CC BY
13
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 18 Выпуск 3
УДК 539.3 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-3-201-208
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ТЕНЗОРНО НЕЛИНЕЙНЫХ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЙ
Д. В. Георгиевский1 (Москва)
Аннотация
Аппарат тензорно нелинейных функций занимает важное место в нелинейной механике сплошной среды, причём как в гидродинамических приложениях, так и в задачах механики деформируемого твёрдого тела, прочности и разрушения [1]. Тензорно нелинейные определяющие соотношения моделируют так называемые ортогональные эффекты напряжённо-деформированного состояния (см. в [2] обзор по данному вопросу), характеризуемые неколлинеарностью девиаторов напряжений и соответствующего кинематического тензора. Такой неколлинеарностью могут быть объяснены эффект Пойнтинга и рэтчет [3-9]. Как и определению параметров основного течения, большое внимание в литературе уделяется устойчивости такого течения относительно малых возмущений, принадлежащих тому или иному классу. Постановка краевой задачи в возмущениях предполагает линеаризацию всех уравнений системы вблизи основного процесса, в том числе и определяющих соотношений. Наряду с общим видом тензорно нелинейных определяющих соотношений расссмотрены тензорно линейные изотропные среды, тензорно линейные потенциальные среды, тело Бингама (двухконстантная вязкопластическая модель), течение Сен-Венана (идеально жёсткопла-стическая модель) и ньютоновская вязкая жидкость.
Ключевые слова: Определяющие соотношения, линеаризация, тензорно нелинейные функции, напряжение, скорость деформации, потенциальные среды, тело Бингама, ньютоновская вязкая жидкость.
Библиография: 15 названий.
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович, профессор РАН, заведующий кафедрой теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, georgie v@mech .math .msu.su
LINEARIZATION OF TENSOR NONLINEAR
CONSTITUTIVE RELATIONS IN THE PROBLEMS ON STABILITY OF
FLOWS
D. V. Georgievskii Abstract
The apparatus of tensor nonlinear functions occupies an important place in the nonlinear mechanics of a continuous medium, both in hydrodvnamic applications and in problems of mechanics of a deformed solid, strength and fracture [1]. Tensor nonlinear defining correlations simulate the so-called orthogonal effects of the stress-strain state (see in [2] a review on the issue), characterized by noncollinearitv of voltage deviators and the corresponding kinematic tensor. Such a noncollinearitv can explain the Povnting effect and ratchet [3-9]. The scientific works pays much attention both to the definition of the main flow parameters and to the stability of such a flow with respect to small perturbations belonging to a particular class. The statement of the boundary value problem in perturbations assumes the linearization of all the system equations near the main process, including the defining correlations. Along with the general form of the tensor-nonlinear determining relations, the paper considers tensor-linear isotropic media, tensor linear potential media, the Bingham body (a two-constant viscoplastic model), the Saint-Venant flow (ideally rigid-plastic model), and the Newtonian fluid.
Keywords: Constitutive relations, linearization, tensor nonlinear functions, stress, strain rate, potential media, Bingham solid, Newtonian viscous fluid
Bibliography: 15 titles.
