CC BY
12Вестник Сыктывкарского Сер.l.Bun.4.2001
университет,а.
УДК 539.3
К ВОПРОСУ ОБ ИЗГИБЕ МЯГКОГИБКИХ ОБОЛОЧЕК Е.И.Михайловский, А.В.Ермоленко
Введение
Двадцать лет назад специально для расчета оболочек из резиноподобных (несжимаемых и малосжимаемых) материалов К.Ф.Черныхом была предложена нелинейная теория оболочек [1], в которой сохранялись все допущения Кирхгофа кроме предполагающего неизменность толщины оболочки. Изменение толщины при деформировании оболочки принято называть "поперечным обжатием". Таким образом, главная особенность построенной К.Ф.Черныхом рабочей квазикирхгофовской теории оболочек заключается в учете поперечного обжатия, которое для резиноподобных материалов может оказаться многократным. В этой теории принималось допущение, что материальная точка, положение которой до деформации определяется формулой •
.R(a,í) = *(a) + £¿(a) (а£(а\а3).еМе[-У2Л,У3Л]), (0.1)
после деформации с достаточной степенью точности может быть представлена радиусом-вектором
Ща,0 = г (а) + A((«)(e+y2xf(o)f)n, (0.2)
где г, г, n, п — радиусы-векторы проекции материальной точки на срединную поверхность оболочки и единичные векторы нормалей к срединной поверхности соответственно до и после деформаций.
Параметр А?(а) определяет кратность изменения толщины оболочки:
h = \Ща,%К) -R{a,-%h)\ = АД, (0.3)
а парамётр ^ характеризует неравномерность поперечного сжатия (растяжения).
Срединную поверхность оболочки принято представлять формулой
■г(а) = г(а) + и(а), (0.4)
гдр u(cv) вектор перемещения соответствующей точки срединной поверхности:
u = uara + шп = uara + wh — u<a>e„ -f tun.1 (О-^)
(Через r.;, -г3 обозначаются век/горы основного и взаимного поверхностных базисов.)
Принципиальное различие между неизвестными функциями Af(cr), *e((ot) и U[(cv)., u2(a), w(a) заключается в том, что функции второй группы имеют независимые вариации, через которые могут быть выражены вариации функций первой группы, т.е. = f\(6ui,6u-2,6w), ёх^ = ¡2(ёи\,ёи2,ё(п). Иными словами, в работе [L] функции Af (а), х^(а) рассматриваются как параметры. учет которых не приводит к увеличению числа уравнений. Этим подход К.Ф.Черныха. принципиально отличается от метода построения нелинейных теорий (типа Тимошенко) оболочек, использованного, например, в наиболее часто цитируемых работах [2-4]. В названных работах постули-ро вал ис ь ami ро кси мац и и вида
4(а,О = щ(а) + Ш*), - «•('>) KAt-(")- (0.6)
где независимыми предполагались все шесть вариаций (ёщ, ¿'и2, ёфг, ёфп, ёго, т.е. при отсутствии поперечных сдвигов (6ф\ = ёф-> = 0) появляется еще одно по сравнению с теорией К.Ф.Черныха уравнение в виде приравненного к нулю коэффициента при ¿Af в вариационном уравнении Лагранжа. При этом автор двух последних из цитированных работ. К.З.Галимов, в обзорной статье [5] обратил внимание на несостоятельность использованной им же линейной аппроксимации прогиба по толщине оболочки, так как в случае пренебрежимо малых тангенциальных поворотов (вокруг нормали п) это приводит к неотрицательному изменению толщины (Af > 1). Если же в (0.(3) рассматривать А?(а) как параметр, то указанное противоречие снимается. Однако одного этого параметра недостаточно, например, для удовлетворения главным поверхностным граничным условиям изгибаемой оболочки
Ja33(h/2) = Ja33(-h/2) = q~. (0.7)
Кваликирхгофовская теория оболочек разрабатывалась К.Ф.Черныхом. исходя из потребности рассчитывать резинотехнические изделия оболочеч-ноготина, но. построена как общая для оболочек из сжимаемых и несжимаемых материалов в силу того, что определяющие уравнения выражены через упругий потенциал. Выбирая в качестве последнего, например, потенциал неогуковского несжимаемого материала (NHM), можно построить систему
1 Здесь и ниже суммирование от 1-го до 2-х следует производить по повторяющимся нижнему и верхнему индексам а, (3, и, ц или по двум нижним в случае физических компонент вектора (тензора).
