесь (см, форм, (2.5'), (2.8)2)

егз ГН/2 еаг . е ч гН/2 гз ег [Н/2 ег3

Т = а ■ гзd£, М = а £(%, Тп = а (%. (2.25')

—Н/2 —Н/2 —Н/2

Выполнив в (2,25) преобразования, подобные тем, что были сделаны при переходе от (2.21') к (2,23), будем иметь

АдП(би?)=Ф (Яиибии + Я^бщ + Ятбю + МиибФи)dst, (2.26)

дП

где (см, (2.23'))

е е е е е е

Я^ = т иаир + ТгМ иаЦ, Я„г = (Т — ГМ )иагр,

е е а Л е ав е е ав

Ят = Т-пиа + ~Г~ (М исЛр), Мии = М иаир. (2.26')

авг

Окончательно, учитывая, что вариации 8пи. 8иг. 8ю. 8являются независимыми, придем к следующей системе граничных уравнений равновесия (т.н. естественные граничные условия):

е е е е

Ят = Яии , Я„г = Яиг? Яип = Ят — , Мии = М „V. (2.27)

В общем случае граничное уравнение (2,21) будет выполняться и в том случае, когда часть или все геометрические величины (пи, иг, ю, ) заданы на Ш, Пусть, например,

и„ = ^(М), иг = <£г(М), М е 00,, (2.28)1

где (М),рг(М) - заданные функции.

Тогда

8и„ = 8^и(М) = 0, 8иг = 8<^г(М) = 0, и граничное уравнение (2,21) принимает вид

Г е е

Ф [(Ят — Ят + тV )8ю + (Мии — М „V )81\Лвг = 0.

¿дП

Так как в этом уравнении вариации 8ю, 8$„ являются произвольными, то из него вытекают два уравнения равновесия

ее

Я„п = Я„п — т, Мт = М „V. (2.28)2

При этом не связанные с вариационным уравнением Лагранжа равен-(2.28)1

2.3. Статико-геометрическая аналогия в полевых уравнениях

Сравнивая однородные (/г = 0,/п = 0) уравнения равновесия (2,11) и уравнения неразрывности (1.40), убеждаемся в том, что они имеют одинаковый вид по отношению к величинам Тг, Мг и (соответственно)

Это свойство полевых уравнений механики оболочек, называемое ста-тико-геометрической аналогией (с.г.а.), будем записывать так:

¡ли •

(3.1)

Т< ц> — та Т<22> = Тр Т< 12> Т< 12>

Х<22> = Жр Х<п> 99а ~Х<21> ~Х<12>

Конкретизируя индексы г, ] и переходя к физическим компонентам, соответствие (3,1) можно представить в виде таблиц (см, форм, (1.13'), (1.1.6)1)

" " " " " " (3.2)!

(3.2)2

— ~Са с'<12> — 2

где (см. также форм. (1.25))

Т<12> = $ + Тав Ма — &Р М<21>, Т< 21> = $ + тав — ааМ<12>- (3.20

Из сравнения формул (3.2') и (1.25) с учетом таблиц (3.2) убеждаемся, что

$ ^——^ -т. (3.3)

Окончательно с учетом обозначений (2.20') можно записать

м<п> — Ма .'/• 22 • — Мр М<12> — Н

—&<22> = —£/3 ~ е<11> = ~еа е<12> = |

где

, с.г.а. с.г.а.

% <--------> Ж, т <-----------> —£,

эе = {еер, -г, аеа)®, е = {ер, еа)®.

(3.4)

(3.4')

На основании (2.20) и соотношений (3.4) уравнения неразрывности (1.32) в операторной форме имеют вид

До Г1Ж — ^2£ — 0.

(3.5)

Далее, принимая во внимание формулы (1.6^ и (1.23), т.н. кинетические уравнения, связывающие параметры деформации со смещениями. можно записать так:

Я01Б1и — £, Я0 2Б2и — ж,

(3.6)

где

и — (иа,т,ир)®; (3.6')

r:1d1

1 дБ АВ да

ЛАП

2 В dp А ±д(2 А да

R-2 D2

А°) _ _°ад( )

аа!3 ~

Гв

a(1)

aaj3

a(o)

aaj3

~Га

d(2)

аав

a

(2)

19Q

В dp

JLJLil

2 А да В 1 dA

AB dp

a(3)

аав

a(o)

ава

a(3) a a ва ва (За

(1)

га dA 1 dr.

ав

B dp AB dp A da

Га

d(1) = -a/3 AB da

Ta/3 dA( ) В dp ' 2AB dp '

dB 1 drap( )

(2) 13,19(1 1 dBd{)

aa0 - -

B dp B dp A2B da da

,(з) = 1 dap( ) Tap_

af3 В dp 2 {ABda

a =

1 dB 1 d( )

A da

1 d2() 1 dAd( ) 1 d2( )

AB dadp A2B dp da AB dadp’

ава = (a,A — P, B)a%> * ^ 0 : 3.

