CC BY
9Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л Вып. 5 2003
УДК 539.3
Элементы прикладного тензорного анализа в
ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛАХ 1 Михайловский Е.И., Ермоленко A.B., Миронов В.В.
Обсуждаются дополнительные возможности прикладного тензорного анализа в условиях одновременного рассмотрения исходной и актуальной конфигураций деформированной среды при лагранжевом описании движения. В частности, вводится четыре представления фундаментального тензора, получен ряд новых тождеств, применение которых проиллюстрировано на примере нелинейной квазикирхгофовской теории оболочек.
_ в в
1. Рассмотрим евклидово пространство Ез. Пусть R = R(or), R = R(a) - радиусы-векторы материальной точки деформированного тела из этого пространства соответственно до и после деформации (о; ^(а1, а2, а3) - лагранжевы координаты). В деформированном теле при лагранжевом описании движения материальных точек рассматривают два основных и два взаимных базиса
{Rb R3, R3}, {Ri,R2, R3}, {R\ R2, R3}, {R\ R2, R3}. (1.1)
Ассоциированными назовем векторы и тензоры, которые, будучи отнесенными к разным базисам, имеют одинаковые компоненты. Например, ассоциированными являются векторы
и = иаКа, u = uaRa. (1.2)
(По повторяющемуся в одночлене верхнему и нижнему греческим индексам в этом разделе следует суммировать от 1-го до 3-х, а в следующих - от 1-го до 2-х.)
1Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 01-01-96431.
© Михайловский Е.И., Ермоленко A.B., Миронов В.В., 2003.
Введем обозначения
Х7ки{ =(дки) - = дкп{ + (?каи°, V ки{й(дки')-& = дки*+ &каиа, (1.3)
где дкиг = - ЙЛ = Д^К-К^, - символы Кристоф-
феля 2-го рода для исходной и актуальной конфигураций деформированной среды.
Впредь ковариантные производные контравариантной компоненты и' вектора будем определять формулами (1.3) независимо от того, к какому базису эта компонента относится: если и' - компонента вектора и, то Чки1- действительно ковариантная производная, 'а Vки% -результат действия дифференциального оператора, определяемый формулой (1.3)2- й, наоборот, если-и* - компонента вектора и , то -ковариантная производная, а У^и* - результат действия оператора в соответствии с формулой (1.3) 1-
В условиях этих договоренностей можно установить связь между ковариантными производными:
: Чкц\- Уки< - = 0, (1.4)
О . . О . * , _ »
где Ак^ = — - компоненты тензора 3-го ранга, что сразу следует из.известных соотношений (см, напрймер, [1])
(1.5)
- А = А1рКа ® К*<8>% 1 * 1 (1.6)
уместно называть тензором деформационного изменения связностей (символов Кристоффеля). , . ,
Заметим, что в работе [2] (см. также [3]) объект А назван тензором аффинной деформации из-за того, что обращение этого тензора в нуль "характеризует аффинное преобразование пространства". Однако
0\2 = (Р^Мв^щ 4-
/ д да1' Д да3
. ТУ -л дак' '' да*1'
Инвариантный геометрический объект
в таком случае объект А следовало бы называть тензором неаффинной деформации по аналогии, например, с тензором несовместности деформаций [1]
V х V х еареа ®
(е,-,- - компоненты тензора малых деформаций Коши, е* - орты декартовой системы координат), обращение которого в нуль характеризует совместные деформации. И
о
Как известно (см., например, [3]), компоненты тензора А связаны с компонентами тензора деформации Грина-Лагранжа Г = легко устанавливаемыми формулами
4 = + - У^), (1.7)
где
.9" = Я' • Н'", = дт - <%7в,- - <%7,-в. (1.8)
Возвращаясь к соотношениям (1.3), следует отметить, что обе величины У^и1 и У^и' являются смешанными компонентами тензора 2-го ранга независимо от того, к какому базису относится векторная компонента и\ Это следует из равенства (1.4), где в любом случае два слагаемых являются компонентами тензора. Таким образом, операторы У^ и Уь не изменяют тензорной природы компоненты вектора, на которую они действуют, в чем заключается фундаментальное свойство ковариантной производной. ■
Перейдем теперь к рассмотрению тензоров 2-го ранга в деформированной среде, которые могут быть отнесены к любому базису таблицы
Таблица 1.
