УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХСЛОЙНОЙ СИММЕТРИЧНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ В КЛАССЕ СУММИРУЕМЫХ НА СЕТЕПОДОБНОЙ ОБЛАСТИ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 27, № 137

(g Хоанг В.Н., Провоторов В.В., 2022 DOI 10.20310/2686-9667-2022-27-137-80-94 УДК 517.929.4

2022

м9

OPEN fil ACCESS

Устойчивость трехслойной симметричной дифференциально-разностной схемы в классе суммируемых на сетеподобной области функций

Ван Нгуен ХОАНГ, Вячеслав Васильевич ПРОВОТОРОВ

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет» 394018, Российская Федерация, г. Воронеж, Университетская площадь, 1

Аннотация. В работе получены условия устойчивости трехслойной симметричной дифференциально-разностной схемы с весовым параметром в классе функций, суммируемых на сетеподобной области. Для анализа устойчивости в пространстве допустимых решений Н дифференциально-разностной системы вводится составная норма, имеющая структуру нормы пространства Н2 = Н ф Н. А именно, для У = {У1; У2} € Н2, У € Н (I =1, 2 ),

г у Н = НУ1||2,Я +уу2у2,н, где 1М|2,Я \\-\?2,И — некоторые нормы Н. Использование такой

нормы при описании энергетического тождества открывает путь построения априорных оценок для слабых решений дифференциально-разностной системы, удобных при практической проверке в случае конкретных дифференциально-разностных схем. Полученные результаты могут быть использованы для анализа задач оптимизации, возникающих при моделировании сетеподобных процессов переноса формализмами дифференциально-разностных систем.

Ключевые слова: многомерная сетеподобная область, дифференциально-разностная система, устойчивость дифференциально-разностной схемы

Благодарности: Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Республики Казахстан (проект АР05136197).

Для цитирования: Хоанг В.Н., Провоторов В.В. Устойчивость трехслойной симметричной дифференциально-разностной схемы в классе суммируемых на сетеподобной области функций // Вестник российских университетов. Математика. 2022. Т. 27. № 137. С. 80-94. БО! 10.20310/2686-9667-2022-27-137-80-94.

© V. N. Hoang, V. V. Provotorov, 2022 DOI 10.20310/2686-9667-2022-27-137-80-94

Stability of a three-layer symmetric differential-difference scheme in the class of functions summable on a network-like domain

Van N. HOANG, Vyacheslav V. PROVOTOROV

Voronezh State University 1 Universitetskaya pl., Voronezh 394018, Russian Federation

Abstract. In the paper, the stability conditions of a three-layer symmetric differential-difference scheme with a weight parameter in the class of functions summable on a network-like domain are obtained. To analyze the stability of the differential-difference system in the space of feasible solutions H, a composite norm is introduced that has the structure of a norm in the space H2 = H0H. Namely, for Y = {Y,Y}g H2, Y € H (t = 1,2 ), ||Y fH = \\Yi\\21,H + ||Y2||;\,H, where || • ||2,H || • ||2,H are some norms in H. The use of such a norm in the description of the energy identity opens the way for constructing a priori estimates for weak solutions of the differential-difference system, convenient for practical testing in the case of specific differential-difference schemes. The results obtained can be used to analyze optimization problems that arise when modeling network-like transfer processes with the help of formalisms of differential-difference systems.

Keywords: multidimensional network-like domain, differential-difference system, stability of differential-difference scheme

Acknowledgements: The work is supported by the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan (project AP05136197).

Mathematics Subject Classification: 49N10.

For citation: Hoang V.N., Provotorov V.V. Ustoychivost' trekhsloynoy simmetrichnoy differen-tsial'no-raznostnoy skhemy v klasse summiruyemykh na setepodobnoy oblasti funktsiy [Stability of a three-layer symmetric differential-difference scheme in the class of functions summable on a network-like domain]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika - Russian Universities Reports. Mathematics, 2022, vol. 27, no. 137, pp. 80-94. DOI 10.20310/2686-9667-2022-27-13780-94. (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

Настоящая работа является естественным продолжением исследований устойчивости дифференциальных систем на графе [1,2] в направлении увеличения размерности сетепо-добной области изменения пространственной переменной при изучении устойчивости трехслойной дифференциально-разностной схемы с весами и оператором, определенным в соболевском пространстве. Представлены достаточные условия устойчивости, зависящие от выбора весовых параметров, и доказано основное энергетическое тождество. Получены основанные на энергетическом тождестве априорные оценки, гарантирующие устойчивость схемы к малым изменениям начальных данных и правой части. Рассмотрена связь устойчивости дифференциально-разностных схем со слабой разрешимостью эволюционных задач для уравнений математической физики с пространственной переменной, изменяющейся в сетеподобной области. Представленный анализ устойчивости дифференциально-разностных схем открывает путь аппроксимации дифференциальных систем уравнений математической физики при их численной реализации и алгоритмизации для решения задач оптимального управления.