(i) ав ’

(3.6")

□ Следует обратить внимание на то, что матричные дифференциальные операторы RoLb L2 (см, (2.20")), RoDb R-2D2 обладают одинаковой структурой со своеобразной антисимметрией относительно центрального элемента, наиболее отчетливо усматриваемой на примере оператора R-2D2, Отмеченное свойство может быть использовано, в частности, для проверки правильности записи соответствующих полевых уравнений.

Характерный радиус кривизны или размер срединной поверхности оболочки Ro = const введен с целью нормирования операторов, а именно, если и = (ua,w,llp) - столбец плавных функций, то справедливы оценки

1ВД| ~ 1М|.

),

И последнее, В силу того, что уравнения неразрывности относительно смещений удовлетворяются тождественно, введенные операторы связаны тождеством

(1|102 — = О,

где и - столбец произвольных функций, обладающих достаточной гладкостью, И

Статико-геометрическая аналогия, выразившаяся в том, что уравнения равновесия и уравнения неразрывности записываются с использованием одних и тех же операторов Ь2, позволяет ввести функции

напряжения следующим образом:

£ = + л/ЕМ^Ш, т = тР — л/ЁЫо£, (3.7)

где

е = аё = Д~2В2й. (3-7')

(р - от лат, рагИсиШггв - частный)

2.4. Закон Гука

Как известно, закон Гука в тензорном виде можно представить формулой

X = 2^Е + Л1е 1, (4-1)

где X Е - тензоры истинных напряжений Кирхгофа и малых деформаций Коши (с учетом отождествления исходной и актуальной конфигураций): 1Е - первый главный инвариант тензора Е; Л,ц,- упругие константы Ламе,

Учитывая, что в криволинейных координатах

£ = оав® , Е = е^И“ 0 , (4-2)

в результате проектирования уравнения (4,1) на базисную диаду И получим

О' = (2Йдагдв' + Лдг'дав)е%, г,3,а,Р е 1:3- (4-3)

Преобразуем сначала эти уравнения без предположения о выпол-

Е

линейную часть тензора Грина-Лагранжа, Одно из уравнений (4,3) с учетом соотношений (1.9) имеет вид

о33 = Лдавеав + (Л + 2^)е33> а,в, е 1 : 2- (4-4)

Отсюда, применяя статическую гипотезу Кирхгофа в “жесткой” форме а33 = а33 = 0 (обычно достаточно замены формулы Is = аавga¡g, а, в £ 1 : 3 на формулу 1^ = аавga¡g, а, в £ 1:2), получим

езз = “д 2^5'а/3е“'3’ а’^е1:2- (4-5)

Систему (4,3) после исключения из нее уравнения (4,4) можно записать так:

aij = (Xgij дав + 2магдв> )e% + Xgij e¡3, (4.6)!

а3 = 2p,gmeÍ3, i,j,a,e £ 1:2. (4.6)2

При этом уравнение (4.6) i с учетом формулы (4,5) принимает вид E

аг> = -----¿[vgvg*13 + (1 - v)gm9Рз]е%, i,j, а,/3 е 1:2. (4.7)

1 — V

Используя теперь формулы (1.9), (2.5'), получим

Sij = e0Áij’a’eеав, Mij = á0Áij’a’eжав, (4.8)

где

АчМ = иагзак1 + ^_ u)aikaji} Со = JAL do = №Со' (4.8')

1 — V 12

Первой формуле из (4.8') с учетом легко проверяемого равенства

cik cjl = aij akl — aik ajl

можно придать вид

Áijk = aik ajl + vcik cjl. (4.9)

Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств, полученных путем обращения уравнений (4.8):

1 12

di = -j^A,haPSa^ seij = —A^a/3Maf3, (4.10)

где

Áij,kl aikajl + Vcikcjl. (4.10 )

Учитывая, что уравнения равновесия записываются, в частности, в терминах комбинированных статических величин Tij (см. форм. (2.8)), получим уравнения закона Гука, связывающие названные величины с

параметрами деформации. Для этого обратимся к рассмотрению напряжений, Вводя обозначение

аг* = а* + ^, на основании формул (2.5') находим

Ь3

Бг} = каг03, Мгз = —а\3. (4.11)

Отсюда следует, что после определения усилий и моментов, компоненты тензора напряжений определяются по формуле

* Бг* , 6М* £

ТУ -------- I 3

агз = — ±

Ь Ь2 Л/2

или (в терминах физических компонент у лицевых поверхностей, где

реализуются экстремальные по £ напряжения)