Базис Ковариантный Контравариантн ы й Смешанный
Исходный Я; ® В.,- К.' ® ш И, ® К3 Я' ® Я,
Актуальный ® в.,- я* ® в? Я, ® К3 Я* ® в.,-
1-й двойной 0 К' ® ш К,- ® В.3 я* ® я.,
2-й двойной ® К,' К*' (8) К' я, ® я' я* ® я,
Пусть даны ассоциированные тензоры
т = г0па 0 щ, т = ® кз,
т" - га0&а ® 11,0, т'" = гарка ® (1.9)
Введем обозначения
=дк(т): ы 0Кг = дкг> + &кае* + с{а&,
= дк{т'): & ® и4' = дкг + дгка& + диш, у^'=дк(Т") : я- ® я« = + &каг* +
У^' = дк(Т"') : К/ ® И' = дкР + + 6{а&. (1.10)
Здесь и ниже символ ":" означает двойное скалярное произведение, определяемое по схеме вида (см., например, [1, 4])
Т : Б = (^Я* ® Я,5) : «Я" ® Яй) = ЛЛ^/? ■ Я")(Яа • Ям).
(Обобщение формул (1.9), (1.10) на случаи ассоциированных тензоров с ковариантными и смешанными компонентами очевидно.)
Как и в случае вектора, величины, стоящие в правых частях равенств (1.10), будем условно называть ковариантными производными, независимо от того согласуются ли операторы V*, V*, У*, V* с базисами соответствующих тензоров или нет. При этом, если оператор согласуется с базисом тензора, то он действительно определяет кова-риантную производную. Пусть, например, V' - компонента тензора Т . Тогда У**'3 - ковариантная производная, а У^, У*^, У/^ - результаты действия соответствующих дифференциальных операторов на функцию ¿'•7. Важным является то, что и в случае несоответствия оператора дифференцирования базису тензора, результат действия этого оператора является компонентой тензора 3-го ранга. Пусть V3 - компонента тензора Т. Вычитал первое равенство (1.10) из остальных равенств этой системы, получим
У,*«' = У^' - А\а1а= -
укг> = у**« - ккаьа\ = - (1.11)
о . . о •
откуда в силу того, что Агка1а\ Ака1га - тензорные компоненты, следует, что таковыми же являются и величины, стоящие в левых частях равенств (1.11). ■
Выявим некоторые дополнительные к известным свойства фундаментального тензора в условиях деформированного тела. Используя обозначения
gi3 = R, • Rj = gji, glJ = R! • RJ = gJ\
= & • Rj = & = & ■ Ri=9b C1-12)
нетрудно убедиться в справедливости формул
Rt = giuRu = gviR\ R3 = 9dilНд =
R, = gviw = дЛ\ RJ = = (1-13)
из которых следует, в частности, что
gaigaJ = 9i«9ja = 9?93.a =9ci9aj = Si■ (1.14)
Пусть даны тензоры
G = gaPW ® R^, G = gaPRa ® R/3, G = 5аДа ® R'3, G = gapRa ® R0. (1.15)
Здесь рассматриваются лишь контравариантные базисы. Переход к ко-вариантным и смешанным базисам осуществляется с использованием формул (1.12) и
R, = ^R", Rj = gjPRp, R• Rj = giagja = 5{. (1.16)
Заметим также, что тензор G является сопряженным с тензором G. Действительно, имеем
G* = дарВ? ®Ra = g0aRp ®Ra = G. (1.17)
Покажем, что формулы (1.15) представляют один и тот же тензор в разных базисах, т.е.
G = G = G = G = 1. (1.18)
Действительно, принимая во внимание соотношения (1.12)—(1.14), (1.16), будем иметь
G = R-у <g> R7 = (g^Ra) ® {g^Rp) = {g^g^R* ®Rp =
= R° ©Ra = g„ßRa ®Rß = G; G = gaßRa ® Rß = gaßRa ® (^R.,) = G; G = gßlRß ® Ry = R7 ® R7 = glßK< ®Rß = G.
