CC BY
31Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 3.1999
УДК 539.3
Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа
Е. И. Михайловский, К. В. Бадокин, А. В. Ермоленко
Основное допущение нелинейной квазикирхгофовской теории оболочек К.Ф.Черныха [1-3] заключается в предположении, что образ радиус-вектора
R(«U) = г(аг) + £п(аг) (0.1)
(а'=(а\а2)€1ие[-Л/2,Л/2]) после деформации адекватно описывается формулой
R(a\0 = rK) + ^2«f(a!))n(a!), (0.2)
#
где п, n-единичные векторы нормалей соответственно к срединной поверхности оболочки до деформации (исходная конфигурация) и после деформации (актуальная конфигурация);
г = г -f u, u = иаеа + wq. (0-2')
(Здесь и ниже по встречающимся в одночлене дважды греческим индексам а, ß следует суммировать от 1-го до 2-х, по латинскому к - от 1-го до 3-х.)
Для К.Ф.Черныха побудительным мотивом разработки квазикирхгофовской теории оболочек было желание учесть изменение толщины при деформировании оболочек из несжимаемых - резиноподобных материалов. Однако построенная им теория . пригодна и для оболочек из жестких сжимаемых материалов, так как основана на использовании общего упругого потенциала, а не конкретных уравнений упругости.
181
© Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко A.B., 1999.
Уточнение квазикирхгофовской теории К.Ф.Черныха за счет учета малых поперечных сдвигов для оболочек из жестких сжимаемых материалов предложено в работах [4,5]. При этом конфигурация (0.2) рассматривалась как промежуточная, на которую линейно накладывается деформация поперечного сдвига. Таким образом, актуальная конфигурация определяется формулой
R>\fl = R (а\0 + £ь/(а*)гр(а*). (0.3)
Нелинейный учет поперечных сдвигов выполнен К.Ф.Черныхом совместно с С.А.Кабрицем в работе [6], где вместо (0.2) принята формула
R(ai,0 = i(ai) + Äi(i+ii2K€)Qi. (0.4)
Здесь Q - ортогональный тензор второго порядка.
Во всех цитированных работах [1-6] принято допущение о не-варьируемости параметров А?, что, по существу, и позволило К.Ф.Черныху получить соответствующие варианты уравнений механики оболочек из условий равновесия бесконечно малого элемента. Нелинейные уравнения, учитывающие малые поперечные сдвиги по линейной теории [4,5], получены с использованием вариационного принципа Лагранжа, но параметры Af, по-прежнему рассматривались как неэнергетические.
Анализ влияния уточнений линейной кирхгофовской теории изгиба плоских пластин за счет учета поперечных деформаций на решения контактных задач со свободной границей выявил целесообразность определить "цену" неварьируемости параметров А{, в общих уравнениях нелинейной механики оболочек, учитывающих поперечные деформации.
В данной статье решается соответствующая задача на базе теории изгиба плоских пластин Т.Кармана. Ее цель заключается в дифференцированной оценке уточнений, вносимых в названную теорию за счет учета поперечных сдвигов и поперечного обжатия при варьировании функций А?, и без такового.
1. Применительно к плоским пластинам принимаем допущение, что радиус-вектор точки недеформированной пластины
R = r + £n, г = хаеа в результате деформации переходит в следующий:
R = r + u + Ae(£ + ^2«s)Ä, (1.1)
где
n = n + г?аеа, = —u>,i ¿ = 1,2. (1.1')
Вектор перемещения точки параллельного слоя <f = const определяется формулой
u£ = R- R = u + [(А< - l)i + ^2A€«e]n + + (1.2)
или
и$ = щ + + + i = 1,2; (1.3)!
г^ = г» + (Ае-1)£ + ^2А^. (1.3)2
(Приближенное равенство (1.3)i можно рассматривать как исходное допущение, обычно принимаемое в теории Тимошенко-Рейсснера.)
Очевидно, что параметры А^, характеризуют поперечную деформацию. При этом первый из них А^ определяет кратность изменения толщины. Действительно, принимая во внимание (1.1), имеем
h = |R(/»/2) - R(—Л/2)| = A¡h. (1.4)
Для описания деформации пластины используем тензор Грина-Лагранжа с компонентами
^ = + + 1:3
(uij = дщ/dxj, щ = w, х3 = £) (1.5)
при следующих (дополнительных к уже принятым (1.3)) допущениях:
i) поперечная деформация описывается линеаризированными формулами (1.5) (т.е. компонентами тензора деформации Коши);
и) в тангенциальных компонентах тензора Грина из квадратичных слагаемых учитываются лишь связанные с нормальными перемещениями w,
iii) слагаемыми, содержащими производные от функций А^(аг), можно пренебречь.
