3Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 6 (50) 2012
-- МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ =
УДК 519.635
ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА1
М.Х. БЕШТОКОВ
ФГБОУ ВПО Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова 360004, КБР, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173 E-mail: bsk@kbsu.ru
В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса. Для решения нелокальной краевой задачи получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения задачи, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.
Ключевые слова: краевые задачи, нелокальное условие, уравнение влагопереноса, априорная оценка, разностная схема, устойчивость и сходимость разностных схем, псевдопараболическое уравнение.
Введение
Количественной оценке движения почвенной влаги уделено много внимания. Движение воды в капиллярно-пористых средах, к каковым относятся почвы, может происходить под воздействием самых разнообразных движущих сил.
Вопросы фильтрации жидкости в пористых средах [1, 2], передачи тепла в гетерогенной среде [3, 4], влагопереноса в почвогрунтах [5; 6, c. 137] приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных производных третьего порядка вида
U =(kux )х + AUx + f (x, t). (*)
Уравнение (*) называется уравнением Аллера, или модифицированным уравнением влагопереноса в почвогрунтах [5-8].
В данной работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения влагопе-реноса.
Для решения нелокальной краевой задачи получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных оценок следуют единственность, устойчивость решения задачи, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи со скоростью O(h2 + t2) в норме i^1 (0,1) на слое.
1. Постановка задачи В замкнутом цилиндре QT = {(х, t) :0 < х < 1, 0 < t < T} рассмотрим краевую задачу с нелокальным условием
Ut = (k(х, t)ux )х +(h(х, t)uxt )x - q(x, t)u + f (x, t), 0 < x < 1,0 < t < T , (1.1)
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федера-
ции. Регистрационный номер НИР: 1.6197.2011.
об одной нелокальной краевой задаче для уравнения влагопереноса 1
и(0, г) = Д(г)| и( х, г )ск -ц1(г), о < г < Т, (1.2)
о
г
- П (1, г) = Ь2(г) П(0, г) +1 р(1,т)и (1,7)^-^(0, 0 < г < Т, (1.3)
о
и( х,0) = и0( X), 0 < X < 1, (1.4)
где заданные в уравнении (1.1) и граничных условиях (1.2) - (1.4) коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:
0 < с0 <\(х, г), к(х,г) < с1,
(1.5)
\\(х,г),д(х,г), Д(г),Ьц(г),Р(г,т), р{(г,т)\ < сг,
и(х,г)е С4,3(бт), \(х,г)е С3'2(дт), к(х,г)е С3,2(бт), Че С2,2(бт), /(х,г)е С2,1(ёт),
и0(х)е С2[0,1], Д(0,А(0, т2(г),р(г,7) - функции, непрерывные на [0,Т],
т(0е С3[0,Т], \р1(г)\ < 0,5Д, < 1, |Ь2(0| < А) < 1, П(х,г) = к(х,г)их +\(х,г)их( - полный поток,
0 < 7 < г, с0, с1, с2 - положительные постоянные числа.
Заметим, что нелокальное условие (1.2) можно заменить условием вида
а
и(0, г) = Ь(г) | и (х, г )ёх - т1(г), 0 < г < Т, 0
где 0 < а < 1, а - глубина корнеобитаемого слоя [8] или активный слой почвы, который участвует в водоснабжении корневой системы, в процессах испарения и транспирации.
По ходу изложения будем использовать положительные постоянные числа М1, / = 1,2,...., зависящие только от входных данных задачи (1.1) - (1.4).
