Редукция трехмерной динамической теории оболочек к двумерной Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рис. 2. Зависимость напряжений от нагрузки ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Пискунов В. Г., Рассказов А. О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек. // Прикладная механика. - 2002. - Т. 38. - № 2. - С. 22 - 56.

2. Плеханов А. В. К численному решению задач о напряженном состоянии пластин и пологих оболочек на основе итерационной модели // Прикладная механика. - 2002. - Т. 38. - № 8. - С. 99 - 104.

3. Плеханов А. В., Наеров В. В. Численная реализация итерационной модели слоистых пологих оболочек // Theoretical Foundations of Civil Engineering. - 2003. - № 11. - С. 223 - 226.

4. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. - М. : Наука, 1973. - 238 с.

5. Плеханов А. В., Наеров В. В. Уточненная геометрически нелинейная теория слоистых пологих оболочек. // Theoretical Foundations of Civil Engineering. - 2000. - № 8. - С. 514 - 518.

УДК 624.074:531.3

РЕДУКЦИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК К ДВУМЕРНОЙ

И.Ф. Кожемякина, к.т.н., доц.

Ключевые слова: трехмерная, двумерная динамическая теория, оболочка, полиномы, ряды.

Введение. При расчете пластин и оболочек от трехмерной задачи производится переход к двумерной. Построение двумерных математических моделей можно разделить на два вида. Первый основан на гипотезах о распределении кинематических и статических характеристик и использовании вариационных уравнений теории колебаний. Для второго способа применяется приближение искомых величин последовательностями по координатам или малым параметрам и использование вариационных уравнений или усреднение уравнений трехмерной теории упругости. Второй метод дает возможность последовательно уточнять математические модели деформирования тел. Наиболее распространенной является модель классической теории. Необходимость более точного расчета элементов конструкций из композиционных материалов, для которых характерна анизотропия свойств и низкая сдвиговая жесткость привела к созданию различных уточненных теорий, учитывающих поперечный сдвиг, сжатие в поперечном направлении и ортотропию материала. Уточненные теории позволяют расширить класс исследуемых задач и оценить возможности классической теории.

Основные уравнения трехмерной теории оболочек. При исследовании теории колебаний оболочек исходим из общих соотношений трехмерной задачи теории упругости [1,2]. Выделяем

бесконечно малый элемент оболочки с координатами a1.

z . Координатные линии Oa1, Oa2

ортогональной криволинейной системы координат представляют собой линии главных кривизн срединной поверхности (z = 0), прямолинейная ось z направлена по нормали к этой поверхности. На линиях главных кривизн a1 = const, a2 = const радиусы кривизны срединной поверхности в каждой точке поверхности принимают экстремальное значение. Боковая поверхность образуется движением вдоль контура нормали к координатной поверхности и является линейчатой. Срединная поверхность характеризуется главными кривизнами kt = kt (a1, a2), соответствующими радиусами кривизны Ri = Ri (a1, a2) линий кривизны ai = const и коэффициентами первой квадратичной формы Ai = Ai (a1, a2), где i = 1,2. Квадрат линейного элемента срединной поверхности

ds 2 = Aj2 daj2 + A22 da-2.

Для поверхности вращения

Aj =

1 +lf ] , A2 = Г , Г = ^ '

где г (г) — расстояние от произвольной точки поверхности до вертикальной оси Ог . Линейный элемент оболочки в выбранной системе координат

й.12 = Я2с1а! + Н22ёа2 + Я32йг2 ,

где НI — коэффициенты Ламе, в общем случае зависящие от трех координат и связанные с коэффициентами первой квадратичной формы зависимостями Н^ = А^ (1 + к^г) для I = 1,2. Коэффициенты Ламе являются дифференциалами дуг координатных линий йs1 = Н1йа1, йs2 = Н2йа2, йs3 = Н3йг , так как ось 7 прямолинейна Н3 = 1.