_ $<Ч> 6-М<г)> ( ^

= — *<4Л2) По аналогии с (4,11) имеет место формула

Ь3

Тг] = Наг03 - , (4-13)

12

с использованием которой находим

_ Ткіі> 6М<у> 1

<7<ч> - д д2 д Ь^а>М<іа>. (4-14)

Таким образом, вклад в значения максимальных по модулю напряжений подчеркнутого в (4,13) слагаемого мал, и поэтому комбинированную статическую величину Тг* в законе Гука можно отождествлять с усилием Бг, т.е. считать допустимыми равенства

Т* = с0Аг^еа/3, егз = -Аг^аРТа(}. (4.15)

Со

(Тем самым является приемлемым по отношению к Ь = (Та, Б, Т@)® термин “столбец усилий”.)

Переходя теперь в формулах (4.8), (4.10) и (4.15) к физическим компонентам, получим следующую форму записи уравнений закона Гука:

Ь = с0Се, т = й0С ж, (4.16)1

е = —С Н, эе = ^-С 1 а0

с0

т,

где

V 0 1

С = 0 -1 + V 0

1 0 V

С-1 =

1 — V2

-V 0 1

0 -1 - V 0

1 0 -V

(4.16)2

. (4.16')

Полученные выше уравнения позволяют в зависимости от цели исследования и вида граничных условий реализовывать (традиционные) метод перемещений

либо метод сил

СоС^С Б! + п2иС Б2)« = -АБд, (П2 = Ь2/12Д0),

ЯсХ! £ + Ь2т = -АБд,

¿0Ь2С-1£ - с0Я0Ъ1С-1т = 0.

(4.17)

(4.18)

Этим можно считать исчерпанным изложение общего варианта теории оболочек с использованием операторной формы записи, предложенной автором [9].

2.5. Распространение статико-геометрической аналогии на граничные величины

2.5.1 Равновесие края обеспечивается заданием четырех кирхгофов-ских статических величин (см. форм. (2.23))

Яии, Яиг, Я ии, ,

которые будем объединять, используя обозначение

дд = (Ям, Якг, Яии, Мм)®. (5.1)

На основании формул (2.22') (2.23') с учетом обозначений (2.20') можно записать

дд = Г 1£ + Я-^т, (5.2)

где

Г!

сое2 7 вт 27 вт2 7

11 —-8т27 сое 27 -сое 27

2 0 0 2 0

0

0

0

1

Я-Т,

П11 П12 П13

П21 П22 П23

Пз1 П32 Пзз

cos2 Y sin 2Y sin2 Y

27, П21 Тав 2 cos2 y +

Г]13 = ^ (ra0 + Tt) sin 27, r/23 = -ra/3 sin2 7 — sin 27,

1 гдБ( ) dA() 1 d

431 = ABl_áa_C0S7 - ^TSm71 - 2dT,li >Sm271'

1 ,dA2( ) 1 дБ2 ( ) , d ...

432 = AB[— mS1 + 5—"»71 + )<«*11.

Пзз

1 dA( ) . дБ( ) 1 d

jb 1 ■131117 - —TOS 71 + 217,l()sm 271 ■

1

V12 = ~^{cra + Op) sm 27 + Tt cos 27,

П2 2 = &a sin Y — aj3 cos Y — at cos 27.

(5.2')

Найдем геометрические величины, отвечающие по статико-геометрической аналогии статическим величинам dq. Имеем

с.г.а. 2 • о i -2

Qvv <------> Же cos 7 — Т Sin 2y + Жа Sin Y — Tt£tv —

~[Тсф(£а + £р) + + Ы) sin 27 - ж'и

Q

с. г. а.

1

vt

- (ееа - дд/з) sin 27 - г cos 27 + Ut£tv-

-(<7/3 COS2 7 — <7а sin2 7)^ - Та/з (в/3 cos2 7 - еа sin2 7) = -ж;

tv

~ с.г.а. cos y дБ£в 1 d2A2w дБ d£tv

Qun <------►-----------------777^5--------“

АБ да 2A д/З да

sin y ^A£a 1 д2 Б2ш дA

dst

-(

AB д/З 2Б да дв

tn

Mvv < с'г'а' > —ер cos2 7 + ^ sin 27 - єа sin2 7 = -ett, (5.3)

где

Єа — £/3 . 0 U 0 с.г.а.

^ sin 27 - - COS 27 <------------------> -Mrf.

(5.3')

2.5.2 Выясним геометрический смысл величин *tv, ж4п. Принимая во внимание легко проверяемые соотношения

Г = ViV + tit, Уг = ciata, ti = a, ^ = tiata,

формулу (1.20), описывающую средний поворот элементарной частицы вокруг точки на срединной поверхности оболочки, можно записать так:

ш

= Сав &а (vp V + tp t) + Ш„П = -tftV + t + ШпП.