Предполагая существование решения дифференциальной задачи (1.1) - (1.4), получим априорную оценку для ее решения. Для этого уравнение (1.1) умножим скалярно на и = и + и1. Тогда получим
(и, ,и ) = ((ких )х ,и )+\ )х ,и )-(ди,и) + (/, и), (1.6)
11 где (и, V) = |uvdx, || и ||" = |и2dx. 00
Преобразуя каждое из слагаемых, входящих в (1.6), с помощью неравенства Коши с е, с учетом граничных условий (1.2), (1.3) находим
1 ^ и ,,9 1 d г
-—|| и ||2 + -^|(к + \)и2х^+ || и{ Ю +с0 || их Н0 +с0 || ихг ||2<
0
< П (х, г) [и( х, г)+и( (х, г)] I1 +
+е || и ||2 +Мх(е)(|| и ||2 +1| их ||2)+ М2(е)|| /1|2. (1.7)
Первое слагаемое в правой части неравенства (1.7) оценим с помощью уравнения (1.1) и условий (1.2), (1.3) следующим образом:
П (х, t) [u( x, t) + ut (x, t)] 10 =
f t \
m (t) - J p(t, r)u(1, t)dt - b(t)п(o, t) [u(1, t)+ ut (1, t)] — П(0, t) [u(0, t) + ut (0, t)] =
0
t \ m (t) — JP(t, t)u(1, t)dt [u(1, t) + ut (1, t)] —
o
П (0, t) [u (0, t) + ut (0, t) +b (t) (u (1, t) + ut (1, t))] =
f t \
m2 (t) — J pit ,t)u(1,t)dt [u(1, t) + ut (1, t) — u(0, t) — ut (0, t)] +
1
1 + P2 (t)
f
+
V 1
. ДД[u(1, t) + ut (1, t)] + Д [u(0, t) + ut (0, t)] J (ut + qu — f )dx 1 + д2 (t) 1 + H2(t) 7V 0
<
. uf (0, t) b22(tK2(1, t) К „2 ,, Л, „2 ,, „2\
<„ '2 ^ v:+-iiu ц2 +ем3 (||^ II2+1|uxt II2)+
(1+A(t))2 (1+b(t))
+M4(e)(|| u ii2 +1| ux ||0)+M5(e)J(|| u ii2 +1| ux ii2)dt +
0
+M6(e) (m2(t)+m2(t)+ II f 112).
Преобразуем третье слагаемое u2(0, t) в правой части (1.8) с помощью (1.2):
u2(0, t) =
1 1
b(t) Judx+д(t) J utdx+m,t (t)
<
< 2 д2 (t )|| ^ II2 +M7II«II2 +Mml (t). Учитывая оценки (1.8), (1.9), из (1.7) находим
1 d
1 d 1
--1| u ||0 +---
2 dt 0 2 dt
f
<
1 + 2b2(t) ^ 2
J (к + h) u\dx+ || u{
ДД (t)
t 112 +C0 11 ux ||2 +C0 11 uxt ||2 <
V
(1+b(t) )2
\ut I|0 +
(1 + Д2 (t) )
f I+11 >
2 e1 11 uxt ||0 + 11 ut ||2 +
V v e1 7 7
+eM9(II uxt IIo + II ut IIo)+ M10(e)(II u ||2 +1| ux ||2) +
+M
11(e)J (|u|i2 + II ux ||2 )t+M12(e)(|f ||0 +m2(t)+m2t (t)+т2(о).
(18)
(19)
(110)
0
2
0
0
0
Выбирая е = шт
об одной нелокальной краевой задаче для уравнения влагопереноса
Г (1 + 2Ь )с0 С0 + 2С0р2 - 2(С0 + 1)Ь 1
2М9 (1 + Ь2 )2' 8М9С0 (1 + Р2 )
|Ьп(г)|<0,5Ь < 1, |Ь2(г)|<Ь0 < 1,
е1 = с0, Ь0 =—0—, из (1.10) находим
С0 +1
^||и||2 + ^-Цих ||2 < М13 (| и ||2 + || их ||2 ) + dt dt
+М14|(| и ||" +1| их ||"7М15(| /1|" +т2(г) + ти(г) + (г)).
(1.11)
Проинтегрируем (1.11) по т от 0 до г, тогда получим
г г т
|| и ||2 +1| их ||0<М,61(|| и Ц" + || их ||2 )йт +МпЦ(
I 1|2 4- N 1|2
| и ||0 + || их ||0
) ёрёт
+
1
+Мп | (|| IЩ +т2 (г) + (г) + т2 (г) )Рт+11 и0 (х) 1
(0,1) •
(1.12)
Второе слагаемое в правой части (1.12) оценим следующим образом:
11(| и ||2 +|| их ||2\dpdr < Т|(|
и ||0 + || их ||0 рт.
00
В силу (1.13) из (1.12) получим
1(01)< М19I(| и ||§ +|| их ||2 )т +
2
'^2(0,1)
(113)
+М
18
I (| 11|0 +т2 (г)+т2г (г)+т2 (г ))Т+ || и0 (х) у2,
л
V 0
0^ 11^2(0,1)
(1.14)
Оценивая первое слагаемое в правой части (1.14) с помощью леммы Гронуолла (см. [9, с. 152]), получим искомую априорную оценку
|и|к'(0,1) < М
11|2 +М2 (г) + т2г (г) + т (г)71| и0 (х) Н^
л
0^' %2(0,1)
где М зависит только от входных данных задачи (1.1) - (1.4).
