Новая постановка задачи несимметричной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика. Физика

УДК 539.3

НОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Б.Е. Победря, А.В. Леонов

Кафедра «Композитные материалы»,

ГОУ ВПО «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова»;

anton.v.leonov@gmail. сот

Представлена членом редколлегии профессором С.В. Мищенко

Ключевые слова и фразы: несимметричная теория упругости; среда Кос-сера; уравнения равновесия; уравнения совместности; эллиптичность системы.

Аннотация: Исследована новая постановка задачи деформации в среде Коссера. Получены условия правильной эллиптичности системы уравнений совместности.

Деформация среды Коссера, описываемой несимметричной теорией упругости, задается двумя кинематическими параметрами: вектором перемещения U и вектором поворота ю . При этом в рассматриваемом теле возникают помимо напряжений с компонентами о у и моментные напряжения ^-у .

Рассмотрим гладкую поверхность A, ограничивающую произвольную область тела, внутрь которого через бесконечно малый элемент поверхности dA действует вектор сил pdA и вектор моментов mdA . С учетом вектора массовых

сил X и вектора массовых моментов Y уравнения равновесия для произвольного объема V имеют вид:

где г - радиус-вектор, отсчитываемый от некоторой точки тела.

В прямоугольной декартовой системе координат эти уравнения (1.1) и (1.2) перепишутся следующим образом:

1. Уравнения движения

(1.1)

(1.2)

(1.3)

I (£чкх]Рк + mi) (А +1 (£ук ХуХк + Yi) ё¥ = 0, (1.4)

А V

где i = 1,3, у = 1,3, к = 1,3.

В качестве объема V можно выбрать бесконечно малый тетраэдр ОАВС с тремя гранями, ортогональными координатным осям. Тогда р(1) - вектор силовых напряжений, а т(1) - вектор моментных напряжений, действующие на элемент поверхности йА1 = . Соответственно, векторы р(2), т(2) и р(з), т(3)

действуют на элементы (А2 = 0X36x1 и (А3 = 6x16x2 . Составляющие силовых и моментных напряжений обозначаются через о, и ц, , то есть

р(1) = о12,о1з); М-13);

р(2) = (a2l,о22,о23); т(2) = (М2Ъ М22, М23);

^ о33); ^^(мэь М32, М33). (1.5)

Пусть ni означают компоненты единичного вектора нормали п к четвертой грани АВС тетраэдра, а pi (п ) и mi (п ) - составляющие сил и моментов, действующих на этой грани. Тогда

р(А = р(1)йА1 + р (2)6А2 + р(3)йА3;

тёА = т(1(М.1 + т(2)А2 + т()(А3. (16)

Поскольку

(а, = dAni; ni = соб(П, xi); /' = 1, 2, 3, (1.7)

уравнения (1.6) принимают вид:

р = р(1)П1 + р(2)П2 + р(3)П3 ;

т = m(l)nl + т^ + т^щ.

(1.8)

Учитывая (1.5), из соотношений (1.8) получается, что

р, =о]гп] ; т =мрп] . (1.9)

Теперь значения р, и mi можно подставить в уравнения (1.3) и (1.4), которые примут вид:

]1п](А + | Хг(У = 0; (1.10)

А V

| ^ук*] ^1к«1 + д ],п] ) (А + | (£i^kx,Xk + ) ^ = 0. (1.11)

А V

Применение к этим уравнениям теоремы Гаусса-Остроградского о дивергенции приведет к следующим уравнениям:

| (о (,, + Хг)) = 0; (1.12)

V

(1.14)

справедливо в каждой точке тела. В силу этого уравнения первый член в подынтегральном выражении (1.13) равен нулю. Так как объем V выбран произвольно, справедливо соотношение

Тензор напряжений о, несимметричен. Этот тензор будет симметричен только при отсутствии массовых моментов У, и моментных напряжений ц, . В этом случае уравнение (1.15) сводится к виду £ук о,к = 0 , что обеспечивает в теории симметричной упругости симметрию тензора о у = о у, .

Уравнения (1.14) и (1.15) являются уравнениями равновесия внутри тела, уравнения (1.9) - уравнениями равновесия на поверхности тела. Соотношения

(1.9) можно трактовать и как граничные условия в напряжениях.

