CC BY
70
Динамика и прочность машин, приборов и аппаратуры
УДК 539.4
В.С.ЖЕРНАКОВ, В. П. ПАВЛОВ
ПРОЧНОСТЬ ОБОЛОЧЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ СТЕКЛОПЛАСТИКОВ ПРИ ПОВЫШЕННЫХ И ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Приведена методика расчета стеклопластиковых оболочечных элементов конструкций на прочность при высоких температурах. Она разработана на основе новых технических решений таких проблем как: экспериментальное изучение физико-механических свойств стеклопластиков при высоких нестационарных температурах, построение математических моделей, описывающих эти свойства, построение разносного аналога применяемой модели ползучести, построение уравнений равновесия для деталей произвольной формы и численного решения полученных уравнений. Рассматривается стеклопластик, применяющийся для изготовления элементов конструкций авиационной и космической техники, работающих при повышенных и высоких температурах. Оболочки; стеклопластики; тепловые деформации; ползучесть; прочность
Стеклопластики широко применяются для изготовления оболочечных элементов конструкций авиационной и космической техники, работающих при высоких температурах. В связи с этим возникает задача расчета конструкций из стеклопластиков на прочность при высоких температурах. Для решения этой задачи необходимо решить ряд сложных проблем, к основными из которых относятся: экспериментальное изучение физико-механических свойств стеклопластиков при высоких нестационарных температурах, построение математических моделей, описывающих эти свойства, построение разностного аналога применяемой модели ползучести, построение уравнений равновесия для оболочек произвольной формы и численное решение построенных уравнений. В данной работе на основе новых решений данных проблем построена методика расчета стеклопластиковых оболочек на прочность при высоких температурах.
1. ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СТЕКЛОПЛАСТИКА
Рассматриваются оболочки из стеклопластика КТ-11-К-Ф, для которого экспериментально изучены [2] тепловая деформация, прочность и ползучесть при высоких постоянных и переменных во времени температурах.
Математическая модель теплового деформирования данного стеклопластика имеет
следующии вид:
= 2,5- 1(Г5при Т<156°С.
d,T
= 2,5 • 1СГ5 - 1,04 • 1(Г6(Т - 156)
d,T
при
'eT{t) = \{t!) - А(0) + етжь при
/,
£ = J п [:Т(р)] dp, п(Т) = 10°-ОО9^’-18О)?
о
(1)
где £т180 — тепловая деформация при температуре, соответствующей началу термической деструкции Т = Ts = 180°С, A(t') — обобщенная функция теплового деформирования, конкретный вид которой представлен в работе [2].
Для описания ползучести стеклопластика КТ-11-К-Ф при высоких переменных во времени температурах разработана [2] математическая модель, которая имеет вид дифференциального уравнения первого порядка с коэффициентами , зависящими от темпера-
туры
de , , , , . da .. db d,T
- + п(Т) e = b(T) — + c(T) „ + —
(2)
Температурные зависимости коэффициентов для стеклопластика
КТ-11-К-Ф определены экспериментально и представлены в форме аналитических выражений в работе [2], там же дана экспериментальная зависимость предела прочности композита от температуры .
2. ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛОГ УРАВНЕНИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
При расчете оболочек из стеклопластика с учетом ползучести при высоких температурах применен пошаговый метод, когда напряженно-деформированное состояние рассматривается в последовательные моменты времени tn, п = 1, -/V, из которых формируется сетка времен , на которой
построен дискретный аналог уравнений ползучести стеклопластиков.
При дискретизации уравнений ползучести стеклопластик КТ-11-К-Ф рассматривается как ортотропное тело, в каждой точке которого температура является функцией пространственных обобщенных координат и времени
Т — T(«i. а-2, «з, t).
(3)
Для температурного поля (3) по модели теплового деформирования (1) определяются тепловые деформации £хТ,£уТ,£гТ вдоль осей ортотропии материала X, У, Z как функции обобщенных координат «і, «2, «з и времени
£хТ = £хт(а 1, а-2; «3; t),
£уТ = £уТ(а 1, «2; «3; t),
£%т = Єгг(аі. а-2, «3; £)•
(4)
Принимается, что в оболочке имеет место плоское напряженное состояние, для которого рассматриваются деформации , , и
напряжения , , в плоскости осей орто-
тропии упругих свойств , .
