CC BY
107
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 10-16
Механика
УДК 539.376
Тензорно нелинейные определяющие соотношения изотропной теории ползучести
U U __ • • ^
с тензорной мерой поврежденности *
К. А. Агахи, Д. В. Георгиевский
Аннотация. Даётся обзор известных вариантов определяющих соотношений теории ползучести изотропного тела с учётом повреждённости материала в процессе деформирования. Обсуждается кинетический смысл скалярной функции и тензорной меры повреждённости. Предлагается обобщение на трёхмерный случай определяющих соотношений теории ползучести с повреждённостью, куда входят две материальные нелинейные тензор-функции двух тензорных аргументов.
Ключевые слова: ползучесть, повреждённость, тензорная мера, нелинейная тензорная функция.
1. Определяющие соотношения теории ползучести с учётом повреждённости
Определяющие соотношения одномерной теории ползучести изотропного тела с учётом повреждённости материала в процессе деформирования обычно записываются в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений
p = f (а, и), и = а(а, и); t> 0, 0 ^ и< 1, а = const, (1)
где p — скорость деформации ползучести p(t) = e(t) — £e; e(t) и ee — полная и мгновенная упругая деформации; а — приложенное в форме ступеньки Хевисайда напряжение; и — скалярная функция повреждённости (и = 0 в абсолютно неповреждённом состоянии); f и а — скалярные материальные функции, которые подлежат нахождению из набора одномерных установочных экспериментов. Эти функции таковы, что
lim f(а, и) = то, lim а(а, и) = то (2)
ш^1—0 ш^1—0
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 12-01-00020, № 1108-01015).
при любом значении а.
Классические результаты в моделировании прогрессирующей ползучести принадлежат Ю.Н.Работнову [1] и Л.М.Качанову [2], описавшим механизм возрастания скорости деформации, связанный с развитием и быстрым ростом повреждённости материала, которая в свою очередь интерпретируется как возникновение и быстрое «размножение» микротрещин. В работе [1] предложено учитывать данный механизм, используя известное уравнение ползучести для установившейся стадии, модифицированное (см. (1)) с помощью функции повреждённости, которая должна определяться из специальных опытов (например, из структурных исследований) на стадии предразрушения с целью установить и описать процесс накопления и роста микротрещин, ослабляющих рабочее сечение. Однако проведение опытов по измерению поврежденности до сих пор остаётся трудно решаемой задачей. В [1] принимается
ff л Аак Ват
f (а,и)=п------w , а(а,и) = ^-------^, (3)
(1 — и)п (1 — u)s
где А, В, k, m, n, s — материальные константы.
В [3] впервые показано, что повреждённость может быть определена из серии тех же экспериментальных кривых ползучести, которые используются для идентификации принятой теории. Получено также дифференциальное уравнение для повреждённости, согласованное с уравнением ползучести и экспериментальными кривыми ползучести.
Кинетическая теория Работнова основана на кинетических уравнениях ползучести, постулированных в [1]. В [4] доказано, что они могут быть выведены на основе феноменологической термодинамики необратимых процессов.
В [5] сформулирована одномерная теория ползучести нестабильных материалов, определяющие соотношения которой содержат функции от нелинейных интегральных операторов типа обобщённых норм Лебега и Соболева, а также материальные функции, описывающие нестабильность. Предложена методика экспериментального определения материальных функций, которая применяется также к кинетической теории Работнова. Рассмотрен простой вариант предложенной теории ползучести, допускающий точное решение задачи идентификации.
Существенное развитие кинетическая теория Работнова получила в работе [6], где разработан вариант определяющего соотношения теории ползучести в виде дробно-степенной зависимости вместо общепринятой степенной.