«Классическая» постановка задачи несимметричной теории упругости

В дальнейшем вектор массовых сил X и вектор массовых моментов У считаются равными нулю. Таким образом, уравнения (1.14) и (1.15) принимают вид:

Чтобы найти перемещения, необходимо решить систему шести дифференциальных уравнений (1.18) относительно трех неизвестных ы, . Необходимым и достаточным условием разрешимости этих уравнений для односвязной области является обращение в нуль симметричного тензора несовместности п

Дополнительной кинематической характеристикой для среды Коссера является вектор независимого вращения с компонентами фг и тензор его градиента

ку = Фг' у, который называется тензором искривлений. Несимметричные тензоры

можно разложить на симметричные и антисимметричные части:

sijkа jk + М ji, j + Yi = °.

(1.15)

(1.16)

^ук оук + Муг, у °.

Малые деформации связаны с перемещениями соотношений Коши

(1.17)

(1.18)

nij (.£) Siki S jmn skn,im 0.

(1.19)

hj Mi] + My ;

(1.20)

Ю,у =

11 2

2(,,- ы],,); (1.21)

к,I = 2 (, ] +Ф],,); (1.22)

кА = -2- (,,-Ф,,,) (1.23)

Чтобы найти компоненты вектора вращения по известным функциям к, ,

необходимо решить систему шести дифференциальных уравнений (1.22) относительно трех неизвестных ф,. Необходимым и достаточным условием разрешимости этих уравнений для односвязной области является обращение в нуль симметричного тензора несовместности п

%( к3)=£,к1£упт^, 1т = °. (1.24)

Линейные определяющие соотношения для изотропной среды Коссера в общем случае записываются в виде:

о

£у = а^дЬу + а^Зу + а1 ц 5,, + а3Цу ; (1.25)

о

3 3 3

к, = а2 ц5у + а4Цу + а5&5,]- + або, ; (1.26)

а,, = Й1оА + Ь3ЦА ; (1.27)

кА = Ь3оА + Ь2МА, (1.28)

о

где ц = цкк, а а1, а2, а3, а4, а5, а6, Ьь Ь2 и Ь3 - независимые упругие константы,

которые должны находиться экспериментально.

Граничные условия задаются на поверхности 2, ограничивающей объем

тела:

а4п1

Е = s0; (1.29)

Е = Sf, (1.30)

где п, - компоненты единичного вектора нормали к поверхности 2, 5-0 - компо-

^ ^ о0

ненты заданных на этой поверхности усилий, а 3, - компоненты заданных на границе моментов.

«Классическая» постановка задачи несимметричной теории упругости в напряжениях заключается в отыскании 18 компонент тензоров о, и ц, в одно-

3

связной области V е Ш из решения уравнений совместности (1.19), (1.24) с использованием определяющих соотношений (1.25) - (1.28) и уравнений равновесия

(1.16), (1.17) при удовлетворении граничным условиям (1.29), (1.30).

«Новая» постановка задачи несимметричной теории упругости

Из уравнений совместности (1.19), (1.24) можно получить обобщенные уравнения совместности для несимметричной теории упругости:

где £,, , Q, 2', Я, Я' - пока произвольные константы.

В работе [2] доказано следующее утверждение:

Теорема. Если уравнения равновесия (1.16), (1.17) удовлетворяются только на границе:

то при выполнении условий 2 ф 0, 2' ф 0, Я ф <2, Я' ф <2' из уравнений (1.31), (1.32) следует, что во всей области V удовлетворяются уравнения равновесия

(1.16), (1.17) и уравнения совместности (1.19), (1.24).

Таким образом, задача несимметричной теории упругости сводится к решению двенадцати уравнений (1.31) и (1.32) в напряжениях при выполнении двенадцати граничных условий (1.29), (1.30), (1.33) и (1.34). Чтобы выразить антисимметричные компоненты тензоров деформации и искривления в обобщенных уравнениях совместности через компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений, следует сначала обратить определяющие отношения среды для антисимметричных тензоров:

тождествами.

После дифференцирования уравнений (1.35) и (1.36) по Ху и использования тождеств [3]

(1.32)

(1.33)

(1.34)

стА - Bioijj + B3kj;

(1.35)

Н-j/ - B3mij + B2kij,

(1.36)

А 3

Градиенты тензоров Юу и ку связаны с градиентами тензоров и ку

®;j,k ski, j skj, i;

kA, - kS - kS

Kij,k - Kki, j Kkj, j,

(1.37)

(1.38)

А 3

связывающих градиенты тензоров югу и ку с градиентами тензоров и ку ,

получается:

СТА, у - —[(2а1 + аъ )) + (2а5 + аб )вз ] ©,- [а5 + аб )В1 + (2а2 + а4 )Б3 ] Ц, г +

+ (Б1а3 + Б3а6 )ст|/, у + (Б1а6 + Б3а4 )м-у, у ; (1.39)