Полные деформации , , определя-
ются как суммы деформаций от напряжений
у
у
,(<тж) (ау)
-У
-У
формаций ,
_ Дсгх)
(тж?/)
и тепловых де-
Р _ Л<тх) , (ау)
Су Су Т Су
_____,(тху)
1ху — 7ху
£хТ: £уТ,
(5)
и
Связь между напряжениями с,
1 (<тх) (ау) (ах) (ту) (тху)
деформациями , , , ,
описывается системой дифференциальных уравнений
де{«х)
х ' аіах^ =
dt
— h(ax)
~ £X dt
rk<™)n
■'ex °X
db
(ax) 0T
dT dt
яМу)
Yh.___ + пшл<ту) =
Qt 1 ЄХ
_ г(ау) ^аУ , Jay) ex Q_I_ ' l'ex u У
nMx)
V___+ Л*Х)МХ) =
Qf ^ ey ay
d^} ОТ
dT dt °v'‘
— h(ax) ^^x ~ ey dt
Л?х)п Cey UX
dbiyx) от
dT ~dt
& X
дє
{vy)
У
Л°у)Л°у) = dt ' y y
i(ay) ®аУ , Ja-y) v dt v
db™ ffT dT m"*'
dt
-A-rxy) (тху) _ *7xy іxy
Лтху),
_ іАтху) Ulxy
7 xy Q-j- l"yxy xy
djttfffT d,T dtTxy'
(б)
коэффициенты которых являются функциями от температуры
n(ax) _ (ax)(rp\
™єх ex V /1
i(ax) _ }i(rx)(rp\
uex uex \ n
r(ax) _ c{ax)
’(П
(7)
7(rxy) = a£*v)(T),
1ХУ
1ХУ
гХтху) _ гХтху) trp\ ^'уху W/y ху \ }
7 ху
„{тху) _ с(тхУ)^р^
"уху
"уху
Подстановка (3) в (б) приводит к системе дифференциальных уравнений
Яґг
‘ х 4(<тх) ((ТХ) = i>!ax),,lJx Ыах)
dt
de{rj}
dt . даь
______ , А(<гу)Л<гу) = n(vy) У і Р'(<ТУ)ГГ
Q_j_ 1 - ЄХ ЄХ Q_!_ ‘ ex У'>
de
(<TX)
dt
л{ах) Jax) _ Ыах)(^х_
єу У ey Qf
F^axh
■ ey 0х^
де
(°у)
да
<н
г\
Л^у) р^У) = /?(. яу)—! еу У еу
У
еу У'
дтх
Д(тхУ)п,(тхУ) _ ту (тху) и‘хУ , тр(тху) -х7ху І ху 'уху 1 'ух-у
(8)
коэффициенты которых являются функциями от времени и координат рассматриваемой точки «1, «2, ®з!
Л;'"!(п I . «2; «3; О = (1<:Т/)['1'((\ | . «2. «3; 0|-
в^(аъ «2, «3; О = I. п-_>. а3, /)|.
I • «2. «3; О = Г;'"![7'(п I . п-_>. а3, /)| +
г//Л'"! дТ(аі, «2, «3; О
п!Т
ді
ртх^у) («1; «2, «3; £) = [Т(аі, а-2, «3;
дТ(аі,а.2,аз,і)
НТ
ді
(9)
Для напряжений , , и вызываемых
ими деформаций , , , ,
в моменты времени введены
обозначения
= (Т.с(п I • п2- '>:>• /;<)•
4,?) = М'Ч-пг.пз./,,).
ГЙ] = Гг//(П|-П2.Пз./;,).
г1:"!(п,.п2.пз./;)).
е^”)=е^(аьа2,аз,^), (10)
г;Г!4"! г;;т'г!(п|.п2.п;!./;,).
г;;т//М"! г;;т//!(п|.п2.п;!./;,).
п = 1, .... ІУ.
В применяемом пошаговом методе последовательно рассматриваются отрезки времени , , в пределах каж-
дого из которых напряжения и деформации от напряжений аппроксимированы линейными функциями
(£
ху ■
(ах)
У
4ауЧс
(Ту
(Тх(£
тху(С
= *4? +
= *&> +
= 4"’ + ’
— и<гу) + и<гу) с
У .О > у .О
= 4. Ь^У) С
п.гу.о > ху,1
= 5„
ху
'у,о ~Г БулС, = 5*,о + #гд£,
= я
(11)
ху.о
ЗхулС'
£ — t tv, t (Е [177 , 177+1].
