CC BY
47
УДК 539.3
ЭЛЕМЕНТЫ СТРУКТУРНОЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Some principles of the description of multilevel continuum are considered for analysing microstructure.
Непосредственный континуальный подход в механике сплошной среды ограничен наличием микроструктуры (субструктуры) каждого реального материала, которая проявляется в качественном изменении физических свойств на некотором уровне. Поэтому при феноменологическом описании материала часто вводятся многоуровневые континуумы.
С другой стороны, необходимость описания дефектов структуры (дислокации, вакансии, внедрения и т. п.) привела к так называемой континуальной теории дислокации, основы которой изложены в блестящей работе Кренера [I]. В этой теории внутренние напряжения, возникающие в телах при неоднородном и необратимом деформировании, могут быть описаны в рамках классической теории упругости путем расширения геометрического аппарата, традиционно используемого в механике деформируемого твердого тела (МДТТ).
Наконец, макроскопическая среда первого уровня является, вообще говоря, неоднородной и при ее использовании важную роль могут играть методы осреднения МДТТ [3]. Ниже мы коснемся элементов описания континуума с учетом микроструктуры, причем для простоты рассмотрим случай малых деформаций, евклидовой геометрии.
Победря Б.Е. (Москва)
Abstract
L Двухуровневое описание континуума
Пусть каждая точка
макроконтинуума (первого уровня)
сама представляет собой микроконтинуум (второй уровень) с объемом точки которого описываются координатами Тогда каждой точке
микроконтинуума, принадлежащего точке припишем
плотность р^{х,%). Радиус-вектор этой точки обозначим через £). Центр
масс микрообъема И** можно описать радиусом-вектором г(х)
к,-
где р(х) - макроплотность вещества:
Введем радиус-вектор r'(x,g) по формуле
г(л-,4) = г^хНх,4) - ?(*) ■
Тогда для векторов скорости , и ч 0г{х) , ч & / л
имеем в соответствии с (1.1)-(1.3):
р(х)Р(*) = ~Ь Iр‘х)(х,ф(х)(х,ф{'4 ,
V у(х)
= V + У ’
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Введем также в каждой точке микроконтинуума скорость диффузионного
потока
(1.7)
(1.8)
]{х){х,4) = р(х){хУ4)[у(х){х,4)- V(дг)] = р(х)*'
и массовую концентрацию вещества с(х^(х,4)
с(х)(х,4) = Р{х){х,%) / р{х).
Из (5.5) - (1.8) видно, что
7777/ \УХ>(^^=0, \с<^(х,4^ = 1.
> у(х) У у(х)
Сформулируем теперь три основных постулата механики сплошной среды:
о сохранении масс
й
(1.9)
Л
ау = о:
(1 10)
об изменении количества движения
й_ <и ■
| р{х¥х}<1у4
„Ы
ІУ = |
у(г)
|р(х,Г(х)^
с1Т
<ІУ +
(1.11)
и оо изменении момента количества движения
й_
Л
\г{х) х р^Г^йУ, у(.)
ау +
■I
I г +А,(х)</^
у<*>
(1.12)
здесь
введены плотность массовых сил и плотность
поверхностных сил ^<х1(х,4^, распределенных по поверхности Т}х\
/ )
ограничивающей микрообъем У , в каждой точке дг поверхности 2, ограничивающей макрообъем У.
Следствием постулата (1.10) является уравнение неразрывности, которое при эйлеровом описании движения имеет вид:
Ор / \
“ +Му\р\А = 0.
СІ
(1.13)
Если же в каждом микрообъеме протекает Л' химических реакций со скоростью Jр (/?= 1,2,...,^ , то имеем
а аслг' "/г”г?г’,г (! !4)
где - некоторые стехиометрические коэффициенты [3]. При осреднении левой И
правой частей (1.14) по микрообъему получим уравнение неразрывности (1.13), ибо
І) \ £ »р(*,ФАх>£)аУ( = 0 '
(1.15)
Для получения следствий из постулата (1.11) воспользуемся определением (1.5). а также
\р\х)^х)аУ,=рНх),
У уЫ
Ї7) 1^аУ4 = ^(х).
(1.16)
(1.17)
Тогда получим уравнения движения сплошной среды </у -
“л' рГ + *.' (||8)
где учтено, что
5(',) = 5,.Л;, 5,. (1.19)
причем и = пр, - единичный векгор нормали в точке (х/.д^.дгз) поверхности £ . а ё, - ортонормированный репер [4], а = сг^ё1ё] - тензор напряжений.