1. Необходимые обозначения, понятия и определения

Везде ниже областью изменения аргументов функций является сетеподобная ограниченная область Q С Rn, n > 2 (dQ — граница Q), состоящая из подобластей Qi, l = 1, N (дQi — граница Qi), соединенных определенным образом между собой в M

__л л N M

узловых местах Wj (j = 1,M, 1 < M < N — 1): Q = QUW, Q = U Qi, W = U Wj,

i=i j=i

Q i P| Q v = 0 (l = l'), w j P| w ji = 0 (j = j'), Q i P| w j = 0 (l = j ) [3-5]. В каждом узловом месте Wj (j = 1,M) определенное число подобластей Q i имеют общие границы, образующие поверхность их примыкания Sj (meas Sj > 0 ). Поверхность примыкания связывает

__M

между собой примыкающие к ней 1 + mj области Q 1о и Q is (s = 1, mj ): Sj = (J Sj s

__s=l

(meas Sj s > 0), Sj С dQlo, Sjs С дQis (s = 1,mj). Таким образом, каждое узловое место Wj (j = 1, M) определяется своею поверхностью примыкания Sj, для которой каждая поверхность Sj s (s = 1, mj ) также является поверхностью примыкания Q is к Qi0. Ясно, что при этом граница области Q не содержит поверхности Sj (j = 1,M):

N M

dQ = U дQk\ U Sj. Следует отметить, что структура области Q совпадает с геометрией k= i j=i

графа-дерево с внутренними узлами (вершинами) w [1,2], [6]. А именно, каждая область Qi примыкает к одному либо двум узловым местам и имеет не менее одной поверхности примыкания к другим областями (заметим для сравнения: хотя бы одна концевая точка произвольного ребра графа является местом сочленения с концевыми точками определенного числа других ребер). Очевидно также, что любая связная подобласть области Q имеет структуру, аналогичную Q, и обладает своим числом узловых мест. Условимся считать, что поверхности Sj и Sjs (s = 1,mj, l = 1,N) являются гладкими, а области Qi — звездными относительно некоторого шара, своего для каждой Qi.

Используются общепринятые обозначения пространств Лебега и Соболева, причем интеграл Лебега применительно к сетеподобной области Q определяется соотношением

N

f u(x)dx = ^ f u(x)dx. Пусть L2(Q) — гильбертово пространство действительных изме-

3= i=13

римых по Лебегу функций и(х), х = (х, х2,... , хп), скалярное произведение и норма в ¿2(3) определены соответствующими равенствами:

(„,„)„ = / и(х)ф)<Ъ, Вий. = 7^. (1.1)

Пусть, далее, Ш1(3) —гильбертово пространство функций и(х) из ¿2(3), для которых иХк(х) € ¿2(3), к = 1,п; соотношения

М. = 1 |и(х)г;(х) + ^и!^ ^х, ЦиВ. = ^(и,и)., (1.2)

д. \ к=1 /

определяют скалярное произведение и норму в Ш1 (3), соответственно. Символ 3 в обо-

2

значениях скалярного произведения и нормы в некоторых случаях для упрощения записи может опускаться. Представления пространств ¿2(3), Ш 1(3) принимают следующий

N N

вид: ¿2(3) = П ¿2(3*), ^1(3) = П 1=1 1=1

N

Введем другие пространства функций с носителем на сетеподобной области 3 = и 3г.

1=1

При описании таких пространств необходимо продолжать элементы и(х) с области 3 на

_ N _

3 = и 31.

1=1 _ _

Вводя совокупность С(П) непрерывных функций в некоторой области П (скалярное произведение и норму в С(П) определим соотношениями (1.1), в которых 3 следует заменить на П), условимся говорить, что элемент и(х) € С(П) имеет производную, непрерывную в П, если эта производная для точек П, продолжается на П по непрерывности (топология на П индуцируется топологией П ). Таким образом, можно определить и рассмотреть совокупность С 1(П), для элементов и(х) которой существуют непрерывные первые производные по переменным х1,х2,... ,хп в П, причем скалярное произведение и норма для элементов С 1(П) определены соотношениями (1.2) (в которых 3 заменяется на П).

Сказанное приводит к возможности формирования следующих множеств для области 3: множество С(3) непрерывных в 3 функций и(х), множество С 1(31) (I = 1,^) функций из С(3), которые при каждом фиксированном I в 31 имеют непрерывные

частные производные ^ЦхГ, ^ЭхХ^,... , ^ЦХ" и множество С 1(3) = П С 1(31) со скалярным

произведением и нормой, определяемыми формулами (1.2).