2
3
где
В соответствии с допущениями (1.3), 1)-ш) находим (см. (1.1'))
, . 1 ды* , ди*. \ , , « х 1 (л п\
= 2 ~дх{ = 2 = 2Шг' (1"6)]
= (1.6)
= 7ц + + М = 1,2, (1.6)
1 _ 1 '
= -^.О'» ^ = + С1-6')
В качестве упругого потенциала применительно к жесткогибким оболочкам хорошо зарекомендовал себя потенциал стандартного материала второго порядка [3]. Компоненты тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа при использовании названного потенциала связаны с компонентами энергетически сопряженного тензора деформаций Грина-Лагранжа формулами (5.5.5) [4]. Эти формулы в случае пластины (когда допустимо использование прямоугольных декартовых координат) совпадают по форме с соотношениями закона Гука и имеют вид
4 = 2т% + \1г6ц, (1.7)
где А, ц - упругие константы Ламе; - символы Кронекера; /г - первый главный инвариант тензора деформаций Грина-Лагранжа: /г = (Законом Гука называем лишь тот вид линейной связи между напряжениями и деформациями, при котором последние линейно зависят от смещений, т.е. ~ е^.)
Впредь рассматриваем поперечный изгиб под действием нормальной нагрузки. Используя граничные условия на лицевых поверхностях пластины в виде
<&(*/2)=?п+, 4»(-А/2) = (1-8)
на основании (1.6), (1.7) нетрудно получить следующие формулы для параметров, характеризующих поперечное обжатие:
\ 1 А ,
А + 2^ ,аа (X + 2|^)h,
= ~уЩ{Каа + ^ + (А + 2„)Л' (1'9)
где ^
Чп = - Яп, ™п = ^(?« + (1-9')
С учетом формул (1.9) на основании (1.6)г получаем
-__+ + (1 ю)
Далее, принимая во внимание эквивалентную равенствам (1.8), (1.9') формулу
<4з = д(тп + £?п), (1.11)
находим
Л Е
^22 - = ПГ^ + = ГТГ7*2' ^1л2)
где Е, V - модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Усилия и моменты вводим следующим образом:
/./1/2 д
= и4 - т+г/^'
/•а/2 v
/ - ттг^М- (1-13)
7-/1/2 Л + ¿/х
щ
-/г/2
Отсюда с учетом (1.12), (1.6) находим
Тп = ВЫ + иЪ2), Т22 = (1 ^ 2)Тп,
Т12 = (1 - г/)5712, В = ЕЬ/{ 1 - ¿/2); (1.14)
= -^(и7,ц + ию,22), М'22 = (1 ^ 2)МШ М;2 = -(1 - 12, В = ЕЙ3/12(1 - //2); (1.14)
М^ = £>(алд + 1/ш2,2), М22 = (1 ^ 2)М"Х,
м';2 = (1 -1/)^12> = л<. + (1.14)
По найденным усилиям и моментам напряжения у лицевых поверхностей пластины вычисляются по формулам (г = 1,2)
2
3
А/2 Та , 6МЙ I/ , _л/2 Гй 6МЙ г/
Г.. =-------Я /Т- ■ =------<
к Ь? 1 - И"' " А Ь? 1—г/
(MS)
(Дополнительные слагаемые в формулах для нормальных напряжений могут оказаться существенными в контактных задачах в условиях взаимодействия с абсолютно жесткой преградой.)
Вариационное уравнение Лагранжа можно записать в виде
Г fh/2
6Us / / {ay7«, + 2<4<b£3 + 4з<Ьзз)с№ =
JSI J-h/2
= f [qt8wh/2 - q;Sw~h/2}dn=A(6R). (1.16)
Jn
Здесь для упрощения записи использованы следующие допущения (см. также (1.8)):
(а) объемные силы отсутствуют;
(/3) боковая поверхность пластины свободна от внешней нагрузки. Принимая во внимание (1.10), (1.6) и (1.14), получаем
л М 2 \
8U = LJ к,Уа0 ~ + =
= / (То.рб'Уар + Мар8ка/3 + МарвЦар + Тап6ша)<1П, (1-17)
Jn,
f%/2
Tin = / 4# = f*bb>i, i = 1,2. (1.17')
J-h/2
где
Используя очевидные формулы
_ д8ир. l.dSwdw dw d8w.
