CC BY
36
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 3 (32). С. 69—76
Механика деформируемого твёрдого тела
УДК 539.376
МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ПОЛЗУЧЕСТИ С УЧЕТОМ ПОВРЕЖДЕННОСТИ МАТЕРИАЛА
Н. Н. Попов, О. О. Чернова
Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mails: [email protected], [email protected]
Разработан аналитический метод решения нелинейной стохастической задачи ползучести плоскости с учётом повреждённости материала и третьей стадии ползучести. Определяющие соотношения ползучести принимаются в соответствии с энергетическим вариантом нелинейной теории вязкого течения в стохастической форме. Стохастичность материала определяется двумя случайными функциями координат xi и x2. Произведена линеаризация задачи относительно номинальных напряжений на основе метода малого параметра. Найдены дисперсии случайного поля напряжений в предположении, что процессы ползучести и накопления повреждённости являются независимыми. В качестве примера рассмотрен случай, когда плоскость растягивается в двух ортогональных направлениях пропорционально некоторому параметру. Приведённый анализ показал, что на третьей стадии ползучести происходит увеличение величины флуктуации напряжений по сравнению с величиной на стадии установившейся ползучести.
Ключевые слова: метод малого параметра, третья стадия ползучести, повре-ждённость, стохастическая задача, флуктуация напряжений, случайная функция.
Одним из основных методов решения стохастических краевых задач является метод малого параметра, который позволяет свести статистически нелинейную задачу к последовательности статистически линейных задач. Однако уже использование второго приближения метода малого параметра при решении плоской нелинейной стохастической задачи ползучести приводит к громоздким выражениям [1,2]. Аналитические методы решения стохастических задач с учетом накопления повреждённости и третьей стадии ползучести были разработаны лишь для равномерного растяжения плоскости на основе первого приближения метода малого параметра [3].
В данной работе в общем виде приводится решение нелинейной стохастической задачи ползучести неоднородной плоскости с учётом повреждённости материала. В силу стохастической неоднородности среды компоненты тензоров напряжений и деформаций в декартовой ортогональной системе координат будут являться случайными функциями координат xi и Х2 и времени t. Упругие деформации считаются малыми настолько, что ими можно пренебречь.
Николай Николаевич Попов, к.ф.-м.н., доц., доцент, каф. прикладной математики и информатики. Ольга Олеговна Чернова, младший научный сотрудник, каф. прикладной математики и информатики.
Определяющие соотношения ползучести с учётом третьей стадии принимаются в соответствии с энергетическим вариантом [4] нелинейной теории вязкого течения в стохастической форме [3]:
Рц = С8П-1[<7у - 35цГкк) (1 + а\и\{х 1, Х2)), «2 = 2 Г? - (¿¿Г:/:/) , (!)
Г? = Гу(1 + &), Ш = Ь (1 + «2^2(Х1,Х2)) (¿¿Р;,', (2)
где — компоненты тензора истинных напряжений; а^ — компоненты тензора номинальных напряжений, — компоненты тензора скоростей деформаций; 5гз — символ Кронекера; с, Ь, п, а1, а2 — постоянные материала; ш — скалярный параметр повреждённости, иг(х1,х2) — случайные однородные функции, описывающие стохастические свойства материала с математическим ожиданием (Щ) =0 и дисперсией (Щ2) = 1. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2.
К определяющим соотношениям ползучести (1) присоединяются уравнения равновесия для номинальных напряжений и условие совместности деформаций, сформулированное для скоростей деформаций ползучести:
= 0, г,] = 1, 2, (3)
Л^ ЛкФэк,й = 0, (4)
где Л^ — единичный антисимметричный псевдотензор.
Поставленная задача в дальнейшем решается относительно номинальных напряжений а^ на основе линеаризации методом малого параметра. Очевидно, что при ш = 0 соотношения (1)—(4) задают нелинейную стохастическую задачу установившейся ползучести при плоском напряжённом состоянии без учёта накопления повреждённости и третьей стадии ползучести, аналитические методы решения которой приведены в работах [1,2]. Представим определяющие соотношения (1), (2) в виде
ргз = тг] (1 + ш)п, (5)
ш = Ь(1 + а2^2(х1, Х2))а^-Тц(1 + ш)п+1, (6)
где
Ту = СвП-1(^Щ - -Ьгу(Гкк) (1 + ^1^1(Х1,Х2)).