В аналитическом обзоре [7], посвящённом применению кинетической теории ползучести и длительной прочности к анализу длительного высокотемпературного разрушения металлов в условиях сложного напряжённого состояния, систематизированы результаты теоретических и экспериментальных исследований советских, российских и зарубежных
авторов за последние БО лет. Отмечается, что кинетический подход к исследованию длительной прочности предложили и разработали Л.М.Качанов и Ю.Н.Работнов на основе введённого ими скалярного параметра повреждённости. В [l] сформулированы основные положения феноменологического подхода к описанию ползучести и длительной прочности. В случае сложного напряжённого состояния повреждённость рассматривается как скалярная или тензорная величина. В [2] представлены феноменологические соотношения длительной прочности для трёхмерного напряжённого состояния. Параметр повреждённости используется в скалярной или векторной форме. Общий случай деформирования повреждённого материала рассмотрен в работах А.А.Ильюшина. В [В] введено понятие тензоров и мер повреждённости с помощью функционалов для заданных процессов изменения во времени тензоров напряжений и моментов. Этот подход развит в [9, l0].
Широк спектр работ (см. [7]), в которых разработан тензорный аппарат для учёта компонент девиатора повреждённости в интегральной форме. Для анализа длительной прочности при сложном напряжённом состоянии применена кинетическая теория Работнова с тензорным параметром повреждённости. В континуальной механике повреждений в случае изотропного разрушения введён скалярный параметр повреждённости, в случае анизотропного — векторный или тензорный (второго или четвёртого ранга). Рассмотрены упругие, упругопластические, упруговязкопластические модели с соответствующими уравнениями состояния, учитывающими кинетику накопления повреждённости.
В обзоре [ll] рассмотрены модели ползучести изотропных и анизотропных материалов. С помощью тензорного параметра повреждённости описаны различные явления ползучести и длительной прочности при сложном напряжённом состоянии. В заключение обзора [Т] отмечено, что большинство публикаций посвящено разработке новых теоретических моделей, однако основное внимание следует уделять экспериментальной проверке этих моделей.
В [l2] с современных позиций изложены классические основы механики разрушения и новые достижения, касающиеся нелинейных связанных моделей (в связках пластичность-повреждённость, ползучесть -повреждённость) и задач этой области МДТТ, в том числе с учётом возможности анизотропного распределения повреждённости по ориентациям. Подчёркнуто, что в настоящее время скрытое разрушение (зарождение и развитие микродефектов, рассеянных по объёму тела) исследуется с помощью методов и теорий сложившегося за последние годы нового направления МДТТ — механики повреждённости. В связанной постановке задач теории упругости, пластичности, ползучести и механики повреждённости параметр повреждённости входит в определяющие соотношения, что позволяет учесть влияние процесса накопления рассеянной повреждённости на напряжённо-деформирование состояние. В
несвязанной же постановке данный параметр не входит в определяющие соотношения и поэтому не учитывается влияние поля повреждений на напряжённо-деформированное состояние.
Распределение микродефектов внутри континуума приводит с феноменологической точки зрения к сокращению реальной несущей способности поверхностных элементов континуума. Повреждённость может быть интерпретирована как сокращение упругого отклика тела вследствие сокращения эффективной площади, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой. Это сокращение обусловлено:
— появлением и развитием рассеянного поля микродефектов (микротрещины в упругости, дислокации в пластичности, микропоры при ползучести, поверхностные микротрещины при усталости);
— увеличением пористости материала, в частности, совместным действием диффузионного и вязкого механизмов роста пор в условиях высокотемпературной ползучести.
В [12] также представлен цикл связанных задач (упругость - повреждённость, ползучесть - повреждённость), посвящённых оценке влияния повреждённости материала на напряжённо-деформированное состояние в окрестности вершины трещины. За параметр повреждённости принят скалярный параметр Качанова-Работнова. Получены качественно новые асимптотики напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины, при которых отсутствуют или существенно ослаблены сингулярности полей напряжений и деформаций, характерные для хрупкого разрушения.