Нетрудно проверить, что любой из тензоров (1.15) является единичным. Убедимся, например, в справедливости равенств
G • Т == Т • G = Т,
где
Т = f" R„ ® R^.
Действительно, имеем
G • Т = (gaßRa ® R^) • (t^Ru ® R„) =
= R/3 ® Rß) = tVß{gßuRp) ® RM = ® = T,
T • G = (¿""Н„ ® RM) • (^Ra ® RP) =
= tvaRv ® (gaßRß) = tvaR„ ® Ra == T. QED
Замечание 1.1 По Трусделлу [4] тензоры G и G следует называть двойными. Однако в силу (1.18) правильнее говорить не о двойных тензорах, а о двойных базисах (см. (1.15)).
Замечание 1.2. В механике сплошной среды широко используется (двойной по Трусделлу) тензор-градиент движения (déformation, gradient) F = Ra ® R", с помощью которого осуществляется связь между векторами исходного и актуального базисов
R, = F ■ R„ Rj = F"1* • Rj, R,- = F"1 • R,, Rj = F* • Rj. (1.19)
Сравнивая (1.19) и (1.13), убеждаемся, что компоненты gij, gkl метрического тензора выполняют роль, аналогичную той, что и тензоры F, F-1, F*, F*-1. На основании формул (1.13) получаем
F = R„ ® R" = gaßRa®Rß,
т.е. тензоры F и G являются ассоциированными.
Замечание 1.3. Компоненты метрического тензора в двойных базисах позволяют вычислять повороты и сдвиги, обусловленные деформацией
тела. Так, например, косинус угла поворота касательной к коорди-натной ; 11111VI \1 ос при переходе тела от исходной конфигурации (&) к актуальной (К) определяется по формуле
сое (Й.,-, II,-)
\fgiiyj9ii
Замечание 1.4. Справедливы следующие легко проверяемые соотношения:
9И = 9%9aj, 911 = 9р903, 9ij = 9°9зс 9^ = g'.pg30- ■ (1-20)
Как известно (см., например, [1, 4]), выполняются равенства
= Vkgj = Vkgij = 0, VkgtJ = Vkg3 = V^' = 0. (1.21) На основании формул (1.10), (1.12) имеют место соотношения V^u = = = Vgij = 0,
= = Vkgi = Vgij = 0. (1.22)
Проверим, например, справедливость равенства ^7кд3 = 0. Имеем
Ъд? = dk§? - Gakigi + Gijr =
= (№,) ■ Rj + R, • дк& - GfcgJ + Gijr = 0. Здесь учтено, что
dkR{ = GakiRa, dkRj = -G[aRa.
Свойства вида (1.21), (1.22) утрачиваются, если операторы V*, Vk, Vfc, Vfc не согласуются с базисами соответствующих форм представления метрического тензора. Например, нетрудно убедиться в том, что
__о о
Vfc&j = ~Аи°9<У1 ~ Akjgia,
о о о
Vkgij = Aaklga] + Akjgta, Vfc&j = Akigaj - Akjgia,
о 0
Vkgi3 = -Aaktgaj + Aakjgia и т.д. ■
Наряду с известной формулой (см., например, [1, 4])
= ~-М^дП + О^Г13, (1.23)
у9
легко устанавливаются следующие:
УХ' = + СГаР^, (1.24)
у/9
где
= (Й.1 х К2) • К3, у/д — (Нх х Н2) • Кз. Покажем, что справедливы тождества
УХ* = Юа{ГЧ™),
Уа*а'' Г1Ча{Ла{). (1.25)
Действительно, учитывая, что [1]
(1-26)
¿V у/д
находим
тя - У^\/9д&Уд - \/дда</д _ *
— —^ — — и-^д —
Принимая во внимание (1.27)х, получаем
/Уа(.Г = J(дixJ-í)tai+ У««"'
= - + + + - уаг.
Таким образом, справедливость первого тождества (1.25) установлена. Точно так же проверяется выполнение второго тождества (1.25). С^ЕО Заметим, что каждое из соотношений (1.2?) эквивалентно следующей формуле для сокращенных компонент тензора деформационного изменения связностей:
Ааак = дк 1п/. (1.28)
2. Рассмотрим поверхность в трехмерном евклидовом пространстве до и после деформации. Для поверхности, как двумерного риманова многообразия, утрачивается часть свойств дифференцирования, изложенных в разделе 1. Пусть
{гь г2, п}, {г1, г2, п}, {г,, Г2, п}, {г1, г2, п} -
основные и взаимные базисы, связанные с исходной и актуальной конфигурациями поверхности.