Здесь в — интенсивность номинальных напряжений. Разделим переменные в уравнении (6):
-Ш- = Ь (1 + а2Ц2(Х1,Х2)) ГгзТ^
(1 + ш)п+1
и проинтегрируем полученное при начальном условии ш(0) = 0:
1
п
1
1
(1 + ш)п
сь
= Ь( 1+ а2^2(Х1,Х2^М Гц Тгу йт. (7
/0
Выразим величину (1 + ш)п из последнего соотношения:
-1
(1 + ш)п = - Ьп(1 + «2Щ2(Х1, Х2)) J агзйт^
0
и проведём линеаризацию правой части соотношения (8):
(1 + ш)п и 1 + Ьп{1 + аи2(х1,х2)) / ацтцйт. (9)
Jo
Тогда соотношение (5) с учётом (9) приводится к виду
Рг3 = Тг^ 1+ Ьп(1 + а2и2(Х1,Х2)) J а%3 Тгз йт . (10)
Пусть тензор номинальных напряжений представлен в виде суммы детер-
■3 и флуктуации я*3-:
минированного слагаемого я°7- и флуктуации я* :
Я? = Я° + Я*, (aij ) = Я°. (11)
Линеаризация соотношения (7) была произведена в работе [5] при условии, что величины вида я*я£г и a\Ua*j малы и ими можно пренебречь:
Гц = r0! + A (2я*п - &22 + (*uh + Я2212 + 6ay3)kh + aiUili), Г22 = r02 + A (2я22 - я* 1 + (я*nh + я22I2 + 6я*12l3)kl2 + aiUil2), Г12 = r02 + 3A (я * 2 + (я 1ili + Я2У2 + 6я *2l3)kl3 + aiUils),
где
1 — — 1 A = 3 Csn-1, r0i = Ali, r02 = Al2, r02 = 3Als, k = ,
s0 = (Я0О2-ЯИЯ22 +3 (Я1^2 , li = 2яи -Я22, l2 = 2я02 -яш l3 = Я12.
Представим величины pj, rij, я^ в виде разложения (11) и подставим их в соотношение (10):
Р0 + plj = (r°j + r*j) ^- + b- (- + a2U2) ^ (я° + Я*j) (rij. + r*j) d^J . (12)
Учитывая при раскрытии скобок в (12) только члены первого порядка малости, для флуктуаций скоростей деформаций получим
p п = A2bnliI + A2b-a2U2liEt+
+ A(- + Ait) (2я* i - я22 + kli (я nli + я*2212 + 6я 12 1з) + aiUili), p22 = A2b-l2I + A2b-a2U2l2Et+
+ A(- + Ait) (2я22 - я * i + kl2 (я 1ili + Я2У2 + 6я* 2 1з) + aiUil2), (13) p i 2 = 3A2b-hI + 3A2b-a2U2hEt+
+ 3A(- + Ait) (я 12 + Ыз(я* ili + я*2212 + 6я* 21з) + aiUil3),
где
I = I(t,xi,x2) = BJ Я 1 idr + B2 я^т + bJ я *2dr, 222
А\ = АЬпЕ, В1 = 11(2 + кЕ), В2 = 12(2 + кЕ), Бз = 61з(2 + кЕ), Е = + ст0212 + 6СТ?2 1з.
Если в уравнение совместности для флуктуаций скоростей деформаций, которое можно записать в виде
р11,22 — 2р12,12 + р22,11 = 0, подставить (13), то получим следующее соотношение
А2Ьп (111,22 + 121,11 - 61з1,12) + А2ЪиЕга2 (№,22 + №,11 - 6^2,12) +
+ А(1 + А1^^2^11,22 - ^22,22 + 2ст22,11 - °л,11 - 6ст12,12 +
+ к11 (^11,2211 + а22,2212 + 6^12,221^ + к12 (^11,1111 + ^22,1112 + 6^12,111з) -
- 6к1з (^11,1211 + ^2,1212 + 6^12,121з) + 0^(^1,2211 + ^1,1^2 - 6^1, Ыз)^ = 0.
