Об одной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка с нелокальным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.635

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

© 2013 г. М.Х. Бештоков

Бештоков Мурат Хамидбиевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра вычислительной математики, Кабардино-Балкарский государственный университет, ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, 360004, e-mail: beshtokov_murat@rambler. ru.

Beshtokov Murat Khamidbiyevich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Computational Mathematics, Kabardino-Balkarian State University, Chernyshevskiy St., 173, Nalchik, 360004, email: [email protected].

Рассматривается нелокальная краевая задача для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. Для ее решения методом энергетических неравенств в классе достаточно гладких коэффициентов уравнения и граничных условий получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, из которых следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи со ско-

2 2 1

ростью O(h + x ) в норме W (0,1) на каждом слое.

Ключевые слова: краевые задачи, нелокальное условие, уравнение третьего порядка, априорная оценка, разностная схема, устойчивость и сходимость разностных схем, псевдопараболическое уравнение.

A nonlocal boundary value problem for the third order pseudo-parabolic equation with variable coefficients is considered. For solving the nonlocal boundary value problem by the method of energy inequalities in the class of sufficiently smooth coefficients and boundary conditions, a priori estimates in differential and difference setting are obtained. The obtained a priori estimates imply uniqueness and stability of the solution of the problem with respect to the initial data and the right-hand side, and also the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the

9 9 l

differential problem at the rate O(h + x ) in the norm (0,1) on each layer.

Keywords: boundary value problems, nonlocal condition, equation of the third order, a priori estimate, difference scheme, stability and convergence of difference schemes, pseudo-parabolic equation.

Математическое моделирование многих процессов приводит к изучению нестандартных начально-краевых, прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике.

Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют уравнения 3-го и более высоких порядков. Например, вопросы фильтрации жидкости в пористых средах [1, 2], передачи тепла в гетерогенной среде [3, 4], влагопереноса в почвогрунтах [5; 6, с. 137] приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются псевдопараболическими уравнениями в частных производных 3-го порядка вида и, ={кых)х + Аыхх, + /(х, ,) .

Это уравнение называется уравнением Адлера, или модифицированным уравнением влагопереноса в почвогрунтах [5-9].

Особый интерес представляют краевые задачи с интегральными условиями. Из физических соображений условия такого вида совершенно естественны и возникают при математическом моделировании в тех случаях, когда невозможно получить информацию о происходящем процессе на границе области его протекания с помощью непосредственных измерений или когда возможно измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины.

В данной работе рассматривается краевая задача для псевдопараболического уравнения 3-го порядка с интегральным условием. Для решения получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. На их основе доказаны единственность, устойчивость решения задачи, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи со скоростью ^(0,1) на слое.

O(h2 + г2) в норме

Постановка задачи

В замкнутом цилиндре

= {(х,,): 0 < х < 1,0 <, < Т} рассмотрим краевую

задачу с нелокальным условием

и.

= (к(х, t)ux)x + (л(х, t)uxt)x + r{x,t)ux --q(x, t)u + f(x,t) , 0 < x < 1,0 < t < T,

(1)

1 t u(0,t) = ß1(t)ju(x,t)dx + jp(t,r)u(1,r)dr - ^1(t) , 0 0

0 < t < T, (2)

-/ (1,t) = ß2 (t)u(1,t) - M2 (t) , 0 < t < T, (3)

u(x,0) = u0(x) , 0 < x < 1, (4)

где заданные в уравнении (1) и граничных условиях (2) - (4) коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:

0 < с0 < г(х, ,); к(х, ,) < с1;

(х, ,), г(х, ,), д(х, ,), р!(0, Р2(/), Ри(,), р(,, т), р, (,, т) <

< С2; (5) и(х,,) е С4,3®г); г(х,,) е С3'2®г);

к(х,,) е С3'2©г); г, д е С2,2®г); /(х,,) е С2,1(ёг); «о(х) е С2 [0,1]; Р1 (,), Р2 (,), ^2(0, Р(,, т) - функции, непрерывные на [0, Т]; щ(,) еС3[0,Т]; |р1 (,)<ро < 1; 0 <т<Г; с0 ^, с2 - положительные постоянные числа. дг = {(х,,):0 < х < 1,0 <, < Т} ;

1 (х,,) = к(х,,)их + г(х,,)их, - полный поток.

Заметим, что нелокальное условие (2) можно заменить условием вида

а ,

и(0,,) = р1 (,) Iи(х, ,)Сх + |р(,,т)и(1,т)dт - М-1(,) , 0 < , < Т , 0 0

где 0 < а < 1, а - глубина корнеобитаемого слоя [9] или активного слоя почвы, который участвует в водоснабжении корневой системы, в процессах испарения и транспирации.