Коэффициенты Ламе должны удовлетворять дифференциальным уравнениям

д ( 1 дИ 2 ^

3a1 V И1 daj

д ( 1 дИ 1Л v И2 da2J

da2

H дИ2 = 0,

dz dz

(1)

д2И, 1 дИ2 дИ, д2И2 1 дИ, дИ2 1 2 1 = 0, --—---_ 1 _ 2 = 0.

дa2 да И2 да дa2

дa1дz И1 дz дa1

Подставляя в уравнения (1) формулы, связывающие коэффициенты Ламе Н{ и коэффициенты первой квадратичной формы А^, где / = 1,2, для срединной поверхности (г = 0) получим уравнения Кодацци-Гаусса

д

1 дЛ2

дaJ I A1 дaJ

д

дa2

-L JA.

V A2 J

= k1k2 A1A2

(2)

д2 (ль \-ь дЛ1 д2 ( ч= дЛ2 (А1ь1/ = ь2 - , ,, \A2ь2) = ь1 _ .

д^

дa2

дa1

дa1

Компоненты полного перемещения являются проекциями вектора полного перемещения на направления касательных к координатным линиям а1, а2, 7 соответственно

и1 = и1 (а1,а2,г,{), и2 = и2(а1,а2,г,/), П3 = П3(а1,а2,г,/).

Соотношения Коши

1 дил

1 дИ,

И1 дaJ И1И2 д^

-U 2 +

1 ди 2

1 дИ 2

-22

U +

дИ±

И ~дГ

1 дИ 2

---1---и 1 -1---

И2 дa2 И1И2 дaJ И2 дz

U 3

U 3

а

2

+

2

-33

5Цз дг

е12 =

е13 = Н

е23 = Н2 _ 02

Н \ д

Н 2 да2

д Г 1

1 дг V н 1

Н1

-и 1

Н2 д

Н1 да1

V Н 2

и2

и1

и2

1 1 ди3

Н1 да1

1 1 ди3

V Н 2

Н2 д«2

Уравнения обобщенного закона Гука

1

еп =—( 11 Е1

12 Е2

к13

Е3

СТ33 +ахГ,

^21 1 1^23 Т

е22 = - —аП + — °22 - —а33 + а2Т ,

Е1 Е2

31

Е1

к

32

Е3 1

р а22 + Т~а33 +«3ГТ , Е2 Е3

(3)

(4)

е12 = е23 = СТ23' е31 =

°12 °23 °31

где Е1, Е2 Е3 — модули упругости по направлениям координатных осей; , к13,

к32 —

коэффициенты Пуассона; 012 = 021, 023 = 032, 013 = 031 — модули сдвига; а\ , , а\ — коэффициенты линейного расширения по направлениям координатных осей. Матрица коэффициентов упругости и тензоры деформаций и напряжений являются симметричными

к21 к12 к31 к13 к32 к23 ^ ^ ■ ■ 1 -з ■ ^ ■

-=-, -=-, -=-, е,, = е ,,, а,, = аг , /, ] = 1,2,3 , г Ф ] .

77 77 Т7 Т7 Т7 Т7 ] ]г г] ]г

Е1 Е2 Е1 Е3 Е2 Е3

Уравнения движения

д

дН2 1 д

-{Н1а11 — ст22-

\ ¿11/ у у

да1 да1 Н да2

+

(Н1Ч2)+-Н- Н Н 2^3 )+

Н дг

А

+ Н! Н 2

д

-Р

д 2и 11 дt2

= о,

да2

((1а22 —а

дН1 1 д 2 1 д

(н 2ст21 )+ Нт 12 (Н 2 На 23 ) +

11--1---Н 2^211 +

да2 Н2 дах Н2 дг

+ Н! Н 2

21

^2 -Р-

д 2и

дt2

= 0,

(5)

д дН1 дН 2 д — ((Н 2а33 )--Н 2а11--д2" Н1 а22 +Т—(Н2а13 ) +

дг дг дг да1

+ -—(Н а ) + Н! Н 2

да2

А

21

Ръ - Р-

д 2и

дt2

= 0,

д 2и

где — р плотность материала, р—^ — компоненты вектора силы инерции, Ег — компоненты объемной силы, г = 1,2,3 .