Далее, пусть (71(3) — множество функций и(х) € С 1(3), для которых имеют место условия (ниже — условия примыкания в узловых местах )

1 5и(х)^. ^^ Г 5и(х)^.. _

а(х),^. ^ + ^ J а(х),^ дп ^ = 0, х € Sji, г = 1,ш^-, (1.3)

на поверхностях Sj, Sji (г = ) всех узловых мест , ] = 1, М. Здесь а(х) € ¿2(3) и а(х),^., и(х)Sj, , и(х),^ — сужения функций а(х), и(х) на Sj и Sj•i; nj и

nji — внешние нормали к Sj и Sji, соответственно, г = 1,"", = 1,М. В дальнейшем

для упрощения записи индексы, означающие сужение, могут не использоваться. Вместе с введем множество (70элементы и(х) которого имеют компактный носитель в области 3 и принадлежат (71(^); последнее означает, что и(х)|аэ = 0.

Определение 1.1. Ш 1(3) — замыкание (71(^) в норме (1.2); || ■ = II' Из-

Определение 1.2. ^,(3) — замыкание С0(3) в норме (1.2); Ш^(^) является подпространством Ш 1(3).

_ N _

Заметим, что представление С 1(3) = П С 1(3г) определяет очевидное свойство эле-

1=1

ментов и(х) пространств Ш 1(3) и Ш^(^) : сужения и(х)щ для любого I = 1,М принадлежат этим пространствам. Заметим также, что из 3^ С 3 (I = 1,М) и существования обобщенных производных (1 = 1,п) в области 3 следует существование обобщен-

ных производных дидХ'Х в 3^. Отсюда и из определений 1.1 и 1.2 вытекает: элементы пространств Ш 1(3) и Ш0(3) обладают свойством (1.3), являющимся условиями примыкания границ поверхностей 3г в узловых местах , г] = 1,М. Таким образом мы остаемся в рамках классической теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, если только обобщенная производная определена 3^. Последнее учтено в представлениях (1.2) скалярного произведения и нормы.

2. Дифференциально-разностная схема, устойчивость

На отрезке [0, Т] введем равномерную сетку

ит = {Ьк = кт, к = 1,..., К}

с шагом т = К; ит = {0} и ит. Будем рассматривать абстрактные функции (отображения) ут (Ь), ¡т (Ь) дискретного аргумента Ь = кт Е шт со значениями в пространстве Ь2(3), так что ут(Ь) Е Ш0(3) С Ь2(3). В дальнейшем индекс т будем опускать и писать

у(к):= у(х; к) = Ут(х;кт), !(к) := !(х;к) = ¡т(х;кт) (к = 0,1,...,К).

Рассмотрим семейство дифференциально-разностных уравнений

1[у(к + 1) - у(к - 1)] = ЬуИ + ¡(к), к =1,2,..., К - 1, У(0) = Уo(x), у(1) = Уl(x),

зависящих от параметра а, где у(а) = ау(к + 1) + (1 — 2а)у(к) + ау(к — 1), с операторным

П , ч

коэффициентом Ь, который является линейным оператором Ьи = ^ дХГ [аК1,(х) §цт) ,

действующим из пространства (3) в Ь2(3). Семейство дифференциально-разностных уравнений (2.1) будем называть трехслойной симметричной дифференциально-разностной системой уравнений. Пространство Ш1(3) определяется посредством замыкания множества С71 (3), где а(х) = аК1(х) (см. соотношение (1.3)). Уравнение в системе (2.1) связывает значения искомых функций у (к), к = 2,33,..., К, на трех слоях Ьк+1, Ьк, Ьк-1; функции у0(х), у1(х) определяют начальные данные, значения / (к), к = 1, 2,..., К, как и начальные функции, полагаем заданными.

При фиксированных к ( к = 1, 2,... ,К — 1) и параметре а функция у(к + 1) Е ^,(3) определена как решение (2.1) с краевым условием

у(к) 1хедъ= 0. (2.2)

Дифференциально-разностную систему уравнений (2.1) с краевыми условиями (2.2) при к = 2, 3,... , К назовем трехслойной симметричной дифференциально-разностной схемой (2.1), (2.2).

Во всех рассмотрениях считаем выполненными условия эллиптичности оператора Ь, его коэффициенты а1к(х) — ограниченные измеримые функции, т. е. имеют место условия

а*£2 ^ ««¿(х)^ ^ а*£2,

п п

а«1(х) = а1к(х) ак1(х)СкС1 = Е ^¿НСк^ С2 = Е С2,

К,1=1 к=1

с фиксированными положительными постоянными а*, а*, в и произвольными параметрами С1, С2,... , Сп, кроме того

Уо(х),У1(х) € Ш1(3), / (к) € ¿2 (3), к =1, 2,..., К. (2.4)

Определение 2.1. Совокупность {у (2), у(3),... , у(К)} функций у (к) € ^,(3) ( к = 2, К) является слабым решением дифференциально-разностной системы (2.1), (2.2), если функции у(к) ( к = 2, К) удовлетворяют тождествам

У у(к)о п(х)^х + %И,п) = У /(к)п(х)^х Уп(х) € ^¿(3) ..