уравнений механики мягкогибких оболочек, допускающих конечные упругие деформации. Для получения уравнений механики жес п . и^чоких оболочек, допускающих большие перемещения при малых деформация?: за. счет конечных углов поворота, рекомендуется использовать упругий потенциал стандартного материала второго порядка (8ТМ-2).
При этом непосредственно представленный в работе [1] вариант нелинейной квазикирхгофовской теории оболочек содержит ряд противоречий. Так, в [1] используется формула
которая при отсутствии поперечных сдвигов приводит к неприемлемому условию Х( — const.
Далее, предположение о неэргетичности параметров А^(а), ^(et), понимаемое в названной работе как их неварьируемость (см. [7], стр.179), приводит даже в линейной теории плоских пластин к потере ряда слагаемых, являющихся существенными при рассмотрении, например, контактных задач со свободной границей. Более того, реализованный в работе подход к выводу уравнений статики оболочки из условий равновесия ее бесконечно малого элемента в значительной мере обесценивает заявленный учет параметров Ае, так как их влияние проявляется в основном через работу внешних сил и может быть эффективно учтено лишь при использовании вариационных методов вывода уравнений.
Некоторые противоречия квазикирхгофовской теории устранены в работе [6], где на основе вариационного уравнения Лагранжа построена нелинейная теория жесткогибких оболочек, учитывающая поперечные сдвиги в линейном приближении, что для оболочек названного вида является вполне допустимым. При этом формула (0.8) переходит в следующую:
откуда вовсе не следует, что А^ = const. Вариации параметров А^, х^ выражаются через вариации "энергетических аргументов" и2, w и учитываются без повышения порядка системы уравнений равновесия.
Для жесткогибких оболочек не возникает сомнений и по поводу как бы обобщающего (0.8) допущения о возможности пренебрегать слагаемыми, содержащими производные функций Af(a), X((ct).
В данной работе строится в первом приближении теория мягкогибких оболочек с использованием потенциала NHM. Сохраняются все допущения, принятые в работе [6] для жесткогибких оболочек, за исключением допущения о возможности пренебрегать тангенциальными деформациями по сравнению с единицей. При этом вряд ли можно считать безоговорочным для оболочки из резиноподобного материала, например, допущение о возможности учитывать поперечные сдвиги по линейной теории. Однако позволим
9i г = %Ьд\\1дс?кЧ2&\\,
(0.8)
9i3 = V>» + ~ ф,
(0.9)
себе напомнить, что в работе [1] эти сдвиги не учитываются вовсе. Видимо, лишь в первом приближении можно согласиться и с допущениями о линейности изменения по толщине оболочки деформаций и напряжений.
В работе, в частности, показано, что при средних растяжениях (квадратами тангенциальных деформаций можно пренебрегать по сравнению с единицей) изгиб мягкогибкой оболочки описывается теми же уравнениями, что и изгиб жесткогибкой.
Используемые обозначения в основном совпадают с принятыми в монографиях [7,8].
§1. Сводка основных уравнений статики жесткогибких оболочек
Приведем с некоторыми уточнениями основные уравнения статики жесткогибкой оболочки, полученные в работе [б].
Предположим, что радиус-вектор материальной точки (0.1) переходит после деформации в следующий (сравни с (0.2)):
Л(а,0 - г (а) + + У2х^2)п + (1-0
При выводе приведенных ниже соотношений использованы допущения:
1) оболочка является тонкой, т.е.
« 1: (1.2)
и) компоненты тензора деформаций изменяются линейно по толщине оболочки;
ш) производными функций А^(а), можно пренебрегать;
п') поперечные сдвиги ?/'!, ¡/>2 учитываются по линейной теории.