О

цА, у - -[(^а1 + а3 в +(2а5 + аб )Б2 ] ®, г — [(2а5 + а6 )Б3 + (2а2 + а4 )Б2 ]ц, г +

+ (3а3 + Б2а6)стгу,у +(3а6 + Б2а4)м-у,у . (1.40)

Обобщенные уравнения совместности (1.31), (1.32) с помощью определяющих соотношений (1.25) - (1.28) и тождеств (1.39), (1.40) записываются в виде

а^^^зу + (а^ + ( — ЯБХ )(2а^ + а3 ) — ЯБ3 (2а5 + а6 ))А©§гу +

+ (- а1 + (1 — 22Б1 )(2а1 + а3)— 22Б3(2а5 + а6))®,гу +

+ (— а3 + 2(1 + Б1а3 + Б3а6 ))(ук, ку + СТук, кг)+

+ (а3 + Я( + Б1а3 + Б3а6 ^Ы, к/ ^гу +

О

+ а6Ацу + (а5 + ( — ЯБ^ )2а5 + а6 ) — ЯБ3 (а2 + а4 )а Ц )гу +

О

+ (— а5 +(1 — 22Б1 )(2а5 + а6 ) — 22Б3 (2а2 + а4 )) Ц,) +

+ (— а6 + 2(Б1а6 + Б3а4 ))(ц/к, ку + Цук, кг)+

+ (— ( + Я(Б1а6 + Б3а4))Цу/,к/)гу - 0; (1-41)

«б Д^ jj + («5 + (| - R B2 Х2«5 + aб) - R B3 (2«1 + «з ))Д08і7

+

+ (- Яз + (і- 2QВ2 )(2а5 + а6 ) - 2бВ3 (2а1 + а3 ))®, у +

+ (- а6 + б' (Б3а3 + В2а6 ))(ст£к, ку +ст %, кг)+

+ ( (6 + (Б3а3 + В2а6 ^й, к/ 8гу +

О

+ а^ДЦгу + (2 + ( — ( В2 Х^а2 + а4 ) — К В3 (2а^ + а6 )Д Ц +

+ (- а2 +(і - 2б В2 )(2а2 + а4 ) - 2б В3 (2а5 + а6 )) Ц,у +

+ (- а4 + б'(1 + В3а6 + В2а4))(м4 , ку' + Ц£к, кі)+

+ ( (4 + К ' Iі + В3а6 + В2а4 ))ц £/, к/ )іу +

+ 2б (В1а3 + В3а6 )Бimn ау'т, п +£ %тп аіт, п )+

+ 2б (В1а6 + В3а4 )(£ітп Ц у'т, п +£ у'тпМ-гт, п )_ 0 (1.42)

«Новая» постановка задачи заключается в отыскании 12 независимых ком-

£ £

понент симметричных тензоров а у , Цу из решения 12 обобщенных уравнений

совместности (1.41), (1.42) при удовлетворении шести граничных условий (1.29), (1.30) и шести уравнений равновесия на границе тела (1.33), (1.34). Антисиммет-

А А

ричные тензоры ау и Цу в граничных условиях можно выразить через контурные интегралы:

Mm \ ( s S\ f0 0 ^

B1 J «11®, jSki + ®, iSkjj + a3 VCTki, j +CTkj, І/ + a5 M, j Ski +M, i Skj

M 0

+a

. (m Si, j + м krj-, і )]dyk + Blro0 + B3ki (о);

(1.43)

M

MA - B2 J

M 0

a2

M, j Ski +M, i Skj + a4 (, j +Mj7, І)+ a5 (®, j Dki +®, І Skj )+

+ «б І ajji, j +CTj7, i

dyk + B2kij ^ + B3®|/',

(1.44)

kA (0), а

где Мо - произвольная точка на X, в которой заданы величины ю° и М - текущая точка с координатами Хк .

2. Эллиптичность системы обобщенных уравнений совместности

Пусть задана система уравнений с N неизвестными функциями И1,..., ип с т независимыми переменными Х1,..., хт.. Эту систему можно записать так

N

Е Е 4 ^uk - fj (і).

(2.1)

k-1 a < і

jk

Здесь Ъа - некоторые линейные дифференциальные выражения

Ъ-(,...,Ът), а-(а!,...,ат) - мультииндекс, Х-(хь...,хт).

Если порядок дифференциального выражения равен Sjk, то можно записать

Ljk4 - Е A(a}(і)Da

uk,

a < і

jk

где

Ljk(D)- Е AJa)(і)Da.

(2.2)

(2.3)

a < і

jk

Поэтому систему можно представить в виде

N I

X 1}к (Х Ъ )ик = / (х) у = 1,..., N.