(5.4)

Тензор-градиент движения на линии Г по аналогии с (1.11) можно представить формулой

(5.5)

Используя полученное путем линеаризации формул (1.2.1), (1.2.4), (1.2.9) соотношение

V 1

*

t = -Utt

* П

V

t

П

(5.6)

формуле (5.5) можно придать вид

V/; = 1 + (V ® п — п ® V) + ® п — п ® t) +

® V — V ® t). (5.7)

Отсюда получаем следующее выражение для тензора поворота нор-

Г

(5.8)

Матрица тензора имеет вид

Qt =

0 -Utt

Utt 0 A

-A -$t 0

(5.9)

1

t

откуда заключаем, что сопутствующий тензору ^ вектор определяется формулой

= -^ + t + иып. (5.10)

□ Сравнивая формулы (5.4) и (5.10), видим, что они отличаются лишь коэффициентами при п. Это связано с тем, что из-за отсутствия поперечных сдвигов углы поворота ,гдг-, характеризующие средний поворот материальной частицы, являются и углами поворота ортов ^ V, Что же касается параметра иы, то он определяет поворот нормального элемента х Ь вокруг нормали п. Средний поворот при этом можно вычислить так (см. форм. (1.25'), (1.2.4')):

1 Г2п

(^й)ср. Ті I

2п Л0

!0 2 На основании формул (1.2.4') и (5.11) имеем

(5.11)

Ша , 2 • 2 і

Vп ~ Мы = ------^—- + Ыр сое 7 - І0а ЭШ 7+

+ \(ЄР ~ £а) 8ІП27 = Єариа^ = -Єй,.

(5.12)

Искривление нормального элемента Аві х к характеризует вектор

ае4 = = -¡Вціу + - здіпп,

аві

(5.13)

где

ж« — — Ь р^К — ЪШц, с&и, — — Рг>К +

аві аві

аШіі І о І а

аві

Рі = — + Рр сов 7 + ра єні 7. аві

(5.13')

(5.13")

При вычислении производной вдоль контура Г в (5.13) использовались следующие правила дифференцирования ортов:

А

аві

V 1 1 і 0 1 V

і = -Рі 0 о і

п 1 0 і ь - 1 п

(5.14)

Выполнив преобразования формул (5.13'), связанные с переходом от направлений V, ^ ^ ^^^^шленпям еа, е^, получим

жЬЬ = жьь , ж^ = , жЬп = ,

т.е. имеет место соответствие

о! С. 2. (I. о!

ад <------------> дж,

где

дж = (жьь> — жЬv> жЬп) —£ьь)ф.

На основании (3,4), (5,2) и (5.15') можно записать

дж = Г ж — Я-Г2е.

Исключив отсюда е и же помощью формул (3,6), получим

дж = Я-2(Г1Б2 — Г 2 Б^и = Гди,

где

ди = (и„, иь, ю, )

V) .

Г

- А "

Го ¿0

ь со 43

-сг*

<*() Рг , сп - 0

Г

„о М ),_<*() ^ 0

711 =—+Т,*Г' 713

йвь

<т+т>

йз1 1 ’

712 =

сМ )

тьрь, 723 = — рь

¿0

йвь

Ть°ь,

◦ ^( ) , ◦ _ Фь( ) .

721 - _<7‘¿¿г+ Г‘А> 732 -~^ + п<7г-

(5.15) (5.15')

(5.16)

(5.17) (5.17')

7и 712 7?з

721 0 723

713 732 7и _

(5.17'')

2.5.3 Используя формулы дифференцирования ортов (5,14) и учитывая обозначения (1.2.4'), (5,10), находим

du

—,— = — vin — LOttV = + i^t x t. (5.18)

dst

Рассматривая формулы (5.13), (5.18) как уравнения и интегрируя их, придем к следующему аналогу формул Чезаро в линейной теории оболочек:

Ut = + / ætdst, u = u° + x (r - rD)+

J So

f'St f'St

+ (ettt — t x / ætdst) dst. (5.19)

JSo J So

(Можно показать, что левые части формул (5.19) не зависят от пути интегрирования [14].)

2.5.4 Геометрические величины (5.15') имеют простой смысл: ætt характеризует изгиб нормального элемента Ast x h в своей плоскости, ætv -скручивание этого элемента, ætn - изгиб из плоскости, £tt - растяжение срединной линии элемента. При этом все названные величины выражаются без интегрирования через параметры деформации (см. форм. (5.16)), с чем и связан термин деформационные граничные величины (ДГВ), На основании формул (5.16) и (4.16)2 ДГВ без интегрирования выражаются через усилия и моменты:

dæ = -^-Т1С-1т + -^—Т2С-Н, (5.20)

d° R°c°

что позволяет в целом ряде задач формулировать геометрические граничные условия в терминах статических граничных величин.