По ходу изложения будем использовать положительные постоянные числа Мг,г = 1,2,...., зависящие только от входных данных задачи (1) - (4).

Допуская существование решения дифференциальной задачи (1) - (4), получим априорную оценку для ее решения. Воспользуемся методом энергетических неравенств. Уравнение (1) умножим скалярно на и = и + и,. Тогда

(и, ,и) = ((кИх )х ,и )+((Лих, )х ,и )+(гих ,и )-

(6)

-(ди,и )+(/ ,и ), 1

где (и,у) = |иуСх, | | и | |° = |и Сх. 0 0 Преобразуя каждое из слагаемых, входящих в (6), с помощью неравенства Коши се с учетом граничных условий (2), (3) находим

1 с .. .,2 1 с

--1 | и | 0 +--X

2 Ж 2 Л

х|(к + r[)u^dx+| |и, 10 +с0 11 их 10 +с0 11 их, 10< 0

< I (х,,)[и(х,,) + и, (х,,)]|0 + е 11 и, 10 +

+М1(е)( | и | ^ +| | их| 0 )+М2(е)| | ,/1 2 . (7)

Первое слагаемое в правой части (7) оценим с помощью уравнения (1) и условий (2), (3) следующим образом:

I (х,,)[и(х,,) + и, (х,,)]1 =

+ [м(0, t) + ut (0, t)]x

= -(Р2 (t)м(1,t) - Ц2 (?))[м(1, t) + Щ (1, t)] +

/(м/ - гмх + дм - f)dx + ß2(/)u(1, t)-ц 2(t)

V 0

< 1| | и, | 2 +еМ3 ( | и, | 0 +| | их, | 2)+1 и2(0,,) +

+М4(е)(|и||2 +||их|0 )+ +М 5(в) |(|и||2 +||их|0 )ст +

+Мб(е) (|а°(,) + ц2(,)+||./|2 ).

Преобразуем слагаемое и, (0,,) в правой части (8)

с помощью (2). Тогда

9 Г 1 1

и, (0,,) = р1, (,)|иСх + р1(,)|и,Сх + р(,,,)и(1,,) +

(8)

+ jpt (t, х)м(1, t)Jt-|u (t)

0

< 2pf(t)| | ut\ g +M7 ( | u | I2 +| | 2 )+

+M8 j( | u |2 +| | ux| 2)dr+ M9|2t(t). 0

Учитывая оценки (8), (9), из (7) находим

1 Jt ||u |0 +1 Jt ^ +^)u2dx +

+ ||ut |2 +Co||ux I2 +Co||uxt |g<

<|j + Pl2(t)^]| | ut |0 +SM10( | uxt |i2 +| | ut | 0)+

+A/U(6)(|u|2 + ||ux H^)+

+ Mi2(B) +||ux|2 )dx +

+Mi3(s) (|./|2 +if(t)+i21 (t)+12(t)). Выбирая | Pi(t) |< po < 1, Po < ,

e = min<!1—— [, из (10) следует

(9)

(10)

4M 10 2M10

d ||M |2 + d 1 dt dt

1|м II2 +—+ n)M2dx+ ||Mt II2 + ||Mx II2 + ||Mxt I2< 0

11

< M 14 ( | u\ 0 +| | ux\ 0 )+M15 Ц | u\0 +| | ux\ 0 )ch +

0

+M16 ( | /| 0 +^(0 + (i) + Ц2«)- (11)

Проинтегрируем (11) по т от 0 до t:

| | u | i2 +| | ux| 02 +}( | ut| 0 +| | ux| 02 +| | ux/| 0 )dT< 0

< M17 i( | u | 0 +| | ux| t0 )dT+ Mi8 JT( | u | 0 +| | ux| 0 )dpdT +

0 00

+M19 j(|./|0 +ц0(/) + Ц0 / (/) + ц 2(/ ))dT +

+ ||и0( х)||21 . ^ ж2(0,1)

Второе слагаемое в правой части (12) оценим следующим образом:

(12)

<

x

0

0

2

t

(13)

Я(I u\0 +| | ux |0)ph <Tj(| u|0 +| | и, 10)d: 00 о

В силу (13) из (12) получим

| | и| g +| | UxI |2 +}( | ut| g +| | UxI g +| | «xf| g jd:< о

<м20К | u|g +|| Ux 1g)d:+ M19 X

о

х| J ( | f | 0 +m2(t) + mg t (t) + ц2(t))ft+ | | ug (x) | } ) .(14)

