CC BY
29
УДК 539.3:534.1:624.0732.2
МЕТОД РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ1
© 2008 Ю.П.Дьяченко2
В работе получено замкнутое решение динамической задачи для прямоугольной пластины с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига, лежащей на упругом основании при наиболее общих упругих условиях на двух ее противоположных краях. Существенным является то, что это решение построено для произвольных динамических воздействий и в такой постановке ранее не рассматривалось. Далее, опираясь на это решение, предложен подход, позволяющий построить в замкнутой форме решение нестационарной динамической задачи для прямоугольной пластины ступенчатого сечения с конечной сдвиговой жесткостью. При этом срединные плоскости последовательно соединенных участков конструкции могут быть смещены относительно друг друга, что приводит к необходимости учета взаимного влияния компонент напряженно-деформированного изгибного и мембранного состояний элементов. Показано применение предложенного подхода к расчету фундамента водонапорной плотины ГЭС при действии гидравлического удара.
Введение
Динамический расчет тонких плит осуществляется, как правило, с применением кинематических гипотез, позволяющих редуцировать трехмерную задачу к двумерной. Известны различные модели пластин и соответствующие им кинематические гипотезы. В классической постановке используются гипотезы Кирхгофа-Лява, однако получаемые при этом уравнения не являются волновыми, а скорость распространения сдвиговых деформаций оказывается неограниченной. Этот недостаток исправлен в так называемой уточненной теории Тимо-шенко-Миндлина3 (двухмодовой теории). Вместе с тем, как неоднократно отмечалось в литературе [1], уточненная теория Тимошенко является внутренне противоречивой: учет поперечных касательных напряжений в ней производится путем отказа от гипотезы нормальности прямолинейного элемента к срединной поверхности пластины. В то же время предполагается, что элемент, первоначально прямолинейный и нормальный к срединной поверхности, остается и после деформирова-
1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором В.А.Ковалевым.
2Дьяченко Юрий Петрович ([email protected]), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
3Отметим, что основные уравнения уточненной теории были впервые предложены Я.С. Уфляндом [6] в 1948 г.
ния прямолинейным. Это не согласуется с параболическим законом распределения по толщине поперечных касательных напряжений. Б.Ф.Власов [2] устранил это противоречие посредством учета искривления первоначально прямолинейного элемента пластины. Теория типа Тимошенко для пластин и оболочек занимает промежуточное положение между точной постановкой аналогичных задач в рамках трехмерной теории упругости и приближенной технической теорией, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява. В монографии Н.А. Кильчевского [3] показано, что теория Тимошенко непосредственно вытекает из дифференциальных уравнений теории упругости как их двухмодовая аппроксимация.
1. Нестационарная задача динамики в случае одной пластины
В настоящем разделе приведено точное решение динамической задачи для прямоугольной пластины, лежащей на упругом основании при наиболее общих условиях упругого опирания на двух ее противоположных краях. При получении решения используется обобщенная процедура метода интегральных преобразований Фурье с конечными пределами [4, 5].
1.1. Математическая формулировка задачи
Система дифференциальных уравнений поперечных колебаний пластины, учитывающих влияние деформации поперечного сдвига и инерции вращения, выведенная Я.С.Уфляндом [6], преобразованная к безразмерной форме, имеет следующий вид:
,, das дап д W 1 dW \ d2as д2щ d2as d2as / dW \ д2а , d2as , d2an d2a„ л . д2 д2 Пусть при t = 0 начальные условия имеют вид
w-%-0.
даъ
4 = -£ = 0, (1.3)
5 = ^=0. (1.4)
При этом граничные условия могут быть записаны в виде:
да^ дап
д"Е, ^ дг\ да| дап
д"Е, ^ дг\
при Ц, = 0 : W(0, ц, 0 = 0, сх^СО, ц, t) = 0, + = 0; (1.5)
при Ц, = 1 : W( 1, г\, 0 = 0, <^(1, г\, 0 = 0, ^ + ц^г1 = 0; (1.6)
, да„ дщ \
при г] = 0 : Ьб\~о^ + V-щ I + YiOri = С1-7)
Ш \
b1\^-o.A-y2W = 0, (1.8)
das dan \
(L9)
при n = S
/ da„ das \
+ + = (L7l)
/ dW \
Ъ (- od + 42W = о, (1.80
/das da«\
(L9i)
Здесь S = x/a, n = y/a — безразмерные независимые переменные; W = w/a — безразмерный прогиб средней плоскости плиты; a^, a« — углы поворота элемента пластинки в плоскостях SZ и nZ соответственно; t = - ^2)t*/a — безразмер-
ное время (t* —текущее время, с); n,t) — произвольная распределенная динамическая нагрузка, отнесенная к модулю Юнга E; е = b/a, х = h/a (a, b, h — длина, ширина и высота пластины); ц — коэффициент Пуассона; k — коэффициент неравномерности распределения касательных напряжений (коэффициент сдвига)
у2 Yi Уз
по поперечному сечению пластины, уг = —, yi = —-т, уз = —-т—безразмерные
J-s ^Lh ^Lh
коэффициенты упругого закрепления контура (n = 0, n = е) относительно прогибов и углов поворота; у = ' ■ a2(1 - ц2)/Eh — безразмерный коэффициент жесткости линейно-упругого основания, определяемый в соответствии с гипотезой Винклера;
bi = 2/(1 - ц)к; b2 = 2(1 + ц)/кх; Ьз = 6k(1 - ц2)/х2;
b4 = (1 + ц)/2; b5 = (1 - ц)/2; bb = х/12(1 - ц2);
b7 = кх/2(1 + ц); b8 = х/24(1 + ц); b9 = (3 - ц)/2;
' = 1/bk = b- (k = 1,2,...,9).
Граничные условия (1.5),(1.6) соответствуют шарнирному опиранию краев пластины S = 0,1, а условия (1.7) —(1.91) на краях n = 0, е — упругому закреплению относительно углов поворота и прогибов (контур с тремя упругими характеристиками) и связывают изгибающие моменты с углами поворотов, а перерезывающие силы — с прогибом краев пластины.
Начальные условия (1.2) —(1.4) сформулированы для пластин, находящихся в момент времени t = 0 в покое. Соотношения (1.1) —(1.91) и представляют математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи.
1.2. Построение общего решения для произвольной динамической нагрузки
Начально-краевую задачу (1.1) —(1.91) решаем методом конечных интегральных преобразований Фурье. Для этой цели сначала используем синус и косинус преобразования Фурье по переменной S, а затем в пространстве изображений к полученной краевой задаче — обобщенное конечное интегральное преобразование по переменной n с компонентами вектор-функции ядра K1(X;n, n), K2(kin, n), Кз(к,п, n), определяемыми в процессе решения задачи. Такой общий прием позволяет построить решение для наиболее общих (упругих) условий закрепления краев n = 0, n = е. Ниже изложен план реализации получения намеченного решения.
4Имеются различные предложения для определения k. Более подробно этот вопрос рассмотрен в [1. С. 147].