Столбцу кирхгофовских статических величин dq. как обобщенным силам, отвечает столбец перемещений du (см. фор м. (5.17')). Это обстоятельство будем записывать так:

dq <с——> du, (5.21)

Если рассматривать ДГВ как обобщенные перемещения, то для форму-

лирования смешанных граничных условий нужно иметь столбец обобщенных сил db. такой, что

db < с—— > dæ. (5.22)

При этом граничные условия в терминах величин (5.22) должны обеспечивать единственность решения краевой задачи. Поясним сказанное.

Теорему Клапейрона можно записать в виде формулы

U = -Lq + -Lgn, (5.23)

где U - упругая энергия деформации:

U = - í <Ta(ieipdV = -Со í £®C1£dÜ + -d0 í ae®C'1aedn =

2 J v 2 Jq 2 Jq

= — í t®C2tdÜ + \ í m®C2mdÜ,

2ca Jq 2do Jq

Ci =

1 0 v

0 2(1 - v) 0

v 0 1

C2 =

1 — v2

1

0

v

0 -v

2(1 + v) 0

0

1

(5.23')

Lq - работа поверхностных сил:

Lq = Í q®udü; Jq

LdП - работа краевых сил:

LdQ = ф dq® dudst.

(5.23'')

(5.23''')

dQ

(Здесь и ниже для упрощения записи будем полагать, что дде =

(ЯЪи ,Я1г,Я1п,ме„)® = 0.)

Допустим, что одним и тем же граничным условиям и поверхностной нагрузке отвечают два решения некоторой краевой задачи -п', и". Применяя к разности этих решений п = п' — п" теорему Клапейрона , получим

co ¿®Ci édQ + do ae®Ci33dn = LdQ.

(5.24)

Если Ьд^ = 0, то (в силу неотрицательности подынтегральных выражений в левой части равенства (5.24)) е = 0, зе = 0, что возможно лишь при перемещении оболочки как твердого тела. Таким образом, единственность решения задачи по определению НДС в оболочке обеспечивается при выполнении условия Ьдп = 0, которое реализуется, если из каждой пары “обобщенная сила - обобщенное перемещение” на дП задана одна величина. ■

1

Q

Q

Введем на контуре дП главный вектор Е и главный момент В (относительно текущей точки контура) усилий и моментов но формулам (рис, 2,1)

Е = Еv V + Е^ + ЕпП =

= Е° +

Рис. 2.1.

"St

B = B0 + (г0 - r) х Fo + [Mvvt + (r - r) x Qv]dst, (5.25)

где

Учитывая, что

Qv Qvvv + Qvtt + Qvnn.

(5.25')

(r - r) x qVdst

pst d Cst

I ^ ~~x d7^F°+ / Qvds't)ds't

(r - r) x (Fo +/ q>;)

t F dst

второй формуле из (5.25) i можно придать вид

B = Buv + Btt + ВпП = Bo + f (Mvvt + F x t) dst. (5.25)2

J So

Выполнив интегрирование по частям с учетом форму.:: (5.13), (5.18) и (5.25), получим

dF

• udst = (Ь —— ■ udst = F • u dn Jan dst

So —0

so+0 Jan

[Ft£tt — (F x t) ■ ^t]dst,

dB

— ■ ujtdst = В u)t ds

an dst

so — 0

B ■ *tdst = Ф [Mvv+ (F x t) ■ Ut]dst. so+0 Jan Jan

i

so

s

s

o

o

На основании этих соотношений имеем

Lдn = Ф ^ ■ и + Им)dst = (Г ■ и + В ■ шг)

о дО

во —0

во +0

— ® (В ■ ж + Ft£tt)dst■ (5.26)

о дО

Если векторы перемещений и углов поворота являются однозначными функциями на дП, т.е.

u(so + 0) = u(so — 0) = и^0), Шt(so + 0) = ШtXso — 0) = ш(so),

то формуле (5,26) можно придать вид

дО

(5.27)

где

Г во —0

(5.27')

Т = ® Qvdst, В^) = ® Иииtdst + / Г х tdst;

JдО JдО о во +0

дЬ = (В ,^,5«,^)®.

Деформационные граничные величины дж, впервые введенные в работе [7] по формулам (5,13), (5.13'), а затем - в работе [15] по формуле (5,26) без учета внеинтегральных слагаемых, являются в случае односвязной области П альтернативным вариантом обобщенных смещений по отношению к традиционным граничным величинам ди. Однако, как следует из полной формулы (5,26) (или (5,27)) и соотношения (5,24), задание четырех деформационных величин, вообще говоря, не обеспечивает единственность решения линейной краевой задачи механики оболочек. Чтобы удостовериться в этом, достаточно рассмотреть консольную оболочку вращения, жестко защемленную на неподвижном крае (дП) и закрытую на подвижном крае (дП2) абсолютно жесткой диафрагмой, к которой приложена сила Ту = Р и момент Вх = —И (рис. 2.2).