В [12] развит геометрический подход к повреждённму континууму, впервые предложенный в работе [13]. На основе представления об эквивалентной конфигурации неповреждённого континуума как собрания элементов, повреждённость которых мысленно удалена, введена новая тензорная мера анизотропной повреждённости в виде симметричного тензора второго ранга, который определяет сокращение площади плоского элемента, несущего нагрузку. Дана геометрическая и механическая интерпретация собственных значений и главных направлений этого тензора. Показано, что тензор повреждённости является изометрическим инвариантом как текущей повреждённой, так и эквивалентной неповреждённой конфигураций. На основе осреднения ориентационного распределения повреждённости получена формула для вычисления компонент данного тензора с помощью экспериментальных диаграмм распределения повреждённости по ориентациям.
Геометрический подход, являясь естественным обобщением первых классических представлений о повреждённости, описанных в [1,2], позволяет в простой форме учесть анизотропию этого явления.
Моделирование процессов обработки металлов давлением с учётом изменения объёма и формы дефектов в виде пор на основе тензорной теории повреждённости при пластическом деформировании представлено в [14]. Использованы две меры, одна из которых определяет повреждённость,
связанную с ростом объёмной фракции пор (пластической дилатансии) и соответствующую параметру Качанова-Работнова, а другая определяет изменение формы дефектов. Отмечено, что нулевые значения этих параметров означают исходное состояние металла после рекристаллизацион-ного отжига. Достижение вторым параметром повреждённости значения единицы соответствует стадии микроразрушения мезоструктуры, а единичное значение первого параметра говорит о макроразрушении деформируемого материала. Приведена методика экспериментального определения материальных функций, входящих в дифференциальные уравнения, описывающие кинетику процесса деформационной повреждён-ности материала. Тензорная мера повреждённости позволяет учитывать пространственное распределение дефектов произвольной формы.
2. Возможное обобщение на трёхмерный случай
Предложим обобщения на трёхмерный случай определяющих соотношений (1). Они должны задаваться двумя материальными, вообще говоря, тензорно нелинейными изотропными функциями
Р = f (а, и), и = а(а, и); t> 0, а = const (4)
двух симметричных тензорных аргументов — напряжений а и
повреждённостей и. В (4) p и U — симметричные тензоры скоростей деформаций ползучести и скоростей повреждённостей. В предположении полиномиальности вблизи нуля функции f и а имеют следующее представление [15-20]:
f = K0/ + + K2 u + К3а2 + K4u2 + К5(а ■ и + и ■ а) +
+Кб(а2 ■ и + и ■ а2) + К7(а ■ и2 + и2 ■ а) + Ks(ct2 - и2 + и2 ■ а2), ( )
а = L0/ + L1c + L2 и + £3а2 + L4u2 + L5(c ■ и + и ■ а) +
2 2 2 2 2 2 V2 2 2 2 ^
+L6(c2 ■ и + U ' а2) + L7(c ■ и2 + U2 ' а) + Ls(ct2 ■ и2 + U2 ' а2),
где I - единичный тензор второго ранга, а восемнадцать скалярных функций K0,..., Kg, L0,..., L зависят от десяти инвариантов Д,..., /ю:
/1 = tr а, /2 = tr и, /3 = (tr а2)1/2, /4 = (tr u2)1/2,
/5 = (tr 23)1/3, /б = (tr и3)1/3, /7 = [tr (2 ■ u)]1/2, (7)
/g = [tr (22 ■ U)]1/3, /9 = [tr (2- U2)]1/3, /10 = [tr(22 ■ U2)]1/4-
В плоском случае в силу обобщённой формулы Гамильтона-Кели [15]
а ■ u + U ' а = /2а + /1 и — (/1/2 — /2)1 (8)
вид тензор-функций (4) значительно упрощается по сравнению с (5) и (6): f = К0/ + К1а + K2u, а = L0 / + L1c + L2u, (9)
где шесть скалярных функций K0, Ki, K2, L0, Li, L2 зависят от /i, /2, /3, /4, /7, то есть f и а - квазилинейные функции двух тензорных аргументов.
Тензорная линейность или квазилинейность [18] по а тензор-функции (5) означает, что К3 = 0, Кб = 0, Kg = 0, то есть
f = K0/ + Ki£ + K2u + K4u2 + K5(c ■ u + u ■ а) + K7(c ■ u2 + U2 ' а). (10)
Наличие более сильной линейности по а тензор-функции (5) — физической эквивалентно выполнению принципа суперпозиции.