2 dxp dxa 2 дхадхр дхадхр
d26w 1 д6ша дбшр
6ка13 = *** = +
находим
= - [Тар,рйиа + (Ta/3wia)}p6w]dfl + Ф {TapvpSua + Ta0WtCtup8w)dst-, JQ, Jd fi
/ Марёка13<Ю, = - / Ма/з)/3а<5ад<Ш + Ф {Мар,(зиа8ь) + Jn Уп ./эа
Л Л ^^^
/ МарбЦар(Ю, = / =
У« У«
= - / МаЬабшрМ + Ф (1.18)
Работа внешних сил на вариациях отвечающих им смещений определяется формулой
= [ \qn8w + 1ь2дп6(Х^) + тп6\6]ст. (1.19)
Ja 8
Принимая во внимание зависимости
=
v . д6иа dw d8w
* ^rtt Í) /Л í) /Л ' '
Якч)
1—1/
I/ d2¿>u;
^ ^ М ^ УМ ^ >м ' ^
(1.20)
1 — 1/ дхадха дха интеграл (1.19) можно представить так:
A(¿R) = í [{qn + k2Aqn)Sw + k2qn,aSüJa]dü - k2 í {^8w + qn8tiv)dst+ , v í ,dmnr d{mja)
/ (яг-6"« - —^—6w)dü~
■Lt FJSl- _____________
^ i» Qxu
--- 6 (mn8u„ + mn—8w)dst, (1-21)
1 — v Jan vsv
где
|l®2
/X 1 ' 1 V
/ Q
-
к2 = г//г2/8(1 - и). (1.21')
В (1.21) и ниже используются соотношения (рис.1)
д д д д = vn-—, — = tn
Рис.1
dsu 01 dx^ dst а dx^ v — Уа&оп t = taea vi = t2 = eos 7, = -¿i = sin 7. (1.22)
Подставляя интегралы (1.18), (1.21) в уравнение Лагранжа и приравнивая к нулю коэффициенты при вариациях ёщ, Sw, 6шг, г = 1,2 в интеграле по области О, получим
Тга,а = 0, ¿ = 1,2; (1.23)!
-Mat- (Tapwj)^ = qn + k2Aqn; (1.23)2
Tin - Mia,a = k\n,i, ¿ = 1,2. (1.23)з
Вводя обычным образом функцию напряжения
Тп = Ф>22, Г22 = Ф,п, Г12 = -ФД2, (1.24)
из соотношений (1.14)i находим
ец = и1А = ^(ф,22 - ~ е22 = (1 т=* 2)еп, 1 1 "I- // 1
ei2 = 2^1-2 + «2,0 =--- 2^.1^.2- (L25)
Подставляя е^ из (1.25) в очевидное (при выражении в перемещениях) тождество
eu,22 + e22in — 2е12д2 = 0,
придем к следующему уравнению Кармана:
J_
Yh'
-Д2Ф = w% - w<nwi22. (1.26)
Дифференцируя (1.23)з по х3 и свертывая полученное равенство по индексам \ и .), будем иметь
= -Тап<а + к2 Ад„. (1-27)
Исключая теперь из уравнений (1.23)з и (1.27) изгибающие моменты и учитывая формулы (1.17'), (1.24), находим
иа,а = + Н (1-28)
где
А(Ф, ю) = Ф,цш,22 - 2Фд2го,12 + Ф,22гу,ц. (1.28')
Уравнению (1.23)2 на основании (1.14)2, (1-14)з можно придать вид
ИА2т - ВАиа,а = qnJr к2Адп + А(Ф, ю). (1.29)
>
Исключая, наконец, поперечные сдвиги из (1.29) с помощью (1.28), придем к следующему обобщенному уравнению Кармана:
БА2ю = (з2 - к2)АЧп + (1- 52Д)Л(Ф, И;), (1.30) где / - тождественный оператор;
6(1-10' 24(1-1/)' (1'30)
При 52 = = 0 (1,30) переходит в классическое уравнение Кармана. С параметрами 52 (З.ТлтовЬепко) и (К.С'ЬегпукЬ) связаны уточнения уравнения Кармана соответственно за счет поперечных сдвигов и поперечного обжатия.
