Приложение общей теории оболочек для учета краевого эффекта в тороидальном баке от внутреннего давления Текст научной статьи по специальности «Математика»

новые материалы И ТЕХНОЛОГИИ В КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКЕ

УДК 539.3

ПРИЛОЖЕНИЕ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ДЛЯ УЧЕТА КРАЕВОГО ЭФФЕКТА В ТОРОИДАЛЬНОМ БАКЕ ОТ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнёва, г. Красноярск, Российская Федерация

Цель работы заключается в приложении уравнений общей теории оболочек для исследования изгибающих локальных моментных факторов так называемого краевого эффекта при расчете напряженно-деформированного состояния тороидального бака от внутреннего давления. В работе повторен вывод уравнения общей теории оболочек В. З. Власова в системе криволинейных координат. Получены выражения внутренних мембранных усилий, изгибающих и крутящих моментов. Составлены общие дифференциальные уравнения равновесия расчета изотропных оболочек переменной толщины и кривизны. Для расчета торового бака введена тороидальная система координат; разрешающие уравнения преобразованы в уравнение для решения осесимметричной задачи. Чтобы уменьшить порядок производных, полученное уравнение равновесия преобразовано в вариационное уравнение. Дифференциальные операторы заменены конечно-разностными аналогами, интегрирование заменено ступенчатым суммированием. Континуальная задача сведена к задаче дискретной, вариационно-разностной, с конечным числом переменных. Приведен расчет тора на внутреннее давление; тор подкреплен по внешней и внутренней кромкам мощными ребрами жесткости. Расчеты показали возникновение изгибающих моментов в области ребер, которые резко затухают на удалении от ребер, что есть проявление краевого эффекта. На удалении от ребер обнаруживается практически безмоментное состояние. Вычисленные значения мембранных продольных сил в области, удаленной от ребер, совпали со значениями, полученными с помощью уравнений Лапласа безмоментной теории.

Ключевые слова: теория оболочек, тор, краевой эффект.

Введение

Тороидальные баки высокого давления имеют широкое применение в аэрокосмической и военно-морской технике, а также в бытовой технике, например, в виде газобаллонного оборудования. Для расчета прочности баков от давления рассматривают безмоментное состояние с применением уравнения равновесия Лапласа [1-2].

В настоящее время компьютерное моделирование с помощью пакетов САПР позволяет решить самые сложные задачи проблемы прочности. Однако научный интерес, связанный с целью лучшего понимания механики деформирования конструкций, подталкивает исследователей заниматься математическим моделированием, полезным в том числе и для анализа решений, полученных с помощью прикладных программ.

© Сабиров Р. А., 2016

Цель работы. Применив уравнения общей теории оболочек для расчета напряженно-деформированного состояния тора от внутреннего давления, проанализировать влияние изгибающих локальных моментных факторов так называемого краевого эффекта.

Постановка задачи. Используем уравнения общей теории оболочек В. З. Власова [3] в системе криволинейных координат ОаРу. Здесь ось у - нормальная к базисной поверхности оболочки, находящейся в плоскости осей ОаРу. Геометрические уравнения модели деформации представляются в форме рядов по переменной у:

2

еаа =£а+КаУ + ФаУ >

ерр =Вр+кру + фру2, еар=ш + ту + уу2. (1)

которые были получены с помощью формул разложения коэффициентов первой квадратичной формы А = А(а, Р), В = В(а, Р) базисной поверхности:

ПАУ

Ж г

КО-

ГРАДА

№ 3-4 (18) 2016

26

1

А(1 + кау) А

=1 (1 - каУ+ка у2 - ка у3),

1

(1 -крУ + кр2 У2 -к? У3 ) .

(2)

В (1 + кру) В

Символами ^ и kp обозначены кривизны оболочки.

Компоненты разложения (1): еа, 8р, ю, kа, kp, т совпали с уравнениями, приведенными в [3]. Запишем компоненты фа, фр, у:

Фа = ка

Фр = кв

Г12 1 дк„ к: w --

крw -

В др 1 дкв

V--

V -

1 дка А да

1 дкр

м + -

1 д2w 1 дА дw ^ 1 дка дw 1 дА дw

В2 АВ2 др др

А2 да2 А3 да да

кК,

м + -

1 д2w 1 дВ дw^ + дВ

А2 да да А2В да да

В др А да В2 др2 В5 др др

(3)

(4)

V = ка кв

Г 1 дм 1 дv 1 дА

м + -

1 дВ

Л

+к2

В др А да АВ др АВ да

Г1 дм 1 дА ^ , Г 1 д V

В др АВ др

м

+ к„

,2 Г 1 дv 1 дВ

+ к„1-----

^ А да АВ да

2 дВ дw ^

V +

АВ да др АВ2 да др

+к

Г 1 д2 w - 2 дА дw ^ 1 дkадw 1 дкр дw АВ да др А2В др да I АВ др да АВ да др '

(5)

На рис. 1 покажем принятые направления мембранных усилий и поперечных сил, а на рис. 2 - направления изгибающих и крутящих моментов.