Если не учитывать в формуле (5.27) вне-иптетральпые слагаемые, то при отсутствии поверхностной нагрузки из условий ди|дО1 = 0, дж|дО2 = 0 и теоремы Клапейрона следует, что в рассматриваемой оболочке отсутствует напряженное состояние независимо от значений Р и И.

Сказанное означает, что при формулировании граничных условий на контуре Рис. 2.2. многосвязной области П следует прини-

х /Я х/7 л \лп 1 н\ \

у ~

мать во внимание внеинтегральные слагаемые в формуле (5,27), Например, граничные условия жесткого подвижного края дП* многосвязной области П при использовании ДГВ следует записывать так:

ætt = æL = æitn = 0, 4 = 0, F = P*, B = M*. (5.28)

Переоиределенность в этих граничных условиях является кажущейся, так как в системе (5,28) имеются зависимые уравнения, вытекающие из следующих условий однозначности перемещений и углов поворота на контуре дПi.

u* = ф (£ttt — wt х t)dst = 0, шг = Ф ætdst = 0, (5.29)

JôQi JOQt

где u*, шг - параметры дислокации по Ляву [2].

□ Для иллюстрации рассмотрим первый обратносимметричный случай деформации оболочки вращения. Из условий (5,29) следует, что [16]

ær>i + æVti = 0, £^i — ræz,i = 0,

т.е. вместо четырех граничных уравнений достаточно обеспечить выполнение двух, например,

æv,i = 0, £^i = 0.

Если оболочка работает как консоль (см, рис, 2,2), то следует задать дополнительно два статических условия [16]

Fy = nr(Qr,i — Q^,i) = пг(Т*д cos в — S*) = P,

Bx = nr(Mi,i + rQZii) = nr2T*i sin в = —M.

Таким образом, общее число граничных условий на жестком подвижном крае равно четырем, ■

2.5.5 В этом пункте завершаем иллюстрацию статико-геометрической аналогии в системах граничных величин. Принимая во внимание формулы (3,7) и (5,2), находим

dq = Т^р + R~1T2mp + УЩ(Г^ - R^T2e) =

= dqp — д/Ehdodæ (5.30)

или

Qu = Ql~ л/Ehdaæt, Mvv = Mpu + д/Ehd0ett. (5.31)

С учетом последних соотношений первой формуле (5.25) 1 можно придать вид

Е — Е0 = ( (01 — л/Е]1(102&г) = Ер — Ер — у/Е]к10(и}г ~ ^¿)

Л во

или (полагая Ео = Ер)

¥-¥р= -л/ЕЬс10(Щ - Ъ11). (5.32)1

(5.25)

му виду:

В - В0 - (г0 - г) х Е0 = Вр - Вр - (г0 - г) х Ер+

+ л/ЁМ^[й - П0 + (г0 - г) х ш1\. (5.33)

Последнее равенство получено с учетом того, что

гвг пвг пвг

~ (* X ж"^")'^' = (г - г) х

во во во

Полагая

Во + (го - г) х Ео = ВР + (го - г) х Е0,

равенство (5.33) можно записать так:

В = Вр — \/ЕЬс1о[и — и0 + (г — г0) х и^]. (5.32)2

Применяя к обеим частям последнего равенства оператор Г, получим

ГдЬ = Тд¥ - л/Ек<10дз5 = Тд¥ + дд - ддр

пли

Од = ГдЬ. (5.34)

Таким образом имеют место соотношения

п с.-п. п с.-п. п

дд <--------> ди, до <-----> дж,

*~1 С.3.(1. ^ г,? С. 3.(1. ^ о \

дд <--> дж, до <------------------------------------> ди. (5.35)

И последнее. В связи с введением в теорию оболочек деформационных граничных величин наряду с методами перемещений (4.17) и сил (4.18) может быть использован метод деформаций

(во ЯоГ 1 Се + йо^2 С ж = —АВд, , Л

Ь2£ — ЯоЬ1Ж = 0. (5"3в)

2.6. Вывод уравнений неразрывности из уравнений равновесия

Умножив первое уравнение (2,10) на rj, выполнив в полученном равенстве свертку по индексам i,j и добавив второе уравнение (2,10), умноженное на n, получим

др{у/йГРа)та + у/аГ%Т^га - vO$V7M^ra+ +ф(^УаМа/3)п + yfaT^b^ + \faí = О

или

дру/а(ТРа га + ТЦп) + л/aí = 0, (6.1)