С этой целью необходимо применить к первому и третьему уравнению систем (1.1) и равенствам (1.2), (1.4), (1.7), (1.8), (1.71), (1.81) синус-преобразование Фурье с конечными пределами по переменной а ко второму уравнению системы (1.1) и соотношениям (1.3), (1.9), (1.91)—косинус-преобразование Фурье. В результате система уравнений (1.1) перейдет в связанную систему дифференциальных уравнений для соответствующих трансформант, которую для ссылок в дальнейшем занумеруем через (1.10). Нумерация трансформированных граничных условий (1.7)—(1.9) и (1.71)—(1-91) станет (1.11) и (1.П1) соответственно, а начальных условий (1.2) перейдет в (1.12).
Затем на сегменте [0,£ вводим обобщенное интегральное преобразование вида
£
ф(Х;„, n, t) = [/1 Ws(n, n, t)Ki(kin, n) + /2ac(n, n, г)Кг(кт, n)+ о
+ /заДп, n, t)K(kin, n)] ^n;
(1.13)
Ws(n, n, t) = Yj
ф(kin, n, t)Ki(kin, )])
II к II2 ф(кп, n, t)K3(kin, n)
/- A V ^(kin> n t)K3(kin, n) „ 1/14
= L-iuFP-'
(n, n, t) = ^
K
ф(kin, n, t)K2(kin, n)
,=0 II K II2
Здесь приняты следующие обозначения:
1
[Ws(n, n, t), as(n, n, t), ps(n, n, t)] = f [ Ws(£, n, t), a^, n, t), p(£, n, t)] sin — синус-
0
1
трансформанты соответствующих функций; ac(n, n, t) = f a^, n, t)cos nn^dE, — коси-
0
нус-трансформанта Фурье с конечными пределами; K1(kin, n), K2(kin, n), K3(kin, n) — компоненты неизвестной пока вектор-функции ядра интегрального преобразования, определяемой ниже; kin — положительные параметры, образующие счетное множество: i = 1,2,3,... n = 0,1,2, 3,...;
KI 2=
£
J [/1 K2(kin, n) + /2K2(kin, n) + /3K2(kin, n)]dn (1.15)
— квадрат нормы, причем весовые коэффициенты /1, /2, /з определяются в процессе решения задачи.
Выражение (1.13) представляет собой прямое преобразование, а (1.14) — формулы обращения, справедливые при выполнении такого соотношения ортогональности [4]:
£
| /1 К1(кгп, ПЖ1(Х¡п, П) + /2К2(кЫ, Л)К2(Х¡п, П) +
J (1-16)
0
+ /зКз(кп, п)Кз(к¡п, п)]dn = Ц II К У2 -
Здесь Ц — символ Кронекера.
Применим к уравнениям (1.10) и (1.12) обобщенное конечное интегральное преобразование (1.13) по переменной п в соответствии со структурным алгоритмом
a
s
метода конечных интегральных преобразований. С этой целью умножим первое, второе и третье уравнения системы (1.10) соответственно на /1K\(kin, n), /2K2(ki„, n), /3Кз(Хг„, n) и проинтегрируем по n в пределах от 0 до е. Аналогично поступаем с равенствами (1.12). Выполняя интегрирование по частям и складывая полученные уравнения, а также соответствующие преобразованные начальные условия, имеем
е
J W/— К - (Y + n2n2)Ki) + /2Й3ППК2 - /зЬзЦ)dn+ 0
е
+ J" a^/1b>1nnK1 - /2(b3 + n2n2)K2 + /2b5 K2 + /3b4nnK3 }dn+ 0
е
+ f a\/ibiK - /2b4nnKr2 - /3Ф3 + b5n2n2)K3 + /3K2'}dn+ (1.17) _ 0
+/1 h(W; • K1) - /1hWsK[ -/1 — aK + /2b4nnasK2+ +/2b5a'cK2 -/2b5acK2 + ^WK + /3^3-
1 ie d2ffi —
-/зМГз - f3b4rmacK3^ - — = -b2biqH.
При t = 0
Л m dф(Xг■n, n, t)|
ф(Х;„,и,0)=--- =0. (1.18)
dt lt=0
Здесь штрих означает дифференцирование по n.
Соотношение (1.17) перепишем следующим образом:
е
|| е
<t>(Ws, as, ac, Ки К2, АГ3)|о + J(WS ■ h + ас ■ l2 + as ■ 13Щ - ^ = -Ь2Ь1Чн. (1.19)
0
Здесь введены обозначения:
е
qH = f /1 ps • K1(X;n, n)dn — трансформанта нагрузки, а остальные обозначения сле-0
дуют из сравнения (1.17) и (1.18), т.е.
Ф^, as, ac, K1, K2, K3)[ = /1— W'K1 - /1—1WsK[ - /1— asK +
+/2b4nnasK2 + hbia!cK2 -/2bsacK'2 + ^WK + /3a'sK3- (1.20)
1 |е
-/3asK'3 - /3b4nnacK^^,
11 = /1— K' - (y + n2n2)K^ + /2b3nnK2 - /3b3K3,
12 = /1—nnK1 - /2(b3 + n2n2)K2 + /2b5 K2' + /3 b4nnK3, (1.21)
13 = /1 — K' - /2b4nnK2 - /3(b3 + b5n2n2)K3 + /3K2'.
При использовании двух условий структурного алгоритма метода конечных интегральных преобразований [4]
|е
Ф^, as, ac, K1, K2, K3)|o = 0, (1.22)
8
J (Wsh + ас1г + asl3)dn = -Х?„ J (fiWK + /гасКг + /за&Щ, (1.23)
о о
уравнение (1.17) принимает такой вид
+ X? ф(Х/п, и, 0 = b2biqH(hn, п, t). (1.24)
(/ = 1,2, 3,..., n = 0,1,2,...)
С учетом начальных условий (1.18) решение (1.24), получаемое методом вариации произвольных постоянных, записывается в виде интеграла Дюамеля следующим образом:
t
ь2 Г
ф(Х;„, п, 0 = —— qH(hn,n,x)sm\in(t-x)dx. (1.25)
"Wn J
о
Соотношения (1.22) и (1.23) позволяют сформулировать однородную краевую задачу для компонентов Ki(X;n, n), K2(Xin, n), Кз(Х;п> n) ядра конечного интегрального преобразования.
В самом деле, из (1.23) следует такая система трех линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений:
fi \biК'1 + (^2n - Ыу + n2n2))K^ + /2Й3ППК2 - /3Й3К3 = 0,
fib1 ппК1 - /2(\2„ + b3 + n2n2)K2 + f2b5К2' + /3Ь4плЦ = 0, (1.26)
/àК1 - /2"4ПпК2 + /3К3 - /3(b3 + Ь5П2п2 - ^2п)К3 = 0.
Соотношение (1.22) с учетом (1.11) дает возможность получить такие граничные условия для К1(х;п, n), К2(х;п, n), K3(X;n, n): при n = 0:
/2nn(b5 - Ь4)К2(0) + /3К3(0) + /3У1Й6К3(0) = 0, /ФК[(0) - /3b3К3(0) + /172^1^7К1(0) = 0, /3nn(b4 - ц)К3(0) - /2"5К2(0) + /2у3Ь5ЙвК2(0) = 0,
при n = е:
/2nn(b4 - Ь5)К2(\1п, е) - /3к;(X;n, е) + /37^6^(Xn е) = 0,
/ФК[(X,-n, 8) - /3b3K3(hn, 8) + /mM^fon, е) = 0, (1.27)
/3ПлК2(ц - b4)K3(\in, е) + /2b5К2(X;n, е) + /2Y3bsb5К2(X/n, е) = 0.