(14)
Введём функцию напряжений Е для флуктуаций тензора номинальных напряжений такую, что
= Е, 22, = Е,П, ^ = Е, 12. (15)
Очевидно, что уравнения равновесия для флуктуаций напряжений (&*],] = 0) удовлетворяются при этом тождественно.
Подставив (15), (13) в (14), получим следующее интегро-дифференциаль-ное уравнение относительно функции напряжений Е:
гг /4 /4
АЧп^Е^ 11 ^ Е, 2222 <Т + 12 J Е,1122<!г - 61з J Е,1222^Т^ +
+ Б^ 11 ^ Е,1122^Т + 12^ Е,1111йт - 61з^ Е,1112(1Т^ -- Бз (11/ Е,1222<1т + 12 J Е,1112<1т - 61з J Е,П22<<Т^ + + О^Е* (11 и 1,22 + ¿2^1,11 - 61з^1,12) + а2Е£ (№,22 + №,11 - 6^2,12) ) +
+ (1 + А^) ( Е,2222(2 + к12) + 2Е,1122(2 + к1112) + Е,1111(2 + к12)-- 12к1з(Е,122211 + Е, 111212 - 3Е,11221з) +
+ «1(^1,2211 + иЬП12 - 6и1,121зН = 0. (16)
Однородные функции Цр(ж1,ж2), р = 1, 2, считаются изотропными, с их помощью задаются случайные поля возмущений реологических свойств материала. Согласно принятым условиям будем брать функции Цр(ж1,ж2) в виде
стохастических интегралов Фурье—Стилтьеса [4]:
г
/ ei(qixi+q2x2(qi,q2), P = 1, 2, (17)
-oo J — oo
причём случайные дифференциалы d^p(q1,q2) удовлетворяют условию стохастической ортогональности:
92) (91, 92)> = 6Р (91, 92) 5 (91 - я[) 5 (92 - 92) ¿91^92^1 ¿92,
где 6^(91,92) — спектральная плотность поля ир, 5(ж) —дельта-функция Дирака; черта означает комплексное сопряжение (по индексу р не проводится суммирование).
Поскольку случайные поля микронеоднородностей Цр(ж1,ж2) являются быстроосциллирующими, решение линеаризованной задачи (16) также будет однородным и его можно искать в виде
гг
Р = / (Ь1 (91,92,^1(91,92)+ Ы91,92,^2(91,92)),
' —ОО —оо
(18)
где Ьр(91, 92, ¿), р = 1, 2 — неизвестные весовые функции.
Подставив представления (17), (18) в соотношение (16), получим два уравнения для вычисления весовых функций 6^(91, 92,
Kbi(1 + Ait) + if bidr = (1 + 2Aii)aiM, (19)
Jo
Kb2(1 + Ait) + L / Mr = Aita^M, (20)
o
o
где
K = 2 (q2 + q2)2 + kM2, L = AbnM + 92B - 9192-ВЗ) ,
M = 92^2 + 92li - 69i92l3.
