CC BY
30
УДК 539.3
МНОГОУРОВНЕВАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИТОВ ПРИ МНОГОФАКТОРНОМ НАГРУЖЕНИИ
О.Г. ОСЯ ЕВ, Ю.А. ТАТУРИН, А.М. КОСТИН, А.В. ЖУКОВ
(Ростовский военный институт ракетных войск)
Предложена математическая модель для анализа сложного напряженно-деформированного состояния многослойных несущих конструкций летательных аппаратов, представленная в виде системы уравнений связи параметров нагружения, напряжений и деформаций. Для решения системы уравнений использован комплексный многоуровневый метод решения, позволяющий учесть особенности геометрии конструкции и поведения конструкционных материалов в процессе многофакторного нагружения.
Ключевые слова: длительная прочность, напряженно-деформированное состояние, ползучесть.
Введение. На этапах эксплуатации конструкции летательных аппаратов испытывают комплексное воздействие факторов термосилового нагружения. Особенность механического поведения конструкционных полимерных композитных материалов состоит в том, что при нормальной температуре эксплуатации и сравнительно небольших уровнях напряжений они проявляют свойство ползучести. Поэтому при выполнении прочностных расчетов необходимо учитывать их указанные особенности.
Установлено [1], что закономерности ползучести основных конструкционных полимерных материалов в широком диапазоне напряжений удовлетворительно описываются линейными наследственными уравнениями. В общем случае пространственного теплового и напряженно-деформированного состояния краевая задача линейной наследственной теории ползучести сводится к решению уравнений наследственной термовязкоупругости.
Определение напряженно-деформированного состояния конструкций из полимерных композитов при многофакторном нагружении. На основании принципа соответствия решение задачи наследственной ползучести может быть приведено к решению соответствующей задачи упругости путем замены основных констант вязкоупругости материала соответствующими временными операторами с помощью прямого символического метода Вольтерра, либо применением преобразования Лапласа или Лапласа - Карсона к наследственным интегралам ползучести. Для этой же цели могут быть использованы методы преобразования Фурье или разложения в ряды других видов. Выбор метода зависит от физической модели рассматриваемых процессов и свойств материала конструкций.
Обозначим параметры пространственного теплового и напряженно-деформированного состояния (НДС), к которым применены указанные виды преобразований, верхним индексом «*», а временные операторы вязкоупругости, замещающие соответствующие константы вязкоупругости материалов, - верхней чертой. Представим воздействие внешних статических, динамических
сил и тепловых источников в виде вектора полей температур Т±, тепловых потоков q±, напряжений с* и перемещений и± на внутренней и наружной поверхностях оболочки корпуса несущей конструкции летательного аппарата:
Рассмотрим многослойную оболочку корпуса несущей конструкции летательного аппарата из вязкоупругих анизотропных материалов, отнесенную к криволинейной ортогональной системе координат х1,х2,х3. Здесь, наряду с общей системой координат х1,х2,х3, введена также и ло-
(1)
кальная система х1 к,х2к,хък, связанная с каждым слоем к. При этом каждая из поверхностей слоя к х3 к = 0 совпадает с его срединной поверхностью радиусом Rckp. Для каждого слоя к
многослойной оболочки справедлива система уравнений, которая получается на основе классической системы нелинейных уравнений теории упругости [2] в предположении геометрической линейности деформаций е,,. относительно перемещений ын и физической нелинейности материала,
V У
обусловленной реологическими свойствами полимерных композитов. С учетом рассмотренных преобразований, исходную систему уравнений представим в тензорном виде:
дс.. _
—. + X. = 0, с.. = Ее ,
дх. ' . .
1
гу 2
ди ди
\
дх.
V .
- + -
дх,.
, і,. = 1, 2, 3 ,
(2)
где X { - вектор объемных сил; Е - операторный модуль вязкоупругости; е.. - деформация.
Для перехода от уравнений равновесия к уравнениям движения компоненты вектора объемных сил представим выражением:
X = X - Р
д2щ
ді,
і = 1 , 2, 3.
(3)
Применяя преобразование Лапласа к уравнению (3) и принимая параметр преобразования р = X , где X - эмпирическая константа материала, при начальных условиях
ды ды 1 =0, дг дг
и = и
(4)
і = 0
получаем:
(
X * = X *— р
Х и — Хи
ди
"57
Л
і = 1, 2, 3
(5)
Учитывая особенности геометрии формы конструкций оболочек с использованием коэффициентов Ламе Н 1з Н 2, Н 3, исходную систему уравнений, справедливую для каждого слоя к
многослойной оболочки, с учетом выражений (3)-(5), запишем в следующем виде:
- уравнения движения
д * дН * д * дН, * д *
— (Н 2 СТИ) - —2 а 22 + — (Н^) + —1 СТ12 + ■— (Н1Н 2 СТ1з) +
дх.