Равенства (1.27) получены в результате подстановки соотношений a;s, W1, аС в соответствии с (1.11) в выражение (1.22) при учете того факта, что as, Ws, аС линейно независимые величины.
Требование условий инвариантности системы уравнений (1.26) и (1.10) и краевых условий (1.11) и (1.27) при соответствиях Ws ~ К1, аС ~ К2, as ~ К3, d2/dt2--X2n обеспечивает автоматически выполнение соотношения ортогональности (1.16) и позволяет найти значения неизвестных коэффициентов /1, /2, /3. Имеем:
/1 = 1, /2 = /3 = М*. (1.28)
е
(1.29)
С учетом (1.28) система дифференциальных уравнений (1.26), граничные условия для компонент вектор-функций ядра преобразования окончательно формулируются следующим образом:
"Ь1К[' + (\2„ - Мт + П2П2))К1 + МяК2 - Ь1 КЗ = 0,
1Ъ1плК1 - ЬЫ^ + Ьз + п2п2)К2 + М>зЪ5 К2' + Ьф^плЦ = 0, } (1.261)
¿К - Й1Й3Ь4ПЯК2 + ЫзКЗ' - ¿1й3(Ьз + Ь5П2п2 - \2п)Кз = 0; -цХПпК2(Х,-п, 0) + хКЗ(Х,-п, 0) + 12у1(1 - И2)Кз(Хп, 0) = 0, кхК[ (Х,-п, 0) - £ХКз(^п, 0) + 2у2(1 + иЖКХп, 0) = 0, плХКз(Хгп, 0) + хК2 (Х,-п, 0) + 24уз(1 + и)К2(Хп, 0) = 0, ИхпяК2(Хш, е) - хКз(Хп, е) + 12у1(1 - и2)Кз(Хп, е) = 0, -¿ХК;(Хп, е) + £хКз(^п, е) + 2у2(1 + иЖКХп, е) = 0,
-ХплКз(Хг-п, е) - хК2 + 24уз(1 + и)К2(Хп, е) = 0.
Решаем теперь ядровую задачу (1.261), (1.29). Заменой функций К1(Хгп,п), К2(Хп п), Кз(Хгп, п) на ОК1(кщ, п), Т(Хгп, п), связанных соотношениями
К1(Хп, п) = С"(Хг-п, п) - РшС(Хгп, п),
К2(Х,-п, п) = ¥'(Х/п, п) - ЪзпяО(\ы, п), (1.з0)
Кз(Хг-п, п) = пя¥(Хп, п) - ЪзО'(\ы, п), система (1.261) сводится к двум независимым дифференциальным уравнениям:
0'у - 2АыО" + Быв = 0; (1.з1)
Т'' + а2пТ = 0, (1.з2)
где
2 2 2 2 2 2
Бп = п4п4 + у - Х2п[п2л2(1 + ¿1) + Ь1Ьз] + Ъ^4; а2, = Ъ5(Х2п - Ъз - Ъ5п2п2).
Аы = п2п2 + у - (1 + Ъ1)Х2п/2; вп = п2п2 + Ъз - Хп;
п4Л4 + у - Х2п[п2
Для представления решений уравнений (1.31) и (1.32) необходимо найти корни соответствующих им характеристических уравнений
г4 - 2Аытг + Бы = 0, (1.зз)
Р2 + а2п = 0, (1.з4)
которые определяются по формулам
Г[" = = л/А;„ + ^А1п2 -Ц~,
1 3 у __(1.35)
= -Г» = д/Ай, - УЛ»'
Р5,6 = ±Л/^а[. (1.36)
Численный анализ корней (1.35) при расчете пластин показал, что они могут быть как действительными, так и чисто мнимыми, то есть Ап ф 0 и А2п > Бп, а а2п ф 0. Для удобства дальнейшего изложения введем для них обозначения Г1, Г2, гз:
Г\ = г[" = ^2 = 4" = Гз = ±аы], ] =
Соответствующие решения дифференциальных уравнений (1.31) и (1.32) записываются в виде:
G(Xm, п, n) = Си{ ^П + Cz( еХР(~Г1ПП + [ cos nn ) [ sin ^n )
+ C3i Í exp(r2n) 1 + C4i Í exp("r2n) [ cos r2n ) ( sin r2n
(1.37)
¥(Х/п, п, n ) = C5;r"r \ + C6i cos r3
(1.38)
( exp(r3n Я + C Íexp(-r3n Я cos r3n ) { sin r3n )'
причем верхняя строчка в зависимостях (1.37), (2.38) соответствует случаю действительных r1, r2, r3, а нижняя — мнимых корней. Располагая зависимостями (1.37), (1.38) и соотношениями (1.30), получаем выражения для компонентов ядра интегрального преобразования:
К1(Х/п, n) = C1/(±r2 - MÍ645 Г1Ч + C2/ (±r2 - MÍ^ n)V
1 l^cos r^J 1 ( sin nn )
/exp r2n\
+ C3/(±r2 - р/пЯ r 21 + C4/(±r2 - в/п) 2 cos r2 2
exp(-r2 ) ,
sin r2 n
(1.39)
К2(Х/п, n ) = -&3ГСЯ
+ C4/
C1/ Í expr1n 1 + C2/ |exp(-r^) + C3/ í expr2 4 +
exp(-r2 ) sin r2n )
\cos r^J ( sinnn
±r3) í exp r3n 1
+ C5 (
К3(Х/п, n) = C1/(+r1¿3)
+ C3/(+r2¿3)
[ sin r3n J
exp r^l sin nn) exp r2n\ sin r2n )
+ C6/(+r3)
+ C2/(±r 1 Ьз)
+ C4/(±r2b3)
+ C3 cos r2
exp(-r3n Я cos r3
exp(-r1 ) +
(1.40)
(1.41)
[exp r3n\ _ + ПЛC5/ \ ^ + ranC^
cos r3
cos r1 exp(-r2 ) cos r2
exp(-r3 ) .
sin r3n J '
Подстановка этих соотношений в граничные условия для компонент вектор-функций ядра интегрального преобразования (1.29) приводит к однородной системе алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных C^,..., C6/
A11C1; + А12(Х;п C2 + А^Х^з; + АМ(Х JC4; + А^(Х JC3; + A^XJCa = 0,
A21C1; + А22(Х;п )C2 + А 23 (X in)C3/ + А24(Х JC4; + А25(Х in)C¡/ + ATA(X-m)C6i = 0,
A31C1; + А32(Хп )C2 + Aзз(X;n)Cз; + A34(X ;n)C4; + А35(Х ;n)C5; + Aз6(X;n)C6; = 0,
A41C1; + А42(Хп )C2i + A4з(X;n)Cз; + А4ДХ „)C4; + А45(Х i^Cn + A46(X;n)C6; = 0,
A51C1; + А52(Хп )C2 + A5з(X;n)Cз; + А34(Х ;n)C4; + А55(Х in)C¡¡ + A56(Xin)C6i = 0,
A61C1; + А62(Хп )C2 + A6з(Xin)Cзi + А64(Х ;n)C4; + А65(Х ;n)C5; + A66(X;n)C6; = 0,
где коэффициенты Akm (k, m = 1,..., 6) из-за их громоздкости не выписаны. Разыскивая нетривиальные решения системы (1.42), приравниваем ее определитель, составленный из коэффициентов при C1/,..., C6/, нулю. В результате получим трансцендентное уравнение для определения безразмерных собственных частот колебаний пластины Х/п
Det||Akm|| = 0, k,m = 1,2,...,6. (1.43)
(1.42)
Из однородной системы уравнений (1.42) выражаем далее постоянные Сц,...,С51 через Сы. Для этой цели используем первые пять уравнений системы (1.42), главный детерминант которой обозначим через О. Тогда имеем
Ск = Щсы, к = 1,..., 5, (1.44)
где Ои —определитель, получаемый из О путем замены к-го столбца столбцом свободных членов. Не умаляя общности, принимаем
Сб/ = О. (1.45)
С учетом найденных значений (1.50), (1.51) выражения (1.39) - (1.41) для ККХгп, п), К2(к п), Кз(К п) сохраняют прежний вид с заменой в них Сц,...,Сы на Ок/ (к = 1,...,5) и О, то есть С^ = Ои, Сб; = О.