Уравнениям (1.23)3 на основании формул (1.14)2, (1.14)3 и (1.17') можно придать вид
£(До,'!--^Нчг-^)]-^! = - Аг2?„,Ь (1-31)1
I 0X2
Уравнения (1.31) вместе с уравнениями (1.26) и (1.30) составляют согласованную систему относительно искомых функций к;, Ф, , и>2-
Системе уравнений относительно о>1, и;2 можно придать несколько иной вид. А именно, вводя вспомогательные функции
Ф - и>1Л + и>2,2, ф = <¿1,2 - ^2,1, (1.32)
можно записать
Д^! = фл + Ф,21 = Ф,2 ~ Ф, 1, (1-33) где функции фиф определяются соответственно из уравнений
Ф=-^п + Ч ф,и;)), (1.34):
12
АФ-—Ф = 0. (1.34)2
(Здесь (1.34)! - записанное с учетом обозначения (1.32)1 уравнение (1.28). Уравнение Гельмгольца (1.34)2 получается, если вычесть из продифференцированного по х2 уравнения (1.31)1 продифференцированное по уравнение (1.31)2 и учесть обозначение (1.33)2-)
Если уравнения (1.23) выполнены, то вариационное уравнение Ла-гранжа (1.16) принимает вид
I
Ф (TaßVß8ua + Taßvßwfa&w + Maß}ßVa8w + MaßVß8tia + k2~8w+
JdQ. VSv
+k2q.Jtiu)dst = 0. (1.35)
На основании очевидных формул (см. (1.22))
ff с с . 9 д д
¿и = 8ußeß = buvi> + Ьщt, V = eß-%— = v---h t —
oxß ösv dst
справедливы соотношения
д ^ ^
6üa = va8uv + ta8ut, -— = va---(- tQ—, (1.36)
<Уха usv ust
с помощью которых можно записать
TaßVß8ua = Tvu8uv -f Tvt8ut, Maßvß8$a = Mvu8-du + Mvt8dt,
TaßUßWi0l = TwTjj- + i1-37)
где
Tuv = TQßUavß, Tut — Taßvatß, Mvv = Maßi/auß, Mvt - Maßvatß. (1.37') Учитывая далее уравнение (1.23)з, получаем
Maßtßua = Tvn - к2^, (1.38)
где
Тт = Тапиа = nhwv. (1.38')
С использованием формул (1.37), (1.38) уравнение (1.35) можно представить так:
Г д л
ф \Tvu8uv + Tvt8ut + (Tm + Tvv~ + T^)8w+ Jan osu dst
+(M„„ + k2qn)8#„ + Mvt8#t]dst = 0, (1.39)
где
dw n dw
ü» = -ä— +U7„, dt = -—+ wt. (1.390
osu ost
Если контур дП является гладким, то уравнению (1.39) можно придать вид (при наличии угловых точек см., например, [4])
/ [Т,Ми + Т„г8щ + дип8ю + (М„„ + к2Яп)6^и + Ми1Ь= 0, (1.40) Уэп
дМ„1 _ ди> т ди>
>дп где
(Зип — Тип "Ь « "Ь Тщ, - -(- т^ „ дзг дв»
(1.40')
Т ■А ии Тиг
ии Щ
(^ип Мии + к2яп
V)
Уравнению (1.40) отвечает следующий вариант граничных величин:
(1-41)1
(1-41)2
Все силовые граничные величины выражаются через основные искомые функции и;, Ф, а?х, При этом имеют место формулы
Ми1/ = + иАцю + -х--1- и---р„шг - ир^),
ози ost "
1 дш* дшц
Тии = Д«ф, т* = В формулах (1.42) и ниже используются обозначения
_ д2 д д2 д А""-Щ+Р¥дГг> Аи - да2 + Р*д7и'
(1.42)
Аи< =
д2
дзидзг ду ду
р1 дst' дзгдз
(Р___д_
„ Р" дзи'
, — Д4„, А — Аии + Аи-
(1.43)
Через функции ги, ш\, и2 элементарно выражаются геометрические граничные величины, характеризующие изгибную деформацию. Что же касается тангенциальных смещений, то для их получения следует дополнительно интегрировать систему уравнений (1.25). Таким образом, в тех случаях, когда граничные условия формулируются в терминах тангенциальных смещений система уравнений {(1.26), (1.30), (1.31)} не является замкнутой.
В работе [4] предложено вместо варианта тангенциальных граничных величин (1.41)! использовать следующий:
Вп
к
'ы — Ь«
(1.44)
где
дФ
Вп = Ф, Я = (1.44')!
1 /Л ^ Л 1/^42
1 ЗДФ 1+1/,вД„Ф ,. , . ,.
= Ё~к+ -ЙГ'-ЙГ ■+ "'(А"Ф - А-ф)+
. _ _ дФ ди) д2ю 1 г/дги., удю -. . лл.. +2ЛД„,Ф + 2Мш; + + + Я- (1-44'Ь
Заметим, что вариант граничных величин (1.44) получен в предположении, что область О является односвязной. Случай многосвязной области рассмотрен в работах [7,8].