В соответствии с принятыми на рис. 1 и 2 направлениями внутренних усилий и с учетом разложений (2) получены выражения:

N =-

Ек3

12(1 -ц2)

( кв-ка)

1 дА дн- 1 дА дw 1 дк

-------+--а V + -

1 дк

А3 да да А да да В др А да

м-ц

1 дВ дw А2В да да

Л

+

3 1 дка дw , 2, 1 дкв дw

—г--как^ ц---——

В2 др др а р А2 да да

+к3 w -

Рис. 1. Направления мембранных усилий и поперечных сил

+ -

ЕИ

с -

ар

(1 -ю

ЕИ3

1 ди 1

кам> + ——+ щри + д

дВ

А да

АВ да

-и +

12(1

(к'- к->(-а!

д2и

-+-

2 дВ ди

\

АВ дадр АВ да др

+

1 дА 1 дv^ --V +и--

АВ др В др

(ка+кв2 )( £--1

дв

'^а да ав да

v +

+2ка кв

1

_дВ_ -_±_

АВ да У А да Г АВ

(

ЕИ

М =

ЕИ5

А

-ц-

(1 -А2) к„к„ дА ¿И

1 к 1 ди А да В др

дка ди + дкр ди др да да др 1 Г дА дВ д

--— и +--V

АВ ^Ор да

V

'а" р

А3 да да

80 (1-ц2)

1 дА ди какр дВ ди

( ( 4 д— 7 2 1 ддд ди^

+ Мка-ви[ + ^1какр-А)УГ-^-кр ———^

А[) <9а2 р В3 др др

1 дка ди-* р I--

В2 др др

-к,

р А2 да да р

1 дкр _ к 2 1 дк,

АВ 2 др др А1 да да.

1 д2и , , 1

"Цка к1 1 дк0 у "Ц

В др

-V -к;

А да

и-+к 1 и +

+ кр2

Е-3

А

-1?2 ар2

в ар

1 д и 1 дВ дв

кЛ дко .4 2а -р дВ

12(1-ц2)

1 ЭВ ди А2В да да

-1зз—+ + — "д-— И^ + ц

1 дВ.

в2 эр2 я3 д- э|3

В5 р

Вк-

1

дА 1 дк,

-V +

АВ дА

1 +А ди ц

"а д_1--+ кВ

А3 да да В

1

В д--В

, 1 дк,, 1 д2и

—V +---а^и + .к---

А да

А дои

-и

Я др 1 д2и-

А2 да2

1 дкОаа

--и + д--и -д

АВ да А да

1 дА -и

ав4 д[

1

(6)

(7)

27

(8)

Hav

Ж г

КО-

ГРАДА

№ 3-4 (18) 2016

28

Нхр -■

EhH f к -v К ди к„ дБ к ды v 1 ды? дw

- — -д--2-B-—— + 2---

12(1-ц2) M A да B др

к дА

кр дБ р -v-2-

А дх 1 d2w

В др AB¿ да 5р % 1 дА dw"

АВ <Эр АВ да АВ да <9(3 А2 В др да

Усилия ТУр, Мр, «5ра, Нра симметричны усилиям (6)-(9) соответственно. Воспользуемся уравнениями равновесия из [3], в которых учтем осевую симметрию:

д

дВ

— (Na В) - N — + QaAB ка + АВда = 0,

да

да

1

AB

Q B+e,A

5а 5а

a = ^y

-(-Да + kpNp) + qy=0, 1 —b

А да АВ да

(mа- m р ).

м„ =

Для этих уравнений изгибающие моменты и внутренние усилия приобретают вид:

Ек5

+-

80(1 -|Г)

Eh3

12t(=L-M-2)

Л^ + ^Л-Тд^ + какВ —-Ов-ТтН-^ ^д + к>-МкакВ 1 ^

(9)

(10) (11) (12)

р а А2 5а2 ав A2B 5а5а в А2 5а 5а в

А 5а

1 рка1-,7-Мка w

1 52 w 1 5B dw 1 5к.