На. основании принятых допущений имеют место следующие формулы для компонент тензора деформации Грина-Лагранжа:
7?,- = 7и + {*а + Ка =
= + (1-3)
где
Щ = %{ац - ¿у)» *ц = + Ьц* 1Щ = + (1.3')
«,,. — компоненты метрического тензора и тензора кривизны срединной поверхности.
Для описания изгиба жесткогибкой оболочки обычно используют упругий потенциал 8ТМ-2. Закон упругости для этого материала имеет вид [7]
{Г"1 • ЗЕ-¥~и} = 2/.1Г + А/г1
({Г-1 •3 Е ■ Е-1*} — тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа; Г — тензор-градиент движения; Е — тензор истинных напряжений Коши; J — якобиан преобразования от лагранжевых координат к эйлеровым; Г — тензор деформации Грина-Лагранжа; /г — первый главный инвариант тензора Г; 1 — единичный тензор; А, /< — упругие константы Ламе) или (в терминах компонент соответствующих тензоров с учетом формул д" « а12 = 0, д" = 0, дт = 1)
./а'1 = (А а'-'а^ + + А
•г*" = + (А + 2,ф|з, За* = 2/ш»Ч*з- (1-4)
На основании (1.3) и (1.4) из условий (0.7) получаем следующие формулы для параметров поперечного обжатия:
> 2 , 2 А 2т п А, = 1 - -—:—а +-г,
* А + 2/./, (А+ 2 /0/г
А^-----^''//,.?)+„ Чп (1.5)
А + 2ц (А + 2/0 /г
где
= 9п ~ 9п > ™п = 11г{ч£ + Чп)Ь. (1.5')
Если усилия и моменты ввести с помощью формул
л
( ' '
-к/2
"/;/2( . А
\/2
гА/2
У-А/2 А + 2//
J-h/ 2 А + 2//.
К - А,: /
Зсг (1.6)
-Л/2
то на основании соотношений (1.4) —(1.6) определяющие уравнения упругости принимают вид
= СА'^ъв7 мЦ =
= А^А^Цар, М" = МЦ + М!>,
-///>«'ч-а. (1.7)
где
АИ,ар = (1 _ „)а1о^>3 + усс'аЛг:.
С = ^Р= Ек* (1.7')
1-У2' 12(1 — у2) К !
{Е, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки).
Полагая для упрощения записи, что нагру зка на боковой поверхности оболочки отсутствует, вариационное уравнение Лагрнпжа можно записать так:
8и = А(6В.), (1.8)
где
г» л/2
/ [ 8Ф <%<1й, Л (¿И) = / (я+ • - я~ • 8К-)(1П, Jй З-к!2 Л*
81
'-К/2
8Ф = + 23ааЧ^а 3 + (1.8')
Заметим, что уравнение (1.8), вообще говоря, не представляет собой выражение какого-либо вариационного принципа, так как Л(<511) не является вариацией функционала (что и отражено в обозначении). Это связано, прежде всего, с зависимостью поверхностной нагрузки от перемещений оболочки. Если нагрузка такова, что А(6К) является вариацией некоторого функционала, то она (нагрузка) называется консервативной, а соответствующий функционал — потенциалом поверхностной нагрузки. Консервативной является, в частности, т.н. мертвая нагрузка, например, весовая. Можно показать [9], что при некоторых условиях консервативной нагрузкой является и равномерно распределенное давление.
Вводя обозначения (см. (1.5'))
я = я+ - я" = дага + <?пп, т = 1/2(я+ + = тпага + тп п,
получаем
я+ • 611+ - я~ • = ч ■ 6г + %h2qn8{X^) + тп6Х^ + т06фр+
+ • ¿п + ф'3т ■ 8г,3 + А^т • ¿п.
