Нелинейные уравнения для цилиндрической оболочки с эллиптической овальностью поперечного сечения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.1.1995

УДК 539.3

Нелинейные уравнения для цилиндрической оболочки с

эллиптической овальностью поперечного сечения

В. Л. Никитенков

В данной работе на основе полученных нелинейных уравнений решены две задачи для эллиптического кольца при произвольных внешних механических воздействиях.

В данной работе (следуя [1,2]) излагается вывод нелинейных (с удержанием квадратичных слагаемых) уравнений равновесия для цилиндрической оболочки с эллиптической овальностью поперечного сечения, на основе которых решены следующие задачи: -определение нагрузки, обеспечивающей переход от эллиптической формы поперечного сечения к круговой; - расчет деформированной конфигурации поперечного сечения под действием произвольной нагрузки (в частности, избыточного внутреннего давления). Полученные результаты могут быть использованы для уточненного прочностного анализа горизонтальных автоклавов - большегрузных горизонтальных сосудов давления, которые часто в силу ряда причин (технологические возможности оборудования, условия транспортировки и монтажа и др.) имеют некоторую овальность поперечного сечения (отклонение от круговой формы), достаточно хорошо аппроксимируемую эллипсом с полуосями а и Ь . Расчеты овальных автоклавов от действия избыточного внутреннего давления [3] дают завышенные значения параметров напряженно деформированного состояния (НДС), что привело к установлению жестких государственных норм по рабочему давлению для овальных автокла] Напротив опыт эксплуатации подтверждает длительные сроки . зопасной наработки автоклавов со сверхнормативной (3%) овальв стью и убеждает в необходимости пересмотра существующих нор

(с) В.Л.Никитенков, 1995.

178

1. Вывод уравнений равновесия

Рассмотрим цилиндрическую оболочку, поперечное сечение которой есть эллипс с полуосями а и Ь (рис. 1). Материал, из которого изготовлена оболочка, согласуется с теоретическим материалом ЭТМ-2. Отнесем срединную поверхность недеформиро-ванной оболочки к ортогональным координатам {«5,0-2}

Рис. 1

г

с*1 = -

а

—

Уравнение недеформированной срединной поверхности имеет вид г = а вшаг 1 + Ь соэаг j + а к (1.1)

На основании (1.1) запишем выражения для следующих геометрических параметров недеформированной срединной поверхности: - вектора основного и взаимного базисов;

Г1

а к , г2

<9г

а соэ »21

а уТ^

ег вта^л

дг

да] ' ' да.1

~ 1 = - к , г 2 = -^(соэ а2 1 - \/1 — э1п »23 ); 1

а

а(-)

о

П =

Уо

£2 БШ »2 1 + СОБ 012])]

(1.2)

(•) = 1 - е1 втаг, £2 = 1 - а2/Ь2)

- компоненты метрического тензора срединной поверхности и параметры Ламе;

«и = а2; 012 = 0; а22 = а2 (•); А\ = - а, А2 = у/^22 = а л/Т); (1-3)

- производные координатных векторов и физические компоненты

О о о . Го о

тензора кривизны ( Ь(ц) = у аиал );

Гц =Г12 =0, г22

-а вт сш2 1 — я 179

у/Т-

£1 СОБ а2 J ;

V у

Дг а>/0'. (')

поверхностные символы Кристофеля второго рода;

все Г^ = 0 кроме Г^ = —

е вт а2 сое а2

(1.5)

1.1.Деформация срединной поверхности

Предположим, что уравнение (1.1) в результате деформаций принимает вид

о о

г = г + и = иа еа + ъи п В соответствии с правилами дифференцирования

двх = а да\ , дз2 = а л/Тда2

после определения величин 1 дщ

а дсх\

е<12) = -

1 дщ

е(22)

а у/О

а да2 ' 6^ {дщ ^ \ , 1

1 дщ

а у/Г) да2 1 дю

да\ '

/ дги

+ ди2

(1-63

а у/Т) \да2

приходим к следующим формулам для компонент метрического тензора деформированной поверхности и физических компонент тензора деформации Грина-Лагранжа, приведенных к недеформп-рованной поверхности (ниже отбрасываются произведения, содержащие (д9щ/да^) ■ (дри>/дакр) , т.к. в последующие выражения для усилий и моментов, а также в уравнения равновесия не входят (с учетом принятого допущения о сохранении только квадратичных слагаемых)):