Располагая К1, Кг, Кз, легко вычисляется квадрат нормы (1.15). Применяя теперь к выражению трансформанты (1.25) последовательно формулы обращения конечного интегрального преобразования (1.14), а также синус и косинус преобразований Фурье, получаем общие выражения для безразмерных динамических прогибов п, 0 и соответствующих углов поворота сечений а^п, 0, а^, п, 0 пластины, справедливых для произвольной динамической нагрузки р(п, t):
W&п, 0 =
ф(Х;„, Н, 0К (Х;„, п) вШ НЛЕ,
;=1 „=1 11КИ
2
СО со
со со
с^, п, 0 =
V V ф(Х;„, Н, г)К2(Кт, п)С08 НП^ (1, при Н = 0 Л'0 = 2 §-аМР-' = 11/2, при „ * О (Ы6)
ф(Х;„, Н, ?)Кз(Х;„, п) вШ НП^
;=1 „=1 11КИ2
Принимая во внимание разложения (1.52), по известным формулам определяются все внутренние усилия в срединной плоскости пластины. Имеем:
оэ оэ
;=1 „=1
со со
V-! ф(Хщ, Н, ОМ Бт НПЁ
= '¿|2*-(1.47)
(1.49)
„=о ;=1 "
~ ^ ^ ф(х н, 00 ео8 нле
„=о ;=1 11 11
4 ии м2
Здесь
Ml = (пяК2 - цК3) = b3
1 cos r1
C2/(±,r2 - п2п2 Jex55(^r n n П + C3/(±,r22 - п2п2 JexP ^ 4 + [ sin nn ) [cos r2n )
.2 „2n^J exp(-'2'IU - exp r3n К
sin гзп )
+ C6/r3пп(1 - ц)<! exp( r3nH,
cos r3
+ C4/(+^r2 - пМ^^} ± C5г■rзпл(1 - ц) j^jn1 \ +
M2 = (K3 - цппК2) = b3
C1/(,r2 + цп2^2^ I exp ^1 + 1 cos r1
+ C2/(*r2 + цп2^2^ / exp(-r1 n \ + C3/(Tr2 + ^2*2){exp r2n\ +
1 [ sin nn ) 2 [cos r2n)
+ C4/(+r2 + цп2п2) { exp(-r2 n ) 1 + C5/r3ftn(1 - ц) { exp r3n 1 ±
2 [ sin r2n ) [sin r3n J
± C6/r3пп(1 - ц) í exp(-r3n) 1, cos r3
Min = (ппКз - K2) = ^^яп (exp r1n 1 ± C^^r JeXp(-r1nH + 2 [sin r^j [ cos r^ )
* C3/2b3r2 í ± C4/2b3r2 í exp(-r2n) 1 +
[ sin r2n ) [ sin r2n )
+ C5iVn2 ± r32jexpn| * C6г■(п2п2 ± r^-'"3 ,
3 [cos гзп ) 3 [ sin Гзп I
M = (ппК1 - K2) = ^пя^ - в/п + Ьз) jexp Г1П I +
cos r1
+ C2/ftn(+r2 - в/п + Ьз){exp(-r1nH + Cзг■пп(+r3 - Ьз + в/п)ГР Г2П1 + 1 [ sin nn J 2 [cos r2nj
+ C4/ПП(±r22 - в/п + Ьз) í exp(-r2 П) 1 * C5/r3 í expr3 П1 ± C6/r3 í ^ П) 1, 2 [ sin r2 n ) [sin r3n ) [ cos r3n )
M = (K1 - Кз) = C1/r1(±r2 + в/п ± ЬзЯ exp Г1П1 + 11 1 [ sin nn)
+ C2/r1(-r2 ± в/п * Ьз) í exp(-r1 n) 1 + C3/r2(r22 * в/п ± Ьз) í exxpr221 + [ cos Г^ ) [sin r2n j
,2^ - exp(-r2n ) 1 „ í exp гзп 1 „ í exp(-r32 ) 1
+ C4/r2(-r2 ± в/п + ЬзЦ ^ - C5/ПП\ ^ - C^ni
2 [ cosr2n ) [cosr3nj [ sinr3n )
Разложения (1.51)—(1.57) и представляют общее решение рассматриваемой начально-краевой задачи (1.1)—(1.9) для упруго закрепленной по двум противоположным краям и двум шарнирно опертым краям прямоугольной пластины при действии по нормали к ее поверхности произвольной динамической нагрузки
p(i,n , t).
2. Нестационарная задача динамики для прямоугольных пластин ступенчато-переменной толщины
Решения, приведенные в первом разделе (1.46)-(1.51), справедливы для гладких пластин постоянной толщины. Вместе с тем важное теоретическое и практическое значение имеет случай, когда рассматриваемая конструкция имеет переменную толщину, изменяющуюся непрерывно или ступенчато. При этом срединные плоскости участков пластины могут быть смещены относительно друг друга. Эффективным аналитическим аппаратом исследования свободных колебаний последовательно соединенных систем является метод начальных параметров (МНП) и его различные модификации [7-9]. Однако в литературе отсутствуют работы, посвященные расчету этим методом нестационарных процессов. В этом случае решение задач усложняется, так как оно связано с обеспечением условия ортогональности разложений, получаемых в результате разделения переменных. Также автору неизвестны работы, посвященные применению метода начальных параметров к расчету составных конструкций со смещенными относительно друг друга срединными поверхностями. В этом случае, как будет показано ниже, возникает необходимость учета механизма взаимного влияния компонент напряженно-деформированного изгибного и мембранного состояний элементов, чего не может наблюдаться в симметричных относительно срединной плоскости системах. В связи с этим к системе дифференциальных уравнений (1.1) добавляются уравнения продольных колебаний пластины, полученных впервые Пуассоном и Коши [10]:
ЕН /д2и 1 - и д2и 1 + и д2У \ ,д2и
1 - ц2\ дх2 2 ду2 2 dxdyl r dt2
Eh 11 - ц d2V d2V 1 + ц d2U \ , d2V
' + -Рh^T=Py (2-1)
\-\12\ 2 дх2 ду2 2 дхду) к dt2 у Уравнения (1.1) в размерной форме имеют вид [6]:
dW \ Л /дах дау \ 1 - ц д 1дах даЛ dV — - а, + D— — + + D - -—- + —- = рJ—
kGh Ii¥ - J + + + fe + =
ду / ду\ ду дх j 2 дх \ ду дх / дt2 / дах дау \ д2W _
Ниже приведено замкнутое решение нестационарной задачи динамики для прямоугольных пластин ступенчато-переменной толщины [11—14]. Это решение построено путем применения метода начальных параметров в сочетании с методом преобразования Фурье с конечными пределами [4].