Если ввести матрицу і(х,Ъ)=|^Ьук(х,Ъ

и

(2.4)

порядка N и N-компонентные

векторы и - (м1,.... ин) и 1 -(/i,..., )! то система примет матричный вид

ь(х, Б)и - 1 (Х). (2.5)

Через 1^ук (х, ъ) обозначена главная часть полиномиальной матрицы ь{х, Ъ). Она получается, если в формуле (2.3) удержать только члены, у которых |а| - у

jk

(і.I)- Е jk,a.

(2.б)

sjk

+

Пусть ! = (§!,..., 1N) - произвольная точка пространства т . Можно положить

Г

]к

(г, 1)= I

л(а)ра

А]к 1 ■

При этом

I0 (, |)= <Ъ*| ь)к (х, 1)|.

(2.7)

(2.8)

Система называется правильно эллиптической, если порядок системы р -четное число (р = 2М), и для каждой пары линейно независимых действительных

£ Т'

векторов 1 и п полином I

1 (х, 1 + тп)

комплексной переменной т имеет ровно М

корней с положительной мнимой частью.

Систему обобщенных уравнений совместности (1.41), (1.42) можно рассматривать как линейную дифференциальную систему уравнений второго порядка относительно двенадцати независимых переменных. Главная часть полиномиаль-

ной матрицы I

і = 1,...,12, ] = 1,...,12,будет иметь блочный вид

I0 =

Г іьи іки Л

ТІЇ иЯ1 V1 К У

X

Матрицы Ь (Xзаменяет любую из комбинаций ЬП, ЬЬ, ЯП, ЯЬ) имеют размерность 6^6 и записываются в единообразном виде

йг+4>2+ + (4'+2С-/ + С5Г)г-2 4 ?2 + +^2+^2 4 ?2 + + С3ГЛ-2+4’,2 М + сХ ^>су 2с$ уг 2 {сХ + сХ )хг

4 ?2 + + С^2 + С^У2 (чА + 4 )г 2 + + У + 2^ + ^ 4>2+ + С3Гу2+4'--2 ^{^4 + сХ |гу М + сХ Ъ$хг

сЬг + , X 2 , X 2 + С5 X + Ст, у Х-2 С'І г + , X 2 , X 2 + с5 >» + с3 2 / А' А' )-2 И +с2 )г + І А' А' АІ 2 + ^3 к: | !- о -У 2с$ ху 2(с4 + с5 )>- 4 х , 2^4 + С5 Ьсг

+ с'| ‘ (^3 + 4 ]л'У у съ ХУ ^г2 + + с^ (х2+72) сХ хг

4 }•: (сзГ +С4Г ).уг [с$ +с% )уг с 4 хг с?г2 + + с|(у2 + г2)

(с^ + С | )лг Л” + С4 с$уг X с4 ху ^г2 + + с|(х2 + ^2)

2 2 2 2

Здесь г = х + у + 7 и также введены следующие обозначения:

ьи

с1 = а3;

с2іи = о^1 + (і — Я^1 )(2о,1 + аз ) — ЯВ3 (2^5 + );

с3и = —а1 + (1 — 2(2В1 Х2а1 + аз ) — 2(2вз (2а5 + а6 );

с4 — —О} + Q(l + В^аз + );

+ я(1 + В!Яз + Ва);

яи с1 — а6;

сяи — а5 — (2а2 + 04 )ВзЯ + (2а5 + а6)(— В1Я + 1); сяи — —а5 + (1 — 2(2В1 )(2а5 + а6 )— 2бВ3 (2а2 + а4 );

С4 — —аб + Q(Bla6 + Вза4);

с5яи — —£аб + Я(Ва + Вза4); с" — аб;

с? — а5 + (1' — Я'В2 )(2а5 + аб ) — ЯВ3 (2а1 + аз ); с'' — —а5 + (1 — 2Q В2 )(2а5 + а6 ) — 2Q Вз (2а1 + аз ); с4"' — —аб + & (Взаз + В2а6 );

с<р' ——^'а6 + Я ,(Взаз + В2а6 );

я' с1 — а4 ;

с'2Ь — а2 + (1 ' — ЯВ2 )(2а2 + а4 ) — ЯВз (2а5 + а6 );

^ — —а2 + (1 — 2Q В2 )(2а2 + а4 )— 2Q Вз (2а5 + а6 ); с я — —а4 + Q (1 + Вза6 + В2а4); с5Я' — —1 'а4 + Я' (1 + Вза6 + В2а4).