п = 1, .... N.
Выражения (11) подставлены в дифференциальные уравнения (8) и после ряда преобразований приведены к виду
е(<ТХ),(?7 + 1) _ Д(;<Т;Г)Д'П+1)(Т1;П + 1) _|_
(ау),(п+1) _ Ыау),(п + 1) (п + 1) , Ыа-у),(п+1)
°х ьх ^ у 1 кУХ ’
(ах),(п+1) _ ту(ах),(п+1) (п+1) с(сгж),(п+1)
у У ^ у *!
(ау),(п+1) _ Ыау),(п + 1) (п + 1) , а(сп/Д?7+1)
у у у ^ ^
(тху),(п+1) _ Ытху),(п+1) (п+1) , о(тху),(п+1) 1ху ьху ху ‘ ^ху ’
п = 1,N — 1,
(12)
где
д(СГХ),(?7+1) _ (_£?1<^ГМ'П + 1) +
+Д*п^^"+1>)/(1 + Д*п4^"+1>),
с(<Тж),(п+1) _ (Л<7х),(п) _
1сеж
-сЙ'»"+1>4">)/(1 + дг„4г«”+1>)!
Ыау),(п + 1) _ < Ыау),(п + 1) ,
*ьх V ■*-*£Х 1
+Д^£^"+1))/(1 + Д*„4?'М"+1)),
Ыау),(п+1) _ (Лау),(п)_
^х \°еж
-в^+1^)/( 1 + а^47м,,+1))!
£>(ах),(п+1) _ (_0(^)Д'” + 1) +
+А1п^-^+1^)/(1 + А1п4^-^+1^)!
с(<7ж),(п+1) _ (Л<тх),(п) _
-2?^-(п+1)4п^)/(1 + а*п4^-^+1^),
Щ<гу),(п + 1) _ ^(ау),(п + 1) +
+д^7)-("+1))/( 1 + а*п47М"+^),
Ы(Т1/),(?7+1) _ (Лау),(п)_
кУу \^еу
^БШ-(п+1)а(п))/(! + д*п4^).(»»+1))5
Ытху),{п + 1) _ ( Ытху),{п + 1) ,
*ьху К^'уху 1
і Лі Р{тху^{г,+1ї)/('] + Лі Л{тху^{г,+1^
-ТІЛ(,пГ^Ху )/\1 т ^Ху }
с(тху),(п+1) _ (Лтху),{п)_
^ху \ їху
_ Ытху),(77 +1) (77 ) 4 //-, , Д . д{тху),{п+1)4
^7ху 1 ху )! Vі ' ьп-ГІ-'уху )
А І — *77+1 І‘Г
п = 1, .... N
(13)
Для полных , , и тепловых ,
деформаций в моменты времени введены обозначения
£х1} = Гг(П|.П2.П;!./„).
£х'Г = £хт(о1, а2. «з, *,,).
4П) = %(«Ь «2, «3, *71), (14)
4"- = £<Д'(а 1, “2, «3, 4),
7^ = Т,7/(п|.П2.пз./„). п = 1. .... N.
При подстановке (12) в (5) с учетом обозначений (14) для момента времени , получено
д(<Т2),(77+1)(Т(п + 1) + Д15ГУ)Д'П+1)(Т1П+1) =
= р(п+1) _ Д7,+1) _ о(ох),(;7 + 1) _ а{ау),{п + 1) ьх ьхТ х .г ,
Ыох), (77 +1) (77 + 1) , 0(0-4/),(77 +1) (77 +1) _
* ^ 2) у у
- Л.п+1) _ Лг'+1) _ Ы ох),(77 + 1) е(04/),(77 + 1)
— ьуТ Оу Оу .
Т?(тХ4/),(77 +1) (77 +1) _ (77 + 1) _ е{тху) ,(77 +1)
./'// Х4/ 1X4/ Х4/ ,
• ху
П= 1, ЛГ — 1.