В отличие от традиционной схемы применения МНП (когда начальные параметры имеют физический смысл перемещений и усилий), здесь в качестве последних используются произвольные константы одного из участков (например, первого) плиты ступенчато-переменной толщины. Применение такого подхода не приводит к появлению в решении функций, имеющих быстро возрастающие и быстро убывающие части. В результате отпадает необходимость в ортогонализации решения, как это делается в рамках метода С.К.Годунова [7], А.А.Абрамова [8] и др.
Особенность использования указанного метода преобразования Фурье для расчета составных конструкций заключается в том, что в процессе применения прямого преобразования (1.13) добавляется операция суммирования по участкам составной конструкции, что является новым в структуре самого метода, но при этом значительно расширяет его возможности.
Полученное решение иллюстрируется на ряде важных с практической точки зрения примерах, в том числе анализируются результаты расчета свободных колебаний и напряженно-деформированного состояния фундаментной плиты водонапорной плотины ГЭС.
2.1. Математическая формулировка задачи
Получим математическую формулировку задачи для составной конструкции в виде, аналогичном задаче для отдельной пластины. Эта постановка должна содержать дифференциальные уравнения движения каждого участка конструкции, начальные и граничные условия. При этом последние должны содержать как краевые условия на внешних кромках составной пластины, так и условия сопряжения ее участков.
Для удобства дальнейшего изложения принята матричная форма записи математических зависимостей, которые приводятся в размерной форме.
Рассмотрим плиту ступенчатого сечения, состоящую из п элементов и имеющую шарнирное опирание на краях x = 0, l и произвольное на гранях у = 0, L (рис. 1, а). Считаем, что конструкция лежит на упругом основании с коэффициентом постели у и загружена произвольными динамическими нагрузками P,(х, у, 0 (, = 1,2,...,п). Напряженно-деформированное состояние участков плиты определяется следующими векторами [11]:
D ,(х, у, 0 = V,, Wj, axj, а,Т,
F}(x, у, О = [м*,, s,, о*,, - ,
Л,(*,у, о = [D,, F,]Т (, = 1,2,..., п),
(2.3)
у,Ц = [Dj,FjjT (, = 1,2,...,п), (2.4)
где 1,, F, — соответственно вектор-функции перемещений и усилий, отнесенных к срединной поверхности ,-го участка, индекс " Т" означает транспонирование матриц.
Математическая формулировка задачи для составной конструкции при нулевых начальных условиях имеет вид [12]:
^ + о,д2/д^)1 ,(х, у, ^ = Р,(х, у, О, (2.5)
1 ,(х, у, 0) = 0, д1 ,(х, у, t)/дt|t=0 = 0, (2.6)
Л ,-1(х, а,_ь о = В,Л ,(х, 0, t) (, = 2, 3,...,п), (2.7)
где Lj — матрица линейных дифференциальных операторов в частных производных по х,у; О, —диагональная матрица инерционных коэффициентов. Элементы этих матриц с учетом соотношений (2.1), (2.2) имеют следующий вид:
Ч Lr
^ =
,11 Lj12 0 0 0 О1 0 0 0 0
,21 Lj22 0 0 0 0 О2 0 0 0
0 0 Lj34 Lj35 , о = 0 0 О3 0 0
0 0 Lj44 Lj45 0 0 0 О4 0
0 0 Lj54 Lj55 - 0 0 0 0 О 5
(2.8)
где
¿¡11 -¿¡22 -
ЕН
1 - м2 \ дх2 ЕН
д2 1 - ц д2 \ _ Ек д2
+ " " 2(1 - ц) дхду'
д2 1 - М дМ д
+ I, Е]ЪЪ = кот-у, ь]34 = -коь—,
1 - м2 \ ду2 2 дх2
д д2 (1 — М) д2 £;35 = ^53 = ^44 = "*С?А + О— + I)—1'
¿¡45 - ¿¡54 - О
754
1 + [1 <9
2 дхду'
; - -кОН + О
'ду2
+ О
ду2' (1 ~ Ц) д2 2 дх2'
О1 - О2 - О3 - -рН, О4 - О5 - -р/.
Равенства (2.7) представляют кинематические и статические условия сопряжения смежных элементов [13], взаимное смещение е; которых учитывается матрицей 87 (рис. 1, б):
В 7 -
10 0 -е7 0 1 0 0 0 1
0 -е; 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -е; 0 0
0 0 0 0
0 -е;
1 0 0 0 0 0 0 0 1
(2.9)
(2.10)
Матричные соотношения (2.7) в явном виде записываем следующим образом:
и¡-1(х, о;-!, 0 - и¡(х, 0, Г) - е;ах;(х, 0, Г), У;-1(х, а;-1, 0 - У;(х, 0, {) - е;ау;(х, 0, Г), Ш7-1(х, а7-1, о - Ш;(х, 0, Г), ах,;-1 (х, а;-1, Г) - ах;(х, 0, Г), ау,(х, а;-1, Г) - ау;(х, 0, Г), ^7-1 (х, а;-1, 0 - ^(х, 0, Г), S;-1(х, а;-1, Г) - 5;(х, 0, Г), бх,;-1 (х, а;-1, 0 - Qxj(x, 0, 0, Мх,;-1 (х, а;-1, 0 - Мх; (х, 0, 0 + е(х, 0, Г), Му,;-1(х, а;-1, Г) - мху;(х, 0, Г) + е;Б;(х, 0, Г).
Первые пять уравнений из (2.10) представляют условия совместности перемещений. Следующие уравнения являются условиями равновесия выделенного элемента, причем последние два равенства представляют уравнения моментов относительно осей О1У и О1X.
Для замкнутой формулировки задачи к соотношениям (2.5)—(2.7) необходимо добавить условия, соответствующие конкретным способам закрепления продольных и поперечных ребер плиты (х - 0,1; у - 0, ¿).
Принятые условия шарнирного опирания на краях х - 0,1 позволяют использовать синус- и косинус-преобразования Фурье по переменной х:
и;
Г
л;(у, о - I Фк«А¡(х, у, г)йх, л; - 2 £ Фк(х)Л^,
п к-1
(2.11)
где Фк(x) — диагональная матрица синусов и косинусов аргумента knx/l = т:
Фк (x) = diag(sin т, cos т, sin т, sin т, cos т, sin т, sin т, sin т, sin т, cos т).
В результате применения преобразования (2.11) к исходной начально-краевой задаче соотношения (2.4)-(2.7) принимают вид:
^ 0 = ' f, (2Л2)
(Ljk + G}32/dt2) 6jk(y, t) = Pjk(y, t) (j = 1,2,..., n), (2.13)
6fk(y, 0) = 0, 8Óf]k(y, t)/dt|t=0 = 0, (2.14)
Лj-i,k(aj-1, t) = BjKfjk(0, t) (j = 2,3,..., n), (2.15)
I
(у, г) = ^ Фк(х)Р¡(х, у, №. (2.16)
0
Следует обратить внимание, что в формулах (2.12) и далее наличие в нижних индексах переменной буквы к означает,что эта переменная является синус- (или косинус)-трансформантой Фурье соответствующей функции.