1. Тензорно нелинейные функции в теории определяющих соотношений
Рассмотрим класс несжимаемых сплошных сред с определяющими соотношениями, задаваемыми нелинейными изотропными тензорными функциями
s = A1(IV2,Iv3)V + A2(Iv2,Iv3)(V2 — 312V2х) (1)
V = B1(I^, 1аз)в + В2 (Is2, Is3)(i - 1 I^L) (2)
h2 = л/ tr(V2), = ^tr (v3) , Is2 = V^(s2), IS3 = ^tr (gg3) (3)
где J — единичный тензор второго ранга; g(x, t) — девиатор тензора напряжений a = —рЛ + g в т очке x е R3 в момент времен и i; v(x, t) — тензор скоростей деформаций в той же точке x в тот же момент времени; p(x, t) —
давление; Iv2, Iv3, IS2, h3 ~ квадратичные и кубические инварианты тензоров v и s, (trw = 0 в силу предполагаемой несжимаемоети, tr s, = 0 в силу того, что ¿является девиатором); Ai, А2, Bi, В2 — материальные функции пар инвариантов, характеризующие данную среду в классе определяющих соотношений (1), (2),
Из теоремы Гамильтона-Кели следует [10,11], что взаимообратные квадратичные тензор-функции (1) и (2) в трёхмерном пространстве являются наиболее общей полиномиальной формой (вблизи нуля) связи двух симметричных девиаторов второго ранга. Вычисляя из (1) tr (s2) и tr (s3) и опять же используя теорему Гамильтона-Кели, можно прийти к связям пар инвариантов IS2, IS3 И IV2, Iv3-
I22 = 4^2 + 21З3А1А2 + 6 4V2 (4)
4 = 1З3АЗ + 114V2AjA2 + 2IhI3V3AiA2 — 1 &A3 + 11^2 (5)
называемым в механике сплошной среды скалярными определяющими соотношениями. Большое внимание в экспериментальной механике [12] уделяется установочным экспериментам для нахождения двух материальных функций A]_(Iv2, Iv3) и A2(Iv2, Iv3). Литература по этому вопросу и описание некоторых новых таких экспериментов приводятся в [13,14].
По известным функциям Al и A2 можно вычислить и Bl, В2:
В = -6Ai + ^2 В = 6A2 ( l -6Al + 3H2A1A2 + 2IS3A3 , 2 -6A3 + 312u2AiA22 + 2I^A3 (6)
Для существования скалярного потенциала тензор-функции (1), или так называемого "вязкого потенциала", необходимо, чтобы материальные функции удовлетворяли условию потенциальности [11]
I 9Al = 12 9М (7)
Iv2 ЖЗ =Iv3 (7)
2. Малые возмущения и линеаризация определяющих соотношений.
Пусть заданный невозмущённый процесс деформирования, или невозмущённое течение, характеризуется кинематическим тензором v°(x, t), а также тензором напряжений q° = — p°(x, t)Ji+ s°(x, t), причём тензоры s° и v° связаны определяющими соотношениями (1). Наряду с этим процессом будем рассматривать возмущённый процесс (возмущённое течение), в котором
Л = И° + Sv(x, t), s = s° + 5 s(x, t), p = p° + Sp(x, t) (8)
Положим, что а)\,т 5ц = 0, т. е. возмущённое течение, по-прежнему, несжимаемо; Ь) свойства материала при переходе от невозмущённого состояния в возмущённое остаются неизменными, т. е. материальные функции А1 и А2 как функции инвариантов 1°2 и 1°3 не меняются.
Тогда линеаризация соотношения (1) вблизи состояния, помечаемого верхним индексом " о", приводит к следующей тензорно линейной связи меж-
^ = у° 6А1 + А\8У + (V2 - 34°22Х) ЗА2+
2
+А2( у° • 6У + 6У^ У° — ^ (У° : 8ц)1
)
А°а = А«(0, 1°2, 1°°3),
а
8Ап
(дАЛ °у° : 5У (дАЛ
1, 2
° У°2 : 6У
т° 2 1 °3
(9)
(10) (11)
Соотношения (9) в безындексной записи можно представить в декартовых компонентах в наиболее общем виде линейной связи двух тензоров второго ранга
(12)
^ = ЩкФ^Ы
с помощью тензора четвёртого ранга зависящего лишь от параметров
основного течения:
2
3
Щк1 = А°Ацк1 + А2 (У°к8ц + ъ°к5а — 3 У°к15^ + + ° Г 1 (дА1 V ° + 1 (дА1 у 0 ° +Щз[1°Лд1°2) ЬЫ + 40зЧд/°зу> +(° ° ^ (дАк\
+ \^гтУт] 3 1 °2 дч)[1°2\д1°2)
(13)
° + 1 (дА2 .
Щуд !°з
кт ° т1
Здесь п ^г]к1 = (+ )/2 — компоненты единичных тензоров второго и четвёртого рангов.