ац = а'

___(дт V

ада 1 а2 \daij

, 2дщ 1 + -

а 12 = «21

/ ди2 1 дщ \ дги дм \ctai у/Т) да2/ да\ да2 '

а22 = а (•)<! +

2 /ди2 \ 1

2 2 5 ^

' <9и> V да2 /

£<п>

1:

Г(22) = 2 (^22 ®22)

1 /<Эи2

дщ 1 / ди> дас\ 2а \<Эа;1

1

2а уТ)

22 ( ди)V

1

^<12> = е<21> == 2°12

В соответствии с [2] запишем выражения для физических компонент вектора нормали к деформированной поверхности

(

д

1 дги

0>

. 1 дщ 1

е =--- -|--

а да\ а у/П \да2

Р дги -

-.ю-—, г?(2) = —

1 /

<9ги

+ ри2) (1.8)

а да.\ а2 <Эа1 ' а 1/0 \ да2

Используя формулы (1.4) - (1.8), а также принятое определение

^г] — Ъц Ь

'1у

(1.9)

(здесь полагаем Л^ = 1 ) на основании [2] нетрудно окончательно получить формулы для компонент тензора кривизны деформированной поверхности и параметров изменения кривизны

Ъ

1 <92

ю

(п)

(22)

а2 да2

, ¿<12) =

а 2

/ д2ю ди2\ <? дю ди) \<9а1да2 а ^Д] да\ да2_

а2(-)

'а2

ю

да22,

2*7

дщ

д2ю - д уЩа ) -

да2

11) = -Ь(11)>. «{12) = -Ь

Л-(Не. V

а у/Т) \да2)

(12)'

«(22)

й2/о

<92ги . дщ 2 2д {дю V

9а2

(1.10)

1.2. Усилия и моменты. Уравнения равновесия

Подставляя выражения (1.3), (1.7), (1.10) для а^, а^, егу, к^ и получаемые на их основе формулы для смешанных компонент тензора кривизны V в определяющие соотношения упругости для БТМ-2 (при выводе которых вместо граничных условий на лицевых поверхностях используется модифицированная статическая гипотеза Кирхгофа), приходим к следующим формулам для усилий и моментов в оболочке (в квадратные скобки заключены нелинейные слагаемые и отброшены слагаемые порядка к/а по сравнению с единицей):

Т

и

т

22

т

12

121

М

11

В Г дщ V (ди2

а3 (дс*! _

~ 2а

ди) \ 2 V ( ( ди) \ 2 ОО

в Г 1 /дщ

а3 (

дщ

-ко

■) I л/Г) \да2 +9П]) +идах

+

1_

2а

у/Г)\(-)\да1 да\ 1 I , о /<9цЛ2

2 2 9 ™

— и

ди)

(1-1/)

(•) \OOC2j I

В \\(дщ1 дщ\

<92и>

л/о 12 \даг у/Г) да2у 0 (•) дсцдаг

+

2а уД)

2 2 5 ад

' <9«; V

+ /11

2#2

1 (•) да1да2

(1-й)-

В

_[1 (дщ | 1 ЗиЛ

ч/Т) [2 \дах у/Г)да2)

+

+

1

{

2а ,/Г)

Б Г д2и)

~гА

2 2 9 "ш -

' дги да2

у / д2ги дщ

д2т

2ди / ди)\ I (-)3/2 \<9а2)

м

22

Р

'а4 С)

М12 Здесь

В

д2и> 1 / д2хи да'\ (•) \да1 2д {дпЛГ а(-)3/2 \да2)

В Г д2и>

о ди1 2

2д—~ - д ю оа 2

а4(-)

ЕЬ?

д ди> дгю

а /о 9а 1 да2 /г0

(1.11)

(1.11')

(1 -1/2)" ~ 12(1-г/2)' 12а2

Вычисляя поверхностные символы Кристофеля второго рода для деформированной поверхности [2], имеем

Г

и

22

1 г2 а да2 '

11

1 д2щ .