дх
дЯ .
дх.
+Я2 —1 с.з + XI — р
дх,
Х и — Хи
дх2 дх3
ди
ді
= 0,
д
дЯ„
д
. дЯ, . д . дя . д .
— (ЯіС 22) — —1 с„ + — (Я 2 с12) + —2 с12 + — (Я1Я 2 с 23) +
дх2 дх2 дх1 дх1 дх3
+Яі С23 + X2 — р
дх
(
Х2и2 — Хи2
і = 0
— (Я 2 с\) — Я1
д х.
д Я 2 дх,
"С 22 +
ди2
"дГ
д
л
í = 0
= 0,
— (Я 1с 23 ) + — (Я1Я 2 С 33 ) —
дх, дх,
—Я
дЯ1 .
дх,
С11 + X 3 — р
Х2и3 — Хи3
і = 0
ди3
~дГ
і = 0
= 0;
і = 0
і = 0
і = 0
í = 0
физические уравнения связи напряжений и деформаций
_1_
X
1
1
Е.
22
V,.
Е
-с,
33
V
822 Е °22 Е С" Е
22 22 33
* 1 * * V лл
с
с
12 ^ 12 '
^12
* 1 * 813 = ^^С13 і ^13
* 1 *
8 23 = с23 1
^23
(7)
33 Е Е Е
33 33 3
Здесь характеристики материала Е и G представляют операторные модули вязкоупругости и вязкого сдвига соответственно, V - коэффициент Пуассона;
- геометрические уравнения Коши
1 ди.
- + -
1 дЯ,
- + -
Я1 дх1 Я1Я2 дх2
1 ди2 Я2 дх2 1 диъ Я3 дх3
1 дЯ 2
Я2Я3 дх3 1 дЯ
-и3 +
- + -
Я1Я3 дх1
-и1 +
1 дЯ1
------------X
Я1Н3 дх3 1 дЯ 2
Я2Н1 дх1 1 дЯ
Я2Н3 дх2
1 ди * 1 ди *
Я2 дх2
- + -
Я1 дх1 1 ди* + 1 ди*
Я3 дх3 Я1 дх1
1 ди* 1 ди3
:---------2 +------------3-
Я3 дх3 Я2 дх2
- начальные условия
* * ( дс| ( дс| " * *
с = с , I I = I I = рс —с
і = 0 V ді ) \ді) і = 0
і = 0
- граничные условия на наружной и внутренней поверхностях пакета слоев:
= Кз,1 )1 , а2з,1 = (а23,1 )1 , а3з,1 = (а33,1 )1 ,
с
= Кэ,* )*,
поверхностях контакта смежных слоев:
13,*
с
23,k
= (с23^ ) ,
с
33,k
= (сз«) ;
(8)
(9)
(10)
с у,* с .,*+1
, і, У = 1, 2, 3 , k = 1, 2, ..., К;
боковых поверхностях смежных слоев:
* * \ * I 1* г\* I Л
с11,* (1 + е1и ) +с12,* I 2 V* — ^33,* 1 = <с11,* ,
* I 1* ..V* | * /1 *Ч/У
с11,к I 2 е1 2,к + ^33,* I + с12,* (1 + е22,к ) = с12,* ,
* і 1* г\* I * I 1* г\* I * Л
с11,* I 2 е13,* — ^22,* I + с12,* I 2 е23,к + ^11,* I + с13,* = <^13,* ,
* і 1 * Л* I * (1 * Л* I *
с22,к I 2 е23,* — ^11,* I + с12,£ I 2 Є13,* + ^22,£ I + с23,* = с23,* '
(11)
V
V
*
*
*
*
3
*
и
и
2
*
и і,* = и і,*+1
с33,к с33,*+1
Для решения системы уравнений (6)-(12) выберем в качестве неизвестных функции, с помощью которых выражаются условия контакта между слоями.
Компоненты тензоров деформаций, а также слагаемые, содержащие величины углов поворота в уравнениях (12), определяются с помощью известных соотношений нелинейной теории упругости [2]. Решая систему (6)-(8) относительно этих функций, получаем для ортотропной цилиндрической оболочки следующую разрешающую систему уравнений:
дс13 1 *
— = —с13— Дп
*2* * дс33 д и
дх.
з х3
д2 и 2 х 3 д х1 д х 2
дх1 дх1
Г (А1,11 +с11,0)— ,.2
1 д 2и*
(А 2,11 — А 3,12 )----------------------
-А .