Система уравнений (3), (4) и (5) содержит 15 неизвестных иг, е, , а,, (г, ] = 1,2,3-, которые

являются функциями координат а1, а2, г и времени t. Решение уравнений должно удовлетворять начальным и граничным условиям.

Объемная деформация определяется по формуле

1

1

+

1

+

1

1

1

2

1

Д = -

НХН 2

5 (Н2и 1 ) + -^(Ни2) + ~~~(Н1Н2и3)

да1

да2

дг

(6)

Формулы для определения компонентов элементарного вращения бесконечно малого элемента тела имеют вид

1

2Н 2

5 и 3 д (н 2 и 2 )

да

дг

®а =-

а2 2Н,

5- (ни )-дг и 3

дг да1

(7)

1

2Н1Н2

^(Н 2и 2 А) да1 да2

Граничные условия: на лицевых поверхностях оболочки или слоя заданы напряжения

сгв = сг+3, стг3 = сг-3 на верхней £ + и нижней £- поверхностях соответственно (г = 1,2), или перемещения

и, = и+ , на £ + , и, = и- на £- ,

или частично напряжения и перемещения. Здесь и^ — известные функции.

На боковой линейчатой поверхности задаются напряжения и перемещения по нормали и по касательной к контуру

Рг = рг (г = 1,2,3) на £с , ип = ип , ит= К , и3 = и3 на £и ,

где р, = ст,^ + стг2s2 , ип = и^ + и2s2 ; п = s2,0} — единичный вектор внешней нормали к боковой поверхности; ип, йт, и3, рг — известные функции.

Начальные условия: при г = 0 заданными являются функции перемещений и их производные

ип = и0п, ит= и0Т, и3 = и03,

дип.=и' Ет=и' =и'

~и 0п , я, ~и 0т , ,, ~и 03.

дг

дг

дг

Приближение функций полиномами Чебышева. Полиномы Чебышева можно получить из рекуррентного соотношения, положив Р0 (г) = 1, Рх (г) = г ,

Рп (г) = 2 гРп-1(г)- Рп-2 (г) для (к = 2,3,4,...)

(8)

Коэффициент при гп в полиноме Рп (г) равен 2п 1, когда п > 1. Для четных п полином четная функция и нечетная для нечетных п

Рп (- г) = (- 1)пРп (г).

Рассматриваемые полиномы имеют тригонометрическое представление на отрезке [-1; 1] Рп (г) = соб(п агссоБ^)), Рп (г) < 1 для -1 < г < 1 и на этом отрезке имеют п различных нулей (узлов Чебышева)

(2к + \)л

гк = соб

2п

для к = 0,1,...,п -1 .

Интерполяционный полином Чебышева можно записать в виде

/ (г) = £ ГкРк (г) = /0 Р0 (г) +/1Р1 (г) +... + /пРп (г).

к=0

2

1

Вюник ПДАБА До 80 - ргччя Приднтровсъког державног академгг будгвництва та архтектури Коэффициенты разложения функции / (г) с учетом ортогональности полиномов Чебышева

А = ^ 1А (г Р (г —г .

2

Редукция трехмерной задачи теории упругости к двумерной. Для построения приближенного решения задачи искомые функции перемещений и напряжений раскладываются в ряды по полиномам Чебышева

и, ( а 7, t- £ и, (, а2, t — (г), (г = 1, 2-,

к=0

п-1

и3 ( а г, t— £ и3 (, а2, t)-к (г-.

к=0

Для напряжений получим

а„=£ ак (а1,а2, t , (г, ] = 1,2—,

к=0

ёг

£ ак3 (а t-—Н2-, N < V2,

к=0

а

ёг

г = + к/ 2, (г = 1,2—,

>33

£а33(аО—Н2-, Н < к/2,

к=0

а

33

ёг

г = + к/ 2.