1 22

1 / ^ дт\

а V ^2 у^) да1 ) '

+ Г 22»

1 (д2щ дги'

22,112

1 ( д2щ

г1

1 д2щ

21

а да\да2

дги

12

21 а/й ^<9а1<Эа2 + 9дах

(1.12)

Подставляя найденные величины в уравнения равновесия [1], в усилиях и моментах, приходим к системе трех нелинейных (в соответствии с принятой квадратичной аппроксимацией) разрешающих уравнений равновесия оболочки относительно трех перемещений щ, и2, гю , в матричной форме записи

Ьи + -С(ги)

В

(1.13)

где

Ь — \\LijW, г,] = 1:3 - матрица из операторов дифференцирования соответствующих линейной теории оболочек; С (го) = [Сп(1у), С?2(гу), Сп(т)] - вектор нелинейных добавок; Ч = [я1* Я2 < Я"] - вектор действующих нагрузок; и =■ [щ, щ, ги] - вектор смещений. Здесь

Ь

и

(1-и)д2{) д2() (1 _ */) о 2 дщ

даЪ

+ (

да2

22

да2

L\2 Ln L<22

L22 =

^32 =

Ln

L21 =

2 дalдa2, -Xsi =

ÍIZZ) /7TÍÜ +, 2 Vi)da¡ + у/Г)да$ i22vT)öa2 +

<7 â()

\Д-)даг

° 9

hp vT)

25:

<93{) 1П9дЦ)

6—0

<9a¡2

25"

<?2() "'ft?

+ 2

<9oiiöaf2

sAñrn

С) да\)У

+ 2

(•) da¡

+ T

22

18

да\да2 (•) da\

-g2()-ho

д\ ) л дН )

+

1дН)

da\ . да\да2 (•) да\ +

-2 g2v

да\да2 т (•) da\ )

дЧ1_

da2 (1.13')

G2(w) G2{w)

G2(w)

G2{w) + h0G2(wj,

,„ . dw g2 dw (1 — v)gvj---1--w

■(1-й)

1 dw d2w

da\ ' (•) ~ da2 (•) да2 da\

dw d2w dw d2w

---1-1,---у

da2da\da2 da\da\da2

g1

2—w

dzw g2 dw d2w g2 dzw

о Щд^ + Ti ( + Т?"Щ+

+

d2w d%W 1 d2wd*w 1

d2w d3w

da\da2da\ {-)2 da2 daf (•) da\da2 da\da\

1 d2w dzw о 2 (ff

T)d^dá¡d^¡ + r22 U)

d2w

d2w

- -—VW — 2

(•) daf

_2_ /д2п\2 _ (1-1/) / д2ш \2\ С-)2 Уда2) (•) / 5

С„(го) = (5„(ги) + Л0С!п(ги),

- , , _ д2ги а д2т ди (дт \2

9 (дш\__£

3

«Л

2уДГ)\да2/ 2 а / \ 'г— 2о <34ги о д^гю

дю дъги . . З2«; с?2и;

х + (2 -4!"+ /Гас1 н) +

2

+

1 <? <93ги ^ /<92кЛ'

2д 1 /<92иЛ2 д ^ д3ц; 3/ 1 дю_ _

"То 7).

^^ ^ <9ги д2и) Ьд 1 Зд3 1 дт ^

Д~)да1дахда2 у/Т) (•)■ даг2 у/Т) (■) да2 38д 1 Зги д2т

0 9

-т1

у/Т) (-)да2 да22_

(1.13")

При переходе к круговой цилиндрической оболочке,параметры

£2, Г 22 обращаются в ноль, а д и (•) становятся равными единице. При линеаризации в левой части (1.13) отбрасывается второе слагаемое. Линейная часть операторов Ь^ для круговой цилиндрической оболочки приведена в таблице, где слагаемые, отмеченные сдвоенной линией, отличаются коэффициентами от соответствующих членов в известных уравнениях линейной теории (см.[4], стр.41), а подчеркнутые штриховой линией в них отсутствуют.