Аналогичная процедура должна быть применена также для соответствующих граничных условий на ребрах у = а0 для первого участка, у = ап для последнего участка конструкции.
С целью разделения переменных задачи (2.13)—(2.15) введем на сегментах [0, а^] конечное интегральное преобразование Фурье по переменной у:
а:
п /лт
ф(Ьй, 0 = Х У)0:Щк (у, 1)йу, (2.17)
:=1 о
то
л}к(у, г) = ^ Ф(ХИ, г)ЛдКХкь у)Ш\-2. (2.18)
/=1
Здесь выражение (2.17) — прямое преобразование, (2.18) — формула обращения, справедливая при выполнении обобщенного условия ортогональности
n j
5/
ДА л^М а лл I \\г'к\ 2 при / = т,
л т(кк/, у)0:Л¡кт(^тк, уЩу = . (2.19)
10 при I ф т.
¡=1 0
В соотношениях (2.18), (2.19) ЛдК^/ьу) представляет вектор-функцию форм перемещений и усилий, соответствующих /-му тону собственных колебаний системы \/к, т.е.:
О]к/(у) = [и¡к/,5¡к/, ^:к/,: ау]к/]т,
:(у) = [Йф/, 5¡к/, <2х]к/, -Мхк, -Мху]к/]т, (2.20)
Л¡к/ = [О¡к/, Iм¡к/]т.
Необходимо отметить, что формулы (2.17) и (2.18) представляют преобразование Фурье с конечными пределами, дополненное операцией суммирования по элементам системы, что является новым в его структуре.
Применим преобразование (2.17) к уравнениям (2.13) и начальным условиям (2.14):
а]
2 Г б^а + о]кдг1д1г)буу = г), (2.21) ¡=10
ф(Хи, О) = О, фг)|г=О = О, (2.22)
где р(кк1, 0 — трансформанта нагрузки, определяемая формулой
а:
п Г =>!
р(Хи, г) = £ б¡^(у,
:=1 о
(2.23)
Рассмотрим первое слагаемое в левой части равенства (2.21). Выполняя для него интегрирование по частям, получим тождество Лагранжа для самосопряженных операторов Ь^к:
£ ГО^Ьк&кйу = Г (б/ь^У,
:=1 0 :=1 О
где Дк — внеинтегральные члены, определяемые формулой
п / ^ \ 1 Дк,=^ и?- б| :=1у '
Введем два соотношения, аналогичные условиям (1.22), (1.23):
Дк, = О,
Ё/ (б/ ЬкЪ-^у = г)
(2.24)
(2.25)
(2.26) (2.27)
¡=1 О
представляющие равенство нулю внеинтегральных членов и операционное свойство [4].
Подстановка зависимостей (2.17), (2.24), (2.26), (2.27) в формулу (2.21) преобразует ее к следующему виду:
Ф(Хй, г) + 4ф(Хкь г) = р(ккг, г) (г = 1, (2.28)
Соотношение (2.28) совпадает с (1.24) и представляет с учетом начальных условий (2.22) задачу Коши для каждого тона колебаний, решение которой записывается в виде интеграла Дюамеля (1.25).
Исследуем подробнее равенство (2.26), которое в отличие от метода преобразования Фурье, не содержит в явном виде краевых условий трансформированной задачи. Преобразуем это соотношение путем подстановки пределов интегрирования и перегруппировки слагаемых. В результате имеем:
Дк, =
т
б ,.р! -б1 т¥у
пкг пк - пк пкг
У=а,
+Ц ] б]-1,к'Щ-1,к - бЦр-Ш
1=2 I1
7 т 7 Т 7
б1кг ^1к - б1к 11кг
^Т Т -»,
б¡кг1¡к - б¡к ¥1к1
У=0.
(2.29)
= О.
У=О,1
Выражения, записанные перед знаком суммы в левой части равенства (2.29), представляют работу обобщенных сил в крайних сечениях плиты (у = О при ] = 1,
+
У=а!-1
у = ап при / = п) на соответствующих возможных перемещениях. Очевидно, что при любых идеальных способах закрепления указанных сечений это выражение, в соответствии с теоремой Бетти, тождественно равно нулю.
Рассмотрим подробнее оставшиеся члены в формуле (2.29). Прибавляем и вычитаем в левой части равенства следующие слагаемые:
е1Йх/к/- Ых}к\ , е/ах/к/ ■ Мхук/| , е/иу/к/ ■ 5}к\ , е}Оу}к ■ / . (2.30)
1у=0 1у=0 1у=0 1у=0
Производим перегруппировку членов с учетом зависимостей (2.15):
Кк/ = 2 ¡-1,к(а;-1)[М¡-1,к/(а/-1) - и¡к/(0) + е^к/Ф)] + ¡=2 _ _
е ]иу]к/ (0) +
+ Qx,¡-1,к(а/-1)[№¡-и/(а/-1) - Iй¡к/(0)]+ +Mx,j-l,k(aj-l)\Uxj-l,k/(aj-l) - N¡«(0)] +
+Мху,¡-1 ,к(а¡-1)|йу,¡-1 ,к/(а¡-1) - N¡«(0)]- (2.31)
-Uj-lkk(aj-l)\Nx,j-l,k/(aj-l) - ^¡к/(0)]--У/-1к(а/-1)\Йх,/-1,к/(aj-l) - йх/Ш(0)]-
-ах,/-и(а/-1)[Мх,¡-1,к/(aj-l) - МХ/Ш(0) + ejNxjk/(0)]-
-Оу,¡-1 ,к(а¡-1^Мху,¡-1 ,к/(а¡-1) - МЙху¡к/ (0) + е/й¡к/ (0)]} = 0.
В процессе получения соотношений (2.31) использовались зависимости (2.7). Замечаем, что левая часть равенства (2.31) обращается в нуль, если равны нулю выражения в квадратных скобках. Эти условия в матричной форме принимают вид:
Л5 ¡-1,к/(а/-1) = В/Л ¡к/ (0) (/ = 2,3,...,п). (2.32)
Полученные равенства (2.32) являются инвариантными по отношению к исходным краевым условиям (2.7) и обеспечивают обобщенную ортогональность разложения (2.18).
Получим дифференциальные уравнения для форм колебаний системы с помощью зависимости (2.27). Подставляем в нее транспонированное выражение (2.17). В результате имеем:
а/
п
X /(/ - 4С/)Ъ/к/йу = 0. (2.33)
¡=1 п
1/
1=1
Из условия нетривиальности решения (Dj Ф 0) приходим к следующим равенствам:
(Ljk - 4Gj)Djkidy = 0 (1 = 1,2,..., n), (2.34)
где элементы матриц Ljk в соответствии с данными работ [5, 12] имеют вид:
Eh I 221 - Ц d2 \ Eh d
Lkn = + —df)> Lkl2 = Lm =
Eh I cfi 1 - г _ mi,( „2_2 . &
й
Ькзз = кОкпж, Ькз5 = -¿из = -кОк—,
йу
й 2 2 1 - и й2 ¿из = кС1г—, ¿И4 = -Шй - Сп я + ¿>--
"йУ к44 ........ ' 2 йу2'
1 + Ц й ,, й2 1 - Ц 99
¿И5 = ьк54 = ¿>——шг—, Ьк55 = -кОк + В— - ¿>——и2л;2.