ди
д х.
х3 дх2
—Д
'3,12 +с22,0 і
д х.
— X, +
+р
Х и1 — Хи
і = 0
ди1
"дГ
дс 93 2 * 1 .*
23 —________________/-т — ______А
° 23 1,22
дс
33
1 д2 и *
д х
д2 и
3
2 * м
2
1
д х
(А 3,12 + с 11,0 )
д х 2 1 д2 и 1
32
2 * м
х 3 д х1 д х
х 3 д х 2
(А
^ (А *22 + А 3,12 ) )+ ^
* \ 1 *
2,22 + с 22,0 / + с 22,0и 2
1 д и 3
х 32 д х 2
(А
+р
2,22 + 2 с 22,0
Х и2 — Хи2
*
2,22
д Т д х,,
— X 2 +
ди2
~дГ
(13)
дс
33
дх
+
3
1 ди
дс-*;
дх
дс
дх
23 * л * * а *
+ с 33 — А1,22с 33 — А 1,22
ди
1 — А Т
2,22
1
+
/
х32 дх2
2,22 + с 22,0
+ А2,22и3 ) с11
+ р
Х и3 Х и;
Ч
д2 и3 0 "дх^2"
ди3
~дТ
1 д2 и3 *
т с 22,0^Т1Г — ^ 3 +
3
дх
2
-Л * -Л * -Л *
ди1 * * ди3 ди2 * * 1
— = а55с!з — — , — = а44 с2з +
дх3 дх1 дх3
_ * _ ж
и3 * * * и1 1 *
— = т1,ззсзз + п1,зз~ + П2,33
дх3 дх1 х3
х
(
и3 +
V
* I
2
2 )
ди
дх.
*
2
+ т2,ззТ .
Напряжения а1*1, а1*2, а23 определяются с помощью физических и геометрических уравнений (7), (8):
* * ди 1 * ^
с11 = А1,11 + А 2,11
дх1 х3
* ди, ^
и +------
3 дх
V 2 )
— сзз (а1зА1Д1 + а2зА2,п ) + А2,11Т ,
* ___ д :
с12 = А3,12
-----^ + ^
V х3 дх2 дх1 )
* * ди1* 1 *
с22 = А1,22 "I + А2,22
дх1 х3
* ( 1 ди* ди2 ^
+ —2 , дх1 )
— сзз (а1 3 А1,22 + а23А2,22 ) + А2,22Т 1
* ди2 ^
и +-------
3 дх
V 2 )
*
3
і = 0
х
х
3
3
і = 0
і = 0
1
х
3
2
і = 0
і = 0
*
Коэффициенты в уравнениях (13) и (14) определяются следующими соотношениями между физико-механическими и теплофизическими параметрами слоев оболочки корпуса летательного аппарата:
* * * * * * * * * * 2 ,* д* _ а22аб6 . д* _ а12аб6 . д* _ а12аб6 . д* _ а11аб6 . д* _ а11а22 ~ (а12) .
1,11 _ л* ' 2,11 .* ' 1,22 .* ' 2,22 .* ' ¿412 - .* '
д* д* д* д* д*
А _ абб |^а1 1 _ (а22) . А1 ,11 _ _а1 зд,11 _ а23^2,11 ' А ,22 _~а\3^1,22 _а^^2,22 ' ^2,11 *^11^1 ,11 _а22^2,11 '
^2,22 __апЛ,22 _а22д2,22. ^1,33 _ а13А,11 ^ а23А,22 . ^2,33 _а13д,2,11 ^^23^,22. (15)
* *** ** * * *
«1,33 _~а13П1,33 ~а23д2,33 ^^3 . «2,33 _ _а11П1,33 _ а22П2,33 + а33 .
* 1
ап _тг-. а
Еп
1 . * і . * . * V13. * 23
E ' 22 «33 = " E ' -^33 „а и і E, «13 = E ' ^33 3 ІіьЗ" і = a4
* 1 * 1 * 1
«44 : =G3 ; «55 = 74 ; «66 G13 =G2'
Представим неизвестные функции с , а также параметры нагрузки с* в виде двойных тригонометрических рядов:
да да
{* * + } ч ч Г * * + } 1/171
Щ , св , с*3 ) _ ^ ^ (и1,ти , с13,ти , с-3,ти ) со^~уХ1 cos П%2 ,
m=1 n=0
{* * + ) Vі Vі ( * * + ) • m*t • /tr\
u2, C2з, С2з| = ^^{u2,mn , a 23,mn , CT¡3,mn jsin—X1 sin «X, , (16)
W да тп-п-
m^
U , a0. , a0. ^sin—X
1 2,mn ’ 23,mn> 23,mn _) т 1
m=1 n=0
„V,,„ , isin-X cos nx~f ,
3,mn 33,mn 33,mn 1 2
да да
{* * + } v ч Í * * 3 } t/lTi
U3 , CT33 , °33j=¿¿ |U3,mn , CT33,mn , CT¡3,mn j sin —X1 COs П%2 .