(15)
Из системы уравнений (15) определены
(77+1) (П + 1) (П + 1)
напряжения СТх ,0х , ГХ4/
(77+1) _ „(77 + 1) (77 +1) , Ы 77 + 1) (77 +1) , (п + 1)
V х ж,ж 1 ^х^у у 1 Ч.Х 1
(77+1) _ „(77 + 1) (77 +1) , „(77 + 1) (77 +1) , (п + 1)
у у *^у,х 1 у,у У Чу ’
(77 + 1) _ /у(77 +1) (77 +1) , „(П + 1)
*Ж?/ '“',Ж?/ /Ж?/ 1 Чху ч
(16)
где
4^+!) = Д^Ми+^/У,
4У1) = _д(^)-(п+і)/к = -д^м^^/у,
£;(»+1) = д^)-^1)/^ (17)
у _ Д(ОХ),(77+1)д(04/),(77+1) _
ж у
_ р(о^),(п+1) Б>(04/),(77 + 1)
-I X ^ ,
>0(77 + 1) _ І / Ытху),{П + 1)
Xу х / ■* ъж?/ ?
(77+1) = _^;(п + 1)/£("+1) +
'/./• х,х \ахТ '
+ 5(<Т;ГМ7,+1) + 5(04/),(п+1) ^ _
_7?(77 + 1)/ (П + !) , С(ОХ),(77 + 1) , С(04/),(77 + 1)\
х,у ' уТ ' °У ' °У >'
(77+1) _ _Ы77 + 1)/ (П+1) о( ох).(77+1) ,
Чу — Пу,х \ьхТ Т °х Т
+ 3{/у}-{г,+1}) - Е^(є^1} +
+ 5(<тх)^7,+1) + 5)(°1'-)'("+1-)),
(77+1) _ _/о(77 + 1) Ытху),{П + 1)
Чху ^ ху ах у
(18)
3. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ОБОЛОЧКИ
Для оболочек произвольного очертания с неоднородным температурным полем и переменными по объему физико-механическими характеристиками материала практически невозможно построить традиционным «ручным» способом дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях. Поэтому в работе предлагается матричный метод формирования уравнений равновесия, реализованный на ЭВМ. Данный метод снимает все ограничений на геометрию оболочки, механические характеристики ее материала, на температурное поле и на характеристики внешней силовой нагрузки. Рассмотрим далее идеологию этого метода.
3.1. Соотношения связи между параметрами деформации базовой поверхности и внутренними усилиями
Оболочка рассматривается [3] в системе криволинейных координат ад, «2, аз, где координатные линии , направлены вдоль линий главных кривизн базовой поверхности, аз-линия — перпендикулярно к аь аг.
Деформация оболочки определяется зависящими от , и функциями перемещений точек ее срединной поверхности вдоль координатных направлений ,
щ = ?іі(аі. а-2, і), П2 = т(<Уі, а2. і), щ = »з(п|. а2, /).
Из значений функций перемещений и производных от них сформирован вектор , имеющий
структуру
Н = ( и,\, щ. щ.
ди\ ди-2 ди з ди\
' Ч ч Тл ч 7л 1
да.\ ' да.\ ' да.\ ' да-2 да,2 ди з д2и з д2и-$ д2и-$\'1
да-2 ’ да-2 ’ да2 ’ da.ida.-2 ’ да22 )
(20)
Деформация базовой поверхности оболочки определяется вектором , включающим [3] шесть параметров деформации:
£1; £2, 712; ХЪ Х2, Т
я = (Єї, Є2, 712, ХЬ Х2, т) . (21)
Связь между векторами Н и Д представлена матричным выражением
Д = вн.
(22)
где компоненты матрицы
определяются
через параметры Ляме оболочки А\ и и производные от них по криволинейным координатам соотношениями из работы [3].
Из деформаций , возни-
кающих в слое оболочки с координатой , сформирован вектор
/ (аЗ) (аЗ) (аЗК /Ооч
(23)
Вектор выражен через матричным
соотношением
є(аЗ) — -^(аЗ)-^;
(24)
в котором матрица
имеет компоненты, определяемые соотношениями из [3].
В слоях оболочки возникают напряжения
(аЗ) (аЗ) (аЗ) ,
, из которых сформирован
вектор
= <Т
(аЗ) (аЗ) (аЗ)> 11 ; "11 ; Т11 >
(25)
Связь между векторами и по отношению к системе координат, заданной ортами еі, Є2, ез, направленными вдоль координатных направлений , записана в
матричной форме
гг!..:і! — Я(аЗ)є(аЗ) + Я (а 3);
(26)
где Я(^) = II ЯЙ3), Г = 1, 2, 3, в = 1, 2, 3 II -матрица жесткости материала в рассматриваемой точке, , - век-
тор добавочных напряжений, возникающих вследствие тепловых деформаций и ползучести материала.