Таблица

1 2 3

1 МП) + 2 да\ ^ да\ (1+") 6*0 . 2 да!даг „ш

2 ' .(!+")_ И) 2 да\да2 Ш ~ Л°х * [2да1да2 +

3 "доц +2т _ 2т] .-()-Ло [Д2()~ 2ит 2т] г" да\ 2 д*\ ]

Причина здесь заключается в том, что в линейной теории упрощающие предположения делаются в процессе вывода разрешающих уравнений. Так в [4] (стр. 30) параметр к2 ( к2 = ак{22) в (1-Ю)) берется в виде

н 1 ( д2ы ди2\ „ 1Лч

(отбрасывается слагаемое, связанное с удлинением срединной поверхности). Если в линейном варианте последней формулы (1.10) отбросить слагаемое —д2и) (т.е. положить к2 = к2 ) и подсчитать заново усилия и моменты, то придем к разрешающей системе, полностью совпадающей с приведенной в [4]. Вообще, что касается уравнений линейной теории оболочек, то следует отметить, что существуют два пути их вывода. В первом различные допущения н упрощающие предположения делаются в процессе получения соотношений для геометрических и силовых параметров путем их дополнительного анализа. Второй путь состоит в том, что после вывода разрешающих уравнений в рамках нелинейной теории, производится их непосредственная линеаризация.

2.Две задачи для эллиптического кольца под действием произвольной нагрузки

Запишем разрешающую систему (1.13) для эллиптического ко.

( дки2/да\ = 0 , дкт/да\ — 0 , дк/да* = 0 ) под действием произвольной нагрузки, взяв для этого второе и третье уравнения системы и исключив из последнего ди\/да\ с помощью соотношения Гц — 0 . Тогда имеем

1 л* + а» _ к 2, ^ + 1с2(а2) = _рг(а/ <•>

В

<9аг ' (•) да\ (•)

Здесь Р2 . Д

+ — д2( 1 —

2д2

дао

да\

+-Сп(а2) = (2.1)

а хэ

„ - тангенциальная и нормальная составляющие нагрузки на кольцо; С2(а2) , (?п(а2) - нелинейные добавки;

/¿о «Э3«; / 9 д2ю

+ -Л— ( +

(•)2 а«3

' дгр\' да2)

д2ъи*+

дАгю ^ ^ а2^ \2 Згу 93ш <9а2 \ <9а| ) да2 да2

(2.1')

Добавляя к (2.1) условия периодичности по а% на перемещения и2 , га и их производные, получим краевую задачу в перемещениях для эллиптического кольца.

Сначала рассмотрим вопрос об отыскании нагрузки, при которой деформированной конфигурацией является круговое сечение, контур которого удлиняется на величину, соответствующую нормальному перемещению

ги0 = РтЦЕК (2.2)

У Г <1ч* ^^ и (1«

([ ^ ¿77 Ж <Хг \ \ г — 1 »1

V у-ти-да. — ь 0 ] ) X.

Рис. г

где го - радиус кругового кольца с длиной окружности, равной длине контура исходного эллипса.

О В случае кругового кольца искомой нагрузкой будет избыточное внутреннее давление

О

В соответствии с рис.2 запишем условие нерастяжимости контура

(без учета раздувания)

г о ¿а = йв — а у/Г)^а2

(2.3)

Откуда находим

-аЕ(е), а2

го

7г

ГО

Е(е, а2), да2/да2 = — у/Г)

г о

(2.4)

( Е(е),Е(£, а2) - полный и неполный эллиптические интегралы второго рода). Так как известна деформированная конфигурация,

легко можно выписать компоненты вектора перемещений

и2{0>.

Г

_

^т(а2) соБ(а2) - \/1 - ^ со5(а2) вт^))

а 2

у/Г)

е эт^) соБ(а2)

ю(а2)

у/Г)

е2 зт(а2) зт(а2) + сов^г) соз^г))

у/Т)

(2.5)

Здесь г = г0 + гюо .

Используя формулы (2.4) для дифференцирования выражений (2.5) и подставляя найденные производные во второе уравнение (2.1), получаем искомую нагрузку Р(а2) = (Р2(а2), Р„(а2)) . Эпюра нормальной и касательной нагрузок, обеспечивающих переход эллиптического кольца в круговое, приведена на рис.3,4,5. В расчетном примере взято кольцо со следующими параметрами: а € [100.5,110] (см.), Ь £ [90,99.5] (см.), к = 1.4см., Р0 = 1.2 МПа.