(1.9)
Здесь
— ————а°"'3г0 ■ бгр, 1 — у
V о
~ '6re) ~ (1-9')
Если пренебречь в (1.9) подчеркнутыми слагаемыми, то выражение для работы внешних сил на отвечающих им смещениях в области fl\dfl можно записать так:
А(Ж) = / {q • ór + [hlVa{áa0gn) + тр]6ф0}у/ЕйаЧа2, (1.10) Jü
где
h2 у 1
q = q + + ---F9a(Vamnaoí,r(i),
v a 1 - 1/ y/a
Irl = vh2/S( 1 - y), a — «11 «22 - «12«12r « = ¿11 «22- (1.10')
(Здесь и ниже знаком "тильда" помечаем выражения, главными слагаемыми которых являются величины под тильдой в системе обозначений, принятой в монографии [10].)
Окончательно получаем следующую систему уравнений статики жесткогибкой оболочки:
Va{ATat) - blgVa(AMaii) + q¡ = 0,
VaVl3(AMa0) + ЛТ0Хр + Чп = о,
Va{AMat) - АТП = 0. (1.11)
Здесь ^
Mij = Mij+ hlA~1aijqn,
T¡J = Т'-: + -^—aij(Mal3bae + А"'„/,)• I — у
Т3 = Sij - Va Mat, А = \íh/\/a. (1:11')
Если убрать знаки "тильда" над усилиями и моментами в (1.11), то эти уравнения будут идентичны уравнениям равновесия квазикирхго-фовской теории К.Ф.Черныха (L1.57) [7], однако следует помнить, что в (1.11') (см. (1.7))
.и" = + rn = (ihátQéa.
Статические величины Тг\ М1] отличаются от Т1К М'-> наличием в последних дополнительных слагаемых, связанных с варьированием параметров А^, .
Граничное вариационное уравнение, соответствующее (1.8), можно представить в следующем виде:
\QvJUv + +
+Л(1 + ^)М\пМгК + Фи) + Л{ \ + £)М^6(0ь + ИЧ)~
= 0. (1-12)
'Здесь
Я^ = Т^ + -4(1 + е)т1Ми + (181
С),, = Т„г-А( 1 + £)ЬгМи1 + +
+ _ (р^М^, - ргМ^,, + д%Т„п,
ast
Чип = Л{1 + е)-/™ +-г—-->},Лии - +
■ _сщ_
+ {а1/М1уу - т^^УК - (туМ^ -
тыи ~ Та07/й.//д, Т,л = Тф?;сх1,13 = ТИ.
М„„ = М,л = Ма/3/лД = Ми1,
Т„п = ТапЬа (= р1гф<а> иа = ///¿г.',,): ч/а11 = ¿2 л/а22 = \/¿п = ¿2д/¿22 = сон * ,
;>2\/й22 = — ¿1 = л/^22 = •• / '' \/"п = ^ "Ь
7 — угол между векторами Г1 и (1.13)
Таким образом, статические граничные величины выражаются через усилия и моменты (1.11') без каких-либо дополнительных допущений. Подчеркнутые в (1.13) граничные величины отличаются от полученных в работе [7] (см. форм. (11.62)) (кроме того, что в них имеются
-¿д
слагаемые, связанные с варьированием параметров А^, х^) тем. что от-иесеиы к исходной конфигурации края оболочки. Особенность геометрических граничных величин заключается в том, что (при отсутствии поперечных сдвигов) для точного удовлетворения граничному уравнению . [агранжа следует учитывать шесть независимых вариаций
»„„. «„,. «„, А. А. А.
()s„ и я у
IV аналогичному результату пришел бы и К.Ф.Черных, если бы пред-< давил скалярное произведение ь» ■ Лп (см. [7]. форм. (11.13)) в виде линейной комбинации независимых вариаций (подробнее см. в работе [6]).
§2. О применимости теории жесткогибких оболочек к расчету мягкогибких оболочек
Вы вел,ем основные уравнения статики мягкогибкой оболочки, т.е. изготовленной из мягкого несжимаемого материала и допускающей коночные ynpyi ne деформации.
Ниже используются те же предположения, что и в §1, за исключением предположения ii). которое будем принимать в следующей формулировке:
ii') компоненты тензоров деформации и напряжений изменяются линейно по толщине оболочки.
(Предположение о линейности напряжений по толщине для оболочки из стандартного материала 2-го порядка излишне, так как связь между деформациями и напряжениями для этого материала линейна.)