При рассмотрении конструкций из слоистых композитов обычно известны их упругие или вязкоупругие свойства по отношению к неизменно связанными с материалом слоя ортогональным осям , в общем слу-
чае не совпадающим с направлением ортов сопровождающего базиса ех, е2, ез. В связи с этим сформированы векторы из напряжений, деформаций и условных добавочных напряжений, отнесенных к координатной системе главных осей ортотропии
^••3! „(аЗ) т(аЗ)уГ
^(оЗ)
ху
(27)
п, ,, = („(аЗ) „(аЗ) (аЗЬТ У(аЗ) ? Чу і Чху ) -
Связь между данными векторами записана в матричной форме
^(аЗ) — -^(а 3)£(а3) + <7(аЗ); |,(аЗ)
(28)
где —
матрица жесткости материала в рассматриваемой точке по отношению системе координатных осей .
Вектор выражен через вектор
матричным соотношением
^(аЗ) — 'Ь..:-.!'7!
(29)
а вектор выражен через вектор соотношением
Є(аЗ) — -^(аЗ)е(аЗ)-
(30)
В выражениях (29) (30) матрицы
,
*(аЗ)
являются функциями от угла между ортами сопровождающего базиса и координатными
осями , и определяются формулами
теории анизотропных тел [4].
Выражения (29) и (30) подставлены в (28) и получено
-4(аЗ)°'(аЗ) = -Ё'(аЗ)-б(аЗ)е(аЗ) + <?(аЗ) • (31)
Равенство (31) умножено на матрицу обратную к и записано
_ Т? 77 1/1—1
а(аЗ)
(32)
Подстановка (24) в (32) привела к уравнению
^ = А(аг)Ё(аЗ)В(аЗ)П{а 3)Я + А[^)ЩаЗ)-
(33)
Напряжения приведены к линиям главных кривизн базовой поверхности в виде погонных усилий N1, N2, #1, ^2, (?1, (?2, изгибающих Мх, М2 и крутящих Н\, Н2 моментов, из которых сформирован вектор
^ = (А^х, А^, 5х, Я2, Мх, М2, Ях, Я2 )т.
(34)
Компоненты вектора определяются согласно [3] формулами вида
(к)
«а
N1= [ <тй3)(1 + &2«з) г/п;!.
Ж2 = у <7-22^ (! + ^'1«з) Й«3, (°)
Ях = / г{.2^(1 + /е2аз) йаз,
(35)
(37)
При обозначениях
(*)
С— I ^І.ьЗ! • Я..З! г/п;і.
(38)
Q I "^(оЗ) ‘^(аЗ) *?(аЗ) ^£*3
связь между вектором силовых факторов и вектором параметров деформации оболочки была описана матричным выражением
г = ст + <з,
где
(39)
-
матрица жесткости листового композита в целом, ф = (фг, г = 1,2,..., 8)т — вектор дополнительных усилий, возникающих вследствие температурной деформации и ползучести.
Уравнения равновесия оболочки произвольного очертания представлены согласно [3] в виде системы из трех матричных уравнений
Я2 = [ т^3)(1 + кіа:і) г/п;і.
(о) (к)
где и — координаты соответственно для внутренней и наружной поверхностей оболочки относительно базовой поверхности. Согласно (35) сформирована матрица
Р(аз) = ||Я(“3),г = в = 1,2,3|, на
основе которой вектор определяется соотношениями
(Ь)
(36)
(о)
V 4 7
Подстановкой (33) в (36) получено
(*)
Яіьі! І^ІпЛ) II '/'>3 +
і™ і™ і_
^т = -?х, с^т = -?2, иіт = -дн,
(40)
где — векторы размера 24
Щ = (1т\кК І = 1, 2...24)т, А: = 1. 2. 3.