m=1 n=0 l 2я
l
<„ =JJ-33COS 1- X!COS ^ *,*2 ,
0 0 l 2 я
a23 mn = { { a23 sin ~Y X sin nx2dx,d%2, (17)
00
l 2я
c33 mn = j j c33 sin-xi cos nx2dx1dx2.
0 0 I
Производные по времени разложим в конечные разности с шагом At:
d2a* = 2ст* (ts) - 5ст* (ts_,) + 4ст* (ts_2) - a* (ts_3) 5t2 At2
da* _ 3a* (tx) - 4a* (ts-,) + a* (t^)
(18)
8t 2At
Подставим разложенные в ряды (16) и конечные разности (18) искомые функции с* в разрешающую систему уравнений (13). Получим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений для каждого временного шага ^ и каждой пары волновых чисел т и п разложения в двойные ряды Фурье соответственно по продольной х и окружной х2 координатам:
дМС) _ * Л _* /, \ , */, \/д* Л 2 п д* Л 2
- 4,11 ^т С33(С) + Щ1 (С) ( д1,11'^т + 2 ^,12 + С11,0^т +
йх3 х3 4 х3
+ “7 Ст22,0 ) )(д2,11 +дэ,12 ) )д- 2,11 _ А2 ,11"~т^) _
х3 х3 х3
—Х1 (ts ) + ~г[2и1 (^ ) — 5и1 (^—1* + 4и1 (ts—2 ) — и1 (С-3 )] ;
8с23 ) _-2с23^з* + п Л* с* (Т1 ) - и* (Т1 ) ( А* + А* ) +
- + Л1,22с33(С) Ати\ ) (А1,22 + А3,12 )Н
8х, х х х.
3
+и.
*/, ч/ Л* Т 2 п Л * Т 2 п 1 \
2^э Д А3,12Ат + 2 А2,22 + с11,0Ат + 2 С22,0 + 2 С22,0 )
4 х3 х3 х3
п . . / . * ^ \ п . * . .
+ 2 ®(С ) (А2,22 + 2с22,0 ) + Л2,22Т (С ) —
(19)
—Х2 (С ) + А^Т [ 2 и2 (ts ) — 5и2 (С—1 ) + 4и2 (С—2 * — и2 (С—3 )] ;
88с33 (t•* _ х .с;, а,)—^ п+^ — 1)—^ )+
8х
х
х
+ 2 и2(С )(А2,22 Нс22,0 ) + и3 (С )
1 А * Т 2 1 2
— А2,22 + с11,0Ат + 2 С22,0П
Л
V х3
X
У
л-3
—Х3 (С ) + А^Г[2и3 (^ ) — 5и3 (С—1) + 4и3 (ts-2 ) — и3 (С—3 )] ;
8“1 (^) _)—Ати3(С); 8“2(‘з* _ ) + —u2(ts* + —и3(^);
*3 Vз—
8и*(^)
3 4*з— 2/ м3\ь э—3 -
1 *. . п *
8X3
*
8х,
х
х
** * ~ * п * * 1** *
А _т,33С33(С) _п!,33'^ти1 (С) ^ п*,33и2(С) ^ ) +m2,33T(ts) 1
сх3 х х
Решение системы уравнений (19) осуществляется численным методом дискретной ортого-нализации [3], который позволяет автоматически удовлетворять граничным условиям контакта слоев оболочки. Статическое напряженно-деформированное состояние оболочки, обусловленное постоянными или медленно изменяющимися нагрузками в процессе эксплуатации, определяется с помощью методов расчета наследственной ползучести [1]. При воздействии динамических нагрузок на рассматриваемую оболочку корпуса, полученные значения с110 и с22 0 , характеризующие
предыдущее статическое состояние конструкции, используются в качестве параметров предварительного нагружения в уравнениях (19). Результатом решения системы уравнений (19) являются функции с*3тп 1 Искомые функции с*3 определяют с помощью выражений (16) путем двойного
суммирования сй пт. Оставшиеся искомые напряжения сп, с12, с23 находят также путем двойного суммирования результатов разложения этих функций, определяемых уравнениями (14), аналогично уравнениям (16):
д*
с
_и
Д,11С33, тп
*-*2,11 / * , * \ а* Т *
+------------(и0 п + и ) — А ллХ ил
у 2,тп 3,тп у 1,11 т 1,т
sin Хтх1 cos пх2,
с,
_и
* Т 1 * и0 А-и п
2,тп т 1, тп
сosА .х1 sin пх2,
(20)
с.