Решим уравнение (19). Используя замену переменной bi(t) = x(t), приводим уравнение (19) к линейному дифференциальному уравнению первого порядка
K (1 + Ai t)xr(t) + Lx(t) = (1 + 2Ait)aiM. (21)
Общее решение уравнения (21), найденное с помощью подстановки Бернулли в виде произведения двух функций, имеет вид
x(t) = C(1 + Ait)-^ + ОМ(1 + 2Ait) - L(2La+MAKK) (1 + Ait). (22) Здесь C — произвольная постоянная. Дифференцируя решение (22), получим
bi(t) = -cl(1 + Ait)-AK-i + 2 aiAiM
Kv w L + AiK'
Используя начальное условие 61(0) = о^М/К, полученное из (19) при Ь = 0, найдём
= _ а1М(Ь - А1К) Ь(Ь + А1К) •
В итоге весовая функция 61 (Ь) определяется формулой
, /ч а1М (Ь - А1К), „ ч__^__1 а1А1М , ,
"'« = К(Ь + А.КУ(1 + А-г) + 2ЬТ+ААТК- (23)
Уравнение (20) решается аналогично при начальном условии 62(0) = 0. Его решение имеет следующий вид:
'2(') = (1 - (1+ А!*)-^• (24)
Таким образом, согласно (8), (23), (24) компоненты тензора флуктуаций номинальных напряжений вычисляются по формуле
/+те г+те
/ в^1*^®*2) (ек1 к1Л2,1)&Р1^1Л2) + (1^1^2,1)^2 (91, 92)) ,
-те ■) —те
где С11 = —92'1, С12 = 9192'1, С22 = -92'1; ¿11 = -92&2, (1 = 9192'2, (11 = = —92'2. Дисперсии случайного поля напряжений вычислялись в предположении, что процессы ползучести и накопления повреждённости оказывают независимое влияние на вероятностные характеристики напряжений. В этом случае дисперсии напряжений определяются следующим образом:
Вы (*) = В (аы) = (Ы2) =
г+те г+те
= / (£1(91, 92)^1(91,92, Ь) + $2(91, 92)(кг(91,92,Ь)) (91(92• (25)
' —те —те
В случае изотропного скалярного поля ир спектральная плотность £р зависит только от модуля волнового вектора 90 = л/92 + 9^, а для дисперсии выполняется равенство [8]
г те
Dup (t) = 2W Sp(qo )qodqo = 1. (26)
Jo
Поэтому целесообразно в интеграле (25) сделать переход к полярным координатам q1 = q0 cos p, q2 = q0 sin p. Тогда дисперсии напряжений с учётом (26) будут определяться по формуле
1 ¡'2п
Dkl(t) = 2П Jo (Rki(t, cos p, sin p) + Qki(t, cos p, sin p)) dp,
где Rkl(t, cos p, sin p), Qkl(t, cos p, sin p) — известные рациональные функции. В силу громоздкости они здесь не выписаны.
В качестве примера рассмотрим случай, когда плоскость растягивается в двух ортогональных направлениях пропорционально параметру h, т. е.
а(01 = а0, а°°2 = На0, а02 = 0. Расчёты производились при Н = 2, а0 = = 33,24 МПа и следующих параметрах определяющих соотношений, заимствованных из работы [9]: п = 3,2, с = 6,67 ■ 10-9 МПа-3'2 ч-1, Ь = 0,141. В табл. 1 приведены значения коэффициента вариации л/Оц (0)/а0 (в процентах), полученные для случая установившейся ползучести при различных значениях а без учёта повреждённости (при Ь = 0). В табл. 2 представлены значения л/0ц(1000)/а0 в зависимости от параметров а и а2.
Таблица 1 Таблица 2
а.\ VDii(0)/*u а1 \J Dii(1000)/ ,7°
0,1 1,26 а2 = 0,1 а2 = 0,2 а2 = 0,3 а2 = 0,4 а2 = 0,5
0,2 2,52 0,1 2,74 3,46 4,41 5,47 6,59
0,3 3,78 0,2 5,05 5,48 6,12 6,92 7,84
0,4 5,04 0,3 7,45 7,75 8,22 8,83 9,56
0,5 6,30 0,4 9,88 10,10 10,47 10,96 11,55
0,5 12,31 12,49 12,79 13,19 13,69
Из табл. 2 следует, что наблюдается существенное изменение величины коэффициента вариации \JDii(t)/a° с течением времени. В зависимости от сочетания параметров а\ и а и времени t эта величина может в несколько раз превышать соответствующее значение в случае установившейся ползучести без учёта повреждённости материала. Иными словами, на третьей стадии ползучести происходит увеличение величины флуктуации напряжения с течением времени, что, в свою очередь, может служить теоретическим обоснованием экспериментально наблюдаемого увеличения разброса деформации ползучести на стадии разупрочнения по сравнению с разбросом на стадии установившейся ползучести.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 13-01-00699-a).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Н. Н. Попов, С. А. Забелин, "Решение нелинейной стохастической задачи ползучести методом малого параметра при плоском напряженном состоянии" // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. №43. С. 106-112. [N. N. Popov, S. A. Zabelin, "Solution of nonlinear stochastic creep problem for plane stress state using small parameter method"// Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2006. no. 43. Pp. 106112].