Из полученной априорной оценки следуют единственность решения исходной задачи (1.1) - (1.4) и непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом
временном слое в норме ^(0,1).
2. Устойчивость и сходимость разностной схемы На сетке сит = си х с- = {(х^,гу): х^ = ¡к, I = 0,N,Ш = 1,г у = ут, у = 0,т, тт = Т} дифференциальной задаче (1) - (4) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксима-
ции
о(к2 +т2) [10]:
У г = 1(а¥-х )х + (^хг [ - ^ + j, (х,г)
е со,
Ът>
(2.1)
0
0
00
0
0
и
0
N
У = Ь 2 У Н - 2т X ет,
(2.2)
5=0
-аыУ-„т +
2
N х,N
ПУа,N | = 02 ^2 а1Ух,0 + УУхХ,0 | + |Ух,N + 2 ^^ - ^ |
Л Г 1 1 1 ■ ■ - —
- 2Ь1 Ух,0 + 2а0У0 -Фо I + 2 2,Р1УЬ1Т- Иг, х е т ,
у(х,0) = и0(х), хе а>ь,
(2.3)
(2.4)
где У = у ■+1 + у, ух = У-У, а,. = к(хг-0 5, X), у1 = //(х^ 5, X), = д(х,, X), ^ = /(х,, X),
т
т1 = т/ (X), т2 = т2 (X), X = х;+о,5 = X; + 0,5т, х,.-^ = х, - 0,5Л,
н =
—, если 5 = 0, 5 = N -2 _ ^_ , т =
Л, если 5 = 1, N -1
—, если 5 = 0, 5 = 1 2 _
т, если 5 = 1, ■ -1
Умножим (2.1) скалярно на и = У + yх:
(Ух ,и ) = ( 2 К )х ,и ) + ((УУ~Х{) х ,и)- (| ^У ,и | + (р,и),
(2.5)
где
N-1
... N I | N
(и, V) = 2 иг-У,-Л , (и, и) = ||и ||2, (и, у]= 2 игУгЛ, (1, и- ] = || и- ]|2, [и, V] = 2 и,У,Н , [1, и 2] =| [и] |2.
г=1 г=1 х х 1=0
После несложных преобразований с помощью неравенства Коши с е с учетом граничных условий (2.2), (2.3) из (2.5) находим
+
<
1
< I - аух + У Ух I (У + У,)
1 а, У-2
2 х
1 аУ-, у-
2 х"х
"(у ухух( ]-(у у:
+
+ е
2 +М1(е)|| ^||2 +М2(е) || У ||2 .
(2.6)
Преобразуем первое слагаемое в правой части неравенства (2.6). Тогда с учетом (2.1), (2.2) получим
Г 1 1 N 1
^2аУх + УУхX 1(У + Ух) = 1^ + Ух,N + У0 + Ух,0 )х
Г
х
Л
1
Л
т - 21 Ух,N + 2dNУN - ^ | + 2Ь1 Ух,0 + 2ё0У0 - ^0 | - 2 ^р^^
1
1 ■
Л
+
+ Ух,N)+ у0 + Ух,0) 2 I Ух + 2^ - ^ |Л < (е+Мзл)(У20 + у2N )+
1 + Р2
+
(е + 2]" Ух "2 + У^ +(Г^Ь)2У- + М4(е)(| У+" ] ^)+
N
0
об одной нелокальной краевой задаче для уравнения влагопереноса
+М
(е) Е (|У||2 +1| Ух ]|2 т+M6(e)([j]|2 +т2 +т2).
,=0
Оценим слагаемое уг20 с помощью условия (1.2), тогда
2
Уг,0 =
N
а е у1, н-т
,=0
< 2Д2||Уг ||2 +М7 || у ||2 +М8т2г.
С учетом (2.8) из (2.7) получим
2 аГх + ГУг ) (У + У г ) ;(еМ9 + кМю)(||Уг ||2 + ||Ухг]|2)
+
+ 2Ь2 Л
2 (1+а )2
+
+-
а
2 (
(1 + А )2
с Л \ л
е,\\Уха ]|2 + - +1 II Уг ||2 + М„(е) (|| У ||2 +1| Ух ]|2)
+
У У
+Ми(е) (|| у ||2 +1| Ух ]|2)+ М1Ъ(е)Е (||У||2 +||Ух ]|2 )т +
,=0
+М14(е)£ (|| У ||2 +||Ух ]|2 )т+М^е) (т^ +£ + £ + £).