(41)
компоненты которых являются функциями от параметров Ляме оболочки Ах и А2, и производных от них по криволинейным координатам , — вектор внутренних сил и
производных от них по
<~у 9ХТ^9 <~у 5 *-^15 1 ^ АЧ }
и(Х і С/С^2 С/С^і (/С^2
амх амх а2Мх ом2 ом2 о'2м2
15 о 9 <~у 9 о 9 9 ^2ч о 9 о 9 о 9 '
(/С^1 (/С^2 СЮ^ С/СУі (70^2 $^2
с)Ях с)Ях д2Ні
Ях,
Я2
У«х ’ Оа-2 ’ Уах^аг ’ дН2 дН2 д2Н2
да.\ ' да-2 ' даіда.2
(42)
Для определения вектора Т уравнение
(39) продифференцировано по а\ иа2) и получено векторное выражение
Т = ВР + Ь,
(43)
в котором вектор Р имеет вид
дєі дє2 д*уі2 дхі
Т І Єї, Є2ч *Уі2ч Хії Х2} г\ : а ч гл ? д ■
\ и(Х і и(Х і иОі і и(Х і
с^Х-2 дт $£2 С^712 ^Хі #Х2
да.\ ’ да.\ ’ да2 ’ да '2' да- Ч о Ч е~\ 2 да2 да2 Ч о ч 001,2
с/2єі д2є2 д2^ 12 д2Х1 д2Х2 д2т д2єг
да\ ' ’ да2 ’ да2 ! да2 ’ да2 ’ да2’ да\да2
д2є 2 д2Ъ2 У2Х1 а2Х2 д2т
’ Уаі^аг ’ ’ да.\д«2'
с/2Єі У2Є2 У27і2 ^2Хі ^2Х2 д2т\Г1
~ґ\ 0~ } ~7л О” } о О ? _X О” ? _X 0~ ? Тл О І *
С/СХ<2 (70^2 С/С^2 С/С^2 ^^2 2 /
і)
(44)
Компоненты матрицы I) =
= 1,2, ...,24, ^ = 1,2, ...,36 || определяются дифференцированием компонент матрицы С, а компоненты вектора Ь — дифференцированием вектора ф. Для определения вектора Р дифференцировали (22) по а\ и а2 и получили матричное соотношение
Р =
в котором вектор Я имеет вид
(45)
( дщ ди2 ди з дщ
= 1 Ї Л і, и2. ! ^3 Ч О Ч и(Х і да.\' да.\ ' да2
ди2 диз 02«і д2и2 д2и:і &2щ
да2' да2 Ч<лОЧґ\ОЧ<лО ОСХ^ (УСХООі^ ' да\да2
д2и2 д2щ &2и\ д2и2 д2щ
да\да2' да\да2' о 9 ’ о 9 ’ о 9 ’ 00^2 2 2
длиі дли2 д*и-$ д^їіі дАи2
<)<ґ( ' <)<ґ( ' <)<ґ( ' да2да2' да2да2'
д*ііз д^иі дли2 дли з
да{да.-2' даіда^' даіда,| ’ даіда,| ’
дАи\ діи2 0іщ і <>1 а л д4щ
да'2 ' да'2 ' да:2 ' да\ ' да^да-2 '
д4и3 д4щ д4и:ЛТ ( да\да\ ’ да\да\ ’ да\ ) ’
а матрица
имеет компоненты, получаемые дифференцированием компонент матрицы по и .
При подстановке (45) в (43) получено матричное выражение
Т = ВУБ + Ь. (47)
С учетом (47) система (40) приведена к виду
ГГ1 ПГІ
и( ВУБ = -?1 - и( Ь, и^ВУБ = ^Ч2^и^Ц (48)
Щ’ВУБ = -?3
и2в
иТь.
В соответствии с системой уравнений (48) введены в рассмотрение векторы строки К^, К2, К'з , учитывающие геометрию оболочки и механические характеристики ее материала и скалярные величины С^і, (^2, С^з, учитывающие внешнюю нагрузку, тепловую деформацию и деформацию ползучести
пп пп пп
к{ = и( ВУ (?і = -?1 - и( I,
КІ = ВУ, Я2 = ^д2 - и?Ь, (49)
ГГ1 ПГІ ПГІ
к% = иіВУ, Яг = ^д3 - Щ Ь.
На основе обозначений (49) система уравнений (48) приняла вид
к'[з = яъ
К( в = <Эг,
а1'я = 0з-
(50)
Уравнения (50) построены для упругого материала, но при подстановке (16) в (50) получается система уравнений, позволяющих рассчитать жесткость и прочность оболочек при ползучести в условиях произвольных высоких температур.
4. ПРИМЕР РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ
По предложенной методике рассчитана защемленная по контуру панель, выделенная из прямой круговой конической оболочки (рис. 1), имеющая базовую поверхность в форме части круговой конической поверхности с радиусом верхнего основания м,
длиной образующей м, углом конусности рад и двухгранным углом
рад.