Замечание 1.1. Уравнения Кармана, уточненные лишь за счет поперечных сдвигов, рассматривались, например, в работе [4], где они представлены в виде (Ф —> Ф, Ь Л)
^Д2ф = _1л(и;,и0; (1.45)г
ПА$а,а - - Л(Ф, го); (1.45)2
Ад{ + = + ш,г). (1.45)з
1 — V №
Уравнение (1.45)! совпадает с уравнением (1.26). Из (1.45)2 при = = —го,- + и)1 получаем уравнение (1.29) для случая к2 = 0. Из системы уравнений (1.45)з (г = 1,2) получаем
£>Д2го - ЛАи>агСХ = (1.46)
Уравнения (1.29) (при к2 = 0) и (1.46) совместны, если выполняется (1.28). Исключая из уравнения (1.29) (при к2 = 0) и уравнения (1.28) иа<01 придем к уравнению (1.30) для случая к2 = 0.
Граничные величины теории типа Кармана-Тимошенко совпадают с величинами (1.41)2 при к2 = 0, С}^ = Тип + =
Замечание 1.2. Уравнения Кармана, уточненные лишь за счет поперечного обжатия (и;,- = 0), совпадают с уравнениями (1.26), (1.30), если
в последнем положить в2 — 0. Тангенциальные граничные величины при этом сохраняют вид (1.41)1 или (1.44). Для изгибной деформации граничные величины принимают вид
(1.47)
Qun + Мии + k2qn
W V" dsv
где (см. (1.38'), (1.40'), и (1.42)х)
п пдAw I dMut I Г Ё^мТ —
Ц/UTl - U I г> т ^ W Л Т jfi п 5
asv ast dsu dst
Mvv = -D(A„
Обращаем внимание на то, что:
,w
i/Attw).
(1.4 7')
- слагаемое Рддп/дв^ в выражении для перерезывающей силы в (1.47) при дополнительном учете поперечных сдвигов исчезает;
- все изменения, вносимые в полевые и граничные уравнения Кармана за счет поперечного обжатия связаны лишь с вариациями параметров
2. Ограничиваясь линейным приближением, уравнения (1.26), (1.30) и (1.28) принимаем в виде
A 2w
Д2Ф = 0,
рп - /г»Др„, 1
9«,
i^rv.rv =
цк
(2.1)
где рп = qn/D, hl = s2 - к2.
Пусть прямоугольная пластина расположена параллельно абсолютно жесткому основанию с зазором Д << h и находится под действием равномерной нормальной нагрузки qn = q0 = const (р0 = qo/D). Предполагаем, что краями ii = 0 и xj = 2/ пластина шарнирно оперта, а два других ее крал бесконечно удалены или загружены (подкреплены) так, что реализуется цилиндрический изгиб. Когда нагрузка достигнет определенной величины, пластина коснется основания. Предполагаем, что при дальнейшем увеличении нагрузки пластина начнет выстилаться по основанию, образуя область контакта
По = {(^1, Х2) : х0 =< XI <= 21 - х0,...},
(2.2)
в которой реализуется полное прилегание пластины к основанию. В силу одномерности задачи впредь будем указывать лишь одну координату ТОЧКИ X = Х\.
V
гъ^ или
Тогда уравнения цилиндрического изгиба пластины имеют вид
Ф1У = 0, (2.3)!
™1У =Рп- Н1рп = ЬоРп, (2.3)2
= -укЧп. (2.3)з
Граничные условия шарнирно опертого края выражаются равенствами = (¿2 = 0)
Вп =0, я = о, го = 0, М1 + к2дп = 0 при XI = 0, хг = 21 (2.4)
ф = о, ф' = 0, (2.5)
1
и, = 0, + и,) + к2Чп = 0. (2.5)2
Из уравнений (2.3)1, (2.5)1 очевидно следует, что Ф = 0. Граничные условия (2.5)2 запишем следующим образом (см.(2.3)3):
т = 0, ъи" + к1рп = 0. (2.6)
Введем вспомогательную функцию т согласно формуле
ги = й — к2жхй = Ь^гл. (2-7)
На основании (2.3)2 и (2.7) функция ьй должна удовлетворять уравнению
й1У=рп. (2.8) Граничные условия (2.6) для функции т принимают вид
ха - = 0, €>' - Ь1й1У + Ь1рп = 0
или (с учетом (2.8))
{у = {/;" = 0 при х = 0, х = 21. (2.9)
В рассматриваемом случае имеется два вида нагрузки (активная и реактивная)
р0 = Д"1^*), х € (0,2/);
г(х) = ж € (аг0,21 - х0). (2.10)
Поэтому уравнение (2.8) приводится к виду
wIV=Po-r(x) = f(x), (2.11)
где г(х) - реакция основания на давление пластины (г(ж) > 0).