о

На рис. 3,4 показано изменение нагрузок , с увеличением эксцентриситета исходного эллипса. Интересно отметить, что при Ра = 0 искомые нагрузки достаточно хорошо аппроксимируются функциями Р2 = С2 8т(2а?2) > Рп = С„ сов(2а2) . Из рис. 5 (левая половина) хорошо видно, что уже при небольших эксцентриситетах нагрузка в

нелинейном случае значительно отличается от линейной Не только по величине, но и качественно. Имея первоначально характер растяжения, нормальная нагрузка при увеличении эксцентриситета переходит в сжатие для точек дуг эллипса в средней части между полуосями (см. рис. 3 и 5 (правая половина)).

Рассмотрим теперь задачу отыскания перемещений, удовлетворяющих системе (2.1) с условиями периодичности.Используя метод Фурье (перемещение и2 ищется в виде тригонометрического ряда по функциям вт(ка2) , а прогиб гю по функциям со8(ка2)) , приходим к следующей нелинейной системе алгебраических уравнений:

Ай + С(й) = д (2.6)

где А - квадратная матрица порядка 2&о + 1 ( ко - число гармоник, удерживаемых при разложении перемещений в тригонометри-

ческие ряды Фурье);

ü = [м21, • • •, и2к0, w0,wh..., wkü] ;

G

1

а

ic.

а

-Gn

1 / fco V" / 0 \а /1

q= [Р21,...,Р2к°,Рп0,Рп1,...,Рпк°]

-Gn

к о

( G , q - вектора коэффициентов Фурье нелинейных- добавок и правой части в (2.1)). Попытки применения итерационных схем для решения системы (2.6) успехом не увенчались, по причине неустойчивости решения. Так, подстановка в (2.6) нагрузки найденной из решения предыдущей задачи и "почти" соответствующих им перемещений (измененных на незначительные приращения) приводила к расходимости итерационного процесса. Это обстоятельство побудило обратиться для решения системы (2.6) к постановке задачи оптимизации

/(х) = -||х - х0+х|| —► min, (2.7)

где

Ьхо = Ьх = С(х)

К последней применялся метод наискорейшего спуска в комбина-ции с методом сопряженных градиентов. Эпюры г (а2) для эллипса под действием избыточного внутреннего давления приведены на рис. 6 и 7, из которых видно отклонение формы кольца от круговой при различных значениях давления.

1И

—< Р=1.2

--- Р=2.4

— Р=3.6

Мпа

Р=3.6 Мп»

аг

п/4

Рис.6

Рис. 7

Причем, г(а2) на рис.7 (правая половина) можно рассматривать в качестве радиус-вектора деформированной конфигурации чисто условно, так как напряжения для кругового кольца при заданном давлении превышают предел текучести материала кольца.

Отметим также, что система (2.6) имеет не единственное решение. В частности, использование линейного приближения Хо в качестве начального для задачи (2.7) приводит к решению, которое качественно отличается от истинного (последнее проверено, используя решение предыдущей задачи о переходе эллиптического сечения в круговое).

Литература

1. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986.336с.

2. Никитенков В.Л. Деформационный вариант нелинейных . уравнений статики ребристых оболочек// Автоклавы. Расчет, проектирование, опыт эксплуатации:Тр. Всесоюзного семинара "Автоматизация инженерных расчетов при проектировании автоклавов" /Под ред. проф. Е.И.Михайловского. Сыктывкар, 1992.С.168-197.

3. Доценко В.Д. Исследование влияния овальности на напряженно-деформированное состояние автоклавов: Автореф. дис... канд. техн. наук. Гатчина, 1986. 14 с.

4. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991.656с.

Summary

Nikitenkov V.L. Nonlinear equations for cylindrical shell with elliptic ovality of the cross section.

In this paper nonlinear equations are obtained for cylindrical shell with elliptic ovality of the cross section. On their basis two problems for elliptic ring under action arbitrary mechanical loads are solved.

Сыктывкарский университет Поступила 11.02.94