Соотношения (12) представляют собой хоть и линейную, но уже анизо-
нений в возмущениях
—§гас15р + БЬ' 5ц [5у( 5 V)] = р
д 5v
~дГ
+ 0 V) • V° + (V° 0 V) • 5v
(14)
сИУ 5v = 0
(15)
относительно трёх компонент вектора скорости 5v(x, ¿) и давления 5р(х, ¿). В уравнениях (14) необходимо учесть соотношения Стокса 5у(5v) = БеГ5v.
3. Частные случаи. Классические сплошные среды.
Рассмотрим подробнее некоторые классические типы сплошных сред и линеаризованные определяющие соотношения для них. Всюду, как и ранее, будем предполагать выполнение условия несжимаемости,
3.1. Тензорно линейные изотропные среды. К таким материалам по определению относятся те, у которых девиатор напряжений пропорционален (коллинеарен) тензору скоростей деформаций, В (1) и (2) необходимо положить А2 = 0, В2 = 0. Тогда Вх( 1з2,1з3) = 1 /А\(1у2,Ти3), С учётом равенств А2 = 0 и 5А2 = 0 выражения (9) и (13) упростятся,
3.2. Тензорно линейные изотропные потенциальные среды. По сравнению с п, 3,1 дополнительно должно быть выполнено условие потенциальности (7), что влечёт независимость А\ от кубического инварианта
=А1(2) ^ + (Ю ° а- (16)
0°т = А1Ат + (17)
Скалярная нелинейность определяется одной материальной функцией одного переменного А( 1ь2).
Различным аспектам анализа с помощью метода интегральных соотношений задач на собственные значения, основанных на замкнутой системе уравнений (14)-(16), посвящена монография [15].
3.3. Тело Бингама (двухконстантная вязкопластическая модель). Данная модель — частный случай предыдущего пункта, если положить
А( 1-о2) = ^ + 2/ (18)
где а3 — предел текучести, / — динамическая вязкость. Из (16) и (17) следует
5&= (+ 21VV - ~Т^ V0, = (^ + 2/) - ^ (19)
То Г^ I гЗК1 то3
ч1 / 1 'и2 V 'о2 / 1 'о2
3-4- Течение Сен-Венана (идеально жёсткопластическая, модель). Обращая в (18) коэффициент вязкости в нуль, из (19) получим
х а* х V0 : 3V о по ^ а8 о о /опч
^ = у^дЛ-а3 V , = — Ат - —з ьг1ьк1 (20)
1 гю2 1 1V2 1 гю2
3.5. Ньютоновская, вязкая, жидкость. Это единственная физически линейная модель среди всего класса сред, описываемых определяющими соотношениями (1), (2), Для неё А\ = 2/ и
6З = 2/6У, Щ]к1 = 2/Аг]к1 (21)
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин В,А, Нелинейная вычислительная механика прочности, Т. 1, Образование и развитие дефектов, М,: Физматлит, 2015, 456 с,
2. Георгиевский Д.В, Об "ортогональных эффектах" напряжённо-деформированного состояния в механике сплошной среды // Вестник Киевского нац. ун-та. Сер, физико-математические науки, 2013, .V" 3. С, 114-116,
3. Povnting J.H, On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted, and on the pressure of distorsional waves in steel // Proc, Roy, Soc, London, 1912. Ser. A86. P. 534-561.
4. Green A.E. A note on second-order effect in the torsion of incompressible cylinders // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1954. V. 50. No.3. P. 488-490.
5. Chen M,, Chen Z. Second-order effect of an elastic circular shaft during torsion // Appl, Math. Meeh. 1991. V. 12. No. 6. P. 769-776.
6. Chaboche J.L. Modeling of ratcheting: evaluation of various approaches // Europ. J. Mech. Ser. A. Solids. 1994. V. 13. No. 4. P. 501-518.
7. Delobelle P., Eobinet P., Bocher L. Experimental study and phenomenological modelization of ratchet under uniaxial and biaxial loading on an austenitic stainless steel // Internat. J. Plasticity. 1995. V. 11. No. 4. P. 295-330.
8. Batra E.C., dell'Isola F,, Euta G.C. Generalized Povnting effects in prismatic bars //J. Elasticity. 1998. V.50. No. 2. P. 181-196.