где

Tin = VaMai. (6.1')

Вводя обозначения

F = T iara + Tinn, (6.2)

на основании (6.1) с учетом первой формулы (1.2.6) получим

VaFa + f = 0. (6.3)

Принимая во внимание, что в силу (2.8) имеет место соотношение (полная свертка компонент симметричного и кососимметричного тензоров)

(Tав + Щ MaY )Сав = 0,

можно записать

VaMa + ra х Fa = 0, (6.4)

где

M = MiY c70 re. (6.4')

□ Действительно, подставив Fi из (6.2) и M из (6.4') в уравнение (6.4), получим

Va(MaYС7рre) + ra х (Taere + Tan) = 0

или

Су/3 (VaMaY )re + cil3MaYbin + Cae^n + 0^^ = 0.

ri n

ствам

C1%VaMaY + CiaTan = 0, (Tae + Ьв MaY )Cae = 0.

И, наконец, после умножения первого из этих равенств на ckj и свертки по индексам i, к получим формулу (6.1') ■

Убедимся, что решение уравнений (6,3), (6,4) при f = 0 можно представить формулами

F = CiaVaф, M = eia(Vap + Га X ф), (6.5)

где

^ = <ßara + <^n, ф = фß rß + ^n. (6.5')

Действительно, учитывая, что Vßф = dßф - ковариаитная компонента тензора 1-го ранга, имеем

VaFa = CaßVaVßф = CaßVa(3ßф) = C“ß (dadßф - Г^ö7ф) = 0,

VaM + ra X Fa = CaßVaVß+ Caß (Varß) X ф +

+C“ßrß X VaФ + Caßra X Vßф = Caßbaßn X ф = 0. ■

Первое равенство (6,5) с учетом (6.5') можно записать так:

F = Cia[(VaФß)rß + фßbaßn + (daФ)п - фЬ^]. (6.6)

Сравнивая формулы (6,6) и (6,2), находим

Tij = Cia(Vaфj - VaФ), Tin = ^(^ф + baßФß). (6.7)

Далее на основании (6.4') имеем

M ■ г, = MiY CYj.

Отсюда после умножения на Ckl и свертки j = l = ß. получим

Mik = (M ■ rß)Ckß. (6.8)

Второе равенство (6,5) можно преобразовать так:

M = Cia[(Va^7)r7 + Ф1 bayn - (Öa^)n-

-^Г7 + CayФ1 n + C^r1 ]. (6.9)

Отсюда находим

M ■ rß = Cta(Va^ß - baß<P + CßaФ) =

= Cta(Va^ß - baßФ) + 5ßф

и, следовательно, справедлива формула

= ciac>ß( Vафр - baßф) - ф. (6.10)

Учитывая, что на основании равенства (6.4')

M ■ n = 0,

из (6.9) имеем

сга(да ф + baß фв + caß^ß) = 0

или

фг = &а(даф + baß фв). (6.11)l

Кроме этого из условия Mij = Mji и формулы (6.10) следует зависимость

ф = —1WVi<£2 - V2^i). (6.11)2

v а

Равенства (6.11) означают, что из шести функций напряжения (ф1, ф2, ф, ф1, ф2, ф) независимыми являются лишь три, например, -ф1,ф2,ф. Выразим через эти (последние) функции статические величины, в терминах которых записаны уравнения равновесия (2.20). Сначала получим формулы для моментов. Имеем

МП = — (V2^2 — &22^) = —(д2<Р2 — ~ &22^) =

а а

1 /дБф<2> , ВдВ _ дБ _ 2

(---яд-----^ ---яа(^<2> ~ В ^<22>Ф)

А2 В2К д3 А да д/3

или

1 д^д 1 дВ

м°= в~Щз + АвЖ^а ~ (6-12)‘

где (см. также (1.1.6)2)

<£1 ^2

Ч><*- А> Щ - в ■

Аналогично получаем

Ыр = (А, а ^ В,3)Ма. (6.12)2

Далее находим

и _ 1 д<ра 1 дВ _

м<п> ~ «Г + АВШ^ ~ Т~ Я'•

иг _ 1д<рр 1 дА _

м<21> -~27ь+ лваё+ '*•

откуда имеем

Я = 1(М<И> + М<21>) = _ *_|ф _ Тодаг (в 12)з

Принимая во внимание обозначения (3.6"), соотношения (6,12) можно записать в виде равенства

т = ф,фр)®. (6.13)

Перейдем теперь к выражению усилий через функции напряжения фа, фр, ф. Прежде всего, на основании формул (6,11) получаем

I а I ^дф

Уа = "Ф< 1> = + орфр ~ тарфа,

В д3

/ А / _ 1 д(Р ,

'Ф/3 — У<2> — ~~А0о> ~ (Таф>а Та13^Р13,

1 (дВфр дАфа = 2АВ ~да 5/Г <6Л4)