при к = 1, 2,..., К — 1; у(к)о = 2- [у (к + 1) — у(к — 1)]; билинейная форма £(у(ст),п)

2т

определена соотношением

ду(ст) дп(х)

ак 1(х) ""7; ОЖ.

дх / дхк

«,¿=1

/п

5 ««¿(х)-

О. «,¿=1

Замечание 2.1. Из определения 2.1 следует, что для у(к) и каждого фиксированного к = 2, 3,..., К — 1 соотношения (2.1), (2.2) задают в пространстве Ш1(3) краевую задачу в слабой постановке для эллиптического уравнения (2.1).

Введем понятие корректности (корректно поставленной) дифференциально-разностной схемы (2.1). Для этого в пространстве ^1(3) будем использовать составную норму вида

Г (к + 1)||2 = 1 ||у(к + 1) + у(к)В21) + Ву(к + 1) — у(к)В22),

(2.5)

н^ (1)в2 = 1 вы+уоВ21) + вы — уоВ22),

где В ' ||(1) и В ■ ||(2) — некоторые нормы пространства ^1(3)

Определение 2.2. Дифференциально-разностная схема (2.1) называется корректной, если при достаточно малых т < т0

1) решение задачи (2.1), (2.2) существует и единственно при любых начальных данных у0(х),у1(х) € Ш1 (3) и правых частях /(к) € ¿2(3) для всех к = 1, 2,... ,К;

2) существуют такие положительные постоянные С1 и С2, не зависящие от т и от выбора у0(х), у1(х), /(к), что при любых у0(х),у1(х) € ^(^(3) и /(к) € ¿2(3) (к = 1, 2, . . . , К) справедлива оценка

Г(к + 1)|| < С1НУ(1)Н(10) + С2Н/(к)||(11), (2.6)

где ||У(1)1(10), Н/(к)Н(11) — нормы пространств Ш1(3) и ¿2(3),соответственно.

Неравенство (2.6) (совместно с представлением (2.5) составной нормы) выражает свойство равномерной по т непрерывной зависимости решения задачи (2.1), (2.2) от входных данных у0(х), у1(х), f (к) ( к = 1, 2,... ,К) и определяет свойство устойчивости дифференциально-разностной схемы (2.1).

Теорема 2.1. Пусть для функций аК1(х), у0(х), у1(х) и f (х) выполнены условия (2.3), (2.4). Функции у (к) (к = 1, 2,..., К), определяющие слабое решение системы (2.1),

(2.2), при достаточно малых т и а > 0 однозначно определяются как элементы пространства Ж^(3).

Доказательство. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям из работы [7], можно установить свойство базисности в Ж0(3) и Ь2(3) множества обобщенных собственных функций оператора Ь, определенного в Ж^(3). При выполнении условий

(2.3) оператор Ь обладает вещественными и отрицательными собственными значениями конечной кратности. Эти собственные значения допускают нумерацию по неубыванию модулей: {Лг}г>1| обобщенные собственные функции нумеруются соответственно, при этом учитывается кратность каждого собственного значения: {фг(х)}г>ь

Задача Ьф = Лф + д, д Е Ь2(Г), фредгольмово разрешима в пространстве Ж^(3). Исходя из этого, положив к = 1, получаем однозначную разрешимость относительно у(2) при а > 0 краевой задачи

аЬу(2) = ±-у(2) - (1 - 2а)Ьу1 - аЬуо - ^(0) - f (1)

в Ж0(3) для т < т0 при достаточно малом т0 > 0. Это же справедливо для у(3), у (4),... , у (К) в силу соотношений

аЬу(к + 1) = 2^у(к + 1) - (1 - 2а)Ьу(к) - аЬу(к - 1) - ^(к - 2) - f (к)

при к = 2, 3,... ,К - 1, что завершает доказательство теоремы. □

В дальнейшем изложении используются следующие обозначения, учитывающие границы изменения индекса к (см. [8, с. 350]):

у = У(k), у = у(к + 1), у = у(к - 1), уь = 1(у - y), уг =1(у - y), у° = ■1(у - y), уи = -4(у - 2у + y),

т

2т

в которых схема (2.1) примет вид

1

— (у - у) = ЬуЫ + f (к), = ау + (1 - 2а)у + ау.

Заметим, что при любых значениях у, у и у имеют место соотношения

(2.7)

(у - у)у(а)

2(у2 + у2) + (а - \)(у - у)2

\(у2 + у2) + (а - \)(у - У)2

\(у2 + у2) = 4(у + у)2 + 4(у - у)2.