(9)

(10)

Аналогично раскладываются в ряды компоненты объемной силы и температурная составляющая. Подставляем ряды (9) и (10) в уравнения движения (5). Умножая каждое из уравнений на Рк (г) и интегрируя по толщине оболочки, получим уравнения движения в виде

Ч2 д ( п ИР (_)1 V2 дН ■ п ИР (_)

/ дН Н] £ ак (а —Ну. \Рк (г—г - { -О- £ а] (а (г)ёг +

-к/2 даг V к=0 ёг У -к/2 даг к=0 ёг

к/ 2

Г ^^ -2 £ак (ах,а2, ^ Рк (г—ёг +

.1 Н да г ¿-I 1 2' ' ёг к

-к/2 Нг да,

ёРк (г -

к=0

ёг

^ 1 д Г 2„ ^ к ( —(г) 1

Г ■дгН'Н] £*'3 (а1, а2,0 ^ -к/2 '

Рк (г -г +

к/ 2

+ Г НгН]

-к/ 2

V2 я (

V к=0 (

Л

£ ¥кРк (г )-р — £ ик (а1,а2, t -к (г) Рк (г )ёг = 0, (г, ] = 1,2—,

V к=0 д к=0 у

Г £ -1-2£а*(а1,а2,,^.^Р^Е2- Р(г-¿г - { ^Н2£а* (а^(г)ёг -

к 2

дН 1

—к (г)

(11)

-к!2 дг V

к=0

ёг

дг

_к/2 ^ к=0

ёг

к/ 2

Г дТ Н1 £ а 22 (а1,а2, t —^ (г -г + { -О- Н 2 £аки (а t —Ш Рк (г -г +

-Рк (г )

к/2 я (

ёРк (г -

дг

-к/2 к=0

ёг

да1

ёг

к/2 д (

+ Г а Н1 £ а 23 (а Рк (г)г +

-1, да9 аг

-к/2 2 V к=0 у

Л

=

3

+

2п

V2 ( n 2 n Л

+ J H1H2 X F3kPk (z)-PTT X U3k ("1, "2, t)Pk (z) Pk (z)dz = 0. (12)

-h/ 2

V k=0 k=0

При интегрировании учитываются граничные условия. К уравнениям (12) необходимо добавить соотношения Коши (3) и уравнения обобщенного закона Гука (4). Уравнения (3) и (4) после подстановки искомых функций в рядах по полиномам Чебышева также усредняются по Pk (z).

Внутренних усилий десять: три усилия N1, S1, Qi и два момента M1, M12 по нормальному сечению а1 = const и три силы N2 , S2, Q2 и два момента M2 , M21 по другому нормальному сечению а2 = const. Они определяются через напряжения оболочки по формулам

1 h/2 . h/2 1 h/2

N, =- JH ,a,,dz , S, =- JH ,a,,dz , Q, =- JH ,a3,dz ,

1 A J J 11 1 A J J J1 A J J

J -hj2 J -hj2 J -hj2

, й/2 1 V2

М, = -— |, .М1} = — |, 0" ] = 1,2).

А -к/2 АУ -й/2

К рассмотренным уравнениям необходимо добавить граничные и начальные условия.

Для тонких оболочек зависимость между коэффициентами Ламе и коэффициентами первой квадратичной формы можно принять в виде

Н * А" («,«) (" = 1,2).

Тогда уравнения (3), (5), (6), (7), а, следовательно, и (11), (12) существенно упрощаются.

Выводы. Рассматривая в рядах (9) и (10) ограниченное количество слагаемых, последовательно получаем уравнения классической теории, теории Тимошенко и математические модели деформирования оболочек высших порядков. При аппроксимации перемещений и напряжений учитываются граничные значения перемещений на лицевых поверхностях и условия непрерывности соответствующих напряжений при приближении к лицевым поверхностям. Полученные таким образом двумерные модели могут быть использованы для расчета оболочек со смешанными граничными условиями.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. — М.: Наука, 1974. — 446с.

2. Векуа И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. — М.: Наука, 1982. — 285 с.

3. Власов В. З. Общая теория оболочек. — М., Л.: Гостехиздат, 1949. — 781 с.

4. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Наука, 1976. — 512 с.

5. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. — Киев: Наук. Думка, 1973. — 248 с.