Рассмотрим ассоциированные векторы
u = uara, u' = uara. (2.1)
На основании деривационных формул Гаусса и Вейнгартена
dári = Г«га + Ъцn, din = -biara (2.2)
(b{j = didjr-n - компоненты тензора кривизны поверхности, Г*- = didjt-vk - символы Кристоффеля 2-го рода для поверхности), по аналогии с (1.3) можно записать
Vkut^dku-rt^dkuí + rkaua,
v^' = dku ■ г' = dku{ + íix- (2-3)
Ковариантными производными на поверхности от контравариант-ной компоненты вектора будем условно называть правые части равенств (2.3) независимо от того, к какому базису эта компонента относится. Если при этом и1 - компонента вектора и, то - действи-
о
тельно ковариантная производная, a Vku% - результат действия линейного дифференциального оператора, и наоборот.
В условиях таких договоренностей справедлива формула
Vku{ = Vfcu'' + i'fc(X, (2.4)
где [3]
Áí, = Г% - ГЦ = а*фкЪр + <7Пкр - V№) к
7ij = V2(Q-ij — а,ц), ац = г,- • г,-, аы = тк ■ г'; (2.4')
Afj, 7ij - компоненты тензоров (соответственно) деформационного изменения связностей поверхности и деформации Грина-Лагранжа:
А = A^va ®г0®гу, Г = laPva ® г^. (2,5)
Рассмотрим теперь ассоциированные тензоры
Т = ta0ra ® rp, Т' = ta0ra ® Р\
Т = ta/5P ® И, Т'" = ® г0. (2.6)
С использованием формул (2.2) и им аналогичных для исходной конфигурации получаем
dkT = (Vktap)ra ®r0 + ta(3(b%п ® г0 + b0ra ® п),
3*Т' = (Vkta/3)ra ®r0 + ta0(btn + b0ra ® n), &T" - (V*ia/3)ra ® r^ + ta0(b% n ® ^ + bf г" ® n),
= (Vkta0)ra ®r0 + ta0(bakn ®r0 + b0ra ® n). (2.7) Здесь введены обозначения
Vktij = 9kT: Vj ® r, = dktij — r»Ja: — Tkjtia,
VkUj = 8k T': f, ® r, = дк1ц - flit с j - Takjtia,
Vhti3 = дкт" : Tj ® r, = - f^- -
V^ 4 дкт"': Tj ® r, = - - fakjtia, (2.8)
т.е.
(V* + - Vfc - Vfe)^ = 0.
(Обобщение на. случаи ассоциированных тензоров 2-го ранга с котрава-риантными и смешанными компонентами очевидно.)
Под ковариантными производными компонент тензоров 2-го ранга понимают правые части формул (2.8). Иными словами, ковариантными производными на поверхности компонент тензора 2-го ранг а называют коэффициенты в частных производных вдоль координатных линий поверхности при тех диадах, которые сохраняют свой вид при частном дифференцировании.
При этом, как и ранее, будем соблюдать договоренность по-
_ О * у
нимать под ковариантными производными V*, Vк, V*, ¥к правые части формул (2.8) независимо от того согласуются или кет
ЭТИ операторы с базисами соответствующих тензо-
ров. Н
Рассмотрим тензоры
А = aaf3ra ®rp, А = а„мР ® Р,
А = aa(3ra ® И, А = а„дР ® г", (2.9)
где (см. также (2.4"))
Hij = г,- • г,, a,j = (2.10)
(Во избежание недоразумений заметим, что с целью сохранения обозначений, принятых в оригиналах, символом А в разделе 1 обозначен тензор деформационного изменения связностей, а в формуле (2.9)2 -метрический тензор исходной конфигурации поверхности.) На основании (2-10) имеем
Г; = aivг" = aviР, Ti — a^P = ¿¿„P. (2.11)x
Аналогично получаются соотношения
F = a'"rM = a"jrj = a"rM = (2.11)2
Из соотношений (2.11) следуют равенства
aaidaj = aiaaja = ataaja = ¿¿¡аЦ = S{. (2.12)
Покажем, что
A = A = A = A = 1. (2.13)
Подобно тому, как устанавливались равенства (1.18), на основании (2.11), (2.12) получаем
А = r7 ® г7 = (a^P) ® = (а„7а^)Р ® г„ = ® ru = А,
А = г" ® re = re ® = А, А = Р ® га = а^г^ <g> та - А.