9. Akinola A. An energy function for transverselv-isotropie elastic material and the Povnting effect // Korean J. Comput. Appl. Math. 1999. V.6. No.3. P. 639-649.
10. Eivlin E.S., Ericksen J.L. Stress-deformation relations for isotropic materials // J. Eational Mech. Anal. 1955. V. I. No. 2. P. 323-425.
11. 11ободри Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М,: Изд-во МГУ, 1986. 263 с.
12. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твёрдых тел. 4.2. Конечные деформации. М,: Наука, 1984. 432 с.
13. Георгиевский Д.В., Мюллер В.Х., Абали Б.Э. Установочные эксперименты для нахождения материальных функций тензорно нелинейных определяющих соотношений // Изв. РАН. Сер. физическая. 2012. Т. 76. JV2 12. С.1534-1537.
14, Георгиевский Д.В, Наборы установочных экспериментов в тензорно-нелинейных теориях МСС // Вестник МГУ, Сер, 1, Математика, Механика. 2016. №2. С. 66-68.
15. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопла-стических тел. М,: Изд-во УРСС, 1998. 176 с.
REFERENCES
1. Levin, V.A, 2015, Nonlinear Computational Mechanics of Strength. V. 1. Formation and Development of Defects, Moscow, Fizmatlit.
2. Georgievskii, D.V. 2013, "On the Orthogonal Effects of Stress-Strain State in Mechanics of Continuum Vestnik Kievskogo Nats. Univ. Ser. Fiziko-Matematich. Nauki, no. 3, pp. 114-116.
3. Povnting, J.H. 1912, "On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted, and on the pressure of distorsional waves in steel" Proc. Roy. Soc. London, ser. A86, pp. 534-561.
4. Green, A.E. 1954, "A note on second-order effect in the torsion of incompressible cylinders" Proc. Cambridge Philos. Soc., vol.50, no. 3, pp. 488-490.
5. Chen, M. & Chen, Z. 1991, "Second-order effect of an elastic circular shaft during torsion" Appl. Math. Mech., vol.12, no. 6, pp. 769-776.
6. Chaboche, J.L. 1994, "Modeling of ratcheting: evaluation of various approaches" Europ. J. Mech. Ser. A. Solids., vol.13, no. 4, pp. 501-518.
7. Delobelle, P., Robinet, P. & Bocher, L. 1995, "Experimental study and phenomenological modelization of ratchet under uniaxial and biaxial loading on an austenitic stainless steel" Internat. J. Plasticity., vol. 11, no. 4, pp. 295330.
8. Batra E.C., dell'Isola F. & Euta G.C. 1998, "Generalized Povnting effects in prismatic bars" J. Elasticity., vol.50, no. 2, pp. 181-196.
9. Akinola, A. 1999, "An energy function for transverselv-isotropie elastic material and the Povnting effect" Korean J. Comput. Appl. Math., vol.6, no. 3, pp. 639-649.
10. Rivlin, R.S. & Ericksen J.L. 1955, "Stress-deformation relations for isotropic materials" J. Rational Mech. Anal, vol.4, no. 2, pp. 323-425.
11. Pobedria, В.Е, 1986, Lectures on Tensor Analysis, Moscow, Moscow State University Ed,
12. Bell, J.F, 1973, Mechanics of Solids. Vol. I: The Experimental Foundations of Solid Mechanics, Berlin, Springer,
13. Georgievskii, D.V., Miiller, W.H. & Abali, B.E. 2012, "Establishing experiments for obtaining of the material functions in tensor nonlinear constitutive relations" Izvestiya RAN. Ser. fizich., vol, 76, no, 12, pp. 15341537.
14. Georgievskii, D.V. 2016, "Establishing experiments in tensor nonlinear theories of continuum mechanics" Vestnik Moskovskogo Univ. Ser. 1. Matematika, mekhanika, no. 2, pp. 66-68.
15. Georgievskii, D.V. 1998, Stability of Viscoplastic Solids Deformation Processes, Moscow, URSS.
получено 22.05.2017
принято в печать 14.09.2017