Учитывая, что конструкция и действующая на нее нагрузка симметричны относительно линии х = 1, впредь ограничимся рассмотрением той половины пластины, где 0 < х < I. Известно, что при х = I
i?i = -w + и>х = 0, Qin = Tin = nhwi = 0.
Отсюда следует, что
w'(l) = 0. (2.12)
На основании формул (1.23)3, (1.42) и (2.3)3 получаем
Ты — D(—w + u^ ) + к qn, 1 ,
Отсюда имеем
-Dw" - s2q'n + k2q'n = 0
или
W + hlpn = 0. (2.13)
Условия (2.12), (2.13), будучи выраженными через вспомогательную функцию, принимают вид
гГ - hl(wIV - Рп)' = 0,
w — h^w = О,
т.е. (см.(2.8))
w{l) = 0, w"\l) = 0. (2.14)
При этом в случае наличия участка выстилания [ж0, I] должны быть выполнены условия:
- выстилания
w~h/2(x) = Д при х е [х0, /]; (2.15)
- отсутствия излома лицевой поверхности £ = —h/2 при х = хо
(w~h'2)'(x о-0)=0; (2.16)
сопряжения по срединной поверхности частей пластины
ю(х0 - 0) = Цжо + 0), 1?:(х0 - 0) = 1?!(х0 + 0),
(Мх + к2яп){хо - 0) = (Мг + к2яп)(х0 + 0),
<?1п(*о - 0) = Яш{х0 + 0). (2.17)
Рассмотрим сначала условие (2.15). На основании (1.3)2 имеем
w
-h!2{x) = «,(*) - |Л(А{ - 1) + (2.18)
где (см.(1.9))
x<-l = -mA*+érty
На основании (2.10), (2.18) и (2.18') условию (2.15) можно придать вид-
, 9 // Dhpo 3Dhr , о / .
w + k w - 8(лтЬ " ЩХТад "¿= Л (2Л9)
или (с учетом (2.7) и (2.11))
(к4 + 9(1 - 2v)s4/d>)wIV - (s2 - 2k2)w" + w = A + [3(1 - 2i/)/2}s4p0. (2.20)
Систему фундаментальных решений уравнения (2.20) можно представить так:
Фх = chа(1 - х) cos /3(1 - х), Ф2 = sha(l - х) sin /3(1 - ж), Ф3 = dm(Z - х) sin/3(1 - х), Ф4 = sha(/ - х) cos /3(1 - х), (2.21)
где
_ 1 Is2 - 2к2 + 2у/к4 + 9(1 - 2v)s4/8 а~2\ k* + 9(l-2v)s*/8
1 2+ 2^ + 9(1-2^/8
2 у ¿4 + 9(1-2^/8 ' 1 J
С учетом симметрии полный интеграл уравнения (2.20) выражается формулой (х € [z0, /])
w = Д + [3(1 - 2v)/2]s4p0 + CiФх + С2Ф2- (2.-22)
Из уравнения (2.11) получаем
г(х) =ро- С\Ф{У " = ро - - С2Ф2, (2.23)
где
Ci = (а4 - 6а2/З2 + ^^С! + Aaj3{a2 - /?2)С2,
С2 = (а4 - 6а2/32 + - 4а/3(а2 - /?2)С2. (2.23')
Здесь и ниже использовались следующие формулы для производных функций (2.21):
ф\ = -аФ4 + /?Ф3, Ф? = (а2 - /32)ФХ - 2а/?Ф2,
ф'; = -а(а2 - 3/52)Ф4 + /3(3а2 - /?2)Ф3, ф{у = (а4 - 6а2/92 + ,^4)Ф! - 4а/3(а2 - /?2)Ф2; ф^ = -аф3 - /?Ф4, Фз = (а2 - /?2)Ф2 + 2а/?Фь ф" = —а(а2 - 3/?2)Ф3 - /3(3а2 - /?2)Ф4, = (а4 - б а2/?2 + /34)Ф2 - 4а/?(а2 - /32)ФХ. (2.24)
На основании (2.24) имеют место зависимости
Ф: = Ф(у(х), Ф2 = VJ2v(x), , (2.25)
где
= АФх + БФ2, Ф2 = ЛФ2 - ВФь
7А = а4 - 6а2/?2 + /З4, 7В = 4а/?(а2 - /?2),
7 = (а2 + /З2)4. (2.25')
Вернемся к формуле (2.23). На ее основе общее выражение для контактной реакции имеет вид (х 6 [0, /])
г(х) = - х0) + (ро - С1Ф1 - С2Ф2)Я(^ - ж0), (2.26)
где R0 - сосредоточенная реакция на границе области контакта. Для правой части уравнения (2Л.1) имеет место формула
f{x) = РоН(х0 - х) - RqS(x - х0) + (СгФх + С2Ф2)#(а; - ж0). (2.27)
Функцию Грина для краевой задачи {(2.11), (2.14), (2.9)(х --- 0)} можно представить формулой
G(x;£) = ^(Ых(-Зхе-х3)Н((-х) + ^1х£-3£х2-е)Н(х-0. (2.28)
Решение названной задачи при правой части в виде (2.27) с учетом (2.25) выражается формулой