Нетрудно убедиться, что любой из тензоров (2.9) является единичным. Пусть, например, S = sapra®r0. Проверим выполнение равенств
S • А = А • S = S.
Имеем
S • А = (sa/)ra ® гр) ■ (a^P ® г") -
= saß{aßpaUil)ia ® г" = saßra ®rß
Ä • S = (¿„„r" ® P) • (sQ/3ra <g> И) =
= Saßiä^a^F ®rß = S.
Аналогично проверяются прочие комбинации умножения тензоров (2.9) на тензор S. QED
На поверхности утрачиваются свойства ковариантного дифференцирования, аналогичные (1.22). Действительно, с учетом (2.8) получаем
V^ = bkin ■ tj + bkjh • n,
у О
= bkin ■ ij 4- bkjTi ■ n, Vfca/ = bkth ■ г7 + Ь3кг{ ■ n, Vka? = bkin • F + VkTi • n. ■ Имеют место формулы (см. (1.24))
= ~da(Vätai) + raßtaß,
V a
У*^ = + гу^. (2.14)
V«
Введем аналогичный (1.26) инвариант деформированной поверхности:
р.«)
Покажем, что справедливы тождества (см. (1.25))
= Л-'УЛЛО- (2.16)
Действительно, имеем
ля л-1 _ Уада\/1 - \fhdg-sfa -
= -ДсЫ"1 = Г^ - ffr (2.17)
Принимая во внимание первую формулу из (2.17), получим
АЪа(А-Чы) = A{daA~l)tai + У atai =
= £lßtai - Гßaßtai + datat + Tßaßtat + raßtaß = Vja\
Справедливость первого тождества (2.16) установлена. Выполнение второго тождества проверяется аналогично. QED
Заметим, что любое из соотношений (2.17) эквивалентно следующей формуле для сокращенных компонент тензора деформационного изменения связностей поверхности:
Aaak = dklnA. (2.18)
На основании формул (2.4'), (2.14) можно записать
>42 = ? = l+2/f + 4//f, (2.19)
а
где /f., IIf- - инварианты тензора Грина-Лагранжа деформации поверхности:
k = //f = 7I72 - ihl (2-20)
□ Ниже неоднократно будет использоваться дискриминантный тензор поверхности с ковариантными и контравариантными компонентами
С = CQßTa ®rß = caßra ® Tß,
где
Cij = (ri х Tj) ■ n, cij = (г* x г7) • n, (2.2l)j
(■> г n
Cl2 = -C21 - v а, Си = c22 = о,
c12 _ _c21 У _L c"=c22 = 0 (2.21)2
\/a
(символ " У " означает "равно в точке"). На основании (2.22)i имеют место формулы
Ti х Tj - CijXi, г' х rJ = cun, n x rt = ciara, n x r' = ctar0. (2.22)
Компоненты дискриминантных тензоров исходной и актуальной конфигураций связаны так:
с^ = £ij\/a = AeijVä = Acij,
cij = = = Л'1^ (2.23)
Va ya
егз - символы Леви-Чивиты:, £12 = •—£21*= —£12 = е12 = 1, еп = = е22 = £п = е22 = 0).