Матрицы ЬХ (х, 1 + тй) для 1 — (1,0,0) и й — (0,0,1) запишутся в виде

(сХ +Х )(1+т2)+

, X , о X , X + с^ + 2с4 + с^

с2

Х (1+т2 )+ -Х

1+ сз

X

с2

+ сз^^ + c5X т2

2(с:[ + с5;):

с2

* (1 + т2 )+ с55'

(р!1 +2 Х1+ Т )

с2

X (1 + т2 )+ сх т2

о X 2с5 т

с2

^ (1 + т2 )+ с55'

с2

^ (1 + т2 )+

+ сз^^ т2

(сх +X )(1 + т2 )+

, / X , о X , XX.

+ сз + 2с4 + с5 т

2^ + с5; ):

сХ (1 + т2 )+

+ с:[

с4[ т

X (1 + т2 )+

+с4С т2

+с4г I1

с ?! т

+ с4Г I1

^ + X )1 + т2)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Легко видеть, что в определителе матрицы ' (х, Г + тй) для | — (1,0,0) и й — (0,0,1) можно выделить угол нулей размером 8^4, что значительно облегчает нахождение определителя этой матрицы, приведенного ниже,

А — (1 + т ) (— аза4 + а6)(^2а^ + аз)2а2 + а4) — (2а5 + а6) )х х 1 + а4В2 + 2а6Вз + а6 (— В1В2 + Вз )+ аз (^1 (1 + а4В2) — а4Вз Ц) х

х Q2Q'2 (- Я + Q(2 + 41))(— Я + Q'(2 + 41')).

Таким образом, правильная эллиптичность достигается при следующем выборе параметров:

2

— аз а4 + а6 * 0;

(2а1 + аз )(2а2 + а4) — (2а5 + а6) * 0;

1 + а4В2 + 2а6Вз + а6 (— В1В2 + Вз )+ азВ1О- + а4В2)—а4Вз )* 0;

Q * 0;

а * 0;

— Я + Q(2 + 41)* 0;

— Я’ + Q'(2 + 41')* 0.

Список литературы

1. Новацкий, В.К. Теория упругости / В.К. Новацкий. - М. : Мир, 1975. - 872 с.

2. Победря, Б.Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды / Б.Е. Победря // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. - 2005. - № 1. - С. 54-59.

3. Победря, Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности : учеб. пособие / Б.Е. Победря. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1995. - з65 с.

4. Агмон, С. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы : пер. с англ. / С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг. - М. : Изд-во иностр. лит., 1962. - 205 с.

5. Лопатинский, Я.Б. Теория общих граничных задач / Я.Б. Лопатинский. -Киев : Наукова Думка, 1984. - Э16 с.

6. Муравлева, Л.В. Применение вариационных методов при решении пространственной задачи теории упругости в напряжениях : дис. ... д-ра техн. наук : 01.02.04 : защищена 1Э.0Э.87 : утв. 05.08.87 / Муравлева Лариса Викторовна. -Москва, 1987. - 141 с.

7. Хермандер, Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными : пер. с англ. / Л. Хермандер. - М. : Мир, 1965. - Э79 с.

8. Nowacki, '. Теопа теБуте1гус7пе] Бр^гуБЮвС / '. Nowacki. - Warsawa : Р'Ы, 1971. - 246 р.

New Task Setting for Non-Symmetric Theory of Elasticity

B.E. Pobedrya, A.V. Leonov

Department “CompositeMaterials”, Moscow State University named after M.V. Lomonosov; anton.v.leonov@gmail.com

Key words and phrases: compatibility equation; equilibrium equation; Kosser medium; non-symmetric theory of elasticity; system ellipticity.

Abstract: Studies the new setting of deformation task in Kosser medium. The conditions for the right ellipticity of the compatibility equations system are produced.

Neue Aufgabestellung der asymmetrischen Elastizitatstheorie

Zusammenfassung: Es ist die neue Aufgabestellung der Deformierung im Kosser-Medium untersucht. Es sind die Bedingungen der Elliptizitat der Gleichungen der Kompatibilitat erhalten.

La nouvelle mise de probleme de la theorie non symmetrique de l’elasticite

Resume: Est etudiee la nouvelle mise de probleme de la deformation dans le milieu de Kosser. Sont obtenues les conditions de la correcte ellipticite du systeme de la compatibilite des equations.

Авторы: Победря Борис Ефимович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Композитные материалы»; Леонов Антон Владимирович -аспирант кафедры «Композитные материалы», ГОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова».

Рецензент: Куликов Геннадий Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и механика», ГОУ ВПО «ТГТУ».