,=0
После несложных преобразований из (2.6) с учетом (2.9) получим
(|| У ||2 ) +(1, (уУх )г ] + || Уг ||2 +С0 || Ухг ]|2 +М16||Ух ]| < (еМп + кМ18 )(|| у( ||2 +1| Ух(] |2)+ МХ91| ух+1]|
<
+ 2Ь2 ^
2
+-
Ь22
(1 + А )2
( л \ Л
е1 || Ухг ]|2 + - +1 II Уг ||2 + М 20 (е) (||У||2 +1| Ух ]|2) +
(1+а )2
У У
+М 2:(е) (|| У ||2 +1| Ух ]|2)+М 22(е)Е (||у||2 +1| Ух ]|2 )т +
+М23(е) Е (| У ||2 +1| Ух] |2 Т+М24(е)( Щ] |2 +£ + тЬ + &,
,=0
Выбирая
е = шт <
(1 + 2Ь )с0 С0 + 2С0Р2 - 2(С0 + 1)Ь22
4М17(1 + ^2 )2 16М17С0(1 + Ь2)2 ]
е = с0, |Ь1(г)|<Ь0< 1, |Ь2(г)|<Ь0 < 1, А) = -^+4, к<к
2 с0 +1
(2.7)
(2.8)
(2.9)
+
(2.10)
2
2
2
,=0
. , (1 + 2ß2 )с0 c0 + 2c0ß2 - 2(c0 + 1)ß22 1 /о i где h0 = min^ —-, ,—-—-——¡>, из (2.10) получим
4M ig (1 + ß2 )2 16Mi8C0(1 + ß2)
2
(| У ||2 )г +1, (уу-х )г ]< М 25 (| У ||2 + ||ух ]|2)+ М 26 (|У||2 + ||Ух ]|2 +||ухУ+1]|2 +
+ Е (|у||2 +|| ух ]|2 т+ Е (|У ||2 + ||Ух ]|2 +М 27 ([Щ]|2 +т2 +т2г +£). (2.11)
,=0 ,=0 У
Умножим обе части на т и просуммируем (2.11) по / от 0 до у:
ЦуУ^Н2 +||ух+1]|2 < М 28 Е (|у ||2 +|| ух ]|2 У-
■ +
у'=0
f
+M-
29
У
j
V У '=0
У =0
(|Y||2 + || Yx ]|2 +!!ji+1]|2 К Е je (|J II2 + || JX ]|2 )t+ j j (| Y ||2 + \\¥- ]|2 )
x у '=0 s=0 у '=0 s=0
)t+ ||j 0||2 + ||J0]|2. (2.12)
+
+M30 j ([j]|2 +m2 +m2
Второе, третье, четвертое и пятое слагаемые в правой части (2.12) оценим так:
(
M
29
jj (| Y ||2 +|| Y-]|2 + ||W+1]|2)+ jj jj(|j||2 + || jx]|2)t+ jj jj(| Y ||2 +|| Yx]|2)
V у '=0 x у '=0 s=0 у '=0 s=0
<
£M30(|.уу+11|2 + НУ^2)+M31 jj (||j||2 + || jx]|2)+M32(|j01|2 + ||J0]|2).
у '=1
С учетом (2.13) из (2.12) получим
||уу+1||2 +||ух+1]|2<М33(||уу+1||2 +1| Ух/+1]|2т+М34 £ (|у||2 + ||ух]|2т
У '=1
(2.13)
+
+M
35
j ([j]|
V у'=0
2 +m2 +m2f +m2.
))+ ||j0 ||2 + ||J°]|
(2.14)
1
Выбирая т таким образом, что для всех т<т0, т0 =-, из (2.12) с учетом (2.13) по
2M
33
лучим
||^у+1 Ьш) < M33 j (|| J||2 +|| Jx ]|2)) +
у'=1
(2.15)
+M
34
j (Ш2 +m +т2+m ))+|| *T
V у'=0 2
(0,1)
Оценивая первое слагаемое в правой части (2.15) с помощью Леммы Гронуолла [11], получим искомую априорную оценку
( , , , л
||уу+1||21 < M 11 У %2(0,1)
jj ([j]|
V у =0
2 ,„2, m , m))+ ||J0„2
^2(0,1)
(2.16)
2
об одной нелокальной краевой задаче для уравнения влагопереноса
где М - положительная постоянная, не зависящая от к и t. Итак, справедлива следующая
Теорема. Пусть выполнены условия (1.5), тогда существуют к0, т0 такие, что если т < т0 , к < к0, то для решения разностной задачи (2.1) - (2.4) справедлива априорная оценка (2.16).