Вдоль образующей базовой поверхности направлена координатная линия а\ с областью изменения 0 ^ «1 ^ Ь (рис. 1). Вторая криволинейная координата а2 — двухгранный угол с областью изменения в (рис. 1). Вдоль координатной линии а\ направлен орт еь а вдоль а2 — орт ег. Орт нормали к базовой поверхности ез определяется векторным произведением .
Рис. 1. Базовая поверхность конической панели, ее основные размеры, координатные системы
в частных производных решалась методом сплайнов [11-
Рис. 2. Изменение температуры Т во времени I в слоях с координатами при одностороннем нагреве оболочки из стеклопластика КТ-11-К-Ф
Материал панели — стеклопластик КТ-11-К-Ф, толщина панели равна 7 мм, температура в панели изменяется во времени и по координате , оставаясь одинаковой вдоль координатных направлений и . Графики изменения температуры в панели представлены на рис. 2. Внешняя распределенная нагрузка равна нулю: = 0, д2 =
. Панель защемлена по контуру.
Расчетные дифференциальные уравнения равновесия и дискретная модель ползучести стеклопластика были сформированы на основе методов, изложенных выше, а полученная система дифференциальных уравнений
Рис. 3. Зависимость погонной продольной силы N1 от времени ^ в центральной точке с координатами и
При решении для расчетных моментов времени были определены
функции перемещения
= 1, 2, 3, внутренние силовые факторы Щ =
= А:/(П|. 5,; = ;Ь'((П|. а2), М, =
,
напряжения .
Расчетные и для центральной точки
с координатами , пред-
ставлены на рис. 3, 4. На рис. 5 показаны зависимости коэффициентов запаса прочности от времени в различных слоях центральной точки. Графики рис. 3-5 позволяют оценить напряженно-деформированное
состояние любой точки панели и сделать заключение о ее прочности.
—о— (X = 0 мм 3 ОС. = 1,75 мм 3 —п— <х = 3,5 мм 3 —*— ОС. = 5,25 мм 3 —г?— (X = 7 мм з
о ______________________________________________
О 40 80 120 160 І, с
Рис. 4. Изменение нормального напряжения ац от времени і, в слоях с координатами аз для центральной точки с координатами он = Ь/2 и
К
4
3
2
1
°0 40 80 120 160 (, с
Рис. 5. Изменение коэффициентов запаса прочности от времени в слоях с координатами для центральной точки с координатами
«1 = V2, 02 = 0/2
ВЫВОДЫ
Предложена новая методика расчета обо-лочечных конструкций из стеклопластиков на прочность при высоких температурах, базирующаяся на новых экспериментальных результатах исследований механических свойств стеклопластиков, на математической
модели ползучести в форме дифференциальных уравнений, на дискретном аналоге данной модели и на новом матричном методе построения уравнений равновесия оболочек в перемещениях, не имеющем ограничений на геометрию оболочки, на анизотропию ее слоев, на направления их укладки, на температурное поле, на механические характеристики материала и на характер внешних силовых воздействий. Методика реализована на ЭВМ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Павлов, В. П. Метод сплайнов и другие численные методы решения одномерных задач механики деформируемых твердых тел / В. П. Павлов. Уфимск. гос. авиац. ун-т. Уфа : УГАТУ, 2003.197 с.
2. Павлов, В. П. Тепловая деформация, прочность и термовязкоупругость стеклопластиков при высокой переменной во времени температуре в условиях термодеструкции. Экспериментальные исследования и математическое моделирование/ В. П. Павлов. Уфимск. гос. авиац. ун-т. Уфа: УГАТУ, 2004. 218 с.
3. Филин, А. П. Элементы теории оболочек / А. П. Филин. Л.: Стройиздат, 1975. 256 с.
4. Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С. Г. Лехницкий. М. : Наука,
ОБ АВТОРАХ
Жернаков Владимир Сергеевич, проф., зав. каф. сопротивления материалов. Дипл. инж.-мех. по авиац. двигателям (УАИ, 1967). Д-р техн. наук по тепл. двигателям ЛА (УГАТУ, 1992). Заслуж. деят. науки и техники РФ. Иссл. в обл. механики деформир. тверд. тела.
Павлов Виктор Павлович,
проф. каф. сопротивления материалов. Дипл. инж.-мех. по авиац. двигателям (УАИ, 1973). Д-р техн. наук по динамике, прочности машин, приборов и аппаратуры (УГАТУ, 2005). Иссл. в обл. механики полимерн. компо-зиц. материалов при нестац. высоких температурах.
1977.416 с.