Выразим теперь в (1.12) радиус-вектор через сумму г и г' согласно (1.3) и введем обозначения:
Ы7) ■ р\х)Р(х)аУ4 = ^х)М(х). (1.20)
* у{х)
7/й) \>:'р\х)Р(х)п^ = Ах)М(х), п.21)
* у(*)
7ХГ) \-г'.Б\х)аУ, = &х), (1.22)
* ум
где величина J(x) характеризует момент инерции микрообъема и вообще говоря является тензором, т.е. вместо J(х)а(х) следовало бы писать
J■<5 = Jij(ojёl. (1.23)
Однако, следуя общепринятым обозначениям [5], мы примем форму записи (1.20). Здесь <ы - так называемый спин-вектор [5]
Лф
"-24>
М{х) - массовый распределенный момент, а поверхностный распределенный момент, который может быть записан по аналогии с (1.19) в виде
&х) = &П', а О-25)
где ц = - тензор моментных напряжений. Из постулата (1.12) с учетом
уравнений движения (1.18) получим:
йю - - йО.
/— = /Л/+ё, х5, +~-. (1.26)
А Лх,
2, Кинетика двухуровневого континуума
Можно ввести сразу кинематическое описание, соо тветствующее принятому допущению о малости деформаций. Однако иногда при таком описании вектор перемещения теряет свой физический смысл [6].
Поэтому рассмотрим два состояния: отсчетную конфигурацию с радиусом
вектором г}х\х,4) и актуальную - с радиусом-вектором г^(д:,£) . Будем считать (лг7,*2,*'1) - лагранжевыми координатами макрообъема, а (^7,£',£■*)
лагранжевыми координатами микрообъема.
Тогда вектор перемещения можсг быть определен следующим образом:
й(х,4)=г<х){ х,4)-г}х\х,£). (2.1)
Расстояние между двумя бесконечно близкими точками отсчетной конфигурации определяется с помощью величины
= (1г}х) - <Ка[х) = — -^— йхЧх’ +
0г' дх‘
&}х) &:х) , яУ] <%!х> ■ (2'2)
+ —-- • +2 --—" ■ - ,
04' 04‘ ъ 0Х: 041 ь
а расстояние между этими же частицами в актуальной конфигурации - с помощью величины
лг(^) Л-'*)
(1Б2 = <1г^'’ ■ <1г' =---т-.-йх‘(1х! +
0Х 0Х1
0?{х) &'х) ,. ; ЯгКх) 0Г{х) (2'3)
+------Г-----Л4' <14! +2------■——йх'й?.
04' 04‘ 0х' 041 ь
Меры деформации естественно определить полуразностью выражений (2.3)
и (2.2)
ОБ2 ~(152 . . , .
--------—- = е1^х'йх1 +еуЛ4‘<14] +6>У7</дг'^у. (2.4)
Из сравнения (2.2) - (2.4) имеем, учитывая (2.1):
1 ( ей 0й 0й 0й ^
(2'5)
(2.6)
6,) 2
Ґ 0й 0й (Ш _ ^
г • г Н--------------г • в ■ + г • Є.
04' 04> 04' ’ 04‘ '
/[ 0й 0й 0й 0й
0: ■ — “ * Г + Г ' Є і + Г * Є ■
4 2\0х' 04> 0х‘ > 04> '
(2.7)
Тогда в случае малых деформаций имеем:
^1 + ^1 дх, дх-
є,
дії: — і
0 —----------^-------
" ъ &,
/Г диі ди^
-ч=
Лі
(2.8)
Поэтому за кинематические характеристики можно принять величины ■ и спин-вектор со с компонентами /
а>ь =Є,.,
«7*
Ш: Эн*
(2.9)
В качестве другого возможного набора кинематических характеристик можно принять тензоры дисторсии р и /?':
(2.10)
Однако в силу того, что элементарная работа внутренних сил из соображений размерности может быть записана в виде
ЗА = аи3р1 ] + , (2.11)
где аз,: - так называемый тензор изгиба-кручения [7]
ти = а>и,
(2.12)
наибольшее распространение получил так называемый континуум Коссера [5], для которого принимается, что микроконтинуум не может деформироваться: = 0.
Для такого континуума система шести уравнений (1.18) и (1.26) замыкается определяющими соотношениями типа
ач = ^ (/’*)< Рц = ’ (2-13)
где Р() и (7,у- некоторые операторы представленных аргументов. В частности для упругой среды (2.13) имеет вид:
а1) - СіікіРкІ "* Ду */**/)
Мі) = ВчкіРкІ + Діїкі^кі’
(2.14)
3. Основные соотношения континуальной теории дислокаций
Если тело, в котором отсутствуют какие-либо напряжения (состояние А), подвергнуть внешнему воздействию (напряжению, нагреву, радиоактивному облучению и т. п.), а затем убрать эти воздействия, тело может не вернуться в исходное состояние. В нем могут остаться собственные напряжения (состояние Б), освободиться от которых, оставаясь в трехмерном пространстве, нельзя.