Оценивая первое слагаемое в правой части (14) с помощью леммы Гронуолла [10, с. 152], получим искомую априорную оценку

< M

| | u| L(n,,+ J(| Ut | 02 +| | Ux| 02 +| | Uxt| 02 jd: < w2 (0,1) о

J ( | f |g +mg (t)+mg t (t)+(t))ft+1 | Ug (x) | g, (Q>

(15)

(16)

-| -aNXNYZN + YnVx,N

.2

= 1 ß2YN +1|yt,N +1 dNYN -CNj-^

t Effli , (17)

y(x,0) = Ug(x), x effli , (18)

где Y = У+1 + y , yt = ^^^ , b± = rr± + O(h2),

: к

r = r ++r-, |r |=r +-r-, r + =0,5(r+| г| )>0, r-= 0,5(r-| r |j< 0, = к(xi-0,5,t), Yi = ^(xi-0,5,t) , di = ,t), 9i = f(xi, t), = (t), ц) = mg (t), t = tj+0 5 = tj + 0,5:, xi-0 5 = xi - 0,5h,

0 5к\г\

Я = !—I - разностное число Рейнольдса;

к

h

1 I—, anee s = 0, s = N

X=^; И2

X0 =■

1

1 +

0,5h | r0 |

h, anee s = 1, N -1

, если r0 < 0 ;

к

X N ="

0,5 1

1 +

0,5h | rN | kN-0,5

если rN > 0;

V о

где М зависит только от входных данных задачи (1) -(4).

Из полученной априорной оценки следует единственность решения исходной задачи (1) - (4) и непрерывная зависимость решения задачи от входных

данных на каждом временном слое в норме W\ (0,1).

Устойчивость и сходимость разностной схемы

На сетке гакх = ®к =

= ,tj ): хг = гк, I = 0, Д, Дк = 1,,у = у'х, у = 0, от, отх = т}

дифференциальной задаче (1) - (4) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации

о(к2 +х2) [11]:

У, = 2 х(аГх )х +(гУ~х, )х + 2 Ъ+«(+1)^х +

+1 Ъ~аУ- -1 йУ +т, 2 х 2

(х,,) еюкх,

N 3 . - -

У0 =Р1 I У-Л+ Ер^УтИх-2^1, , егах;

5=0 5=0

1

- I—, апёе 5 = 0, 5 = з х = ^ 2 J_ ;

[ х, апёе 5 = 1, у -1 Умножим (15) скалярно на и = У + у1:

(у,,и ) = [ 2 %(аух )х ,и ) + ((^) х,и )+ 2

+ | 1 b+a(+1)^,U! + |1 ¿"aY-,U )-

ч 2

1 dY ,U ) + (cp,U ),

(19)

N-1

N

где (u,v)= |uivih, (u,u) = ||u ||2, (u,v]= |Uivih i=1

i2

i=1

1 и-2 ]=\\их ]\2, [и, V] =ЕигУг [1, и2] =\[и]\2.

х г=0

После несложных преобразований с помощью неравенства Коши се с учетом граничных условий (16), (17) из (19) находим

( \ у\\2), + \ \ У, \\2ахух +1У-,](У + У,) -Г1 аух,Х;У

-| -aY-,xY-

i 2 x'x

11 1 11 1 (

g ayx, x xyt g ayx, x yxt - (Y, Yxy~xt.

Y ygt

+ в| | Уt| |2 +M1(B)| | cp| |2 +

(20)

+М 2(е)( \ У \ \2 +\ \ Ух ]\ 2 ).

Преобразуем первое слагаемое в правой части неравенства (20). Используя уравнение (15), получим

Г1 ^ И

[ 2 агУх +ЧУ-* +У, ^ =

= Г1 аыXиУх,И +тыУ~хг,И ](уи + У,,N - У0 - У,,0)+ -У + У,,0)Д2:11^У, -1 Ъ+а,+Ух -1 Ъ~агУ-х +1 ^-ф^к: < (еМз + М4к)(\ У, \ \2 + \ \ Ух,] \ 2)+1 \ \ У, \ \ 2 +

)

(

+1У20 + M5(в)(| Y ||2 +| | Yx]| 2)+

+м6(в) I ( | y||2+| | Yx]| 2):+

s=0

0

+M7 (e)( [Ф]| 2 +|2 +|2 ).

(21)

Оценим слагаемое у, 0 с помощью условия (2)

^o =

■ N . j . - .