А2 да2 А^ 5а 5а А 5-

, 1 5ы ы - |ддр---y

1 52 w

А 5а А 5а

+

(13)

M р =

Eh5

{$0(1 2)

2 1 5B 5w 1 5кр 5w

" — к<

А B 5а 5а

р А2 5а 5а

1 ,3 ,4 ,2 1 52

+ ка к3 w + |ка w + |ка — —-

а Р и- а У а а^ 5а2

Eh3

N = ■

12 (1 -|2) E-

1 5B 5w i ¿a2 w , , 2

-к„ —--d:w

кв K0W- 2 2 2

р а A2B 5а 5а А2 5а2

12(1 2)

А 5а

(ка-5B 5w

,, v .1 52w А з кр 5+ 5w ,2,

(ка-кв) —а —2 + Aaw—а —1— + как.™ + ■ 2

а в А2 5а2 а А2 5а 5а а e A2B 5а 5а

+

+-

Eh (1-1)

{kl + \lk^w, к =

Eh3

12(1 2)

—w-

1 5w 2 —L--ка ква

А2 5а 5а а e

+ -

Eh

(1 -i2)

(|ка+ к )w-

(14)

(15)

(16)

В (10)—(12) Qa-поперечная сила, а в (13)-(16) w = w(a) - функция прогиба. ОбознАчения: E - модуль Юнга; ц - коэффициент Пуассона; h - толщина стенки оболочки.

Введем тороидальную систему координат (рис. 3) и определим коэффициенты Ламе:

А = R, B = R + (17)

sin в

Выражение (12) после подстановки в него (17) приобретает вид

^ 1 dM„ a cos а

еа=~Г^-р • • ч (ма^мр)- (18)

R аа R sin а(a + R sin а)

Обратим внимание на знаменатель второго члена (18), где появление sina в точках a = 0 и a = п обращает поперечную силу в бесконечность.

Поэтому, чтобы исключить такую возможность, второй член в (18) приравняем к нулю. Такие особенности криволинейных координат проявляются в особых точках. Например, в круглых пластинах при интегрировании дифференциального уравнения равновесия постоянная интегрирования, обращающая в бесконечность поперечную силу в ее центре,также исключается [4].

Далее подстановка (18) в (11) дает

1 d2М„ N„ sin a

-Np- gy= 0. (19)

R2 d а2

R a + R sin а

Здесь потребовалось опустить производную 5B cosа

— = -a-2—, содержащую sin a в знаменате-

5а sin а

ле. Мембранные перемещения существенно мень-

ше в сравнении с перемещениями нормальными к поверхности тора, поэтому не будем использовать уравнение (10).

Считая оболочку тонкой, в (13)-(14) уберем выражение в первой квадратной скобке, которая умножается на к5, а в выражениях (15)-(16) пренебрежем квадратной скобкой при к3. Тогда

ЕИ3

М = -

12(1 -ц2)

и d 2w _

B —г + Bnw

N = -

Eh

(i -ц2)

2, Bw'

1 da2

Ne =

(20)

Eh

(i -ц2)

2. B4w;

B2 =

B3 =

B4 =

Bi =

Eh3

|oEh3

12(1 -|2):

ца

12(1 -ц2) R (а + R sin a)

Eh a + (1 + !)R sin a (1 -ц2) R( a + R sin a)

Eh ца + (1 + ц)R sin a (1 -ц2) R (a + R sin a)

B

d2w d 25w

ds2 ds2 d3 w

B

B

1 ds3

5w + B

- B4 w5w

dw d 5w

ds ds

d2 w d5w

1 ds2 ds 2 ds

s2

- J qy5wds = 0.

B

— + Бл | w5w R

dw

+ B-5w-

ds

Выводы и результаты. Результаты расчета приведены на рис. 5-7. Дуга ABC верхней части тора показана распрямленной с конечно-разностной сеткой 200 узлов. Эпюра изгибающего момента Ма изображена на рис. 5. В точках А и С проявляется краевой эффект. На удалении от краев и в окрестности точки В обнаруживается практически безмоментное состояние.

Приведем вычисленные по формулам (21) мембранные силы Na (рис. 6) и Np (рис. 7). В области, удаленной от краев, решения ожидаемые. Уравнение равновесия Лапласа для тора дает гра-

qR (2a + R sin a)

фик усилия Na =-у-;-, который при-

a 2(a + R sin a) веден на рис. 8. В точке В наблюдаем совпадение

29

(21)

Пренебрежение в Ыа и N членами при к3 определяет, что в (21) эти усилия зависят не от производных функций прогибов, а только от функции прогиба. Подставив (20) и (21) в (19), получаем дифференциальное уравнение равновесия со старшей производной четвертого порядка.