2 йу йу2 2
Таким образом, дифференциальные уравнения (2.34) совместно с граничными условиями (2.32) и представляют ядровую задачу по определению собственных функций разложения (2.18).
Интегралы уравнений (2.34), приведенные в работах [5, 12], могут быть представлены в матричной форме:
Л ¡кг = Б^кС^ы, (2.35)
где Л^г —матрица общих решений однородных уравнений (2.34), (¡кг —вектор-столбец произвольных постоянных.
Подставляя (2.35) в (2.32) и выполняя стандартные процедуры метода начальных параметров, выражаем искомые векторы С¡кг произвольного ¡-го элемента плиты через аналогичный вектор первого участка, то есть
С¡кг = I ]~[[БтЛткг(О)]-1Ат-и;(ат-1) I Сш (т = ¡, ] - 1,..., 2). (2.36) 1 т= J
Заметим, что при наличии соотношения (2.36), достаточно сформулировать краевые условия на границах плиты (у = О при - = 1, у = ап при - = п) ,что соответствует десяти граничным условиям задачи и обеспечивает замкнутую форму ее решения.
2.2. Применение предлагаемой методики к расчету конкретных систем
Покажем применение предложенного подхода к расчету фундамента водонапорной плотины ГЭС при действии гидравлического удара (рис. 1, а). Будем считать нагрузку Р¡(х, у, г) внезапно приложенной в момент времени г = О перпендикулярно ко всей поверхности фундамента и остающейся в дальнейшем постоянной и равной Ро.
Расчеты выполнены при следующих исходных данных: Ь = 1Ом, а1 = а4 = 4м, а2 = 3м, а3 = 2м, 51 = б4 = 2м, б2 = 1.4м, 53 = 1м, Е = 2,7 ■ 1О4МПа, ц = 0,16, РО = 0,1МПа, у = 28МПа/м.
На рис. 2 приведены эпюры перемещений и усилий в срединной плоскости элементов в сечении у1 = Ь/2 при г1 = О, О1 с. Как и следовало ожидать, функции и и Мх имеют разрывы на границах участков в соответствии со следующими равенствами:
и¡-1(а--1, у1, г1) - и ¡(О, у1, г1) = -е-ах-(О, у1, г1), Мх,¡-1 (а--1, у1, г1) - Мх^О,у1, г1) = -е^ф,уь г1).
Характерной особенностью полученных результатов является наличие продольных усилий при действии на конструкцию поперечных нагрузок. Так например, в рассматриваемом сечении у1 большая часть фундамента является внецентренно
И
а)
б)
Рис. 1. Прямоугольная плита ступенчато-переменной толщины: а) расчетная схема сооружения; Ь) сопряжение элементов на границе участков
растянутой, причем максимальные растягивающие усилия возникают в ослабленной части конструкции (участок 3). Последнее обстоятельство особенно важно при проектировании железобетонных сооружений.
На рис. 3 изображены две пластины одинаковой площади, одна из которых (симметричная) была исследована как с помощью традиционной схемы метода начальных параметров, так и по предлагаемой методике. Ниже под ней показаны первые три формы колебаний и соответствующие им безразмерные частоты. Что касается несимметричной плиты, то для нее также были определены первые три формы колебаний и соответствующие им безразмерные частоты по изложенной в статье методике. Из сравнения графиков видно качественное различие в их движениях. На рисунке указана формула, связывающая безразмерную частоту с размерной, измеряемой в герцах. В качестве другого примера расчета рассматриваемых в данной главе систем выбраны также две пластины. Первую пластину (рис. 4, а) можно рассматривать по традиционной схеме МНП путем разбиения ее на участки постоянной толщины, записывая условия сопряжения на границах обычные равенства, соответствующие компонентам перемещений и усилий. При этом можно оставаться в рамках обычных представлений теории изгиба пластин, считая, что колебания в самой срединной плоскости не связаны с поперечными колебаниями конструкции. Количество условий сопряжения на границе равно шести (прогиб, два угла поворота, перерезывающая сила и два момента). Совершенно иная ситуация возникает, если попытаться применить МНП к расчету второй пластины (рис. 4, в), так как при разбиении ее на участки постоянной толщины появляются эксцентриситеты, о которых было сказано выше. Количество условий сопряжения
0.57
W-10, м
180 202
Nx-10, кН/м
Рис. 2. Эпюры перемещений и усилий фундамента плиты плотины ГЭС
на границах становится равным десяти. Сравнение результатов расчета каждой из пластин при различном количестве участков их разбиения позволяет оценить вклад мембранного состояния. На рис. 5 приведены результаты расчета в части частот и форм свободных колебаний каждой из систем. На рисунке приведены частоты пластины в герцах при ее разбиении на два, четыре или шесть участков. Постоянная толщина каждого из участков определялась через среднюю линию трапеции этого участка, то есть в каждом из случаев обеспечивалась неизменная площадь сечения пластины как на каждом участке, так и всей системы в целом. Результаты определения частот в первой колонке а соответствуют пластине без переходов, то есть имеющей плоскость симметрии. Вторая б и третья в колонки учитывают смещение срединных плоскостей участков пластины, что соответствует ступенчатому изменению толщины несимметричным образом. Отличия результатов второй и третьей колонок заключаются в том, что во второй колонке исключены тангенциальные силы инерции мембранного состояния, в третьей колонке силы учитываются. При этом для всех трех колонок учитываются как поправка Тимошенко о конечности сдвиговой жесткости, так и поправка Рэлея, соответствующая инерции поворота сечения. Исключение тангенциальных сил инерции приводит к необходимости перестройки решений соответствующих дифференциальных уравнений, которые принимают форму статических уравнений (их два).
а
—_—I гт-1-
За
За
Ь/а=5 Ц1=и^(1-ц2)р/г:
0.58 1.0
Пц=2.35 /"
1.0 0.77/1
1 / 0.771.0
=3.75
\ пп= \ 1.0 0.51 _
""■'0.51 1.0 \
„0.63 1.0 0.63 ^
0.82 1.0
О,, =3.07
^чцци/
Рис. 3. Формы колебаний и частоты пластин, имеющих равные площади
При этом частный интеграл из гиперболических и тригонометрических функций переходит в их комбинацию.
Наличие решения с исключенными тангенциальными силами инерции позволяет проанализировать отдельно влияния эксцентриситетов на уровне жесткостных свойств системы. Другими словами, мембранное состояние является статическим, а изгибное — динамическим.
Как видно из сравнения частот в первых двух колонках, число участков разбиения не оказывает существенного влияния на значения нижней части спектра. Например, первая частота оказывается равной порядка 30 Гц, вторая в районе 90 Гц и т.д. То же и для второй колонки 30, 90, 185 Гц.
Единственная особенность здесь состоит в том, что для пластины из двух участков имеется форма без узловых линий на частоте 30 Гц, которая исчезает при более частом разбиении пластины. Это объясняется тем, что при разбиении лишь на два участка второй элемент имеет небольшую толщину при пролете 5 метров и допускает консольную форму колебаний.