и вытекающее из них

(У - У)УИ

4(y + y)2 + (а - 4)(У - У)2

4(y + y)2 + - 4)(y - У)2

В пространстве ^5(3) введем новую (составную) норму соотношениями

Г (к + 1)||2 = 4 Ну(к + 1) + у(к)Н| + (а — 1)||у(к + 1) — у(к)Н|, 1|У(1)Н2 = 4 ||У1 + УоН| + (а — 1)НУ1 " "

считая а > 1, и получим представление

(У — у)уи = ||У (к + 1)Н2 — НУ (к)Н2

(2.8)

при этом

НУ (к + 1)||2 > 4 lly(k + 1)+ y(k)Hl

Умножая уравнение (2.7) скалярно на 2ту(ст) и учитывая соотношение (2.8), получим основное энергетическое тождество для трехслойной схемы (2.1):

НУ (к + 1)||2 + 2т У ¿ аК,К(х)( dy^) dx = ||У (к)||2 + 2т (f (к),у(ст)).

(2.9)

Используя соотношения (2.3), аналог неравенства Пуанкаре-Фридрихса (см., например, [9, с. 62])

К=1

дуИ

dX > 4cJ|уи||2

в пространстве W¿(3) (здесь со, c1 — произвольные положительные постоянные, зависящие только от meas 3, а*) и очевидное неравенство

2т(f(к),у(ст)) < тсо||у(ст)||| + -112

Со

из соотношения (2.9) приходим к неравенству

||У(k + 1)||2 + 8ci|у(ст)||2 < ||У(к)||2 + Со|У(^)+ -

Выбирая в последнем с0 = 8с1, окончательно получаем оценку

НУ (к + 1)||2 < НУ (к)Н2 + ^ в/(к)Н|.

Суммируя (2.10) по к = 1, 2,..., к ( к < К — 1), приходим к неравенству

(2.10)

1/2

||У(к + 1)|| < ||У(1)|| + (Е т||f (к

и следующему утверждению.

2

2

2

Теорема 2.2. Дифференциально-разностная схема (2.1) устойчива к малым изменениям начальных условий у0(х), у^х) и правой части f (к) к = 1, 2,..., К, если выполнены условия (2.3), (2.4) и а > 1. Для слабого решения дифференциально-разностной системы (2.1), (2.2) справедлива априорная оценка

_ / \ 1/2

Г (к + 1)|| < 211У1 + + уо—411У1 - УоЬ + ^ ( Е т ^ (к'^ ] (2.11)

при всех к = 1, 2,..., К — 1.

Замечание 2.2. Оценка (2.11) показывает сходимость дифференциально-разностной схемы (2.1) для а > 4 со скоростью 0(т2).

Замечание 2.3. Утверждение теоремы 2.2 справедливо и для а > 4, тогда ||У ||

4

1

4

является полунормой.

Полученные результаты переносятся на другую симметричную дифференциально-разностную схему в пространстве :

Т2[у(к + 1) — 2у(к) + у(к — 1)] = Ьу^ = f (к), к = 1, 2,..., К — 1, у(0) = уо(х), У(1) = у1(х)

Подставляя в (2.12) у(ст) = ау + (1 — 2а)у + ау = у + ат2у«о и учитывая равенство Ш = Т2 [у (к + 1) — 2у(к) + у (к — 1)], получим

(Е + ат 2Ь)у« + Ьу = f (к)

и,

окончательно, при у = „ (у/ + у) — Тгу«

2

Иу« + 2 Ь(у + у) = f (к), И = Е + (а — 1)т2 Ь. (2.13)

Умножим соотношение (2.13) скалярно на 2туо = т(уо + у«) = у — у :

(И(у — у), у + у) + 2(Ь(у + у), у — у) = 2т ^ (к), уо). (2.14)

Лемма 2.1. Имеют место следующие соотношения:

1) (И(у — у), у + у) = (Иу, у) — (Иу, у),

2) (Ь(у + у),у — у) = 4[(Ь(у + у),у + у) + т2(Ьуо,уо)] — 4[(Ь(у + у),у + у) + т2(Ьу« ,у«)].