Г-"О
Ш(х) - ро j Сг{х; - 11оО(т; х0) - С(х; яоЛСХ'Ы + С2Ф;"(.т0)] +
+ С2Ф2(х0)] - Г^(х;х0)[С1Ф'1(х0) + С2Ф2(х0)] + -I 6^(х;х0)[(ЛФг(хо) + С2Ф2Ы] + [¿^(я) + С2Ф2(т)]. (2.29) Выполнив в (2.29) несложные преобразования, получим
х > х0 : ъи = ~\ро^1х2 - Ъ1х20х + 7X0) + О / 4
+ -^2о(Зх0х2 — 6/х0х + хд) + -(Зхох2 — 6/х0х + хц) x 6 6
х^гФГЫ + С2Ф;"(х0)] + \{21х - х2 - х^Ф'^хр) + С2Ф;'(х0)] + н-хо^ф^хо) + С2Ф;(хо)] - [С^Ы + С2Ф2(х0)] + [^(х) + С2Ф2(х)];
.1
IV
(,X) = (/ - х){ -р0х0 - .йрХр - х0[С,1Ф1 (х0) +
2
+С2Ф;"(Х0)] + [Сх ф';(х0) + С2Ф2(Х0)]} + С!Ф;(х) + С2Ф;(Х);
€}"{х) = -^Ро^о + ЯоХо + Хо[С,1Ф'1"(хо)-|-
+С2Ф;>о)] - [СхФ^Хо) + С2Ф;'(хо)] + С!Ф;'(х) + С2Ф2 (х); V] = СхФ! (х) + С2Ф2 (х);
10
-IV
= С1Ф1 + С2Ф2. (2.30)
х < х0 : ги(х) = -р0(-х4 — х0х3 — ХцХ -)- 3/хцж)-|-6 4
+ ^Л0(х3 - 6/х0х + Зхдх) + 7(х3-
0 о
6/хрх + Зхдх)[С,1Ф'1"(жр) + С2Ф2"(х0)] + +(/ - х0)х[С1Ф1(х0) + С2Ф2(х0)] + х[С1Ф^(хр) + С2Ф2(хо)];
1 1
■ш (х) = -ро(х3 - Зх0х2 - Хд + З/хд) + -Я0{х2-
-21х0 + 4) + 1(х2 - 21хо + .Тр)[С,1Ф'1"(х0) +
+c2<(x0)] + (/ - xo)[C'i®ï(xo) + С2Ф;'Ы] + [С^Ы + С2Ф'2(®о)]; w(x) = ^р0(х2 - 2х0х) + Яох + x[Ci$'i(xо) + С2Ф2"(х0)];
w" = ро(х - я0) + До + [СхФ'/'Ы + С2Ф2"Ы];
= Ро. (2.31)
На основании формул (2.30), (2.31) нетрудно убедиться в тождественном выполнении условий
w(k)(x0 - 0) = v/k\x0 + 0), к = 0, 1, 2. (2.32)
Подставляя выражения для го, û?", wIV из (2.30) в равенство (2.20) и приравнивал в нем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях х, получим следующие два уравнения относительно Ci, С2,
х0:
- 24^) + UoxKl - 12% +
+ \х*(1 - 124)[Ci<(x0) + С2Ф;"(хо)]-о х0
-Lui - 4%С1Ф;,(*0) + с2Ф;'Ы]+
z ж0
•• .ru[6vi>;(.ro) + С2Ф;(Жо)] - [с^ы + С2Ф2(Х0)] =
= А + |(1 - 2ф4ро- (2.33)
С1[Ф;'(хо) - хоФ'Лхо)] + С2[Ф2'Ы - х0Ф2'Ы] =
= R0x0 - |poxl. (2.34)
Замечание 2.1. Если сравнить соотношения, использованные при выводе уравнений (2.33), (2.34), с соответствующими соотношениями классической теории пластин, нетрудно убедиться, что в последней отсутствуют параметры hl, s2, Ci, С2. Полагая в (2.33), (2.34)
hl = 0, s2 = 0, Ci = С2 = 0,
получим
~2^Р°хо + qRoX30 = А, RoXo ~ \ро%1 = 0
или
Яо = \рохо, х0 = (24Д/№)1/4, (2.35)
т.е. классической теории соответствует распределение контактных реакций, содержащее сосредоточенные воздействия на краях зоны контакта [9]. ■
Рассмотрим теперь условие (2.16). Имеем (см.(.1.3)2)
-иг, \ ~ ВЬро
т (х) = т - ЩХТад ■
т.е. условие (2.16) принимает вид
й'(ж0-0) = 0. (2.36)
На основании (2.36) и (2.30) с учетом (2.34) получаем
С1Ф'1(хо) + С2Ф;Ы = 0. (2.37)
Таким образом, получены три уравнения (2.33), (2.34), (2.37) относительно четырех неизвестных Я0, хо, С\, Сг- Неиспользованными остались четыре условия сопряжения (2.17). Принимая во внимание (2.7), (2.8), (2.30), (2.31) нетрудно убедиться в тождественном выполнении всех условий кроме четвертого, связанного с непрерывностью перерезывающей силы при переходе через точку х = ж0. Это условие на основании (1.31), (2.7), (2.32) принимает вид
_//// * _/// / *
10 (ж0 — 0) = го (ж0 + 0),
что приводит к важному результату:
Ло = 0.