Используя первую формулу (6,7), находим

гр _ 1 д'фа 1 дБ а В др АВ да та^-

Исключив отсюда функции фа, фр, ф с помощью формул (6,14), получим (см, обозначения (3.6"))

-Та=й{а1фа+(^1ф+. (6.15)1

Выполнив аналогичные выкладки, будем иметь

-Тр=((р1фа++(ва фв. (6.15)2

И, наконец, на основании первого равенства (6,7) справедлива формула

гг _ 1 дФр , 1 дВ / - /

Т<12>-В90

Исключив отсюда 'фа/фр/ф с помощью соотношений (6,14), по первой формуле (3.2') с использованием первого уравнения (2,19) находим

-S = daßpa + dp + d^lfß. (6.15)з

Три равенства (6,15) можно заменить одной формулой

t = -R-2D2(^a,^, Pß)®. (6.16)

Так как соотношения (6,13), (6,16) справедливы для любого набора функций pa, р, Pß. имеющих нужное число производных, то они выполняются при замене столбца (ра, р, Pß)® на - л/ЁЫ~0и. В этом случае будем иметь

t = —\JEhd0R0 D2it = —\JEhd03d,

m = \J Ehd0Ro1Diu = \J Ehdae.

Учитывая, что t и m удовлетворяют однородному уравнению (2,20), приходим к равенству

R0 Li* — L2^ = 0,

связывающему параметры деформации и представляющему собой операторную форму уравнений неразрывности (см, (3,5)),

Литература

1, Kirchhoff G.R. Verlesungen über mathematishe Physik, Leipzig, 1876, 466 p. См, также Кирхгоф Г, Механика (Лекции по математической физике). М.: Изд-во АН СССР, 1962, 402 с,

2, Love А.Е. Atreatise on the mathematical theory of elasticity, V.2. Cambridge Univ. press, 1893, 327 p. См, также Ляв А, Математическая теория упругости, М,:Л,: ОНТИ, Гостехиздат, 1935, 674 с,

3, Новожилов В.В. Новый метод расчета тонких оболочек // Изв. АН СССР. ОТН. 1946. Ml. С. 35-48.

4, Гольденвейзер A.JT. Дополнения и поправки к теории тонких оболочек Love // Пластинки и оболочки. М.: Госстройиздат, 1939. С. 85-105.

5, Балабух Л.И. Изгиб и кручение конических оболочек // Тр. ЦАГИ. 1946. №577. 64 с.

6, Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe / / J. reine und angew. Math. 1850. Bd 40. P. 51-88. См. также Кирхгоф Густав. Избранные труды. М.: Наука, 1988. 430 с.

7, Черных К.Ф. О сопряженных задачах теории оболочек // Докл. АН СССР. 1957. Т.117. Ж. С. 949-951.

8, Михайловский Е.И., Черных К.Ф. О некоторых особенностях деформационного варианта граничных величин // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. М2. С. 155-162.

9, Михайловский Е.И. Прямые, обратные и оптимальные задачи для оболочек с подкрепленным краем. Л,: Изд-во Ленингр, ун-та, 1986, 220 с.

10, Михайловский Е.И., Черных К.Ф. Развитие механики оболочек в трудах школы академика В,В, Новожилова // Успехи механики. 2003. Т.2. №3. С. 87-126.

11, Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих тел, - Уч, пособие для вузов, Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарск, унта, 2004, 324 с,

12, Новожилов В.В., Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // ПММ. 1943. Т.7. №5. С. 331-340.

13, Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л,: Машиностроение, 1986, 336 с,

14, Черных К.Ф. Линейная теория оболочек, ч,1. Л,: Изд-во Ленингр, ун-та, 1962, 274 с,

15, Черных К.Ф. Линейная теория оболочек, ч,П, Л,: Изд-во Ленингр, ун-та, 1964, 395 с,

16, Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л,: Политехника, 1991, 656 с.

Summary

Mikhailovskii E.I. The classical linear theory of shells

The equations and the boundary values of the modern classical linear theory are consecutively obtained. On equations’ deduction the Novozhilov-FinkePshtein criterion was used to estimate the Kirchhoff-Love hypotheses. The final variant of shells’ theory includes the deformation boundary values, which were obtained by K,F, Chernykh for one-related middle surface and were generalized by the author of article for multirelated middle surface. It is shown that the compatibility conditions can be obtained directly from the equilibrium equations of shells’ theory: initially condition was obtained by A.L. Gol’denweiser from the Gauss-Petersson-Kodacci equations for deformed middle surface. The author’s operation form is used for recording the general equations of the linear shells’ theory.

Сыктывкарский университет

Поступила 20.01.2006