Доказательство. Первое соотношение есть прямое следствие самосопряженности линейного оператора И.. Второе вытекает из следующих преобразований. Так как

И = И*, то

(Ь(а + г), V + г) + (Ца — г), V — г) = [(Ьа, V) + 2(Ь^, г) + (Ьг, г)]

+ [(Ь^, V) — 2(Ьа, г) + (Ьг, г)] = 2[(Ьа, V) + (Ьг, г)] для любых элементов v,z € Ж¿(3). Отсюда

(Ьи, V) + (Ьг, г) = + г), V + г) + — г), V — г). (2.15)

Положив в (2.15) V = у, г = у, получим

(Ь(у + у),у - у) = 2 [(Ь(у + у),у + у) +(Ь(у - у),у - у)]

-2[(Ь(у + у), у + у) + (Ь(у - у), у - у)]. Подставив в полученное соотношение выражения

(Ь(у - у),у - у) = т2(LУt,Уt), (ь(У - у),У - у) = т2(ЬУi,Уi),

получим второе соотношение, чем завершается доказательство леммы. □

Соотношение (2.14) в силу утверждений леммы 2.1 преобразуется к виду

1 [(Ь(у + у),у + у) + т2 ((К + Т2 Ь)уь,уь)] -4[(Ь(у + у), у + у) + т2((К + Т2Ь)уг, уг)] = 2т^(к), у-)

или, учитывая К = Е + (а - 1 )т2Ь,

4[(Ь(у + у),у + у) + т2((Е + (а - 1 )т2Ь)уу-)] 4 1 4 1 (2.16) -4[(Ь(у + у),у + у) + т2((Е + (а - 1 )т2Ь)уг, у)] = 2т^(к),щ). К ]

Вводя составную норму

Г (к + 1)||2 = \[(Чу(к + 1) + у(к)),у(к + 1) + у(к)) + т2((Е + (а - \)т2Ь)Ш,к ,Ш,к)], из соотношения (2.16) получаем энергетическое тождество

г (к + 1)||2 = Г (к)||2 + 2т и (к), ус)

для трехслойной дифференциально-разностной схемы (2.12). Для схемы (2.12) остаются справедливыми утверждения теоремы 2.2: имеет место устойчивость для а > 4 и имеет место оценка, аналогичная (2.11).

Подход, представленный утверждениями теоремы 2.2, используется при получении условий существования и построения слабого решения эволюционных дифференциальных систем математической физики, соответствующих дифференциально-разностным схемам (2.1) и (2.12). _ _

Введем пространства состояний Ж0'°(3т) и Ж°(3т), 3т = Зх (0,Т), Т < ж, для эволюционных дифференциальных систем.

Определение 2.3. Замыкание в норме

N „ п

ди

ий = Е (и2 + Т,( ди )2) ^)1/2

х (0,Т) 1=1

функций и(х,Ь) Е Ь2(3) со следами и(х,Ь°) Е Ж^(3), ¿° € (0,Т), непрерывно зависящи-

0

ми от ¿° в норме Ж^(3), назовем пространством Ж° (3т).

Определение 2.4. Замыкание в норме

N

М4г = (Е / +(!)2+Е 2)Н1/2

к=13к х(0,Т) 1-1

функций и (ж,*) € ¿2(3) со следами и(ж,*0) € Ж^(3), *0 € (0,Т), непрерывно зависящими от *0 в норме Ж1(3), назовем пространством Ж0(3т), Ж0(3т) С Жо0(3т).

Учитывая условия (2.9) и (2.10), рассмотрим в Жо°(3у) эволюционную дифференциальную систему

ди д ( , ч ди \ . /^„,,4

««1 (ж)^ = Р (ж,*), (2.17)

и |о=о= ¥>о(ж), (2.18)

а в пространстве Ж0(3т) рассмотрим эволюционную дифференциальную систему

д2м 5 / . . 5м \ . .

Мж) ^ = Р (ж,*), (2.19)

д*2 джк \ дж

дм

и |о=о= ^о(ж), 1о=о= ^1(ж). (2.20)

Здесь Р(ж,*) € ¿2д(3т) (элементы v(ж, *) € ¿2д(3т) принадлежат Ь1(3Т), IV!1 =

т '

|МЬд,зт = Я/ v2(ж,í)dж)1/2 ^); ^о(ж) = уо (ж), ^(ж) = у1(ж) в силу (2.4) и (2.15); Р (ж,*)

о 3=

определяется по f (ж; к) (к = 1, 2,..., К) из (2.1) или (2.12) соотношениями f (ж; к) = 1 / Р (ж,*)^ € ¿2(3), к = 1, 2,..., К.

(к-1)т

Обозначим через €т(м,п)= / Е аК1(ж)^Ц^т^^ж^*

3т к,1=1

Определение 2.5. Функция м(ж, *) € Жд0 (3т) называется слабым решением эволюционной дифференциальной системы (2.17), (2.18), если для нее справедливо тождество

— / м(ж, *) дпд0,о) ^ж^* + €т(м,п)

Эт _

= /^0(ж)п(ж, 0)^ж +/ Р(ж, *)п(ж, Уп(ж,*) € Ж0(3т), п(ж, Т) = 0.

3т

Определение 2.6. Функция м(ж, *) € Ж0(3т), равная почти всюду <^0(ж) при * = 0, называется слабым решением эволюционной дифференциальной системы (2.19), (2.20), если для нее справедливо тождество

— ^ М + £т(и,п)

Эт _

= / ^ 1 (ж)п(ж, 0)^ж + / Р(ж,*)п(ж,*)^жй* Уп(ж,*) € Ж 0(3т), п(ж,Т) = 0.