Тем самым система (2.33), (2.34), (2.37) становится согласованной по отношению к неизвестным хо, С\, С2-
Численно решалась контактная задача для цилиндрически изгибаемой пластины над абсолютно жестким основанием при следующих исходных данных:
I = 100см, к = 1см, Д = 0,1см, Е = 2 ■ 106кг/см2, V = 0, 3. (2.38)
При этом система {(2.33), (2.34), (2.37)} нормировалась путем замены ФУ'(жо) на ДФ^жо) ехр[—а(/ —а)], где в качестве а принималось значение жо, вычисленное по формуле (2.35)2- Численный эксперимент показал, что при фиксированных параметрах (2.38) предложенный выше
алгоритм не при любой нагрузке <70 приводит к допустимому решению (г > 0). Оказывается, что условие односторонности связи начинает выполняться лишь при нагрузке, превышающей некоторое характерное значение qQ, соответствующее выбранным геометрическим и физическим параметрам. На рис.2 показаны графики реакций абсолютно жесткого основания для нагрузок ^ = 0,1кг/см2, 10^. При этой заметим, что значения параметра ж0 практически не отличаются от вычи-
* *
сленных по формуле (2.35)г: х0(Я0) = 45, 7см, жо(10<7о) = 25,7см.
хо = 45,5см Сх = 4, 50 А С2 = 5,76
г(ж0) = 6кг/см2 I г{1) = 0,1кг/см2
ЮЧо
х0 = 25,5см Сх = -38,14 С2 = 15,08 г (жо) = 35кг/см2 г(7) = 1кг/см2
Рис.2
Литература
1. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотронных упругих тонких оболочек/¡Изв. РАН. МТТ. 1980. №2. С.Ц8-159.
2. Черных К.Ф. Теория тонких оболочек из эластомеров (резино-подобных материалов)//Успехи механики. 1983. Т.6. Вып.1/2. С.111-Ц7.
3. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. JI.¡Машиностроение, 1986. 336с.
4. Михайловский Е.И. Торопов А.В. Математические модели теории упругости. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1995. 251с. (ISBN 5-87237-079-2)
5. Михайловский Е.И. Граничные условия подкрепленного края в нелинейной теории типа Тимошенко-Рейсснера//.йзв. РАН. МТТ. 1995. №2. С. 109-119.
6. Кабриц С.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига//Изв.РАН. МТТ. 1996. №1. С. 124-136.
7. Mikhailovskii E.I. On formulating boundary conditions in the Karman plane plate bending theory//Transactions of St-Petersburg academy of sciens for strength problems. 1997. Vol.1. P.21-44- (ISBN 5-87237-Ц6-2).
8. Ермоленко А.В., Михайловский Е.И. Граничные условия для подкрепленного крал в теории изгиба плоских пластин Кармана//Изв. АН. МТТ. 1998. №3. С.73-85.
9. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. О сходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной гра-
ницей//РАН. ПММ. 1993. Т.57. Вып.1. С.128-136. Summary
Mikhailovskii E.I., Badokin K.V., Ermolenko A.V. The plane plate bending theory of Karman's type without Kirchhoff's hypothesis
The plane plate bending theory due to transverse deformations is rifined. The parameters characterizing the transverse squeezing in distinction from K.Chernykh's quasi-Kirchhoffian theory are studied as power base variables. The influence of the transverse deformations on spreading of the contact reactions in the problem with the free borders is investigated.
Сыктывкарский университет Поступила 14-09.98