При еде.тайных допущениях кинематические уравнения (1.3). (1.3') сохраняю!' своп вид.
Определитель матрицы метрического тензора в актуальной конфигурации можно представить в виде
«11+27} л 2-)^ ri
2721 "-'2 У'2
= «А*(1 + 2**0(1 + +
'Здесь учтено, что [7]
c'V = àijàkl - â,kàji. à'' = a12 = a21 = 0,
опала следует формула
I1 I2
721 722
о'" ' iad'vif
(2.2)
Принимая во внимание, что для несжимаемого материала выполняется условие (см. (1.2))
J =
на основании (2.1) имеем
dV_ (IV
1
(2.3)
где
А* = [1 4- (<, '" + d^h.,,]"1-
= hafi + 2
(2.4)
(2-4')
Из (2.4) можно получить следующие приближенные формулы для вариаций параметров поперечного обжатия (сравни с (1.9')):
¿А* « -йа0га ■ 6т3, « -аа13(6х(Ч1 + (2.5)
Преобразуем формулу (2.5)2. С учетом (2.5)] из (1.3') находим
¿Хар = + (ГЧ-у/ЗГ„ • 6г„. (2.6)
Далее, используя формулы ковариантного дифференцирования, полу-
чаем
(2.7)
Vjv0 = б(даг0) - г;;/г„ = ¿(г>,,)+ +б{ьа0п) - ral36rv = б(ьаРп) + г^г;;,.
На основании (2.7) справедливо равенство
Va(n • 6Тр) = 6гц Van + П • Va6Tfj =
= ■ ir/j + Объединив равенства (2.6) и (2.8). придем к формуле
6ха/} = -At-Va(n • ¿г,,) - А^г,, • £17, + ¿»„„«/""г,, • Srlt. (2.9)
(2.8)
Учитывая, что сдвиги определяются по линейной теории, можно принять
= + У^*)- (2.10)
Окончательно на основании соотношений (2.0)1 — (2.10) будем использовать следующую приближенную формулу:
¿(А^-) « «а/3[А^Уа(п • 6г0) - (2-11)
(Очевидно, что формула (2.11) совпадает с формулой (1.9')2, если в последней положить и = 1/2.)
Из (2.1) получаем следующие формулы для характерных производных:
д9 \2п . ОЛ22Л,«
дд
и
а22А2(1 + 2а^2)(1+2^е),
Зд о\2 « М ,о с\ д3 I
— = -2А,7п(1 + 2х{а =
39 =а( 1 + 2ав% + (2.12)
ддзз
На основании формулы (см., например, [7])
1 дд
ддд,
(2.13)
и
находим
где
= ¿41 + 2^)033, 522 = (1^2)<Л </12 - -2«]1Й227^ЗЗ, </й = <733 = 9м, (2.14)
д™ = 1 + 2ав% + 2^*7^4. (2.14')
Закон упругости для неогуковского материала имеет вид [8]
{Г-1 • ./27 - Р-1*} = ц1-рЛ~2
или
^ = рд1-' - рд"- (2.15)
где р — всестороннее давление, с точностью до которого определяется тензор напряжений в случае несжимаемого материала.
(Впредь для удобства сравнения некоторых уравнений за константами /г, С\ О. /г2 сохраняем те же обозначения, что и для сжимаемого материала, т.е.
И = %Е, С = %ЕН, В = %Е1г\ к\ =
f
Учитывая статические граничные условия на лицевых поверхностях (0.7) и линейность изменения напряжений по толщине оболочки, можно записать (см. (1.5'))
<тзэ = }г*(тп+Ш- (2.16)
На основании соотношений (2.14) —(2.16) имеем
р=[ц + h~i (тп + £<ь)].9зз ~ Мзз- (2.17)
Пренебрежение подчеркнутым в (2.17) слагаемым эквивалентно принятию статической гипотезы Кирхгофа в "жесткой" форме
гг33 = 0. (2.18)
Допущение (2.18) ниже предполагаем выполненным при рассмотрении внутренней энергии деформации. Что же касается работы внешних сил, то для ее вычисления будем использовать формулу (2.16).