Однако мы можем мысленно разрезать тело на бесконечно малые объемные элементы (микрообьемы) и каждый такой элемент разгрузить. В результате тело нарушит свою связность (состояние В) [1].
Все три состояния (А, Б, В) отнесем к одной системе координат {х,,х2,х3}. Разность координат одной и той же материальной частицы состояний Б и А назовем полным вектором перемещений и . Разность координат состояний В и Б -
вектором упругих перемещений й и, наконец, состояний В и А - вектором пластических перемещений йр .
Разность двух векторов перемещений е двух бесконечно близких точках каждого состояния обозначим соответственно через <5й°,<5й,<5йр .
Введем тензоры дистсрсии Р°,р, рр по формулам
8и] = , <4 = , 8и>. = ДА; ■ (3.1)
Очевидно, что ёи° представляет собой полный дифференциал Л-
Каждый тензор дисторсии может быть разбит на симметричную и антисимметричную части Например.
Р0~£и+е0как. (3.3)
где
Еч "т 4,7) 5 2 й; +Д-) • (3-4)
Очевидно, что пластические деформации ер не удовлетворяют условиям
совместности. Тензор несовместности определяется соотношением [1]
т] = -1пк е = -V х £рх V - V х б’х V (3.5)
или в компонентах:
7/у = }тпекп,1т =£ / тпекп,1т- (3.6)
Тензор плотности дислокаций а легко определить, зная пластическую деформацию:
а--/?рхУ = -/?хУ, (3.7)
откуда вытекает
а-V = 0. (3.8)
В компонентной записи соотношения (3.7) и (3.8) имеют соответственно
вид:
а1 т~ ~^тк) ^1}, к =£т Ду, * ■ (3 .9)
«,т,ш=0. (3.10)
Тензор изгиба-кручения (2.12) в бе^индексной форме вводится следующим
образом:
се = т ® V . (3.11)
В случае односвязного тела с дефектами при обходе по замкнутому контуру
г
(2=§се-Ог\ (3.12)
^ -
Ь - |> (г.- г' х се) с1г’, (3.13)
7
мы получаем гак называемый общий вектор поворота дислокаций Q и общий вектор Бюргерса h [7].
Считая тензор изгиба-кручения ее независимы:.! от спин-вектора J». т.е.
невыполнимыми соотношения (2.12) и (3.11), можно ввести тензор плотности дислокаций в:
= (3.14)
Очевидно
в-У = 0. (3.15)
Вводя плотность внедрения дисклинаций у по формуле
tr<e = y (сеи~у). (3.16)
получим связь между заданными распределениями дефектов а, в, у :
а = -ex V — у 1+свт, (3.17)
где / - единичный тензор. В компонентах выражение (3.17) имеет вид
aim = €mSg ь'у,к ' 7Sim + №mi (3-1 8)
Таким образом, при наличии дефектов и при заданных плотностях их распределения а, О, у . задача определения статических внутренних
напряжений заключается в решении девяти уравнений
т} = V х ex V = -V х а-V х (у 1)+ 0 (3.19)
и девяти уравнений
V х аех V -- -V х 9 (3.20)
относительно девяти компонент тензора напряжений а и девяти компонент
тензора моментных напряжений ц . При этом заданы определяющие соотношения
(3.21)
' 1 к1 ^*г/ШМк1*
№1] ~ Иуиак1
и. кроме того, на границе тела Т. заданы граничные условия
ачп)\1: =5?- (3-22)
и условия равновесия среды
\ I
ГОи
—e- + pF
d\j
+fc in cf t .П/, kl
dx
= 0. (3.23)
= 0. (3.24)
X
Если среда рассматривается неоднородной, то применяя метод осреднения, описанный, например, в [3], можно исходную задачу свести к рекуррентной последовательности решения двух специальных за<чач: для однородной среды с
эффективными характеристиками и неоднородной на "ячейке периодичности" для
определения этих эффективных характеристик.
Библи<прафический список
1. Kroner Е, Kontinuums theorie der Versetrungen unci Eigenspannungen. Erg. and Math. 1958. 5 1 - 179.
2. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика.- М.: Мир. 1964.- 456с.
3. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984,- 336с.
4. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу.М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986,-264с.
5. Nowacki W. Teoria niesymetrycznej.- Warszawa, PWN, 1981,- 380s.
6. Победря Б.Е. О взаимосвязи геометрической и физической нелинейности в теории упругости и о смысле перемещений// Изв. АН Арм.ССР. Механика.-1987.-T.XL. №4.-С. 15-26.
7. Де Вит Р. континуальная теория дислокаций,- М.: Мир, 1977.- 208с.