Полезными являются также формулы
Ъаса> = с1ас]а = ¿1, саРсар = 2. № • ' (2.24)
Покажем, что формула (2.19) может быть получена из формулы (2.18), которую представим в виде (см. (2.4'))
А-1дкЛ = ааРРр,ак. (2.25)
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в справедливости равенства (см. (2.21 )2)
а'-7 = с^с7"а„м. (2.26)
На основании (2.26), (2.4') и (2.23) можно записать
• о* = Д-^с7^^ + 27^)-= Д"2^' + гД-^с^. (2.27)
Подставив а®-7 из (2.27) в формулу (2.25), получим
АдкА = Щ + 2 VI-, (2.28)
где
^ - й^Р/^ь V* = с^^ъ.Рр^. (2.28') Преобразуем величины 11к ж Ук. Имеем
= аа/5(Уа+ _ =
= ¿"4,7/» + = =
V, = + 01с,к) =
= ар) = V,711722 "712721 = дкП{.. (2.29)
Подставив ик и \4 из (2.29) в (2.28) и выполнив интегрирование, будем иметь
1Д2 = I? + + С.
Так,как при отсутствии деформации А1, то С = С^ЕЮ ' -
При построении различных вариантов теории оболочек на основе вариационных принципов необходимо иметь формулы интегрирования по частям, связанные как С исходной, так й с "актуальной конфигурациями срединной поверхности оболочки. Дадим краткий вывод таких формул.
Предположим, что поверхности П с кусочно-гладкимй границами Ш, Ш топологически (взаимно однозначно и непрерывно) отображаются на замкнутую область П(а) плоскости а1,«2 (рис.1). Аналогичное предположение делаем и относительно границ этих поверхностей: 8П
top
ЗП(а),дП дП(а).
а2*
top
öQ(a)
Q(a)
\ J2P
Рис. 1.
а1
На основании формул Грина имеем / uda1 da2 = Ф
Jnia) Ja
uda2
ЭП (а)
I d2uda1da2 = — ф uda1.
Jü{a) JdQ(a)
(2.30)
Свяжем с граничным контуром дП правую тройку ортов п},
где t - орт касательной, п - орт нормали к поверхности Г2, и - орт тангенциальной нормали. Из очевидных соотношений
Aß dr дг daß daß
t=t Tß = 2Tt = Ш¿¡7 = irtrß'
V = uara = t x n = tarn x n = tacaßTß
следует, что
t%
da1 dst
tac
(2.31)
Умножая вторую формулу из (2.31) на c?k и свертывал полученное равенство по индексам inj, получим
f = cfHVß.
(2.32)
На основании (2.31 )i, (2.32) приходим к известным формулам (см., например, [1,4])
da1 = t1 dst = (PlUßdst = —7=^2 dst,
<a
da2 = t2dst = (P2Vßdst = -j=uidst, (2.33)
'a
с помощью которых равенства (2.30) можно записать так:
/ дiuda1da2 = ф г = 1,2. (2.34)
Jщa) Jдn \'а
Выполнив аналогичные преобразования для контура сШ, получим
I дiudaxda2 — <р —г = 1,2. (2.35)
Jsl(a) Jэй У а
В равенстве правых частей формул (2.34) и (2.35) можно убедиться, если учесть, что (dst = \fdst)
Г = — = Д-1— = А~Ч1' dst ' 1 '
1У{ = Гсга = А^ЧМс,» = (2.36)
По ходу вывода видно, что и - необязательно скалярная функция. Заменив в (2.35) и на у/Ни3 и свернув полученное равенство по индексам г, у, будем иметь
[ др{^1и^аЧа2 = / РриЧ^. (2.37)
Jщa) Jдй
Интегрируя тождество
\Fh-uPdQV = д/з(\/&т113) — удр{\/Ь,и<3) по области П(а) плоскости а1, а2, с учетом формулы (2.37), получим
{<й = л/аЛа1
upu^3vdst. (I)
•Ш Л}(а) УэА
Используя формулу Фосса-Вейля для сокращенных символов Кри-стоффеля (см., например, [1, 4])
tßBi = vdtVä (2.38)
1
ßi
a
и правило ковариантного дифференцирования произведения, нетрудно убедиться в справедливости тождества
= Vä{da^=)ua + =
va va
—\=(day/&)ua + 3aua + tLua = (2.39)
' a
По аналогии с (2.39) получается следующее тождество:
= daua. (2.40)
V"
Из сравнения (2.39) и (2.40) следует, что
V а(4=иа) = ЛУа(4=мв). (2-41)
у/а Vя
Принимая во внимание известную формулу, также вытекающую из (2.38),
да{у/1иа) = уДчаиа, (2.42)
равенство (2.37) можно записать в следующем виде:
[<7аиа(1П=<(иаиа(1зи (2.43)
Ja Уэп
Заменив в (2.41) иа/ на и выполнив ковариантное диффе-
ренцирование произведения получим
У„(г°%) = АУ^А-и^ир) = АирЧ а(А-Ча(>) +
о
Интегрируя это тождество по области О и принимая во внимание формулу (2.43), придем к следующей формуле интегрирования по частям:
/ аирс1П = -{ АирЪа(А-Ча13)<т+ I иаир1а0с1зг. {II) Уй J П Jдй
3. Поясним результаты раздела 2 на примере уравнений равновесия т.н. квазикирхгофовской теории оболочек К.Ф.Черныха. Эти уравнения в монографии [5] записаны в следующем виде = 1,2):
д^у/НТ*) + Г^з^Г^ - ЦуДГ* + ч^а = О, д^^Лм13) + т^уДаг0 - л/&т?п = о,
37(л/ОД + Ь7/3\/йТ7^ + = 0. (3.1)
На основании тождества (2.14)1 первые два уравнения (3.1) можно представить так:
У7г» - МТ1 + А<? = 0,
- Т3п = О, (3.2)!