Окончательно приходим к следующим уравнениям упругости для оболочки из несжимаемого материала:
а11 = pän[l - (1 + 2a2242)9lsl = (1 - 2)<ти.
a12 = 2/mna227^:L ^ = (2.19)
Усилия и моменты вводим по формулам (1.6) с учетом (2.18). В силу допущения ii') принимаем
= <гЦ + (2.20)
После выполнения элементарных, но достаточно громоздких выкладок с использованием формул (1.6), (2.18) —(2.20), получаем
I I _L 9Л22«'
5'11 = -Cán(l - + 122 ) S22 = (1 2),S'U 4 (<7033)2 '
sn = (2.21),
2(<7о33)
XfDä
¿и
2(So)
-ä22g303(x22 + //22)], М22 = (1 ^ 2)МИ, \ Г)п11п22
м12 = 2(g33)3 к33(^12 + Цг) - 4ix*rß{*aß + (laß)]-, (2.21),
г; = л фц&^ф0у
(2.21)з
где
д? = 1 + {а<"1 + <Г0Н
(2.21')
Пренебрегая в формулах (2.21)], (2.21 )2 квадратами тангенциальных деформаций по сравнению с единицей, придем к уравнениям упругости (1.7), (1.7') при условии и = 1/2.
Учитывая, что (при у = 1/2) формула для вариации 8(А^л^) сохраняет вид (1.9'Ь, а формула для 6А^ отличается от (1.9')х лишь заменой множителя у на (1а13, уравнения (1.11) и формулы для граничных величин (1.13) не изменяются. Однако при этом формулу (1.11'строго говоря, следует принимать в виде
хотя учитывая, что нагрузку тп обычно вообще не принимают во внимание. внесенные в эту формулу изменения вряд ли могут оказаться существенными, за исключением разве что контактных задач.
Таким образом, изгиб мягкогибкой оболочки (1ЧНМ) при средних растяжениях (квадраты тангенциальных деформаций малы по сравнению с единицей) описываются теми же уравнениями, что и изгиб жесткогибкой оболочки (8ТМ-2).
Литература
1. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропных упругих тонких оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. Ш2. С.Ц8-159.
2. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошеко для упругих оболочек // Изв. АН Эст..ССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. Т.Ц. т. С.337-344.
3. Галимов К.З. Нелинейная теория оболочек типа Тимошенко // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. Bun.ll. С.92-126.
4. Галимов К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. Щ. С.156-166.
5. Галимов К.З. О некоторых направлениях развития механики деформированного тела, в Казани // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1976. Вып. 12. С.3-26.
Ти = Г3 + а'3 Ма13Ьа0 + А~1(Г3т
(2.22)
6. Михайловский Е.И. Игнорирование пшотс) Кирхгофа в нелинейной теории жесткогибких оболочек, // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Сб. трудов научной школы акад< В.В.Новожилова. СПб. 2000. Вып. 2. С. 131-160. (ISBN 5-7997-0205-0)
7. Черньхх КФк Нелинейная теория.„.у пру гости в машиностроительных расчетах. ,11.;Машиностроение, 1986; 336 с.
8. Михайловский Е.И. Торопов А.В. Математические модели теории упругости. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1995. '251 с.
9. Зубов Л,М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1982. 144 с.
10. Новожилов В В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.
Summary
Mikhailovskii E.I., Efmolenko А.У. On the question of soft-flexible shells bending
A nonlinear theory of hard-flexible shells (i.e. shells made of hard com-' pressible material) is given not using the Kirchhoff hypotheses. Some of the transversal deformations can be described by parameters expressible in terms of energy variables. This allows to obtain a compact system of equations, no more complicated that the one based on KirchhofThypotheses. It is shown that the same system of equations adequately describes the bending of soft-flexible shells (i.e. made of soft incompressible material) with medium stretchings (when it is possible to disregard the squares of tangential deformations as compared with 1). Using variational Lagrange equation, the full set of geometric boundary values is given. This set, consisting of boundary displacements and their derivations along tangential normal to boundary contour.
Сыктывкарский университет
Поступила 30.09.2000