Список литературы
1. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
2. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.
3. Моделирование процесса ползучести с учетом стадии предразрушения и идентификация модели / К.А. Агахи [и др.] // Вестник Самар. гос. тех. ун-та. Сер. Физ. мат. науки. 2009. Т. 19. № 2. С. 243-247.
4. Модифицированная кинетическая теория ползучести с учетом стадии предразрушения и её идентификация / К.А. Агахи [и др.]// Вестник Нижегород. ун-та. 2011. № 4. Часть 4. С. 1340-1342.
5. Агахи К.А., Басалов Ю.Г., Кузнецов В.Н. Нелинейные определяющие соотношения для нестабильных материалов // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 872-879.
6. Шестериков С.А., Юмашева М.А. Конкретизация уравнений состояния в теории ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 3. С. 126-141.
7. Локощенко А.М. Применение кинетической теории при анализе длительного высокотемпературного разрушения металлов в условиях сложного напряжённого состояния (обзор) // Приклад. механика и технич. физика. 2012. T. 53. № 4. С. 149-164.
8. Ильюшин А.А. Об одной теории длительной прочности // Изв. АН СССР. МТТ. 1967. № 3. С. 21-35.
9. Победря Б.Е. О моделях повреждаемости реономных сред // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 4. С. 128-148.
10. Завойчинская Э.Б., Кийко И.А. Введение в теорию процессов разрушения твердых тел. М.: Изд-во МГУ, 2004. 168 с.
11. Betten J. Mathematical modeling of materials behavior under creep conditions // Appl. Mech. Rev. 2001. V. 54. No. 2. P. 107-132.
12. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: СамГУ, 2001. 562 c.
13. Murakami S. Mechanical modeling of material damage // J. Appl. Mech. 1988. V. 55. No. 2. P. 280-286.
14. Тутышкин Н.Д., Запара М.А. Определяющие соотношения тензорной теории пластической повреждаемости металлов // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твёрдого тела. Тверь: Изд-во ТвГТУ, 2011. С. 216-219.
15. Rivlin R.S. Further remarks on the stress-deformation relations for isotropic materials // J. Rational Mech. and Anal. 1955. V. 4. No. 5. P. 681-702.
16. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 393-417.
17. Spencer A.J.M. Continuum Physics. V. 1. Part III. Theory of invariants. N.-Y. -London, 1971. = Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с.
18. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 263 с.
19. Георгиевский Д.В. О потенциальных изотропных тензор-функциях двух тензорных аргументов в МДТТ // Изв. АН. МТТ. 2010. № 3. С. 220-224.
20. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 1. Тензорный анализ. М.: Изд-во МГТУ, 2011. 464 с.
Агахи Камилла Абдул Гусейн кызы ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, лаборатория прочности и ползучести при высоких температурах, Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В.Ломоносова.
Георгиевский Дмитрий Владимирович ([email protected], http: //mech.math.msu.su/~georgiev/), д.ф.-м.н., профессор, кафедра механики композитов, МГУ им. М.В.Ломоносова.
Tensor nonlinear constitutive relations of isotropic creep theory with tensor measure of damage
K. A. Agakhi, D. V. Georgievskii
Abstract. A review of known variants of constitutive relations in creep theory for isotropic solid taking into account a damage of material in deformation process is given. A kinematic sense of both the scalar damage function and tensor damage measure is discussed. 3D generalization of constitutive relations in creep theory with damage where two material nonlinear tensor functions of two tensor arguments are involved, has been proposed in the paper.
Keywords: creep, damage, tensor measure, nonlinear tensor function.
Agakhi Kamilla ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, laboratory of strength and creep by high temperature, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.
Georgievskii Dimitri ([email protected], http://mech.math.msu. su/~georgiev/), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of composite mechanics, Lomonosov Moscow State University.
Поступила 09.12.2012