Треть%уравнение из (3.11 с учетом тождества (2.42) приводится к
виду
У7Г7 + Ь1(3Т10 + Мп = 0. (3.2)2
А А О
Покажем, что в уравнениях (3.2) У7Г7:), У7М7-*, У7Т7 - действительно ковариантные производные, а не результаты действия операторов в соответствии с принятой выше договоренностью.
Уравнения (3.1) выведены из условий равновесия элемента срединной поверхности оболочки. При этом использовались следующие "двойные'' тензоры:
'р _ у1«/3га 0 Гр _ тензор усилий,
М = Ма^та 8(пх гр) - тензор моментов,
Т„ = Т"га ® п - тензор перерезывающих сил.
Частные производные от этих тензоров вдоль координатной линии ак имеют вид
дкт = (\/кТа0)га ® т0+ +Та0(Ъкап ® г^ 4- Ъкрга ® п), 0*М = (ЧкМа0)га «(пх Г/3)+ +Ма/3[6^п ® (п х гд) + Ьк^та ® (Г0 х г7)], &ТЯ - (УкТап)та ® п + Г^п ® п - ® г7), (3.3) т.е. (сравни с (2.7;. 2.8))
dkT : F <g> F = VkT\ dkM : (n х rJ) <g> г" = <7kMij, ЭкТп:п®г{ = VkTjn. QED
На основании тождеств (2.16) и (2.41) уравнениям (3.2) можно придать вид (сравни с уравнениями (6.81) [6])
V^Л'1!^) - ЦЛ~1Т1 + q> = О,
V7(4_1T7) + + qn = о,
V^A^M^) - А-1гГ1 = 0. (3.4)
Здесь V7 - операторы дифференцирования, раскрываемые по тем же формулам, что и соответствующие ковариантные производные, в итоге чего получаются уравнения (3.1).
Таким образом, запись уравнений с использованием традиционных символов ковариантного дифференцирования Vk, Vfc вполне уместна независимо от того, соответствуют или нет эти операторы базису тензора.
Литература
1. Михайловский Е.И., Торопов A.B. Математические модели теории упругости. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарск. ун-та, 1995. 251 с. ISBN 5-87237-079-2.
2. Норден А.П. К вопросу о геометрической теории конечных деформаций // Изв. Казан, филиала АН СССР. Сер. физ.-матп. и техн. наук. 2. 1950.
3. Галимов К.З. Основы нелинейной теории пологих оболочек. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. 326 с.
4. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.
5. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 388с.
6. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Ли-
нейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.
Summary
Mikhailovskii E.I., Ermolenko A.V., Mironov V.V. Elements of the applied tensor analysis in the deformed, bodies
The additional possibilities of the applied tensor analysis are discussed in conditions of simultaneous consideration of initial and actual configurations of deformed body. To describe movement the Lagrange method is used. In particular, four forms of the fundamental tensor are entered; several new identities are received. An application of the identities is illustrated with the quasi-Kirchhoffian shell theory.
Сыктывкарский университет
Поступила 12.07.2008