_и
* * Л1,22с33, тп
А.
2 22 / * А ^ - * н------—(и п + и ) — ^1 ил
2 ,тп 3,тп 1,22 т 1,т
Х3
sin Хтх; cosпх2.
3
3
х
3
3
т_1 п_0
3
X
т_1 п_0
3
т_1 п_0
Блок-схема алгоритма решения задачи приведена на рисунке. На первом шаге осуществляется ввод данных о массово-геометрических, физико-механических, теплофизических и деформационных характеристиках материалов и конструкции корпуса летательного аппарата. На втором шаге определяются коэффициенты, учитывающие данные свойства материалов и конструкции, с помощью соотношений (15). Одновременно на шаге 3 выполняется операция задания нагрузки, действующей на конструкцию, выраженной через наружные и внутренние напряжения, перемещения и температуру. Заданные составляющие функций параметров нагружения используются для определения коэффициентов пошагового разложения нагрузки по волновым числам т и п в меридиональном и окружном направлениях соответственно. Для этого используются двойные интегральные выражения для коэффициентов анализа Фурье (17). Далее, на шаге 5 с помощью выражений (16) определяются функции разложения нагрузки и параметров напряженно-деформированного состояния в двойные тригонометрические ряды.
Блок-схема решения задачи
На шестом шаге алгоритма задаются параметры численного интегрирования (начальные значения температуры, волновые числа, число шагов интегрирования по толщине каждого слоя и число точек дискретной ортогонализации). На шаге 7 выполняется решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (19). На шаге 8 определяются искомые полные функции напряжений и перемещений путем двойного суммирования волновых функций (20). Для решения уравнений (19) и (20) используются результаты, полученные на шагах 2, 5 и 6 алгоритма, как показано на блок-схеме (см. рисунок).
Системы уравнений (6)-(20) и рассмотренные методы их решения могут быть использованы для решения физически нелинейных задач термоупругости и термовязкоупругости при многофакторном статическом и динамическом нагружении многослойных оболочек сложных несущих конструкций летательных аппаратов из полимерных композитов в условиях эксплуатации. Заключение. Представлена математическая модель для анализа сложного напряженно-деформированного состояния многослойных несущих конструкций летательных аппаратов. Решение системы уравнений осуществлено комплексным многоуровневым методом, позволяющим учесть особенности геометрии конструкции и поведения конструкционных материалов при многофакторном нагружении.
Библиографический список
1. Гольденблат И.И. Длительная прочность в машиностроении / И.И. Гольденблат, В.Л. Бажанов, В.А. Копнов. - М.: Машиностроение, 1977. - 248 с.
2. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости / В.В. Новожилов. - М.: Машиностроение, 1988. - 288 с.
3. Григоренко Я.М. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ / Я.М. Григорен-ко, А.П. Мукоед. - Киев: Вища шк., 1983. - 226 с.
Материал поступил в редакцию 07.04.2011.
References
1. Gol'denblat I.I. Dlitel'naya prochnost' v mashinostroenii / I.I. Gol'denblat, V.L. Bazhanov, V.A. Kopnov. - M.: Mashinostroenie, 1977. - 248 s. - In Russian.
2. Novozhilov V.V. Osnovy' nelinejnoj teorii uprugosti / V.V. Novozhilov. - M.: Mashinostroenie, 1988. - 288 s. - In Russian.
3. Grigorenko Ya.M. Reshenie nelinejny'x zadach teorii obolochek na E'VM / Ya.M. Grigorenko, A.P. Mukoed. - Kiev: Vy'shha shk., 1983. - 226 s. - In Russian.
ANALYSIS LAYER MODEL OF POLYMER COMPOSITE DESIGN UNDER MULTIFACTOR LOADING O.G. OSYAEV, Y.A. TATURIN, A.M. KOSTIN, A.V. ZHUKOV
(Rostov Military Institute of Rocket Forces)
A mathematical model is offered for the analysis of complex stress-strain state of the layer load-carrying structures of the aircraft planes. It is presented as sets of the equations of the constraining relations of load parameters, voltages and deformation. The complex multilayered solution method that allows including specific features of the design geometry and behaviour of structural materials through multifactor loading is used for the solution of the systems of the equations.
Keywords: long-term strength, stress-strain state, creeping.