Построчное сравнение результатов первой и второй колонок показывает на их незначительные отличия. Для первых трех тонов колебаний частоты отличаются в пределах 3-5%, а формы полностью совпадают для всех пяти рассматриваемых тонов. Отсюда следует такой вывод, что статическое мембранное состояние не оказывает существенного влияния на колебания перекошенной пластины.
Совершенно иная картина наблюдается при учете тангенциальных сил инерции. Если частота основного тона третьей колонки практически совпадает с частотой второй колонки, то на следующих тонах формы колебаний значительно
И =2,325 М 12 =3,075 м Ь=10 м
1
2,5125 м 12= 2,8875 м
-ж-
Ь/2
Ь/2
11=2,325 м 12=3,075м
/ V 1 / к 1_ / ; 1_ / I 1_
и 15 1. 1з \
\ ! \ к \ ' \ !
1
—><——>к-
11=2,3875м 1,=3,0125м 1з=2,5125м й=2,6375 м 15=2,'7625 м 1б=2,8875 м с!=Ь/6
Рис. 4. а, б — исходные модели пластин, в, г —схемы равноценных по площади преобразованных пластин
перестраиваются. При этом сам спектр становится более плотным. Условно можно говорить о появлении дополнительных частот как в нижней, так и в верхней части спектра. Кроме того, замечаем, что влияние тангенциальных сил является чувствительным по отношению к количеству разбиения на участки что нельзя сказать о статическом мембранном состоянии. Следует также отметить, что условия сопряжения на границах участков плиты предполагают действие гипотезы о плоских сечениях не только внутри участков, но и на краях элементов. В действительности конструктивные особенности сочленения участков могут приводить к искривлению граничных сечений элементов. Таким образом, результаты, полученные на основе приведенной методики, дают оценку сверху в части определения частот и внутренних усилий и оценку снизу в части определения перемещений конструкций. С инженерной точки зрения такой подход, по-видимому, является оправданным.
Число участков разбиения плиты Два участка
253.911
29.704
407.014
Четыре участка
Рис. 5. Формы и частоты колебаний пластины: а — случай симметричных пластин; б — случай не симметричных пластин без учета тангенциальных сил инерций; в — с учетом тангенциальных сил инерций
Выводы
Таким образом, представляется правомерным следующие выводы:
1. Принятая форма условий сопряжения сохраняет на границах участков гипотезу плоских сечений, хотя в действительности эти сечения искривляются. Однако проведенный математический эксперимент показал, что это локальное несоответствие на границах незначительно влияет на результаты расчета. Этот факт дает принципиальную возможность применения данной методики.
2. Второй вывод заключается в том, что при наличии эксцентриситета влияние
на обертоны колебаний тангенциальных сил инерции возрастает с увеличением частоты колебаний, чего нельзя сказать о жесткостных добавках, появляющихся в результате перекосов.
3. Из первых двух выводов следует, что в статической постановке влияния эксцентриситета можно не учитывать, если они составляют менее половины высоты сечения. То же можно сказать при определении первой частоты колебаний системы.
Однако при решении нестационарных задач, когда требуется учитывать значительное число тонов колебаний, игнорировать указанный фактор недопустимо.
Следует отметить, что описанные выше процедуры могут быть использованы для нестационарного динамического расчета стержневых и оболочечных систем ступенчатого сечения.
В заключение хочу выразить искреннюю благодарность д.ф.-м.н., профессору В.А. Ковалеву, д.ф.-м.н., профессору Ю.Н. Радаеву, к.т.н., доценту Э.Я. Елениц-кому и к.ф.-м.н., доценту С.А. Лычеву за постоянное внимание и помощь в работе над статьей.
Литература
[1] Григолюк, Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов. - М.: ВИНИТИ. Сер. Итоги науки и техники, Механика твердых деформируемых тел, 1973. - Т. 5. - 272 с.
[2] Власов, Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок (учет касательных напряжений) / Б.Ф. Власов // Изв. АН СССР. Отд. тех. н. - 1957. - №12. -С. 57-60.
[3] Кильчевский, Н.А. Основы аналитической механики оболочек / Н.А. Киль-чевский. - Киев: АН УССР, 1963. - Т. 1. - С. 354.
[4] Сеницкий, Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований / Ю.Э. Сеницкий. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. - 176 с.
[5] Сеницкий, Ю.Э. О точном решении динамической задачи для упруго закрепленной по двум сторонам прямоугольной пластины на основе модели Тимошенко / Ю.Э. Сеницкий, Ю.П. Дьяченко // Расчет пространственных строительных конструкций. - Куйбышев: КГУ, 1979. - Вып. 8. - С. 35-45.
[6] Уфлянд, Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин / Я.С. Уфлянд // Прикл. матем. и мех. - 1948. - 12. - №3. -С. 287-300.
[7] Годунов, С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / С.К. Годунов // Успехи математических наук. - 1961. - Т. 16. - Вып.3. - С.171-174.
[8] Абрамов, А.А. О переносе граничных условий для систем линейных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки)/ А.А. Абрамов // Журн. вычисл механики и мат.физики. - 1961. - №3. - С. 542-545.
[9] Бидерман, В.Л. Применения метода прогонки для численного решения задач строительной механики / В.Л. Бидерман // МТТ. - 1967. - Вып. 5. - С. 62-66.
[10] Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. - М.:ОНТИ, 1935. -С. 674.
[11] Еленицкий, Э.Я. Применение метода начальных параметров к решению нестационарной задачи динамики для прямоугольной пластины ступенчатого сечения / Э.Я. Еленицкий, Ю.П. Дьяченко // Известия вузов. Строительство. -1997. - №11. - С. 13-18.
[12] Дьяченко, Ю.П. Спектральная оценка уточненных кинематических гипотез теории пластин / / Ю.П. Дьяченко, С.А. Лычёв // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая): в 3 частях. Часть 1. - Пермь: УрО РАН, 2007. - С. 337-341.
[13] Еленицкий, Э.Я. Свободные колебания прямоугольной пластины ступенчатого сечения с конечной сдвиговой жесткостью / Э.Я. Еленицкий, Ю.П. Дьяченко // Задачи со свободными границами и нелокальные задачи для нелинейных параболических уравнений. НАН Украины. Ин-т математики. - Киев, 1996. - С. 31-34.
[14] Дьяченко, Ю.П. Динамический расчет конструкций, основанный на теории колебаний пластин / Ю.П. Дьяченко, Э.Я. Еленицкий // Труды юбилейной школы-семинара "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", посвященная 70-летию доктора физико-математических наук, профессора Геннадия Ивановича Быковцева. - Самара, 2008. - С. 37-39.
Поступила в редакцию 09/77/2008; в окончательном варианте — 09/77/2008.
NON-STATIONARY DYNAMICS OF RECTANGULAR PLATES WITH STEPPED CROSS-SECTION5
© 2008 Yu.P. Dyachenko6
The effect of rotatory inertia and shear deformation on the flexural vibrations for rectangular plates with stepped cross-sections is studied. The Fourier transformation and method of finite integral transformations are applied. The closed form solution of boundary value problem for rectangular plates with stepped cross-sections is obtained.
Paper received 09/Я/2008. Paper accepted 09/Я/2008.
5Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. V.A. Kovalev.
6Dyachenko Yuri Petrovich, Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