3 3т

1

Приведем условия слабой разрешимости системы (2.17), (2.18). Затем аналогичное утверждение сформулируем для системы (2.19), (2.20).

Теорема 2.3. При выполнении условий (2.3), (2.4) эволюционная дифференциальная система (2.17), (2.18) слабо разрешима в пространстве Ж0'°(3т).

Доказательство. Рассуждения основаны на представлении приближенного решения дифференциальной системы (2.17), (2.18) функциями у(к), к = 2,... , К, определяющими решение дифференциально-разностной системы (2.1) совместно с начальными данными

У(0) = У°(х) и У(1) = У1(х).

Отметим, прежде всего, что дифференциально-разностная схема (2.1) является разностным аналогом эволюционной дифференциальной системы (2.17), (2.18). Определим функцию ик(х,г) следующими соотношениями:

ик (х,г) = у (к), г Е ((к - 1)т,кт], к = 1, 2,..., К. (2.21)

Ясно, что функция ик (х,г) является элементом пространства W0'0 (3т), для нее справедливы оценки (2.11) в терминах составной нормы пространства Ж^(3) из чего, как следствие, вытекает ограниченность ||ик+ || ^ЦК Н^т в совокупности:

дик дх

дик и _([ А (дик (х,г)\2 \ 1/2 (2.22)

1ик||зт + — ||зт < С*,

£ Н^ *

дх V / ^ V дхс

1=1

^т

постоянная С* > 0 не зависит от выбора т.

Оценка (2.22) означает, что последовательность {ик(х,г)} содержит подпоследовательность {ик(х,г)}, слабо сходящуюся к элементу и(х,г) Е Ж0'°(3т). Покажем, что функция и(х,г) есть слабое решение эволюционной системы (2.17), (2.18), т. е. и(х,г) удовлетворяет равенству в определении 2.5.

Подобно представлению (2.21) функции ик(х,г), определим функцию Г(х,г) соотношением

Гк (х,г) = f (х; к), г Е ((к - 1)т,кт], к = 1, 2,..., К.

Далее заметим, что в качестве произвольных функций ц(х,г), используемых в интегральном уравнении из определения 2.5, можно взять функции, принадлежащие пространству С 1(3т+т) и удовлетворяющие соотношениям

П1дгт = 0, п1ье[т,т+т] = 0

(множество таких функций всюду плотно в Ж°(3т)). По таким ц(х,г) определяются п(к) = п(х,кт) ( к = 1, 2,..., К )и пк (х,г) подобно ик (х,г), Гк (х,г) :

Пк (х,г) = п(к), г Е ((к - 1)т,кт], к = 1, 2,..., К,

очевидно пк (х,г) Е Ж°(3т). Аналогично определяются производные дпкд((Ь и функции пк(х,г), которые, как нетрудно убедиться, сходятся вместе с пк(х,г) к ь),

дпд0,о) и п(ж, *) равномерно в Гт при К ^ то. Техническая часть доказательства осуществляется заменой в уравнении из определения 2.5 функций и(ж,*), Р(ж,*), п(ж,*) на (ж,*), Рк(ж, *), (ж, *), доказательство завершается предельным переходом по подпоследовательности {Цк(ж,*)} в полученном уравнении. □ Аналогичные рассуждения приводят к следующему утверждению.

Теорема 2.4. При выполнении условий (2.3), (2.4) эволюционная дифференциальная система (2.19), (2.20) слабо разрешима в пространстве (3т).

3. Заключение.

В соболевском пространстве W^(ö) функций с носителем в сетеподобной области из рассмотрено однопараметрическое семейство симметричных трехслойных дифференциально-разностных схем. Установлены условия на параметр, правую часть и начальные данные дифференциально-разностных схем (2.1), при которых в терминах составных норм пространства W^(ö) гарантировано свойство устойчивости слабых решений этих схем и для решений справедливы априорные оценки. Такие оценки полезны, прежде всего, при доказательстве теорем существования слабых решений эволюционных дифференциальных систем для параболического и гиперболического уравнений с пространственными переменными, изменяющимися в сетеподобной области, с последующим установлением условий единственности и непрерывной зависимости этих решений от начальных данных и правых частей систем. Последнее является также обоснованием известного в численном анализе метода полу-дискретизации по временной переменной (метод E. Rothe [10]) для построения приближений слабых решений эволюционных систем. Полученные результаты эффективны в анализе задач оптимального управления [11,12], стабилизации и устойчивости [13,14].