P1 z y-j zpiyS ^-ii

s=o s s=o

2P2[| | Уг ||2 +1(y2N + y2o)^+M8( | y||2 +| | yx]| 2)

j

+M9 z ( | У | |2 +| | УХ ]| 2 )i+ Mioi2t.

s=o

(22)

С учетом (22) из (21)

N

[2 a^Y~x+УУХ |(Y+yt )N <

<(eM11 + hMu)( | yt ||2 +| | yx{]| 2)+[i + P2]| | yt ||2 + +MB(e)( | Y | |2 +| | Yx ]| 2 )+MM(e)( | y| f +| | yx ]| 2 )+

j

( | У | |2)t +(1,(Yy21

, лг IV 1

+ | | yt | |2 +co | | y~x1 ]| 2 +

2

+M18| | Y-x ]| 2 < <(e M19 + hM2o )( | yt | P +| | yxt ]| 2 )

+

+M 211 | yj+1]| 2 +[ 1+P2 ]| | УtI |2 +

+M 22(e)(|Y||2 + ||Yx ]|2 )+ +M23(e)(|y||2 +||yx ]|2 )+

Z (|Y11

t+i2).

+M 24 (e)

z

s=o

2 +||y; ]|2 k +

s=o

+M-

(e)([ф] |2 +l2 ■ -2'

2 + ||Y- ]|2 kl +

(24)

Выбирая | P1(t) |< Po < 1, Po <

s

. )1 -2Po Co I ...

e = mrn<!-—,—— I, h < h

I 8M19 4M19 I

o =

ho = min]1,,2Po ,~o— I, из (24) получим

4M ю 2M 2o

21 +[1, (yy72)

+1|yt |r +||y;,]|2 +

+ | | Yx ]| 2 < M26 ( | y | |2 +| | yx ]| 2 )+

л

+

+M

27

| | yj+1]| 2 +( | Y | |2 +| | Yx ]| 2 ) + z ( | y||2 +| | yx]| 2)f+ Z ( | Y||

V s=o s=o

2 +||Yx ]|2

+М28 ([ф]|2 +| + /£ + |) . (25)

Умножим обе части на т и просуммируем (25) по У от 0 до у :

| | y^+1| |2 +| | yj+1]| 2 + Z ( | yt ]| 2 +| | yz, ]| 2 +| | Y- ]| 2 )г<

j

j

j =o

<M29 z (|y||2 +1|yx]|2)t+ j '=« x

(

'21

+ M-

3o

M21| | yJ-+1]| 2 + z ( | Y | |2 +| | Yx ]| 2 )r +

j'=o

+ z z (|y||2 +1|к]|2)

V

j j

j'=o s=o

||2 , inz n2

+ z z (|Y|2 + ||YX]|2M +

j'=o s=o

+М15(в) 2 ( | у | |2 +| | ух ]| 2 )Т +

я=0

+М16(е) 2 (|7||2 +||Ух]|2)т + «=0

+М17(6)([Ф]|2 +|2 +|2,, +|2 ). (23)

После несложных преобразований из (20) с учетом (23) находим

+М31 ([Ф]| 2 +и2, +1°)т+1| у0| |2 +| | у-0]|2. (26) У=0 х

Оценим второе, третье, четвертое и пятое слагаемые в правой части (26):

M-

3o

z

+ | | Y-]| 2)r+ z z (| y|2 +| | y;]| 2+

j j

V j'=o j'=o s=o

+ zz zz (|Y||2 +||Yx]|2 j'=o s=<T x )

< M32 (| yJ+1|P +1| yj+1]|2 »t +

j

(27)

+M33 z j'=1

2 +| | yx ]| 2 )r+ M34 ( | y o| |2 +| | y o]| 2)

С учетом (27) из (26) получим

| | y+11 |2 +| | yj+1]| 2 + ¿о ( | yt ]| 2 +| | y~xt ]| 2 +| | Yx ]| 2

< M-

35

(| y

||2 +1| yj T1]|2

+M36 z (|y ||2 +1|yx]|2)c+ M37 X

(28)

(

j'=1

zz ([ф]| 2 +i2+i2t +i2)^+| | yo | |2 +| | y°]| 2

Л

V У=0

Выбирая т таким образом, что для всех т < Т0 . 1

^o =

M-

из (26) с учетом (27) получим

35

| | yJ +1||2 +| | yj+1]| 2 + z ( | yt]| 2 +| | yxt]|2 +| | Yx]|2)г<

(| yt

< M38 z

+M-

j'=1 (j

j'=o

2 +1| yx ]|2 )*+

(29)