2. Н. Н. Попов, О. О. Чернова, "Решение нелинейной задачи ползучести для стохастически неоднородной плоскости на основе второго приближения метода малого параметра"// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №4(25). С. 5058. [N. N. Popov, O. Chernova, "Solution of nonlinear creep problem for stochastically inhomogeneous plane on the basis of the second approximation for small parameter method" // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 4(25). Pp. 5058].
3. В. П. Радченко, Н. Н. Попов, "Нелинейная стохастическая задача ползучести неоднородной плоскости с учетом поврежденности материала"// ПМТФ, 2007. Т. 48, №2. С. 140-145; англ. пер.: N. N. Popov, V. P. Radchenko, "Nonlinear stochastic creep problem for an inhomogeneous plane with the damage to the material taken into account" // J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2007. Vol.48, no. 2. Pp. 265-270.
4. В. П. Радченко, Ю. А. Ерёмин, Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. М.: Машиностроение-1, 2004. 265 с. [V. P. Radchenko,
Yu. A. Eremin, Rheological deformation and fracture of materials and structural elements. Moscow: Mashinostroenie-1, 2004. 265 pp.]
5. В. П. Радченко, Н. Н. Попов, "Стохастические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости"// Изв. вузов. Машиностроение, 2006. №2. С. 3-11. [V. P. Radchenko, N. N. Popov, "Statistical characteristics of stress fields and creep strains of a stochastically inhomogeneous plane"// Izv. Vuzov. Mashinostroenie, 2006. no. 2. Pp. 3-11].
6. Н. Н. Попов, Л. В. Коваленко, М. А. Яшин, "Решение плоской нелинейной стохастической задачи ползучести методом спектральных представлений" // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. №2(19). С. 99-106. [N. N. Popov, L. V. Kovalenko, M. A. Yashin, "Solution of plane nonlinear stochastic problem with spectral representation method" // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2009. no. 2(19). Pp. 99-106].
7. Л. В. Коваленко, Н. Н. Попов, В. П. Радченко, "Решение плоской стохастической краевой задачи ползучести"// ПММ, 2009. Т. 73, №6. С. 1009-1016; англ. пер.: L. V. Kovalenko, N. N. Popov, V. P. Radchenko, "Solution of the plane stochastic creep boundary value problem" // J. Appl. Math. Mech., 2009. Vol.73, no. 6. Pp. 727-733.
8. А. А. Свешников, Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968. 464 с.; англ. пер.: A. A. Sveshnikov, Applied Methods of the Theory of Random Functions. Oxford: Pergamon, 1966. ix+321 pp.
9. Закономерности ползучести и длительной прочности / ред. С. А. Шестериков. М.: Машиностроение, 1983. 102 с. [ Regularities of Creep and Creep Strength/ ed. S. A. Shesterikov. Moscow: Mashinostroenie, 1983. 102 pp.]
Поступила в редакцию 05/VII/2013; в окончательном варианте — 29/VIII/2013.
MSC: 74E35, 74K20
METHOD FOR NONLINEAR STOCHASTIC PROBLEM OF CREEP SOLVING FOR A PLANE TAKING INTO ACCOUNT DAMAGE OF THE MATERIAL
N. N. Popov, O. O. Chernova
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia.
E-mails: [email protected], [email protected]
The analytical method for nonlinear stochastic problem of creep solving for a plane taking into account the damage of the material and the third stage of creep is developed. Determinative creep equations are taken in accordance with the energy version of the nonlinear theory of a viscous flow in a stochastic form. Stochasticity of the material is determined by two random functions of coordinates x1 and x2. Linearization of the problem relative to the nominal stress on the basis of small parameter method is produced. The variance of the random stress fields is found on the hypothesis that processes of creep and damage accumulation are independent. The case when the plane is stretched in two orthogonal directions in proportion to some parameter is given as an example. The provided analysis showed that at the third stage of creep magnitude stress fluctuation is increased relative to the value at the stage in steady-state creep.
Key words: small parameter method, third stage of creep, damage, stochastic problem, stress fluctuation, random function.
Original article submitted 05/VII/2013; revision submitted 29/VIII/2013.
Nikolay N. Popov (Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. Olga O. Chernova, Junior Research Scientist, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.