References

[1] В.Н. Хоанг, "Дифференциально-разностная краевая задача для параболической системы с распределенными параметрами на графе", Процессы управления и устойчивость, 7:1 (2020), 127-132. [V. N. Hoang, "Differential-difference boundary value problem for a parabolic system with distributed parameters on a graph", Management Processes and Sustainability, 7:1 (2020), 127-132 (In Russian)].

[2] V. V. Provotorov, S. M. Sergeev, V. N. Hoang, "Point control of differential-difference system with distributed parameters on the graph", Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 17:3 (2021), 277-286. [V. V. Provotorov, S. M. Sergeev, V.N. Hoang, "Point control of differential-difference system with distributed parameters on the graph", Vestnik of Saint Peterburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 17:3 (2021), 277-286 (In English)].

[3] V. V. Provotorov, E.N. Provotorova, "Optimal control of the linearized Navier-Stokes system in a netlike domain", Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 13:4 (2017), 431-443. [V.V. Provotorov, E.N. Provotorova, "Optimal control of the linearized Navier-Stokes system in a netlike domain", Vestnik of Saint Peterburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 13:4 (2017), 431-443 (In English)].

[4] M. A. Artemov, E. S. Baranovskii, A. P. Zhabko, V. V. Provotorov, "On a 3D model of non-isothermal flows in a pipeline network", IOP Conference, Journal of Physics: Conference Series, 1203, IOP Publishing Ltd., 2019.

[5] E. S. Baranovskii, V. V. Provotorov, M. A. Artemov, A. P. Zhabko, "Non-isothermal creeping flows in a pipeline network: existence results", Symmetry, 13 (2021), Article ID 1300.

[6] A.P. Zhabko, A.I. Shindyapin, V.V. Provotorov, "Stability of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph", Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 15:4 (2019), 457-471. [A. P. Zhabko, A.I. Shindyapin, V. V. Provotorov, "Stability of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph", Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 15:4 (2019), 457-471 (In English)].

[7] А. С. Волкова, В. В. Провоторов, "Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе", Изв. вузов. Матем., 2014, №3, 3-18; англ. пер.:А. S. Volkova, V. V. Provotorov, "Generalized solutions and generalized eigenfunctions of boundary-value problems on a geometric graph", Russian Math. (Iz. VUZ), 58:3 (2014), 1-13.

[8] А.А. Самарский, Теория разностных схем, Наука, М., 1977, 656 с. [A. A. Samarsky, Theory of Difference Schemes, Nauka Publ., Moscow, 1977 (In Russian), 656 pp.]

[9] О.А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973, 407 с. [O. A. Ladyzhenskaya, Boundary-value Problems of Mathematical Physics, Nauka Publ., Moscow, 1973 (In Russian), 407 pp.]

[10] E. Rothe, "Thermal conductivity equations with non-constant coefficients", Math. Ann., 1931, № 104, 340-362.

[11] L.N. Borisoglebskaya, V. V. Provotorov, S.M. Sergeev, E. S. Kosinov, "Mathematical aspects of optimal control of transference processes in spatial networks", IOP Conference. V. 573, Series: Materials Science and Engineering, IOP Publishing Ltd., 2019.

[12] V.V. Provotorov, E.N. Provotorova, "Synthesis of optimal boundary control of parabolic systems with delay and distributed parameters on the graph", Вестн. С.-Петербург. унта. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 13:2 (2017), 209-224. [V. V. Provotorov, E.N. Provotorova, "Synthesis of optimal boundary control of parabolic systems with delay and distributed parameters on the graph", Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 13:2 (2017), 209-224 (In English)].

[13] A.P. Zhabko, V.V. Provotorov, O.R. Balaban, "Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph", Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 15:2 (2019), 187-198. [A. P. Zhabko, V. V. Provotorov, O.R. Balaban, "Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph", Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 15:2 (2019), 187-198 (In English)].

[14] S.L. Podvalny, V. V. Provotorov, E. S. Podvalny, "The controllability of parabolic systems with delay and distributed parameters on the graph", Procedia Computer Sciense, 103 (2017), 324330.

Информация об авторах

Провоторов Вячеслав Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей. Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8761-7174

Хоанг Ван Нгуен, аспирант, кафедра уравнений в частных производных и теории вероятностей. Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация. E-mail: [email protected]

Information about the authors

Vyacheslav V. Provotorov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Partial Differential Equations and Probability Theory Department. Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation. E-mail: [email protected]

ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8761-7174

Van N. Hoang, Post-Graduate Student. Partial Differential Equations and Probability Theory Department. Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation. E-mail: [email protected]

Конфликт интересов отсутствует. There is no conflict of interests.

Для контактов: Corresponding author:

Провоторов Вячеслав Васильевич Vyacheslav V. Provotorov

E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 17.12.2021 г. Поступила после рецензирования 24.02.2022 г. Принята к публикации 10.03.2022 г.

Received 17.12.2021 Reviewed 24.02.2022 Accepted for press 10.03.2022