39

z ([ф] | 2 +i2+|2,t+i21 | yo | |2 +1 | y-°]|2

j'=o x

Л

Оценивая первое слагаемое в правой части (29) с помощью леммы Гронуолла [12], получим искомую априорную оценку

2

<

t

<

+

2

X

1

+

)

I I yJ+1!Wl(0l) + I (I У,]| 2 +l I y-xt]l 2 +l I YX]l 2)т<

2 ^ > J =0

J

2

2

I 2 Ь

(

< M

]

\

I ( [ф]| 2 + +ц2)т+| I y0I 2l

v J'=o W

2

2

2

02

(0,l)

(30)

где М - положительная постоянная, не зависящая от к и х.

Итак, справедлива следующая Теорема. Пусть выполнены условия (5), тогда существуют такие к0 , х 0 , что если х < Х0 , к < к0 , то для решения разностной задачи (15) - (18) справедлива априорная оценка (30).

Из (30) следует единственность решения задачи, а также устойчивость решения по начальным данным и

правой части в сеточной норме У 2

на слое.

Пусть и(х,,) - решение задачи (1) - (4); у/ - решение разностной задачи (15) - (18). Обозначим погрешность через = у г - и3 . Тогда, подставляя у = 7 + и в (15) - (18) и считая и(х,,) заданной функцией, получим задачу для 7 :

=11(аг-х )х ) +1Ъ+а(+1) 2х +

2 У X'X ' X 2

+—b ~ aZ---dZ +ш,

2 x 2

(x,t) ею4т,

N J . _ _

Z 0 =ßl_I Zs П+ I PÍZs, N т-2v1, t еЮт

s=0

s=0

l

-\ т aN X NZX, N +Y zX

2

xt,N

= 1Р2+ кГN - 1 2, , еюх,

^(х,0) = 0 , х еюл,

где у = й(к2 +х2), у1 = 0(к2 +х2), V2 = 0(к2 +х2) -погрешности аппроксимации на решении исходной

задачи при каждом фиксированном ,*.

Применяя априорную оценку (30) к задаче для погрешности, получим априорную оценку

\ \ ^ \ ]\ 2 +\ \ Ъ ]\ 2 +\ \ ^ ]\ 2 )х<

<М Е (М\2 +V2 + V2, +v2)х,

У=0

где М - положительная постоянная, не зависящая от к и х .

Из полученной априорной оценки следует сходимость решения схемы (15) - (18) со скоростью

2 2

0(к + х ) в сеточной норме

I I z| I2l) =l I zJ+l| IíWl(0,l) +Д( I zt]| 2 +I I zxt]| 2 +I I ZX]| 2)т .

Замечание 1. Полученные в данной работе результаты также имеют место, если условие (2) заменить условием

t

u(0,t) = ßl(t)u(l,t) + Jp(t,т)u(1,т)!т - ц1(,) , 0 < t < T .

0

Замечание 2. Полученные в данной работе результаты имеют место и в случае, когда уравнение (1) имеет вид

щ = (k(x; t)ux )x + (n(x,t)ux )xt + r(x,t)ux -

x

-q(x,t)u-a(x,t)ju(x,t)dx + /(x,t) , 0

0 < x < l, 0 < t < T ,

если условия (5) дополнить еще условиями:

I a(x,t) < c2 , n(x,t) e С3,3(Qt) .

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (регистрационный номер НИР 1.6197.2011).

Литература

1. Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об оспов-ных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ÜMM. 1960. № 25, вып. 5. С. 852-864.

2. Дзекцер Е.С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // Докл. АН СССР. 1975. Т. 220, № 3. С. 540-543.

3. Рубинштейн Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах // Изв. АН СССР. Сер. геогр. 1948. Т. 12. № 1. С. 27-45.

4. Ting T. W. A cooling process according to two temperature theory of heat conduction // J. Math. Anal. Appl. 1974. Vol. 45, № 9. P. 23-31.

5. Hallaire M. L'eau et la production vegetable // Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. № 9. Р. 1729.

6. ЧудновскийА.Ф. Теплофизика почв. M., 1976. 352 с.

7. Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Диф. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 763-774.

8. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.

9. Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагоперепоса в почве // Сб. тр. по агрофизике. Л., 1969. № 23. С. 41-54.

10. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. M., 1973. 407 с.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. M., 1973. 416 с.

12. Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа // ЖВM и MФ. 1963. Т. 3, № 2. С. 266-298.

Поступила в редакцию

S июня 2012 г.