Из полученной априорной оценки следует единственность решения задачи, а также устойчивость решения по начальным данным и правой части в сеточной норме || у ||^1(01) на слое.
Пусть и(х,,) - решение задачи (1.1)-(1.4), у/ - решение разностной задачи (2.1)-(2.4). Погрешность решения обозначим через 2/ = у/ - и/ .
Тогда, подставляя у = 2 + и в (2.1) - (2.4), считая и(х,,) заданной функцией, получим задачу для 2:
2 =1 (а2Х )х + )-1 + У, (х, 0 е«кт (2.17)
2 х 2
N —
20 =Ь £ 2-й - 2п1, ,еаТ (2.18)
- ^ aN2XN + ^ = ^2 а12х,0 +УХ 2х,,0 ^ + | ^+ ^ dN2N ^ -
-кЬ( 2,0 +1 d020 | +1 £р^^,е^т, (2.19)
2 V 2 / 2 *=0
х,0) = 0, х еЪк, (2.20)
2 2 2 2 2 2 где у = 0(к + т ), п1 = 0(к + т ), п2 = 0(к + т ) - погрешности аппроксимации на решении исходной задачи при каждом фиксированном ,*.
Применяя априорную оценку (2.16) к задаче для погрешности, получим априорную оценку
|| 2/+1 ||2 <М £ ([у] |2 +п2 +П22 )т, (2.21)
2(,) /=0
где М - положительная постоянная, не зависящая от к и т .
Из полученной априорной оценки следует сходимость решения схемы (2.1)-(2.4) со
||2 .
"»2(0,1) '
скоростью 0(к2 + т2) в сеточной норме || 2/+11|2
Замечание 1. Полученные в данной работе результаты также имеют место, если условие (1.2) заменить условием
и(0,,) = Ь(,)и(1,,) ), 0 <, <Т . (1.2*)
Замечание 2. Полученные в данной работе результаты имеют место и в случае, когда уравнение (1.1) имеет вид
х
и, = (к(х,,)их)х + (^(х,,)их) + г(х,,)их -д(х,,)и -а(х,и(х,^х + /(х,,),
0
0 < X < 1,0 < t < T,
если условия (1.5) дополнить еще условиями | r(х, t), a(x, t)| < c2, h(x, t) e C3,3(QT).
ЛИТЕРАТУРА
1. Баренблат Г.И., Желтое Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика, 1960. № 25. Вып. 5. С. 852-864.
2. Дзекцер Е.С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // ДАН СССР, 1975. Т. 220. № 3. С. 540-543.
3. Рубинштейн Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах // Известия АН СССР. Сер. геогр., 1948. Т. 12. № 1. С. 27-45.
4. Ting T., Cooling A. Process According to Two Temperature theory of heat Conduction // J. Math. Anal. Appl., 1974. № 9.
5. Hallaire M. L'eau et la production vegetable // Institut National de la Recherche Agronomique, 1964. № 9.
6. ЧудновскийА.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.
7. Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // ДУ, 2004. Т. 40. № 6. С. 763-774.
8. Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве. Сборник трудов по агрофизике. Вып. № 23. Гидрометеоиздат, 1969.
9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
10. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 c.
11. Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа // ЖВМ и МФ, 1963. Т. 3. № 2. С. 266-298.
ABOUT ONE NON - LOCAL BORDER PROBLEM FOR EQUATION OF MOISTURE TRANSFER
M.H. BESHTOKOV
Kabardin-Balkar State University named after H.M. Berbekov 360004, KBR, Nalchik, 173, Chernyshevsky street E-mail: bsk@kbsu.ru
In this work a non-local border problem for the equation of moisture transportation is considered. Aprioristic estimations in differential and incremental treatments are received for the solution of non- local border problem. Uniqueness, stability of the decision of a problem, and also convergence of the decision of the difference problems to the decision of a differential problem follow from the estimations obtained.
Key words: regional problems, non local condition, equation of moisture transfer, aprioristic estimation, difference scheme, stability and convergence of difference schemes, pseudo-parabolic equation.
Работа поступила 22. 06. 2012 г.