Для численного решения задачи о деформировании тора преобразуем полученное дифференциальное уравнение в интегральное уравнение

(22)

В (22) оператор 5 - оператор варьирования. Интегралы удобно вычислять по дуге 5 (5 = Ra). Причем dа = ds/R, d2Mа/dа2 = R2(d2MJds2).

Составлена программа расчета тора вариационно-разностным методом [5], реализующая уравнение (22).

Расчет. Рассмотрим торовый бак, поперечное сечение которого изобразим на рис. 4. Бак закреплен по внутренней стороне (точка А) и вдоль внешней кромки (точка С). Верхняя часть тора обозначена точкой В. Примем R = 0,2 м, а = 3R. Толщина стенки к = 5 10-3 м. Модуль Юнга Е = 21011 Па; коэффициент Пуассона ц = 0,25.

Рис. 3. Фрагмент тора в системе координат

Рис. 4. Сечение тороидального бака, подкрепленного ребрами

Рис. 5. Эпюра изгибающего момента Ma

V

Hav

Ж г

КО-

ГРАДА

№ 3-4 (18) 2016

результатов. На обоих графиках усилие одинаково

аЯ

и равно 20 000 Н/м. По формуле =-, также

полученной для безмоментного состояния, имеем результат 10 000 Н/м. Ровно такое же число N (рис. 7) рассчитано в узле сетки 100.

Рис. 7. Эпюра продольной силы N,

30

Рис. 6. Эпюра продольной силы Na

Рис. 8. Эпюра продольной силы Na, полученная по безмоментной теории

Список литературы

1. Авдонин А. С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. М. : Машиностроение, 1969. 403 с.

2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.

3. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. М., Л. : Гостехиздат, 1949. 783 с.

4. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М. : Физматгиз, 1959. 400 с.

5. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 542 с.

6. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов : учеб. пособие. М. : Наука, 1986. 560 с.

THE APPLICATION OF THE GENERAL THEORY OF SHELLS TO ACCOUNT FOR THE EDGE EFFECT IN A TOROIDAL TANK FROM THE INTERNAL PRESSURE

R. A. Sabirov

Reshetnev Siberian State Aerospace University, Krasnoyarsk, Russian Federation

The aim of this work consists in the application of the equations of General shell theory to study local bending moment factors, the so-called boundary effect when calculating stress-strain state of the Toroidal tank from internal pressure. In the work repeated the derivation of the General theory of shells of V. Z. Vlasov in the system of curvilinear coordinates. The obtained expression of the internal membrane forces, bending moments, and torques. Composed of a General differential equation of equilibrium the calculation of isotropic shells of variable thickness and curvature. To calculate the toroidal tank introduced a toroidal coordinate system; allowing the equation transformed into an equation for the solution of axisymmetric problems. To reduce the order of derivatives, the resulting equation of equilibrium is transformed into a variational equation. Differential operators replaced by finite-difference counterparts, the integration is replaced by summation step. The continuum problem is reduced to the problem of discrete, variational-difference, finite number of variables. The calculation of the torus the inner pressure; tor supported on the outer and inner edges powerful ribs. The calculations showed the occurrence of bending moments in the ribs, which are sharply damped at a distance from

ribs, is a manifestation of the edge effect. Away from the edges, detected by the almost membrane state. The calculated values of longitudinal membrane forces in a region remote from the edges coincide with the values obtained by using the Laplace equations of the membrane theory.

Key words: theory of shells, Thor, edge effect.

References

1. Avdonin A. S. Prikladnye metody rascheta obolochek i tonkostennyh konstrukicij [Applied methods of calculation of shells and thin-walled structures]. Moscow : Mashinostroenie, 1969. 403 p.

2. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow : Nauka, 1975. 576 p.

3. Vlasov V. Z. Obshhaja teorija obolochek i ejo prilozhenija v tehnike [General theory of shells and its applications in engineering]. Moscow, Leningrad : Gostehizdat, 1949. Р. 783.

4. Van Czi-de [CHI-TEN WANG]. Prikladnaja teorija uprugosti [Applied theory of elasticity]. Moscow : Fizmatgiz, 3i 1959. 400 p.

5. Vasidzu K. Variacionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Variational methods in elasticity and plasticity]. Moscow : Mir, 1987. 542 р.

6. Birger I. A., Mavljutov R. R. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials]. Moscow : Nauka, 1986. 560 р.